2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第五章三角函數(shù)同步知識(shí)點(diǎn)指導(dǎo)與訓(xùn)練

第五章三角函數(shù)

5.1任意角和弧度制

5.1.1任意角

【素養(yǎng)目標(biāo)】

1.了解任意角的概念，能區(qū)分各類角的概念.（數(shù)學(xué)抽象）

2.掌握象限角的概念，并會(huì)用集合表示象限角.（直觀想象）

3.理解終邊相同的角的含義及表示，并能解決有關(guān)問題.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）

4.能夠根據(jù)任意角的概念，結(jié)合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，為以后的學(xué)習(xí)打好基

礎(chǔ).（邏輯推理）

【學(xué)法解讀】

在本節(jié)學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來理解角的定義，其關(guān)鍵是抓住角的終邊和始邊，在學(xué)習(xí)時(shí)提升

自己的數(shù)學(xué)抽象及直觀想象等素養(yǎng).

必備知識(shí)?探新知

基礎(chǔ)知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)1角的概念

角可以看成一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.

思考1：定義中當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)時(shí)有幾種旋轉(zhuǎn)方向？

提示：根據(jù)旋轉(zhuǎn)方向，射線在旋轉(zhuǎn)時(shí)，有逆時(shí)針、順時(shí)針和不作任何旋轉(zhuǎn)三種旋轉(zhuǎn)方向.

知識(shí)點(diǎn)2角的表示

/

0A

頂點(diǎn)：用0表示；

始邊：用0A表示，用語言可表示為起始位置；

終邊：用0B表示，用語言可表示為終止位置.

思考2：（1）當(dāng)角的始邊和終邊確定后，這個(gè)角就被確定了嗎？

⑵你能說出角的三要素嗎？

提示：（1）不是的.雖然始、終邊確定了，但旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大?。ㄐD(zhuǎn)圈數(shù)）并沒有確定，所以角

也就不能確定.

1

⑵角的三要素是頂點(diǎn)、始邊、終邊.

知識(shí)點(diǎn)3角的分類

類型定義圖示

一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的

角0^—4

一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的Op---------

負(fù)角

角V

一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個(gè)零

零角0A

角

思考3：(1)正角、負(fù)角、零角是根據(jù)什么區(qū)分的？

(2)如果一個(gè)角的終邊與其始邊重合，這個(gè)角一定是零角嗎？

提示：(1)角的分類是根據(jù)組成角的射線的旋轉(zhuǎn)方向確定的.

(2)不一定.零角的終邊與始邊重合，但終邊與始邊重合的角不一定是零角，如360°,—360。等，角的

大小不是根據(jù)始邊、終邊的位置，而是根據(jù)射線的旋轉(zhuǎn).

知識(shí)點(diǎn)4象限角

如果角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)

角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

思考4：把一個(gè)角放在平面直角坐標(biāo)系中時(shí)，這個(gè)角是否一定就是某一個(gè)象限的角？

提示：象限角是指當(dāng)角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合時(shí)，終邊在哪個(gè)象限，我們就說這個(gè)角是第幾象

限角.如果一個(gè)角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，我們認(rèn)為這個(gè)角不在任何象限內(nèi)，又叫軸線角.

知識(shí)點(diǎn)5終邊相同的角

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合?。?！S=I司360。，JUZ｝,即任

一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和.

思考5：反過來，若角a,￡滿足S=｛緲=a+》360。，女￡Z｝時(shí)，角a,￡是否是終邊相同的角？

提示：當(dāng)角a,￡滿足S=4W=a+k360。，攵￡Z｝時(shí)，表示角a與夕相隔整數(shù)個(gè)周角，即角Q,“終邊

相同.

基礎(chǔ)自測(cè)

1.下列各角：一60。，126。，-63。，0°,99°,其中正角的個(gè)數(shù)是(B)

A.1B.2

C.3D.4

［解析］正角有126。，99。共2個(gè).

2

2.將射線。M繞端點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120。所得的角為(A)

A.120°B.-120°

C.60°D.240°

3.（2021?濟(jì)南外國語期中）下列各角中,與一1110。的角終邊相同的角是（D）

A.60°B.-60°

C.30°D.-30°

［解析］一1110。=-3X360。-30。，所以與一30。的角終邊相同.

4.若一30。角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，現(xiàn)將一30。角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)2周，則所得角是

690°.

［解析］因?yàn)槟鏁r(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為正角，所以。=-30。+2乂360。=690。.

5.圖中從OA旋轉(zhuǎn)到08,OBi，時(shí)所成的角度分別是390。、一150°、60：.

（1）

［解析］題圖中(1)中的角是正角，1=390。，題圖中(2)中的角，一個(gè)是負(fù)角、一個(gè)是正角，^=-150°,

尸60°.

