【名師一號】2022屆高三數(shù)學一輪總復習基礎練習：第八章-平面解析幾何8-6-

第六節(jié)雙曲線時間：45分鐘分值：100分eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(必)eq\x(做)一、選擇題1．(2022·新課標全國卷Ⅰ)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的離心率為2，則a＝()A．2 B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(5),2) D．1解析由已知得eq\f(\r(a2＋3),a)＝2，且a>0，解得a＝1，故選D.答案D2．(2022·廣東卷)若實數(shù)k滿足0<k<9，則曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9－k)＝1與曲線eq\f(x2,25－k)－eq\f(y2,9)＝1的()A．焦距相等 B．實半軸長相等C．虛半軸長相等 D．離心率相等解析由于0<k<9，所以方程eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9－k)＝1與eq\f(x2,25－k)－eq\f(y2,9)＝1均表示焦點在x軸上的雙曲線．雙曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9－k)＝1中，其實軸長為10，虛軸長為2eq\r(9－k)，焦距為2eq\r(25＋9－k)＝2eq\r(34－k)；雙曲線eq\f(x2,25－k)－eq\f(y2,9)＝1中，其實軸長為2eq\r(25－k)，虛軸長為6，焦距為2eq\r(25－k＋9)＝2eq\r(34－k).因此兩曲線的焦距相等，故選A.答案A3．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0)，離心率等于eq\f(3,2)，則C的方程是()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,\r(5))＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1 D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,\r(5))＝1解析由雙曲線C的右焦點為F(3,0)，知c＝3.由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)，則a＝2，故b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.答案B4．(2022·新課標全國卷Ⅰ)已知F為雙曲線C：x2－my2＝3m(m>0)的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為()A.eq\r(3) B．3C.eq\r(3)m D．3m解析由題意，可得雙曲線C為eq\f(x2,3m)－eq\f(y2,3)＝1，則雙曲線的半焦距c＝eq\r(3m＋3).不妨取右焦點(eq\r(3m＋3)，0)，其漸近線方程為y＝±eq\f(1,\r(m))x，即x±eq\r(m)y＝0.所以由點到直線的距離公式得d＝eq\f(\r(3m＋3),\r(1＋m))＝eq\r(3).故選A.答案A5．(2022·江西卷)過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右頂點作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點A，若以C的右焦點為圓心，半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點(O為坐標原點)，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,7)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1解析設雙曲線的右頂點為B，則B(a,0)．不妨取漸近線y＝eq\f(b,a)x，則A點的坐標為(a，b)，從而可知|OA|＝c.∵由已知可得|OF|＝|AF|＝c＝4，∴△OAF為邊長是c的等邊三角形．又AB⊥OF，∴|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝2eq\r(3).故所求的雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.答案A6．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，漸近線分別為l1，l2，點P在第一象限內(nèi)且在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(5) B．2C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析由題意可知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P(x0，y0)，漸近線l1的直線方程為y＝eq\f(b,a)x，漸近線l2的直線方程為y＝－eq\f(b,a)x.∵l2∥PF2，∴eq\f(y0,x0－c)＝－eq\f(b,a)，即ay0＝bc－bx0.∵點P在l1上，即ay0＝bx0，∴bx0＝bc－bx0，解得x0＝eq\f(c,2).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(bc,2a))).∵l2⊥PF1，∴eq\f(\f(bc,2a),\f(3c,2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))＝－1，即3a2＝b2.∵a2＋b2＝c2，∴4a2＝c2，即c＝2a.答案B二、填空題7．雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的兩條漸近線的方程為________．解析本題考查雙曲線的漸近線方程．由a2＝16，b2＝9，得漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(3,4)x.答案y＝±eq\f(3,4)x8．雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,m)＝1的離心率為eq\f(5,4)，則m等于________．解析a2＝16，b2＝m，得c2＝16＋m，則e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(16＋m),4)＝eq\f(5,4)，∴m＝9.答案99．設雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，O為坐標原點．若以F為圓心，F(xiàn)O為半徑的圓與雙曲線C的漸近線y＝eq\f(b,a)x交于點A(不同于O點)，則△OAF的面積為________．解析由于右焦點F(c,0)到漸近線y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0的距離為eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，所以|OA|＝2a，故△OAF的面積為eq\f(1,2)×2a×b＝ab.答案ab三、解答題10．直線l：y＝eq\r(3)(x－2)和雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)交于A，B兩點，且|AB|＝eq\r(3)，又l關于直線l1：y＝eq\f(b,a)x對稱的直線l2與x軸平行．(1)求雙曲線C的離心率；(2)求雙曲線C的方程．解(1)設雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1過一、三象限的漸近線l1：eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝0的傾斜角為α.由于l和l2關于l1對稱，記它們的交點為P.