【優(yōu)化方案】2021高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(湖北理科)課后達標(biāo)檢測：第10章-第3課時

[基礎(chǔ)達標(biāo)]一、選擇題1．(2022·遼寧六校聯(lián)考)某產(chǎn)品在某零售攤位上的零售價x(單位：元)與每天的銷售量y(單位：個)的統(tǒng)計資料如下表所示：x16171819y50344131由上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝－4，據(jù)此模型估量零售價定為15元時，每天的銷售量為()A．48個 B．49個C．50個 D．51個解析：選B.由題意知eq\o(x,\s\up6(－))＝17.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝39，代入回歸直線方程得eq\o(a,\s\up6(^))＝109.當(dāng)x＝15時，eq\o(y,\s\up6(^))＝109－15×4＝49.2．(2022·武漢二中高考模擬試題)某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗，收集數(shù)據(jù)如下：加工零件數(shù)x(個)1020304050加工時間y(分鐘)6469758290經(jīng)檢驗，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，那么對于加工零件的個數(shù)x與加工時間y這兩個變量，下列推斷正確的是()A．成正相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過點(30,76)B．成正相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過點(30,75)C．成負相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過點(30,76)D．成負相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過點(30,75)解析：選A.隨著x的增大，y也增大，所以成正相關(guān)．又eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(10＋20＋30＋40＋50,5)＝30，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(64＋69＋75＋82＋90,5)＝76，所以回歸直線經(jīng)過點(30,76)．3．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，測得一組數(shù)據(jù)如下表：x24568y2040607080依據(jù)上表，利用最小二乘法得它們的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，據(jù)此模型來猜想當(dāng)x＝20時，y的估量值為()A．210 B．210.5C．211.5 D．212.5解析：選C.由已知得eq\o(x,\s\up6(－))＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝54，則(5，54)滿足回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝1.5，因此eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋1.5.當(dāng)x＝20時eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5×20＋1.5＝211.5.4．(2022·山東東營模擬)已知變量x與y之間的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－3＋2x，若eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝17，則eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi的值等于()A．3 B．4C．0.4 D．40解析：選B.依題意x＝eq\f(17,10)＝1.7，而直線eq\o(y,\s\up6(^))＝－3＋2x確定經(jīng)過(x，y)，所以y＝－3＋2x＝－3＋2×1.7＝0.4，∴eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi＝0.4×10＝4.5．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)依據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).若某同學(xué)依據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1，0)和(2，2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是()A.eq\o(b,\s\up6(^))>b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′ B.eq\o(b,\s\up6(^))>b′，eq\o(a,\s\up6(^))<a′C.eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′ D.eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))<a′解析：選C.由(1，0)，(2，2)求b′，a′.b′＝eq\f(2－0,2－1)＝2，a′＝0－2×1＝－2.求eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))時，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，eq\o(x,\s\up6(－))＝3.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(13,6)，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(58－6×3.5×\f(13,6),91－6×3.52)＝eq\f(5,7)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(13,6)－eq\f(5,7)×3.5＝eq\f(13,6)－eq\f(5,2)＝－eq\f(1,3)，∴eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′.二、填空題6．(2022·武漢市部分學(xué)校高三調(diào)研)某地區(qū)恩格爾系數(shù)y(%)與年份x統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：年份x2004200520062007恩格爾系數(shù)y(%)4745.543.541從散點圖可以看出y與x線性相關(guān)，且可得回歸方程為y＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋4055.25，則eq\o(b,\s\up6(^))＝________，據(jù)此模型可猜想2022年該地區(qū)的恩格爾系數(shù)(%)為________．解析：由于eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2004＋2005＋2006＋2007,4)＝2005.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(47＋45.5＋43.5＋41,4)＝44.25，且點eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))在回歸直線方程y＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋4055.25上，代入得eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，所以回歸直線方程為y＝－2x＋4055.25.當(dāng)x＝2012時，y＝31.25.故可猜想2022年該地區(qū)的恩格爾系數(shù)為31.25.答案：－231.257．(2022·遼寧大連市雙基測試)已知下列表格所示數(shù)據(jù)的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3.8x＋a，則a的值為________.x23456y251254257262266解析：由已知得，x＝4，y＝258，由于點(x，y)在回歸直線上，所以a＝242.8.答案：242.88．(2022·山東濟南市模擬考試)為了均衡訓(xùn)練資源，加大對偏遠地區(qū)的訓(xùn)練投入，調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年訓(xùn)練支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年訓(xùn)練支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.15x＋0.2.