關(guān)鍵能力?攻重難

題型探究

題型一任意角的概念

??例1下列命題正確的是(C)

A.終邊與始邊重合的角是零角

B.終邊和始邊都相同的兩個(gè)角一定相等

C.在90OW.V180。范圍內(nèi)的角夕不一定是鈍角

D.小于90。的角是銳角

［分析］角的概念推廣后確定角的關(guān)鍵是抓住角的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量.

［解析］終邊與始邊重合的角還可能是360。，720。，…，故A錯(cuò)；終邊和始邊都相同的兩個(gè)角可能相差

360。的整數(shù)倍，如30。與一330。，故B錯(cuò)；由于在90。＜尸＜180。范圍內(nèi)的角￡包含90。角，所以不一定是鈍角，

C正確；小于90。的角可以是0。，也可以是負(fù)角，故D錯(cuò)誤.

3

［歸納提升］關(guān)于角的^念問題的處理

正確解答角的概念問題，關(guān)鍵在于正確理解象限南與銳角、首角、鈍角、平角、周南等的概念，弄清

角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小.另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而

判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)(多選題)下列說法，不正確的是(ACD)

A.三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角

B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等

C.鈍角比第三象限角小

D.小于180。的角是鈍角、直角或銳角

(2)經(jīng)過2個(gè)小時(shí)，鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是(B)

A.60°,720°B.-60°,-720°

C.-30°,-360°D.-60°,720°

［解析］(1)對(duì)A,90。的角既不是第一象限角，也不是第二象限角；B正確：對(duì)C中鈍角大于一120。，但

-120)的角是第三象限角，故C錯(cuò)誤；對(duì)DQ。角小于180。，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故D錯(cuò)

誤.

2

⑵順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，正義360。=60°,2X360°=720°,故鐘表的時(shí)針、分針轉(zhuǎn)過的角度分別為一60。,

-7205.

題型二終邊相同的角

?■例2已知。=一1845。，在與。終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.

(1)最小的正角；

(2)最大的負(fù)角；

(3)—360。?720。之間的角.

［解析］因?yàn)橐?845°=—45°+(—5)乂360°,

即一1845。角與一45。角的終邊相同，

所以與角a終邊相同的角的集合是｛用?=-45。+2360。，

(1)最小的正角為315。.

(2)最大的負(fù)角為一45。.

(3)—360。?720。之間的角分別是一45。，315°,675°.

［歸納提升］⑴一般地，可以將所給的角夕化成拓360。+。的形式(其中(TWa<360。，kf,其中的a

就是所求的角.

(2)如果所給的角的絕對(duì)值不是很大，可以通過如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采用連續(xù)加360。的

方式；當(dāng)所給角是正角時(shí)，采用連續(xù)減360。的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止.

4

特別提醒：表示終邊相同的角時(shí)，kEZ這一條件不能省略.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(2020?濟(jì)南高一檢測(cè))下列各角中，與角30。終邊相同的角是(B)

A.-390°B.一330。

C.330°D.570°

［解析］-330。=-360。+30。，與30°終邊相同.

題型三終邊在給定直線上的角的集合

?■例3寫出終邊落在直線尸x上的角的集合S,并把S中適合不等式一360。0?<720。的元素用寫

出來.

［分析］先在0。?360。內(nèi)找到終邊在y=x上的角；再推廣到任意角；最后找出一360。W火720。內(nèi)的角.

［解析］直線y=x與x軸的夾角是45。，在0。?360。范圍內(nèi)，終邊在直線)，=x上的角有兩個(gè)：45。，225。。

因此，終邊在直線y=x上的角的集合：

s={6|/?=45。+歷360。，UW=225°+/：.360o.kJ7\

={朋=45。+24?180。，攵￡Z}U{緲=45°+(2k+l)480°,女￡Z}={緲=45°+〃480°,〃任Z}.

所以S中適合一360。^.<720。的元素是：

45°-2X1800=-315°；45°-1X180。=-135°；

450+0X180°=45°;45。+IX180。=225。；

450+2X180°=405°；45°+3X180°=585°.

注意解題過程的規(guī)范性：

①終邊在直線y=x上注意討論兩種情況.

②這種形式的兩個(gè)集合取并集時(shí)合并為一個(gè)集合.

［歸納提升］(1)求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是求出與已知角終邊相同的角的一般

形式，再依條件構(gòu)建不等式求出攵的值.

(2)求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類討論的思想，即分和x<0兩種情況討論，最后再進(jìn)

行合并.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?寫出終邊在直線了=一小.1上的角的集合.

［解析］S={a|a=h360。-60。，L￡Z}U{m=好360。+120。，依"}={四=h360。-60。，^eZ}U

Oooo

{a\a=A：2-360+180°-60°}={a\a=2kv\800-60°,^eZ)U{a|a=(2jt2+l)-180-60)={a|a=wl80-60°,

〃仁Z}.

