【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教A版)基礎(chǔ)鞏固：第7章-第3節(jié)-簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題

第七章第三節(jié)一、選擇題1．(文)若2x＋4y<4，則點(diǎn)(x，y)必在()A．直線x＋y－2＝0的左下方 B．直線x＋y－2＝0的右上方C．直線x＋2y－2＝0的右上方 D．直線x＋2y－2＝0的左下方[答案]D[解析]∵2x＋4y≥2eq\r(2x＋2y)，由條件2x＋4y<4知，2eq\r(2x＋2y)<4，∴x＋2y<2，即x＋2y－2<0，故選D．(理)(2021·衡水模擬)已知點(diǎn)P(2，t)在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－4≤0，,x＋y－3≤0，))表示的平面區(qū)域內(nèi)，則點(diǎn)P(2，t)到直線3x＋4y＋10＝0距離的最大值為()A．2 B．4C．6 D．8[答案]B[解析]畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分所示)．結(jié)合圖形可知，點(diǎn)A到直線3x＋4y＋10＝0的距離最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,x＋y－3＝0))得A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)，故所求最大距離為dmax＝eq\f(|3×2＋4×1＋10|,\r(32＋42))＝4.2．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知△AOB的三邊所在直線的方程分別為x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，則△AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)(即坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的總數(shù)為()A．95 B．91C．88 D．75[答案]B[解析]由2x＋3y＝30知，y＝0時(shí)，0≤x≤15，有16個(gè)；y＝1時(shí)，0≤x≤13；y＝2時(shí)，0≤x≤12；y＝3時(shí)，0≤x≤10；y＝4時(shí)，0≤x≤9；y＝5時(shí)，0≤x≤7；y＝6時(shí)，0≤x≤6；y＝7時(shí)，0≤x≤4；y＝8時(shí)，0≤x≤3；y＝9時(shí)，0≤x≤1，y＝10時(shí)，x＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91個(gè)．3．(2022·唐山市二模)設(shè)變量x，y滿足|x|＋|y|≤1，則2x＋y的最大值和最小值分別為()A．1，－1 B．2，－2C．1，－2 D．2，－1[答案]B[解析]不等式|x|＋|y|≤1表示的平面區(qū)域如圖所示，作直線l0：2x＋y＝0，平移直線l0，當(dāng)l0經(jīng)過點(diǎn)(1,0)時(shí)，2x＋y取最大值2，當(dāng)l0經(jīng)過點(diǎn)(－1,0)時(shí)，2x＋y取最小值－2.4．(文)(2022·邯鄲質(zhì)檢)已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0,|x|－y－1≤0))，則z＝2x＋y的最大值為()A．4 B．6C．8 D．10[答案]C[解析]依題意，畫出不等式組表示的平面區(qū)域及直線2x＋y＝0(圖略)，平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(3,2)時(shí)，相應(yīng)直線在y軸上的截距達(dá)到最大，此時(shí)z＝2x＋y取得最大值，最大值是2×3＋2＝8，選C．(理)(2022·哈三中一模)若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1,x＋y－4≤0,x－3y＋4≤0))，則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的最小值為()A．－4 B．0C．eq\f(4,3) D．4[答案]B[解析]作出可行域如圖，作直線l0：3x－y＝0，平移l0當(dāng)經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)A(1，eq\f(5,3))時(shí)，－z最大．從而z取最小值．∴zmin＝3×1－eq\f(5,3)＝eq\f(4,3).5．(文)設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤3，,x＋2y－2≥0，))所表示的平面區(qū)域?yàn)镾，若A、B為區(qū)域S內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|AB|的最大值為()A．2eq\r(5) B．eq\r(13)C．3 D．eq\r(5)[答案]B[解析]在直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形觀看不難得知，位于該平面區(qū)域內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)中，其間的距離最遠(yuǎn)的兩個(gè)點(diǎn)是(0,3)與(2,0)，因此|AB|的最大值是eq\r(13)，選B．(理)已知x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,y－x≥0，,x≥0.))目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y只在點(diǎn)(1,1)處取最小值，則有()A．a(chǎn)>1 B．a(chǎn)>－1C．a(chǎn)<1 D．a(chǎn)<－1[答案]D[解析]作出可行域如圖陰影部分所示．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.只在點(diǎn)(1,1)處z取得最小值，則斜率－a>1，故a<－1，故選D．6．(文)已知約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4≥0，,x＋2y－1≥0，,3x＋y－8≤0，))若目標(biāo)函數(shù)z＝x＋ay(a≥0)恰好在點(diǎn)(2,2)處取得最大值，則a的取值范圍為()A．0<a<eq\f(1,3) B．