【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修1-1教案：第3章-導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用-參考教案2

4．2導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會從幾何直觀了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)爭辯函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對多項式函數(shù)一般不超過三次.2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件(導(dǎo)數(shù)在極值點兩端異號)和充分條件（）；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、微小值，對多項式函數(shù)一般不超過三次.3．會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，對多項式函數(shù)一般不超過三次.重點：利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)單調(diào)性；函數(shù)極值與最值的區(qū)分與聯(lián)系.會求一些函數(shù)的(極)最大值與(極)最小值難點：利用導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問題時有關(guān)字母爭辯的問題.學(xué)問要點梳理學(xué)問點一：函數(shù)的單調(diào)性(一)導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則在這個區(qū)間上，若，則在這個區(qū)間上為增函數(shù)；若，則在這個區(qū)間上為減函數(shù)；若恒有，則在這一區(qū)間上為常函數(shù).反之，若在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；若在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）．留意：1.若在某區(qū)間上有有限個點使，在其余點恒有，則仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）.即在區(qū)間(a,b)內(nèi)，（或）是在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增（或減）的充分不必要條件！例如：而f(x)在R上遞增.2.同學(xué)易誤認(rèn)為只要有點使，則f(x)在(a，b)上是常函數(shù)，要指出個別導(dǎo)數(shù)為零不影響函數(shù)的單調(diào)性，同時要強(qiáng)調(diào)只有在這個區(qū)間內(nèi)恒有，這個函數(shù)在這個區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù).3.要關(guān)注導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關(guān)系.（二）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：1.確定函數(shù)的定義域；2.求導(dǎo)數(shù)；3.在定義域內(nèi)解不等式，解出相應(yīng)的x的范圍；當(dāng)時，在相應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)時在相應(yīng)區(qū)間上為減函數(shù).4.寫出的單調(diào)區(qū)間.學(xué)問點二：函數(shù)的極值（一）函數(shù)的極值的定義一般地，設(shè)函數(shù)在點及其四周有定義，（1）若對于四周的全部點，都有，則是函數(shù)的一個極大值，記作；（2）若對四周的全部點，都有，則是函數(shù)的一個微小值，記作.極大值與微小值統(tǒng)稱極值.在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值.留意：由函數(shù)的極值定義可知：（1）在函數(shù)的極值定義中，確定要明確函數(shù)y=f(x)在x=x0及其四周有定義，否則無從比較.（2）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點四周的小區(qū)間而言的，是一個局部概念；在函數(shù)的整個定義域內(nèi)可能有多個極值，也可能無極值.由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它四周點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小.（3）極大值與微小值之間無確定的大小關(guān)系.即一個函數(shù)的極大值未必大于微小值.微小值不愿定是整個定義區(qū)間上的最小值.（4）函數(shù)的極值點確定毀滅在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點.而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點.（5）可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值，則該點的導(dǎo)數(shù)確定為零，反之不成立.即是可導(dǎo)函數(shù)在點取得極值的必要非充分條件.在函數(shù)取得極值處，假如曲線有切線的話，則切線是水平的，從而有.但反過來不愿定.如函數(shù)y=x3，在x=0處，曲線的切線是水平的，但這點不是函數(shù)的極值點.（二）求函數(shù)極值的的基本步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)；③求方程的根；④檢查在方程根左右的值的符號，假如左正右負(fù)，則f(x)在這個根處取得極大值；假如左負(fù)右正，則f(x)在這個根處取得微小值.(最好通過列表法)學(xué)問點三：函數(shù)的最大值與最小值（一）函數(shù)的最大值與最小值定理若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值；在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不愿定有最大值與最小值.如.（二）求函數(shù)最值的的基本步驟：若函數(shù)在閉區(qū)間有定義，在開區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)在內(nèi)的導(dǎo)數(shù)（2）求在內(nèi)的極值；（3）求在閉區(qū)間端點處的函數(shù)值，；（4）將的各極值與，比較，其中最大者為所求最大值，最小者為所求最小值.（三）最值理論的應(yīng)用解決有關(guān)函數(shù)最值的實際問題，導(dǎo)數(shù)的理論是有力的工具，基本解題思路為：（1）認(rèn)知、立式：分析、認(rèn)知實際問題中各個變量之間的聯(lián)系，引入變量，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系；（2）探求最值：立足函數(shù)的定義域，探求函數(shù)的最值；（3）檢驗、作答：利用實際意義檢查（2）的結(jié)果，并回答所提出的問題，特殊地，假如所得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點滿足，并且在點處有極大（?。┲?，而所給實際問題又必有最大（小）值，那么上述極大（?。┲当闶亲畲螅ㄐ。┲?規(guī)律方法指導(dǎo)（1）利用導(dǎo)數(shù)爭辯函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要確定函數(shù)的定義域D，并且解決問題的過程中始終立足于定義域D.若由不等式確定的x的取值集合為A，由確定的x的取值范圍為B，則應(yīng)有.如：.（2）最值與極值的區(qū)分與聯(lián)系：①函數(shù)的最大值和最小值是比較整個定義域上的函數(shù)值得出的（具有確定性），是整個定義域上的整體性概念，最大值是函數(shù)在整個定義域上全部函數(shù)值中的最大值；最小值是函數(shù)在整個定義域上全部函數(shù)值中的最小值.函數(shù)的極大值與微小值是比較極值點四周兩側(cè)的函數(shù)值而得出的（具有相對性），是局部的概念；②極值可以有多個，最大(小)值若存在只有一個；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，不能在區(qū)間端點取得；最大（?。┲悼赡苁悄硞€極大（?。┲担部赡苁菂^(qū)間端點處的函數(shù)值；③有極值的函數(shù)不愿定有最值，有最值的函數(shù)未必有極值，極值可能成為最值.④若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極大（?。┲担瑒t這一極大（?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲?典型例題例1．設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間。解析：f'(x)=3ax2+1，若a≥0,f'(x)>0，對x∈R恒成立，此時f(x)只有一個單調(diào)區(qū)間，沖突。若a<0，∵f'(x)=,此時f(x)恰有三個單調(diào)區(qū)間?！郺<0且單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為。例2．求函數(shù)y=2ex+e-x的極值。解析：y'=2ex-e-x，令y'=0,即2e2x=1,列表：xy'-0+y↘微小值↗∴y微小。例3．求函數(shù)f(x)=3x-x3在閉區(qū)間的最大值和最小值。解析：f'(x)=3-3x2,令f'(x)=0，則x1=-1，x2=1。則f(-1)=-2,f(1)=2，又,∴[f(x)]max=2,[f(x)]min=-18。例4．如右圖所示，在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成圖形中有個內(nèi)接矩形ABCD，求這個矩形面積的最大值。解析：設(shè)點B的坐標(biāo)為(x,0)且0<x<2,∵f(x)=4x-x2圖象的對稱軸為x=2,∴點C的坐標(biāo)為(4-x,0),∴|BC|=4-2x,|BA|=f(x)=4x-x2。∴矩形面積為y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8)令y'=0，解得，∵0<x<2,∴取?！邩O值點只有一個，當(dāng)時，矩形面積的最大值。例5．一艘漁艇停靠在距岸9km處，今需派人送信給距漁艇km處的海岸漁站，假如送信人步行每小時5km，船速每小時4km，問應(yīng)在何處登岸再步行可以使抵達(dá)漁站的時間最??？