而l2與x軸平行，記l2與y軸的交點為Q.依題意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.又l：y＝eq\r(3)(x－2)的傾斜角為60°，則2α＝60°，α＝30°.所以tan30°＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3).于是e2＝eq\f(c2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝1＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).所以e＝eq\f(2\r(3),3).(2)由eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，可設雙曲線方程為eq\f(x2,3k2)－eq\f(y2,k2)＝1，即x2－3y2＝3k2.將y＝eq\r(3)(x－2)代入x2－3y2＝3k2，得x2－3·3(x－2)2＝3k2.化簡得8x2－36x＋36＋3k2＝0，則x1＋x2＝eq\f(9,2)，x1x2＝eq\f(36＋3k2,8).設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋3)|x1－x2|＝2eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))2－4·\f(36＋3k2,8))＝eq\r(9－6k2)＝eq\r(3)，解得k2＝1.故所求雙曲線C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1.11．(2021·湛江模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F(c,0)．(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；(2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為－eq\r(3)，求雙曲線的離心率．解(1)∵雙曲線的漸近線為y＝±eq\f(b,a)x，∴a＝b.∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2.∴雙曲線方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.(2)設點A的坐標為(x0，y0)，∴直線AO的斜率滿足eq\f(y0,x0)·(－eq\r(3))＝－1，∴x0＝eq\r(3)y0，①依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，將①代入圓的方程得3yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2，即y0＝eq\f(1,2)c.∴x0＝eq\f(\r(3),2)c，∴點A的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)c，\f(1,2)c)).代入雙曲線方程得eq\f(\f(3,4)c2,a2)－eq\f(\f(1,4)c2,b2)＝1，即eq\f(3,4)b2c2－eq\f(1,4)a2c2＝a2b2.②又∵a2＋b2＝c2，∴將b2＝c2－a2代入②式，整理得eq\f(3,4)c4－2a2c2＋a4＝0.∴3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))4－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0.∵e>1，∴e＝eq\r(2)，∴雙曲線的離心率為eq\r(2).eq\x(培)eq\x(優(yōu))eq\x(演)eq\x(練)1．在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的頂點A(－5,0)和C(5,0)，頂點B在雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，則eq\f(sinB,|sinA－sinC|)為()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,4) D.eq\f(4,5)解析設△ABC中角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，由正弦定理得eq\f(sinB,|sinA－sinC|)＝eq\f(b,|a－c|)，由雙曲線的標準方程和定義可知，A，C是雙曲線的焦點，且b＝10，|c－a|＝8.所以eq\f(sinB,|sinA－sinC|)＝eq\f(b,|a－c|)＝eq\f(5,4).故選C.答案C2．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，A，B為其左，右頂點，點P為雙曲線C在第一象限的任意一點，點O為坐標原點，若PA，PB，PO的斜率為k1，k2，k3，則m＝k1k2k3的取值范圍為()A．(0,3eq\r(3)) B．(0，eq\r(3))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),9))) D．(0,8)解析e＝eq\f(c,a)＝2，b＝eq\r(3)a，設P(x，y)，則eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，k1k2＝eq\f(y,x＋a)·eq\f(y,x－a)＝eq\f(y2,x2－a2)＝eq\f(b2,a2)＝3，又雙曲線的漸近線為y＝±eq\r(3)x，所以0<k3<eq\r(3)，故0<m<3eq\r(3)，選A.答案A3．已知點F是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．(1,2) B．(eq\r(2)，2)C．(eq\r(3)，2) D．(2,3)解析由題意知，△ABE為等腰三角形．若△ABE是銳角三角形，則只需要∠AEB為銳角．依據(jù)對稱性，只要∠AEF<eq\f(π,4)即可．直線AB的方程為x＝－c，代入雙曲線方程得y2＝eq\f(b4,a2)，取點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，則|AF|＝eq\f(b2,a)，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<eq\f(π,4)，即eq\f(b2,a)<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.答案A4．(2022·福建卷)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別為l1：y＝2x，l2：y＝－2x.(1)求雙曲線E的離心率．(2)如圖，O為坐標原點，動直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點(A，B分別在第一、四象限)，且△OAB的面積恒為8.摸索究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說明理由．解(1)由于雙曲線E的漸近線分別為y＝2x，y＝－2x，所以eq\f(b,a)＝2，所以eq\f(\r(c2－a2),a)＝2，故c＝eq\r(5)a，從而雙曲線E的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).(2)由(1)知，雙曲線E的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4a2)＝1.設直線l與x軸相交于點C.當l⊥x軸時，若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點，則|OC|＝a，|AB|＝4a.又由于△OAB的面積為8，所以eq\f(1,2)|OC|·|AB|＝8，因此eq\f(1,2)a·4a＝8，解得a＝2，此時雙曲線E的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1.若存在滿足條