2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章三角函數(shù)同步知識點(diǎn)指導(dǎo)與訓(xùn)練

第五章三角函數(shù)

5.1任意角和弧度制

5.1.1任意角

【素養(yǎng)目標(biāo)】

1.了解任意角的概念，能區(qū)分各類角的概念.（數(shù)學(xué)抽象）

2.掌握象限角的概念，并會用集合表示象限角.（直觀想象）

3.理解終邊相同的角的含義及表示，并能解決有關(guān)問題.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）

4.能夠根據(jù)任意角的概念，結(jié)合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，為以后的學(xué)習(xí)打好基

礎(chǔ).（邏輯推理）

【學(xué)法解讀】

在本節(jié)學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)用運(yùn)動的觀點(diǎn)來理解角的定義，其關(guān)鍵是抓住角的終邊和始邊，在學(xué)習(xí)時(shí)提升

自己的數(shù)學(xué)抽象及直觀想象等素養(yǎng).

必備知識?探新知

基礎(chǔ)知識

知識點(diǎn)1角的概念

角可以看成一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

思考1：定義中當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)時(shí)有幾種旋轉(zhuǎn)方向？

提示：根據(jù)旋轉(zhuǎn)方向，射線在旋轉(zhuǎn)時(shí)，有逆時(shí)針、順時(shí)針和不作任何旋轉(zhuǎn)三種旋轉(zhuǎn)方向.

知識點(diǎn)2角的表示

/

0A

頂點(diǎn)：用0表示；

始邊：用0A表示，用語言可表示為起始位置；

終邊：用0B表示，用語言可表示為終止位置.

思考2：（1）當(dāng)角的始邊和終邊確定后，這個角就被確定了嗎？

⑵你能說出角的三要素嗎？

提示：（1）不是的.雖然始、終邊確定了，但旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大?。ㄐD(zhuǎn)圈數(shù)）并沒有確定，所以角

也就不能確定.

1

⑵角的三要素是頂點(diǎn)、始邊、終邊.

知識點(diǎn)3角的分類

類型定義圖示

一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的

角0^—4

一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的Op---------

負(fù)角

角V

一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個零

零角0A

角

思考3：(1)正角、負(fù)角、零角是根據(jù)什么區(qū)分的？

(2)如果一個角的終邊與其始邊重合，這個角一定是零角嗎？

提示：(1)角的分類是根據(jù)組成角的射線的旋轉(zhuǎn)方向確定的.

(2)不一定.零角的終邊與始邊重合，但終邊與始邊重合的角不一定是零角，如360°,—360。等，角的

大小不是根據(jù)始邊、終邊的位置，而是根據(jù)射線的旋轉(zhuǎn).

知識點(diǎn)4象限角

如果角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個

角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限.

思考4：把一個角放在平面直角坐標(biāo)系中時(shí)，這個角是否一定就是某一個象限的角？

提示：象限角是指當(dāng)角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合時(shí)，終邊在哪個象限，我們就說這個角是第幾象

限角.如果一個角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，我們認(rèn)為這個角不在任何象限內(nèi)，又叫軸線角.

知識點(diǎn)5終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合?。。=I司360。，JUZ｝,即任

一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和.

思考5：反過來，若角a,￡滿足S=｛緲=a+》360。，女￡Z｝時(shí)，角a,￡是否是終邊相同的角？

提示：當(dāng)角a,￡滿足S=4W=a+k360。，攵￡Z｝時(shí)，表示角a與夕相隔整數(shù)個周角，即角Q,“終邊

相同.

基礎(chǔ)自測

1.下列各角：一60。，126。，-63。，0°,99°,其中正角的個數(shù)是(B)

A.1B.2

C.3D.4

［解析］正角有126。，99。共2個.

2

2.將射線。M繞端點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120。所得的角為(A)

A.120°B.-120°

C.60°D.240°

3.（2021?濟(jì)南外國語期中）下列各角中,與一1110。的角終邊相同的角是（D）

A.60°B.-60°

C.30°D.-30°

［解析］一1110。=-3X360。-30。，所以與一30。的角終邊相同.

4.若一30。角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，現(xiàn)將一30。角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)2周，則所得角是

690°.

［解析］因?yàn)槟鏁r(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為正角，所以。=-30。+2乂360。=690。.

5.圖中從OA旋轉(zhuǎn)到08,OBi，時(shí)所成的角度分別是390。、一150°、60：.