題型四區(qū)域角的表示

己知，如圖所示.

5

（1）分別寫出終邊落在04,。8位置上的角的集合：

（2）寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合.

［解析］①終邊落在0A位置上的角的集合為{砒2=90。+45。+。360。，4￡2}={。|。=135。+左?360。，k

WZ},終邊落在08位置上的角的集合為汝汝=-30。+k360。，2￡Z}.

②由題干圖可知，陰影部分（包括邊界）的角的集合是由所有介于一30。到135。之間的與之終邊相同的角

組成的集合，故可表示為{。|-30。+。360?！丁135。+k360。，AeZ}.

［歸納提升］1.表示區(qū)域角的三個(gè)步驟

第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.

第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的一360。?360。范圍內(nèi)的角a和人寫出最簡(jiǎn)集合

{x\a<x</i］y其中少一“<360。.

第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角％少再加上360。的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?如圖所示的圖形，那么陰影部分（包括邊界）表示的終邊相同的角的集合如何表示？

［解析］在0。?360。范圍內(nèi)、陰影部分（包括邊界）表示的范圍是：15（rWaW225。，則滿足條件的角a為

（妣360。+150。WaWL360。+225°,kGZ\.

題型5象限角的確定

若a是第一象限角，則2a,卷分別是第幾角限角？

［分析］由a是第一象限角可知。360。V冰^360。+90。/￡2）,則2a,5的范圍分別為2/360°v2av2》360°

+18（F伏EZ）,k180。與小180。+45。伏￡Z）.再通過對(duì)整數(shù)k分類討論即可得結(jié)果.

［解析］因?yàn)閕t-360o<a<A:-360o+90o（A：GZ）,

所以2k3600v2a〈22?3600+（80°（KZ）.

所以2a是第一、二象限角或終邊落在），軸非負(fù)半軸上的角.

又Q180畤4180。+45。/WZ）,

6

所以當(dāng)k=2〃（〃￡Z）時(shí)，n-360°<2<?-360°+45°.

所以舞第一象限角.

當(dāng)左=2〃+l（〃￡Z）時(shí)，

〃3600+180畤<〃.360°+225°,

所以今是第三象限角.故冬是第一、三象限角.

［歸納提升］已知a角所在象限，判斷〃a,半〃￡Z）所在象限的方法

⑴若已知角a是第幾象限角，判斷余卷等是第幾象限角，主要方法是解不等式并對(duì)整數(shù)女進(jìn)行分類討

論.求解題的思維模式應(yīng)是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住內(nèi)在聯(lián)系，確定解題方略.

（2）由a的象限確定2a的象限時(shí)，應(yīng)注意2a可能不再是象限角，對(duì)此特殊情況應(yīng)特別指出.如a=135。，

而2a=270°就不再是象限角.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?若3是第二象限角，那么多和90。一夕都不是（B）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［解析］,：（p是笫二象限角，.?4?360。+90。<夕<卜360。+180。，k^Z,：.k-180°+45°<^<k-180°+90°,k

ez,即號(hào)終邊是第一或第三象限角，而一8顯然是第三象限角，，90。一少是第四象限角，故選B.

課堂檢測(cè)?固雙基

1.與一457。角終邊相同的角的集合是（C）

A.{。汝=幺360。+457°,2EZ}

B.{a|a=A-360°+97°,kGZ}

C.{a|a=^360°+263°,k^Z}

D.{a|a=jt-360°-263°,k^Z}

［解析］一457。與一97。角終邊相同，又一97。角與263。角終邊相同，又263。角與卜360。+263。角終邊相

同，，應(yīng)選C.

2.一215。是（B）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［解析］由于一215。=-360。+145。,而145。是第二象限角，則一215。也是第二象限角.

7

3.下列各組角中，終邊相同的是（B）

A.390°,690°B.-330°,750°

C.480°,-420°D.3000°,一840°

4.若角a與￡的終邊互為反向延長線，則有（D）

A.。=夕+180。

B.a=^-180°

C.a=-p

D.a=￡+（24+1）」80°,kS

［解析］角a與0的終邊互為反向延長線，則。=夕+180。+0360。=少+（2攵+1）180。，故選D.

5.寫出圖中陰影區(qū)域所表示角a的集合（包括邊界）.

［解析］(1)｛。出360。+30。W。?心3600+90°,&￡Z｝U｛。體360。+210。忘?！?.360。+270°,2￡Z｝或?qū)懗?/p>

{180°+30。WaWk180。+90。，止Z}.

⑵{詆360。-45。。。3600+45。，Z}.

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真完成練案［39］

4組?素養(yǎng)自測(cè)

一、選擇題

1.若手表時(shí)針走過4小時(shí)，則時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為（B）

A.120°B.-120°

C.-60°D.60°

4

［解析］由于時(shí)針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為負(fù)數(shù)，即為一臺(tái)乂360。=-120。，故選B.