a(chǎn)≥eq\f(1,3)C．a(chǎn)>eq\f(1,3) D．0<a<eq\f(1,2)[答案]C[解析]作出可行域如圖，∵目標(biāo)函數(shù)z＝x＋ay恰好在點(diǎn)A(2,2)處取得最大值，故－eq\f(1,a)>－3，∴a>eq\f(1,3).(理)(2022·石家莊市二檢)已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥1，,y≤2x－1，,x＋y≤m.))假如目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值為－2，則實(shí)數(shù)m的值為()A．0 B．2C．4 D．8[答案]D[解析]不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥1,y≤2x－1,x＋y≤m))表示的平面區(qū)域如圖所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋y－m＝0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1＋m,3)，,y＝\f(2m－1,3).))作直線l0：x－y＝0，平移直線l0，當(dāng)l0經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(eq\f(1＋m,3)，eq\f(2m－1,3))時(shí)，z＝x－y取最小值－2，∴eq\f(1＋m,3)－eq\f(2m－1,3)＝－2，∴m＝8.二、填空題7．(文)(2022·海南六校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2≥0，,x＋2y－1≥0，,3x＋y－8≤0，))所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值為________．[答案]－eq\f(1,3)[解析]畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2≥0,x＋2y－1≥0,3x＋y－8≤0))表示的平面區(qū)域如圖所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0,3x＋y－8＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1)).∴當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，－1)時(shí)，直線OM的斜率取最小值－eq\f(1,3).(理)(2022·豫東、豫北十所名校段測(cè))已知變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x＋y≤2,x≤－1))，則eq\f(x,y)的取值范圍是________．[答案](－1，－eq\f(1,3)][解析]畫出約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x＋y≤2,x≤－1))表示的平面區(qū)域如圖所示．eq\f(y,x)表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的取值范圍，eq\f(y,x)∈[－3，－1)，∴eq\f(x,y)∈(－1，－eq\f(1,3)]．[點(diǎn)評(píng)]數(shù)形結(jié)合思想在線性規(guī)劃中的應(yīng)用：線性規(guī)劃問題的求解基本上是在圖上完成的，留意圖形要力求精確?????規(guī)范．另外還要記住常見代數(shù)式的幾何意義：(1)eq\r(x2＋y2)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的距離；(2)eq\r(x－a2＋y－b2)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)的距離；(3)eq\f(y,x)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率；(4)eq\f(y－b,x－a)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率等．練習(xí)下列各題：①變量x、y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1.))(1)設(shè)z＝eq\f(y,x)，求z的最小值；(2)設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍；(3)設(shè)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范圍．[分析]作出可行域，理清所求表達(dá)式的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解．[解析]由約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1.))作出(x，y)的可行域如圖所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,3x＋5y－25＝0，))，解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(22,5))).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－4y＋3＝0，))，解得C(1,1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5,2)．(1)∵z＝eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0).∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率．觀看圖形可知zmin＝kOB＝eq\f(2,5).(3)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，dmin＝|OC|＝eq\r(2)，dmax＝|OB|＝eq\r(29)，∴2≤z≤29.(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(－3,2)的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到(－3,2)的距離中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝eq\r(－3－52＋2－22)＝8.∴16≤z≤64.