（1）

［解析］題圖中(1)中的角是正角，1=390。，題圖中(2)中的角，一個是負(fù)角、一個是正角，^=-150°,

尸60°.

關(guān)鍵能力?攻重難

題型探究

題型一任意角的概念

??例1下列命題正確的是(C)

A.終邊與始邊重合的角是零角

B.終邊和始邊都相同的兩個角一定相等

C.在90OW.V180。范圍內(nèi)的角夕不一定是鈍角

D.小于90。的角是銳角

［分析］角的概念推廣后確定角的關(guān)鍵是抓住角的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量.

［解析］終邊與始邊重合的角還可能是360。，720。，…，故A錯；終邊和始邊都相同的兩個角可能相差

360。的整數(shù)倍，如30。與一330。，故B錯；由于在90。＜尸＜180。范圍內(nèi)的角￡包含90。角，所以不一定是鈍角，

C正確；小于90。的角可以是0。，也可以是負(fù)角，故D錯誤.

3

［歸納提升］關(guān)于角的^念問題的處理

正確解答角的概念問題，關(guān)鍵在于正確理解象限南與銳角、首角、鈍角、平角、周南等的概念，弄清

角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小.另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而

判斷結(jié)論不正確只需舉一個反例即可.

【對點(diǎn)練習(xí)】?(1)(多選題)下列說法，不正確的是(ACD)

A.三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角

B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等

C.鈍角比第三象限角小

D.小于180。的角是鈍角、直角或銳角

(2)經(jīng)過2個小時(shí)，鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是(B)

A.60°,720°B.-60°,-720°

C.-30°,-360°D.-60°,720°

［解析］(1)對A,90。的角既不是第一象限角，也不是第二象限角；B正確：對C中鈍角大于一120。，但

-120)的角是第三象限角，故C錯誤；對DQ。角小于180。，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故D錯

誤.

2

⑵順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，正義360。=60°,2X360°=720°,故鐘表的時(shí)針、分針轉(zhuǎn)過的角度分別為一60。,

-7205.

題型二終邊相同的角

?■例2已知。=一1845。，在與。終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.

(1)最小的正角；

(2)最大的負(fù)角；

(3)—360。?720。之間的角.

［解析］因?yàn)橐?845°=—45°+(—5)乂360°,

即一1845。角與一45。角的終邊相同，

所以與角a終邊相同的角的集合是｛用?=-45。+2360。，

(1)最小的正角為315。.

(2)最大的負(fù)角為一45。.

(3)—360。?720。之間的角分別是一45。，315°,675°.

［歸納提升］⑴一般地，可以將所給的角夕化成拓360。+。的形式(其中(TWa<360。，kf,其中的a

就是所求的角.

(2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采用連續(xù)加360。的

方式；當(dāng)所給角是正角時(shí)，采用連續(xù)減360。的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止.

4

特別提醒：表示終邊相同的角時(shí)，kEZ這一條件不能省略.

【對點(diǎn)練習(xí)】?(2020?濟(jì)南高一檢測)下列各角中，與角30。終邊相同的角是(B)

A.-390°B.一330。

C.330°D.570°

［解析］-330。=-360。+30。，與30°終邊相同.

題型三終邊在給定直線上的角的集合

?■例3寫出終邊落在直線尸x上的角的集合S,并把S中適合不等式一360。0?<720。的元素用寫

出來.

［分析］先在0。?360。內(nèi)找到終邊在y=x上的角；再推廣到任意角；最后找出一360。W火720。內(nèi)的角.

［解析］直線y=x與x軸的夾角是45。，在0。?360。范圍內(nèi)，終邊在直線)，=x上的角有兩個：45。，225。。

因此，終邊在直線y=x上的角的集合：

s={6|/?=45。+歷360。，UW=225°+/：.360o.kJ7\

={朋=45。+24?180。，攵￡Z}U{緲=45°+(2k+l)480°,女￡Z}={緲=45°+〃480°,〃任Z}.

所以S中適合一360。^.<720。的元素是：

45°-2X1800=-315°；45°-1X180。=-135°；

450+0X180°=45°;45。+IX180。=225。；

450+2X180°=405°；45°+3X180°=585°.

注意解題過程的規(guī)范性：

①終邊在直線y=x上注意討論兩種情況.

②這種形式的兩個集合取并集時(shí)合并為一個集合.