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年訓(xùn)練支出平均增加________萬元．解析：由題意知，0.15(x＋1)＋0.2－(0.15x＋0.2)＝0.15.答案：0.15三、解答題9．(2022·武漢市高三模擬考試)某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝－20；(2)估量在今后的銷售中，銷量與單價照舊聽從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本)解：(1)由于eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝80＋20×8.5＝250，從而回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元，依題意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－8.25)2＋361.25.當(dāng)且僅當(dāng)x＝8.25時，L取得最大值．故當(dāng)單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤．10．為了分析某個高二同學(xué)的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對其下一階段的學(xué)習(xí)供應(yīng)指導(dǎo)性建議．現(xiàn)對他前7次考試的數(shù)學(xué)成果x、物理成果y進行分析．下面是該生7次考試的成果.數(shù)學(xué)888311792108100112物理949110896104101106(1)他的數(shù)學(xué)成果與物理成果哪個更穩(wěn)定？請給出你的證明；(2)已知該生的物理成果y與數(shù)學(xué)成果x是線性相關(guān)的，若該生的物理成果達到115分，請你估量他的數(shù)學(xué)成果大約是多少？解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝100＋eq\f(－12－17＋17－8＋8＋12,7)＝100，eq\o(y,\s\up6(－))＝100＋eq\f(－6－9＋8－4＋4＋1＋6,7)＝100，所以數(shù)學(xué)的方差是eq\f(1,7)(144＋289＋289＋64＋64＋144)＝142.物理的方差是eq\f(1,7)(36＋81＋64＋16＋16＋1＋36)＝eq\f(250,7).從而物理的方差小于數(shù)學(xué)的方差，所以物理成果更穩(wěn)定．(2)由于x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，依據(jù)回歸系數(shù)公式得到，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝50，則y＝0.5x＋50.所以回歸直線方程為y＝0.5x＋50.當(dāng)y＝115時，x＝130，即該生物理是115分時，數(shù)學(xué)成果是130.[力氣提升]一、選擇題1．(2022·黃岡中學(xué)高三模擬)經(jīng)統(tǒng)計，用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時間(單位：小時)與成果(單位：分)近似于線性相關(guān)關(guān)系．對某小組同學(xué)每周用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時間x與數(shù)學(xué)成果y進行數(shù)據(jù)收集如下：x1516181922y10298115115120由表中樣本數(shù)據(jù)求得回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(a,\s\up6(^))，\o(b,\s\up6(^))))與直線x＋18y＝100的位置關(guān)系是()A．點在直線左側(cè) B．點在直線右側(cè)C．點在直線上 D．無法確定解析：選B.樣本數(shù)據(jù)的中心點為(18，110)，在直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))上，則eq\o(a,\s\up6(^))＋18eq\o(b,\s\up6(^))＝110>100.故點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(a,\s\up6(^))，\o(b,\s\up6(^))))在直線x＋18y＝100的右側(cè)．2．(2022·安徽合肥檢測)由數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)求得線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則“(x0，y0)滿足線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))”是“x0＝eq\f(x1＋x2＋…＋x10,10)，y0＝eq\f(y1＋y2＋…＋y10,10)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B.(x0，y0)為這10組數(shù)據(jù)的平均值，又由于回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過樣本中心點(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，因此(x0，y0)確定滿足線性回歸方程，但坐標(biāo)滿足線性回歸方程的點不愿定是(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))．二、填空題3．某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗．依據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程y＝0.67x＋54.9零件數(shù)x(個)1020304050加工時間y(min)62758189現(xiàn)發(fā)覺表中有一個數(shù)據(jù)模糊看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為________.解析：零件個數(shù)的平均值eq\o(x,\s\up6(－))＝30，設(shè)零件為20個的對應(yīng)加工時間為tmin，加工時間的平均值eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(307＋t,5)，由于回歸直線必經(jīng)過點(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，代入回歸方程y＝0.67x＋54.9，計算得t＝68.答案：684．(2022·廣東梅州質(zhì)檢)在2021年8月15日那天，某市物價部門對本市的5家商場的某商品的一天銷售量及其價格進行調(diào)查，5家商場的售價x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價格x99.5m10.511銷售量y11n865由散點圖可知，銷售量y與價格x之間有較強的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，則其中的n＝________．解析：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(9＋9.5＋m＋10.5＋11,5)＝8＋eq\f(m,5)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(11＋n＋8＋6＋5,5)＝6＋eq\f(n,5)，線性回歸直線確定經(jīng)過樣本中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，即6＋eq\f(n,5)＝－3.2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋\f(m,5)))＋40，即3.2m＋n＝42.又∵m＋n＝20，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3.2m＋n＝42，,m＋n＝20，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝10，,n＝10，))故n＝10.答案：10三、解答題5．一家商場為了確定營銷策略，進行了四次投入促銷費用x和商場實際銷售額的試驗，得到如下數(shù)據(jù)：投入促銷費用x(萬元)2356商場實際營銷額y(萬元)100200300400(1)在下面的直角坐標(biāo)中，畫出上述數(shù)據(jù)的散點圖，并據(jù)此推斷兩個變量是否具有較好的線性相關(guān)性；(2)求出x，y之間的回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)若該商場方案營銷額不低于600萬元，則至少要投入多少萬元的促銷費用？解：(1)散點圖，如圖所示，從圖上可以看出兩個變量具有較好的線性相關(guān)性．(2)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(100＋200＋300＋400,2)＝250，故所求的回歸直線方程為eq