②設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≤0，,x≥0，,y≤4.))表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則a的取值范圍是()A．(0,1) B．(1,2)C．[2,4] D．[2，＋∞)[答案]D[解析]作出可行區(qū)域，如圖，由題可知點(diǎn)(2，a2)應(yīng)在點(diǎn)(2,4)的上方或與其重合，故a2≥4，∴a≥2或a≤－2，又a>0且a≠1，∴a≥2.③設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1≥0，,2x－y－6≤0，,x＋y－k－2≥0，))且x2＋y2的最小值為m，當(dāng)9≤m≤25時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(eq\r(17)－2,5) B．[eq\r(17)－2,5]C．(eq\r(17)－2,5] D．(0,5][答案]B[解析]不等式組表示的可行域如圖中的陰影部分，x2＋y2的最小值m即為|OA|2，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0,x＋y－k－2＝0))，得A(eq\f(k＋3,2)，eq\f(k＋1,2))．由題知9≤(eq\f(k＋3,2))2＋(eq\f(k＋1,2))2≤25，解得eq\r(17)－2≤k≤5.④(2022·山東青島一模)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,4x＋3y≤4，,y≥0，))則w＝eq\f(y＋1,x)的最小值是()A．－2 B．2C．－1 D．1[答案]D[解析]畫出可行域，如圖所示．w＝eq\f(y＋1,x)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)P(0，－1)連線的斜率，觀看圖形可知PA的斜率最小為eq\f(－1－0,0－1)＝1，故選D．⑤(2022·安徽池州一中月考)設(shè)二元一次不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋8≥0，,2x＋y－14≤0，,x＋2y－19≥0))所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)y＝ax2的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是()A．[eq\f(8,9)，eq\f(5,2)] B．[eq\f(5,2)，9]C．(－∞，9) D．[eq\f(8,9)，9][答案]D[解析]題中可行域M如圖所示，y＝ax2經(jīng)過可行域M，則a>0，分別計(jì)算出經(jīng)過(3,8)，(1,9)點(diǎn)時(shí)a的值，則a1＝eq\f(8,9)，a2＝9，所以a的取值范圍為[eq\f(8,9)，9]，故選D．8．(2022·北京西城一模)若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,y≥0，,2x＋y≤6，,x＋y≤a))表示的平面區(qū)域是一個(gè)四邊形，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[答案](3,5)[解析]平面區(qū)域如圖中的陰影部分，直線2x＋y＝6交x軸于點(diǎn)A(3,0)，交直線x＝1于點(diǎn)B(1,4)，當(dāng)直線x＋y＝a與直線2x＋y＝6在線段AB(不包括線段端點(diǎn))時(shí)，此時(shí)不等式組所表示的區(qū)域是一個(gè)四邊形．將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線x＋y＝a的方程得a＝3，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線x＋y＝a的方程得a＝5，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3,5)．9．(2022·吉林市二檢)已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x,x＋y≤1,y≥－1))，則目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y的最大值為________．[答案]5[解析]不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，作直線l0：2x－y＝0，平移直線l0，當(dāng)l0經(jīng)過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(2，－1)時(shí)，z取最大值5.[點(diǎn)評(píng)]應(yīng)留意線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by當(dāng)b>0與b<0時(shí)最值的不同．設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥－1，,x＋y≥1，,3x－y≤3，))則目標(biāo)函數(shù)z＝4x＋y的最大值為________．[答案]11[解析]如圖，滿足條件的可行域?yàn)槿切螀^(qū)域(圖中陰影部分)，故z＝4x＋y在P(2,3)處取得最大值，最大值為11.三、解答題10．(文)某公司預(yù)備進(jìn)行兩種組合投資，穩(wěn)健型組合投資每份由金融投資20萬元，房地產(chǎn)投資30萬元組成；進(jìn)取型組合投資每份由金融投資40萬元，房地產(chǎn)投資30萬元組成．已知每份穩(wěn)健型組合投資每年可獲利10萬元，每份進(jìn)取型組合投資每年可獲利15萬元．若可作投資用的資金中，金融投資不超過160萬元，房地產(chǎn)投資不超過180萬元，那么這兩種組合投資各應(yīng)注入多少份，才能使一年獲利總額最多？[解析]設(shè)穩(wěn)健型投資x份，進(jìn)取型投資y份，利潤(rùn)總額為z(單位：10萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z＝x＋1.5y(單位：10萬元)，線性約束條件為：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20x＋40y≤160，,30x＋30y≤180，,x≥0，y≥0x∈N，y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤8，,x＋y≤6，,x≥0，y≥0x∈N，y∈N，))作出可行域如圖，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝8，,x＋y＝6，))得交點(diǎn)M(4,2)，作直線l0：x＋1.5y＝0，平移l0，當(dāng)平移后的直線過點(diǎn)M時(shí)，z取最大值：zmax＝(4＋3)×10＝70萬元．