［歸納提升］(1)求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是求出與已知角終邊相同的角的一般

形式，再依條件構(gòu)建不等式求出攵的值.

(2)求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類討論的思想，即分和x<0兩種情況討論，最后再進(jìn)

行合并.

【對點(diǎn)練習(xí)】?寫出終邊在直線了=一小.1上的角的集合.

［解析］S={a|a=h360。-60。，L￡Z}U{m=好360。+120。，依"}={四=h360。-60。，^eZ}U

Oooo

{a\a=A：2-360+180°-60°}={a\a=2kv\800-60°,^eZ)U{a|a=(2jt2+l)-180-60)={a|a=wl80-60°,

〃仁Z}.

題型四區(qū)域角的表示

己知，如圖所示.

5

（1）分別寫出終邊落在04,。8位置上的角的集合：

（2）寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合.

［解析］①終邊落在0A位置上的角的集合為{砒2=90。+45。+。360。，4￡2}={。|。=135。+左?360。，k

WZ},終邊落在08位置上的角的集合為汝汝=-30。+k360。，2￡Z}.

②由題干圖可知，陰影部分（包括邊界）的角的集合是由所有介于一30。到135。之間的與之終邊相同的角

組成的集合，故可表示為{。|-30。+。360?！?。W135。+k360。，AeZ}.

［歸納提升］1.表示區(qū)域角的三個步驟

第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.

第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的一360。?360。范圍內(nèi)的角a和人寫出最簡集合

{x\a<x</i］y其中少一“<360。.

第三步：起始、終止邊界對應(yīng)角％少再加上360。的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合.

【對點(diǎn)練習(xí)】?如圖所示的圖形，那么陰影部分（包括邊界）表示的終邊相同的角的集合如何表示？

［解析］在0。?360。范圍內(nèi)、陰影部分（包括邊界）表示的范圍是：15（rWaW225。，則滿足條件的角a為

（妣360。+150。WaWL360。+225°,kGZ\.

題型5象限角的確定

若a是第一象限角，則2a,卷分別是第幾角限角？

［分析］由a是第一象限角可知。360。V冰^360。+90。/￡2）,則2a,5的范圍分別為2/360°v2av2》360°

+18（F伏EZ）,k180。與小180。+45。伏￡Z）.再通過對整數(shù)k分類討論即可得結(jié)果.

［解析］因?yàn)閕t-360o<a<A:-360o+90o（A：GZ）,

所以2k3600v2a〈22?3600+（80°（KZ）.

所以2a是第一、二象限角或終邊落在），軸非負(fù)半軸上的角.

又Q180畤4180。+45。/WZ）,

6

所以當(dāng)k=2〃（〃￡Z）時(shí)，n-360°<2<?-360°+45°.

所以舞第一象限角.

當(dāng)左=2〃+l（〃￡Z）時(shí)，

〃3600+180畤<〃.360°+225°,

所以今是第三象限角.故冬是第一、三象限角.

［歸納提升］已知a角所在象限，判斷〃a,半〃￡Z）所在象限的方法

⑴若已知角a是第幾象限角，判斷余卷等是第幾象限角，主要方法是解不等式并對整數(shù)女進(jìn)行分類討

論.求解題的思維模式應(yīng)是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住內(nèi)在聯(lián)系，確定解題方略.

（2）由a的象限確定2a的象限時(shí)，應(yīng)注意2a可能不再是象限角，對此特殊情況應(yīng)特別指出.如a=135。，

而2a=270°就不再是象限角.

【對點(diǎn)練習(xí)】?若3是第二象限角，那么多和90。一夕都不是（B）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［解析］,：（p是笫二象限角，.?4?360。+90。<夕<卜360。+180。，k^Z,：.k-180°+45°<^<k-180°+90°,k

ez,即號終邊是第一或第三象限角，而一8顯然是第三象限角，，90。一少是第四象限角，故選B.

課堂檢測?固雙基

1.與一457。角終邊相同的角的集合是（C）

A.{。汝=幺360。+457°,2EZ}

B.{a|a=A-360°+97°,kGZ}

C.{a|a=^360°+263°,k^Z}

D.{a|a=jt-360°-263°,k^Z}

［解析］一457。與一97。角終邊相同，又一97。角與263。角終邊相同，又263。角與卜360。+263。角終邊相

同，，應(yīng)選C.

2.一215。是（B）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［解析］由于一215。=-360。+145。,而145。是第二象限角，則一215。也是第二象限角.

7

3.下列各組角中，終邊相同的是（B）

A.390°,690°B.-330°,750°

C.480°,-420°D.3000°,一840°

4.若角a與￡的終邊互為反向延長線，則有（D）

A.。=夕+180。

B.a=^-180°

C.a=-p

D.a=￡+（24+1）」80°,kS

［解析］角a與0的終邊互為反向延長線，則。=夕+180。+0360。=少+（2攵+1）180。，故選D.

5.寫出圖中陰影區(qū)域所表示角a的集合（包括邊界）.

［解析］(1)｛。出360。+30。W。?心3600+90°,&￡Z｝U｛。體360。+210。忘。￡%.360。+270°,2￡Z｝或?qū)懗?/p>

{180°+30。WaWk180。+90。，止Z}.

⑵{詆360。-45。。。3600+45。，Z}.

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

請同學(xué)們認(rèn)真完成練案［39］

4組?素養(yǎng)自測

一、選擇題

1.若手表時(shí)針走過4小時(shí)，則時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為（B）

A.120°B.-120°

C.-60°D.60°

4

［解析］由于時(shí)針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為負(fù)數(shù)，即為一臺乂360。=-120。，故選B.

2.給出下列命題：

①一75。是第四象限角；②225。是第三象限角：③475。是第二象限角；④一315。是第一象限角.

其中正確的命題有（D）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

［解析］①一75。是第四象限角，正確.②225。是第三象限角，正確.③475。=360。+115。是第二象限角,

8

正確.④-315。=-360。+45。，是第一象限角；故選D.

3.若。=/180。+45。，kRZ,則a終邊所在的象限是（A）

A.第一、三象限B.第一、二象限

C.第二、四象限D(zhuǎn).第三、四象限

［解析］由題意知儀=/180。+45。，&EZ.

當(dāng)％=2〃+1,〃￡Z時(shí)，1=2〃?180。+180。+45。=〃?360。+225。，其終邊在第三象限;

當(dāng)2=2〃，時(shí)，a=2n\80°+45°=n-360°+45°,〃￡Z,其終邊在第一象限.

綜上，a終邊所在的象限是第一或第三象限.

4.如圖所示，終邊落在陰影部分的角的集合是（C）

A.{a|-450<a<120°）

B.{a|120°<a<315°}

C.{a|^360o-45°<a<^360°+120°,k^Z］

D.{a|A:-360o+1200<a<A:-360o+315°,kEZ］

［解析］在（一360。,360。）范圍內(nèi)，陰影部分表示為（一45。，120。），故選C.

5.下列敘述正確的是（B）

A.第一或第二象限的角都可作為三角形的內(nèi)角

B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等

C.若。是第一象限角，則2a是第二象限角

D.鈍角比第三象限角小

［解析］一330。角是第一象限角，但不能作為三角形的內(nèi)角，故A錯；若a是第一象限角，則

&-360。<0<&-360。+90。（&EZ）,所以22360。<2a<2k?360。+180。%￡Z）,所以2a是第一象限角或第二象限角或

終邊在y軸非負(fù)半軸上的角，故C錯：一100。角是第三象限角，它比鈍角小，故D錯.

6.已知a為第三象限角，貝臉?biāo)诘南笙奘牵―）

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限

［解析］因?yàn)閍終邊在第三象限，

所以180。+jt-3600<a<270°+0360。（&GZ）,

9

所以90。+大180。與＜135。+0180。伏￡Z),攵為偶數(shù)時(shí)，施第二象限，k為奇數(shù)時(shí)，養(yǎng)第四象限.故選

D.

二、填空題

7.已知角a終邊所在的位置，請你元成下表:

角a終邊所

角a的集合

在的位置

第一象限{ak?360°vav900+拓360°,火WZ}

第二象限

第三象限

第四象限

［解析］如下表:

角a終邊所

角a的集合

在的位置

第一象限{砒?360。<。<90。+2?360。，k^Z]

第二象限{a|90°+k36O0<av1800+k360。,k^Z)

第三象限{a|l80°+A:-3600<?<270°+2?360。，2￡Z}

第四象限{a|270°+k360°<a<360。+2?36D。，心Z}

8.一1485。角是第國象限的角，與其終邊相同的角中最大的負(fù)角是一45。.

［解析］因?yàn)橐?485。=-5乂360。+315。，

而315?！?270。，360°),所以一1485。是第四象限角.