答：穩(wěn)健型投資4份，進(jìn)取型投資2份，才能使一年獲利總額最多．(理)(2021·山東諸城一中月考)為保增長(zhǎng)、促進(jìn)展，某地方案投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，依據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，知甲項(xiàng)目每投資100萬元需要配套電能2萬千瓦時(shí)，可供應(yīng)就業(yè)崗位24個(gè)，GDP增長(zhǎng)260萬元；乙項(xiàng)目每投資100萬元需要配套電能4萬千瓦時(shí)，可供應(yīng)就業(yè)崗位36個(gè)，GDP增長(zhǎng)200萬元．已知該地為甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目最多可投資3000萬元，配套電能100萬千瓦時(shí)，若要求兩個(gè)項(xiàng)目能供應(yīng)的就業(yè)崗位不少于840個(gè)，問如何支配甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目的投資額，才能使GDP增長(zhǎng)的最多．[解析]設(shè)甲項(xiàng)目投資x萬元，乙項(xiàng)目投資y萬元，增長(zhǎng)的GDP為z萬元，則投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目可增長(zhǎng)GDP為z＝2.6x＋2y.依題意，知x、y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤3000，,0.02x＋0.04y≤100，,0.24x＋0.36y≥840，,x≥0，,y≥0，))則此不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．把z＝2.6x＋2y變形為y＝－1.3x＋0.5z，其在y軸上的截距為0.5z.由圖可知當(dāng)直線y＝－1.3x＋0.5z經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B時(shí)，其縱截距取得最大值，也即z取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3000，,0.24x＋0.36y＝840，))得x＝2000，y＝1000，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2000,1000)，故當(dāng)甲項(xiàng)目投資2000萬元，乙項(xiàng)目投資1000萬元時(shí)，GDP增長(zhǎng)得最多．一、選擇題11．(文)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)，若點(diǎn)N(x，y)滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,2x＋y－12≤0，,x≥1，))則使eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))取得最大值的點(diǎn)N的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．很多個(gè)[答案]D[分析]點(diǎn)N(x，y)在不等式表示的平面區(qū)域之內(nèi)，U＝eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))為x，y的一次表達(dá)式，則問題即是當(dāng)點(diǎn)N在平面區(qū)域內(nèi)變化時(shí)，求U取到最大值時(shí)，點(diǎn)N的個(gè)數(shù)．[解析]如圖所示，可行域?yàn)閳D中陰影部分，而eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝2x＋y，所以目標(biāo)函數(shù)為z＝2x＋y，作出直線l：2x＋y＝0，明顯它與直線2x＋y－12＝0平行，平移直線l到直線2x＋y－12＝0的位置時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故2x＋y－12＝0上介于1≤x≤eq\f(51,9)上全部點(diǎn)都能使目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故選D．(理)(2021·東北師大附中二模)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1)，若點(diǎn)N(x，y)的坐標(biāo)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2≤4，,2x－y>0，,y>0，))則eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))的最大值為()A．eq\r(2) B．2eq\r(2)C．eq\r(3) D．2eq\r(3)[答案]B[解析]如圖，點(diǎn)N在圖中陰影部分區(qū)域內(nèi)，當(dāng)O，M，N共線，且|eq\o(ON,\s\up6(→))|＝2時(shí)，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))最大，此時(shí)N(eq\r(2)，eq\r(2))，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝(1,1)·(eq\r(2)，eq\r(2))＝2eq\r(2)，故選B．12．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－y－10≤0，,x－2y＋8≥0，,x≥0，y≥0，))若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為12，則eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值為()A．eq\f(25,6) B．eq\f(8,3)C．eq\f(11,3) D．