又一360。+315。=一45。，最大的負(fù)角是一45。.

9.終邊在直線丫=早上的角的集合S=!!!函4=3()。+P180。，k￡Z\.

［解析］

在0。?360。范圍內(nèi)，終邊在直線曠=條上的角有兩個：30。、210。(如圖〕,

所以終邊在y=右上的角的集合是

S={^=30°+jt-360°,JtezjU{^=210°4-^360°,k^Z]=30°+2k-180°,2=Z}U{鄧=30°+

10

180°+2^-180°,1WZ}={/?|/?=3O0+2118O。,1￡Z}U{配=30。+(2%+1)480°,%￡2}={緲=30。+/180°,

女￡Z}.

三、解答題

10.已知夕=一1910。.

(1)把a(bǔ)寫成夕+女360?；铩?,0。《尸《360。)的形式，并指出它是第幾象限角；

(2)求仇使0與a的終邊相同，且一720。^^0。.

［解析］(1)設(shè)。=夕+260。(左￡2),

則p=~\910。一&,360°(&￡2).

令一1910。一卜360。20°,解得左W一堵-=一51|.

k的最大整數(shù)解為攵=-6,求出相應(yīng)的￡=250。，

于是。=250。-6乂360。，它是第三象限角.

(2)令e=250°+/r360°(〃￡Z),

取〃=一1,一2就得到符合一720。五長0。的角.

250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.

故。=一110?；?。=一470。.

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.已知角勿的終邊在x軸上方，那么角a的范圍是(C)

A.第一象限角的集合

B.第一或第二象限角的集合

C.第一或第三象限角的集合

D.第一或第四象限角的集合

［解析］由題意得：36(TMv2av36(r/十180\&BZ.

???2180°vct<P1800+90°,kGZ,故選C.

2.集合A={a|a=k900-36。，kWZ),{^|-180°<^<I80°),則AAB等于(C)

A.{-36°,54°}

B.{-126°,144°}

C.{-126°,-36°,54°,144°}

D.{-126°,54°}

［解析］令&分別取一1,0,12對應(yīng)得到a的值為一126。，-36°,54。，144。.故選C.

3.(多選題)下列與412。角的終邊相同的角是(ACD)

A.52°B.778°

11

C.-308°D.1132°

［解析］因?yàn)?12。=360。+52。，所以與412。角的終邊相同的角為￡=k乂360。+52。，當(dāng)k=-\時(shí)，

夕=一308。；當(dāng)k=0時(shí)，￡=52。；當(dāng)k=2時(shí)，4=772。；當(dāng)2=3時(shí)，［$=\132。.綜上，ACD正確.

4.（多選題）下列條件中，能使Q和/7的終邊關(guān)于y軸對稱的是（BD）

A.“+4=90。

B.a+S=180。

C.夕=/360。+90。（％￡2）

D..+片（22+1）4800（/Z）

［解析］假設(shè)扇用為0。?180。內(nèi)的角，如圖所示，因?yàn)椤甑慕K邊關(guān)于），軸對稱，所以0+/?=180。，

所以B滿足條件；結(jié)合終邊相同的角的概念，可得。+尸=2?360。+180。=（22+1>180。/丘2）,所以D滿足

條件，AC都不滿足條件.

二、填空題

5.與一500。角的終邊相同的最小正角是220。,最大負(fù)角是一140。.

［解析］與一500。角的終邊相同的角可表示為。=幺360。-500。（2￡Z）,當(dāng)k=2時(shí)。=220。為最小正角,

當(dāng)k=\時(shí)a=-140。為最大負(fù)角.

6.已知角B的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），那么—!!!㈤〃180°+30°vav〃480。

+150〉，刀￡Z}.

［解析］在0。?360。范圍內(nèi)，終邊落在陰影內(nèi)的角a的取值范圍為30。<0<150。與210。<。<330。，所以所

有滿足題意的角a的集合為{。體360。+30。<。<七360。+150。，U{a|jt-360o+210o<a<A-360o+330°,kW

Z}={a\2h\80°+30°va<2k180°+150°,k￡Z}U{a\(2k+1)180°+3O°va〈(2A+1)-180°+150°,k^Z］=

{a\n\80°+30°<a<nl80°+l50°,/?￡Z}.

三、解答題

7.在集合{a|a=B90°+45。,-WZ}中

(1)有幾種終邊不相同的角？

12

⑵有幾個在區(qū)間(一360。，360。)內(nèi)的角？

(3)寫出其中的第三象限角.

［解析］(1)由2=4〃,4〃+l,4〃+2,4〃+3(〃￡Z),知在給定的角的集合中終邊不相同的角共有四種.

Q7

(2)由-360。<拈90。+45°<360°,得一尹時(shí).

又上￡Z,故左=一4,一3,-2,-1,0,123.所以在給定的角的集合中在區(qū)間(一360。，360。)內(nèi)的角共有

8個.

(3)其中的第三象限角為k360。+225。，kSZ.

8.已知角P的終邊在直線小%—>=0上.

⑴寫出角的集合S；(2)寫出S中適合不等式一360弋.<720。的元素.

［解析］

(1)如圖，直線，lx-y=0過原點(diǎn)，傾斜角為60。，在0。?360。范圍內(nèi)，終邊落在射線OA上的角是60。,

終邊落在射線OB上的角是240。，所以以射線04、。8為終邊的角的集合為：

S={緲=60°+拈360°,MZ},S2=WB=240°+k360°,MZ},

所以，角用的集合S=$US2

={緲=60°+k360。，&WZ}U{AW=60°+180°+&?360。，k^Z］

={鄧=60。+2k180°,左￡Z}U{須=60°+(2k+l>180。，k^Z］

={緲=60。+〃-180。，〃￡Z}.

(2)由于一360°W￡<720。，即一360°W60°+〃480°<720。，〃￡Z,

711

解得一〃￡Z,所以〃=一2、一1、0、1、2、3.

所以S中適合不等式一360。遼/?<720。的元素為：

6Do-2X180o=-300°；

600-IX1800=-120°；

&)。-0義180。=60。；

63°+lX180o=240°；

63o+2X180o=420°；

63O4-3X180°=600°.

13

5.1.2弧度制

【素養(yǎng)目標(biāo)】

1.掌握弧度與角度的互化，熟悉特殊角的弧度數(shù).（數(shù)學(xué)運(yùn)算）

2.掌握弧度制中扇形的弧長和面積公式及公式的簡單應(yīng)用.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）

3.根據(jù)弧度制與角度制的互化以及弧度制條件下扇形的弧長和面積公式，體會引入弧度制的必要性.（邏

輯推理）

【學(xué)法解讀】

本節(jié)在學(xué)習(xí)中把抽象問題直觀化，即借助扇形理解弧度概念，在學(xué)角度與弧度換算時(shí)巧借兀=180。，學(xué)

生可提升自己的數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).

必備知識?探新知

基礎(chǔ)知識

知識點(diǎn)1度量角的兩種制度

⑴角度制.

①定義：用度作為單位來度量角的單位制.

②1度的角：周角的?。?！志為1度角,記作1°.

（2）弧度制

①定義：以弧度為單位來度量角的單位制.

②1弧度的角：長度等于生徑長的圓弧所對的圓心角叫做L速的角.

③表示方法：1弧度記作1rad.

思考1：圓心角a所對應(yīng)的弧長與半徑的比值是否是唯一的確定的？

提示：一定大小的圓心角a的弧度數(shù)是所對弧長與半徑的比值，是唯一確定的，與半徑大小無關(guān).

知識點(diǎn)2弧度數(shù)

一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是Q

如果半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為/,那么角a的弧度數(shù)的絕對值是lal=!!!

思考2：（1）建立弧度制的意義是什么？

（2）對于角度制和弧度制，在具體的應(yīng)用中，兩者可混用嗎？如何書寫才是規(guī)范的？

提示：（1）在瓠度制下，角的集合與實(shí)效R之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系：每一個角都有唯一的一個實(shí)數(shù)（即

這個角的瓠度數(shù)）與它對應(yīng)；反過來，每一個實(shí)數(shù)也都有唯一的一個角（即瓠度數(shù)等于這個實(shí)數(shù)的角）與它對

應(yīng).

（2）角度制與弧度制是兩種不同的度量制度，在表示角時(shí)不能混用，例如。=上360。+小2￡Z）,p=2kn

14

+60。伏WZ)等寫法都是不規(guī)范的，應(yīng)寫為1=%360。+30。(攵0,Q=2E+梟￡Z).

知識點(diǎn)3弧度與角度的換算公式

(1)周角的弧度數(shù)是2兀，而在角度制下的度數(shù)是360。，于是360。=2兀rad,即

....：1°=薪句0.01745rad

180°=wrad|：；：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：...