4[答案]A[解析]由可行域可得，當(dāng)x＝4，y＝6時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by取得最大值，∴4a＋6b＝12，即eq\f(a,3)＋eq\f(b,2)＝1，∴eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝(eq\f(2,a)＋eq\f(3,b))·(eq\f(a,3)＋eq\f(b,2))＝eq\f(13,6)＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥eq\f(13,6)＋2＝eq\f(25,6)，故選A．13．(文)(2022·鄭州市質(zhì)檢)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2,y－x≤2,y≥1))，則x2＋y2的取值范圍是()A．[1,2] B．[1,4]C．[eq\r(2),2] D．[2,4][答案]B[解析]畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，x2＋y2表示的幾何意義為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，∴x2＋y2∈[1,4]．(理)(2022·衡水中學(xué)五模)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－6≤0,x－y＋2≥0,x，y≥0))，若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a，b>0)的最大值是12，則a2＋b2的最小值是()A．eq\f(6,13) B．eq\f(36,5)C．eq\f(6,5) D．eq\f(36,13)[答案]D[解析]作出可行域如圖，∵z＝ax＋by的最大值為12，a>0，b>0，∴當(dāng)直線z＝ax＋by經(jīng)過點(diǎn)A(4,6)時(shí)z取到最大值，∴4a＋6b＝12，∴2a＋3∵原點(diǎn)到直線2x＋3y＝6的距離d＝eq\f(6,\r(13))，∴a2＋b2的最小值為eq\f(36,13).14．(2021·湖北)某旅行社租用A、B兩種型號(hào)的客車支配900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為()A．31200元 B．36000元C．36800元 D．38400元[答案]C[解析]設(shè)租A型車x輛，B型車y輛，租金為z元，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(36x＋60y≥900,y－x≤7,y＋x≤21,x，y∈N))，畫出可行域(圖中陰影區(qū)域中的整數(shù)點(diǎn))，則目標(biāo)函數(shù)z＝1600x＋2400y在點(diǎn)N(5,12)處取得最小值36800，故選C．二、填空題15．(2021·濮陽模擬)已知點(diǎn)A(2,0)，點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,4x＋5y≤25，,x－1≥0，))則|eq\o(OP,\s\up6(→))|·cos∠AOP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最大值是________．[答案]5[解析]|eq\o(OP,\s\up6(→))|·cos∠AOP即為eq\o(OP,\s\up6(→))在eq\o(OA,\s\up6(→))上的投影，即求不等式組所表示的可行域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y＝25，))可得交點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,2)，此時(shí)|eq\o(OP,\s\up6(→))|·cos∠AOP取值最大，∴|eq\o(OP,\s\up6(→))|·cos∠AOP的最大值為5.16．(文)(2021·淮南其次次聯(lián)考)已知x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,y≥1，,x＋y≤3.))則目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y的最大值為________．[答案]3[解析]畫出可行域如圖，易知y＝2x－z過點(diǎn)C(2,1)時(shí)，zmax＝3.(理)(2022·湖北黃岡三月月考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x－1，,x≤3，,x＋5y≥4，))則eq\f(x2,y)的最小值是________．[答案]4[解析]可行域如圖所示，令eq\f(x2,y)＝k，所以y＝eq\f(x2,k).當(dāng)k<0時(shí)拋物線的開口向下，不合條件．當(dāng)k>0時(shí)，有兩種可能狀況：一是拋物線過點(diǎn)A(eq\f(3,2)，eq\f(1,2))或C(3,2)．所以eq\f(x2,y)的最小值是eq\f(9,2)；二是當(dāng)拋物線y＝eq\f(x2,k)與直線x－y－1＝0(eq\f(3,2)<x<3)相切時(shí)，聯(lián)立方程組消掉y得到x2－kx＋k＝0，∴Δ＝k2－4k＝0，∴k＝4，此時(shí)eq\f(x2,y)的最小值是4.綜上可知eq\f(x2,y)的最小值是4.三、解答題17．(文)某玩具生產(chǎn)公司每天方案生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè)，生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5min，生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7min，生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4min，已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過10h.若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤(rùn)5元，生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤(rùn)6元，生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤(rùn)3元．(1)用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)x與騎兵個(gè)數(shù)y表示每天的利潤(rùn)W(元)；(2)怎樣支配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？[解析]