二?；Irad=(-l^-)0=57.30°

根據(jù)以上關(guān)系式就可以進(jìn)行弧度與角度的換算了.

瓠度與角度的換算公式如下：

若一個角的弧度數(shù)為a,角度數(shù)為〃，則arad=(』警)。，?■嵩rad.

⑵常用特殊角的弧度數(shù)

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

!!!!!!!!!!!!!!!!!!jV!

0E27r

n22n37t57t7t37r

4TTTT

(3)角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起:-一對應(yīng)關(guān)系:每一個角都有唯一

的一個實(shí)教(即這個角的弧度數(shù))與它對應(yīng)：反過來，任一個實(shí)數(shù)也都有唯一的一個魚(即弧度數(shù)等于這個實(shí)

數(shù)的角)與它對應(yīng).

思考3：(1)角度制與弧度制在進(jìn)制上有何區(qū)別？

(2)弧度數(shù)與角度數(shù)之間有何等量關(guān)系？

提示：(1)角度制是六十進(jìn)制，而弧度制是十進(jìn)制的實(shí)數(shù).

(2)瓠度數(shù)=角度數(shù)X焉；

1QA

角度數(shù)=瓠度數(shù)x(」詈).

知識點(diǎn)4弧度制下的弧長公式與扇形面積公式

(1)弧長公式

在半徑為r的圓中，弧長為/的弧所對的圓心角大小為a,則同=%變形可得/=囪￡,此公式稱為弧長

公式，其中a的單位是弧度.

(2)扇形面積公式

由圓心角為1rad的扇形面積晦而弧長為/的扇形的圓心角大小注rad,故其面積為

=/，將/=即代入上式可得S=/=如凡此公式稱為扇形面積公式.

思考4：(1)弧度制下弧長公式及扇形面積公式有哪些常用變形形式？

15

（2）弧度制下的弧長公式及扇形面積公式可以解決哪些問題？體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？

提示：⑴①|(zhì)。|=看：②氏=由

2020

③悶=京；@R=—

（2）由弧度制下的瓠長公式及扇形面枳公式可知，對于a,R,/,S四個量，可“知二求二”.這實(shí)質(zhì)上

是方程思想的應(yīng)用.

基礎(chǔ)自測

1.下列說法中正確的是（D）

A.1弧度是1度的圓心角所對的弧

B.1弧度是長度為半徑長的弧

C.1弧度是1度的弧與1度的角之和

D.1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小，它是角的一種度量單位

［解析］利用弧度的定義及角度的定義判斷.

選項(xiàng)結(jié)論理由

A錯誤

B錯誤長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度是角的一種

C錯誤度量單位，不是長度的度量單位.

D正確

2.一300?；癁榛《仁牵˙）

4兀

A.-TB.

7兀D.-普

C.

3.已知半徑為10cm的圓上，有一條弧的長是40cm,則）該弧所對的圓心角的弧度數(shù)是4.

4.如果。=-2,貝Ijci的終邊所在的象限為（C）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［解析］因?yàn)橐粦粢?v一會所以a的終邊在第三象限.

5.與60。終邊相同的角可表示為（D）

A.左360。+孤WZ)

16

B.2E+60°伏￡Z)

C.203600+60°(2eZ)

Tl

D.2E+?&￡Z)

［解析］60?；癁轲戎频扔跁c含邊相同的角可表示為2E+界￡Z).

關(guān)鍵能力?攻重難

題型探究

題型一角度與弧度的換算及應(yīng)用

??例1將下列角度與弧度進(jìn)行互化：

(1)20°；(2)-800°；(3)患；(4)一會.

［解析］(l)20°=20X^=1；

⑵一800°=一800X焉=一事；

⑶居=縱(祟。=105。；

(4)一去=―氏義(號)°=-144°.

［歸納提升］角度制與弧度制互化的原則和方法

⑴原則：牢記180。=兀驚(1,充分利用和1rad=(3^)。進(jìn)行換算.

(2)方法：設(shè)一個角的弧度數(shù)為a,角度數(shù)〃，?'Jarad=a-(^^)°;〃°=〃,盍?

【對點(diǎn)練習(xí)】?設(shè)w=-570。、a2=750。、仇=尚、色=一生

⑴將外、。2用弧度制表示出來，并指出它們各自所在的象限；

⑵將小、成2用角度制表示出來，并指出它們各自所在象限.

［解析］⑴???18O°=7trad,

§70汽197r

:.-570°一180-6，

rucc750兀25兀.n

8=750=的=可=2義2兀+不.

17

二內(nèi)在第二象限,G2在第一象限.

(2)^i=y=1x180°=108°.

JT

傷=一1=一60。，.?.由在第二象限，少在笫四象限.

題型二用弧度制表示給定區(qū)域角的集合

??例2用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合.

［分析］本題考查區(qū)域角的表示，關(guān)鍵是要確定好區(qū)域的起止邊界.

［解析］(1)225。角的終邊可以看作是一135。角的終邊，化為弧度，即一個，60。角的終邊即號的終邊，所

以終起落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為{a|2E—苧Z<2H+1,kGZ］.

(2)與⑴類似可寫出終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為{a|2E+*a〈2E+冬％￡Z}U

{a|2E+7c+*av2E+7c+5,攵￡Z}={a|wc+*a<〃兀+］,〃￡Z}.

［歸納提升］解答本題時(shí)常犯以下三種錯誤.

(1)弧度與角度混用.

(2)終邊在同一條直線上的角未合并.

(3)將圖①中所求的角的集合錯誤地寫成{a4|/+2E〈aq7T+2E,kGZ\,這是一個空集.對于區(qū)域角的

書寫，一定要看其區(qū)間是否跨越x軸的正半軸，若區(qū)間冷越x軸的正半軸，則在“前面”的角用負(fù)角表示，

“后面”的角用正角表示；若區(qū)間不跨越x軸的正半軸，則無須這樣寫.

【對點(diǎn)練習(xí)】?用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在陰影部分的角的集

合(不包括邊界)，如圖所示.

［解析］(1)330。和60。的終邊分別對應(yīng)一熱多所表示的區(qū)域位于一號生之間且跨越x軸的正半軸，所

18

以終辿落在陰影部分的角的集合為{42E—/學(xué)<2E+$k￡Z}.

(2)210。和135。的終邊分別對應(yīng)一*P尊所表示的區(qū)域位于一普與子之間且跨越x軸的正半軸，所以

終邊落在陰影部分的角的集合為W2E—景詠2E+%kGZ).

(3)30。=去210。=普，所表示的區(qū)域由兩部分組成，即終邊落在陰影部分的角的集合為{眼

+/A￡Z}U{a2E+7C“<2ht+卷，k￡Z}={O|2EvO<2E+2，2￡Z}U{秋2攵+1)廬0<(22+1)兀+5，k￡Z)

={〃|“冗〈0〈〃兀+5，〃￡Z}.

題型三弧長公式和扇形面積公式的應(yīng)用

(2020?東北師大附中單元測試)已知扇形的周長是8cm,面積為3cn?,那么這個扇形的圓

心角的弧度數(shù)(圓心角為正)為!??！緘6.

［解析］設(shè)這個扇形的半徑為r,孤長為/,圓心角的弧度數(shù)為出由題意轡

2r+/=8,

r=3,

%=3,解得

1=2

Ya是扇形的圓心角的弧度數(shù)，，0va<2兀

/2

當(dāng)，=3,/=2時(shí)，a=~=y符合題意；

當(dāng)，=1,/=6時(shí)，。=:=?=6,符合題意.

綜上所述，這個扇形的圓心角的弧度數(shù)為彳或6.

［歸納提升］1.運(yùn)用扇彩弧長及面積公式時(shí)應(yīng)注意的問題.

(1)由扇形的弧長及面積公式可知，對于a,r,/,S中“知二求二”的問題，其實(shí)質(zhì)上是方程思想的運(yùn)

用.

(2)運(yùn)用弧度制下扇形的弧長公式與面積公式比用角度制下的公式要簡單得多.若角是以“度”為單位

的，則必須先將其化成弧度，再計(jì)算.

(3)在運(yùn)用公式時(shí)，還應(yīng)熟練掌握下面幾個公式.

①/=w,a=:,/?=：

0122s

②5=］a廠，</=產(chǎn)

2.解決扇形的周長或面積的最值問題的關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)思想，把要求的最值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值

問題即可.

19

【對點(diǎn)練習(xí)】?（1）一個扇形的面積為15幾，弧長為5兀，則這個扇形的圓心角為（D）

四乙

&A6BR.3

DY

⑵（2021?廈門期末）若