2.給出下列命題：

①一75。是第四象限角；②225。是第三象限角：③475。是第二象限角；④一315。是第一象限角.

其中正確的命題有（D）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

［解析］①一75。是第四象限角，正確.②225。是第三象限角，正確.③475。=360。+115。是第二象限角,

8

正確.④-315。=-360。+45。，是第一象限角；故選D.

3.若。=/180。+45。，kRZ,則a終邊所在的象限是（A）

A.第一、三象限B.第一、二象限

C.第二、四象限D(zhuǎn).第三、四象限

［解析］由題意知儀=/180。+45。，&EZ.

當(dāng)％=2〃+1,〃￡Z時(shí)，1=2〃?180。+180。+45。=〃?360。+225。，其終邊在第三象限;

當(dāng)2=2〃，時(shí)，a=2n\80°+45°=n-360°+45°,〃￡Z,其終邊在第一象限.

綜上，a終邊所在的象限是第一或第三象限.

4.如圖所示，終邊落在陰影部分的角的集合是（C）

A.{a|-450<a<120°）

B.{a|120°<a<315°}

C.{a|^360o-45°<a<^360°+120°,k^Z］

D.{a|A:-360o+1200<a<A:-360o+315°,kEZ］

［解析］在（一360。,360。）范圍內(nèi)，陰影部分表示為（一45。，120。），故選C.

5.下列敘述正確的是（B）

A.第一或第二象限的角都可作為三角形的內(nèi)角

B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等

C.若。是第一象限角，則2a是第二象限角

D.鈍角比第三象限角小

［解析］一330。角是第一象限角，但不能作為三角形的內(nèi)角，故A錯(cuò)；若a是第一象限角，則

&-360。<0<&-360。+90。（&EZ）,所以22360。<2a<2k?360。+180。%￡Z）,所以2a是第一象限角或第二象限角或

終邊在y軸非負(fù)半軸上的角，故C錯(cuò)：一100。角是第三象限角，它比鈍角小，故D錯(cuò).

6.已知a為第三象限角，貝臉?biāo)诘南笙奘牵―）

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限

［解析］因?yàn)閍終邊在第三象限，

所以180。+jt-3600<a<270°+0360。（&GZ）,

9

所以90。+大180。與＜135。+0180。伏￡Z),攵為偶數(shù)時(shí)，施第二象限，k為奇數(shù)時(shí)，養(yǎng)第四象限.故選

D.

二、填空題

7.已知角a終邊所在的位置，請(qǐng)你元成下表:

角a終邊所

角a的集合

在的位置

第一象限{ak?360°vav900+拓360°,火WZ}

第二象限

第三象限

第四象限

［解析］如下表:

角a終邊所

角a的集合

在的位置

第一象限{砒?360。<。<90。+2?360。，k^Z]

第二象限{a|90°+k36O0<av1800+k360。,k^Z)

第三象限{a|l80°+A:-3600<?<270°+2?360。，2￡Z}

第四象限{a|270°+k360°<a<360。+2?36D。，心Z}

8.一1485。角是第國象限的角，與其終邊相同的角中最大的負(fù)角是一45。.

［解析］因?yàn)橐?485。=-5乂360。+315。，

而315。￡(270。，360°),所以一1485。是第四象限角.

又一360。+315。=一45。，最大的負(fù)角是一45。.

9.終邊在直線丫=早上的角的集合S=!!!函4=3()。+P180。，k￡Z\.

［解析］

在0。?360。范圍內(nèi)，終邊在直線曠=條上的角有兩個(gè)：30。、210。(如圖〕,

所以終邊在y=右上的角的集合是

S={^=30°+jt-360°,JtezjU{^=210°4-^360°,k^Z]=30°+2k-180°,2=Z}U{鄧=30°+

10

180°+2^-180°,1WZ}={/?|/?=3O0+2118O。,1￡Z}U{配=30。+(2%+1)480°,%￡2}={緲=30。+/180°,

女￡Z}.

三、解答題

10.已知夕=一1910。.

(1)把a(bǔ)寫成夕+女360。伙￡2,0。《尸《360。)的形式，并指出它是第幾象限角；

(2)求仇使0與a的終邊相同，且一720。^^0。.

［解析］(1)設(shè)。=夕+260。(左￡2),

則p=~\910。一&,360°(&￡2).

令一1910。一卜360。20°,解得左W一堵-=一51|.

k的最大整數(shù)解為攵=-6,求出相應(yīng)的￡=250。，

于是。=250。-6乂360。，它是第三象限角.

(2)令e=250°+/r360°(〃￡Z),

取〃=一1,一2就得到符合一720。五長0。的角.

250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.

故。=一110?；颉?一470。.

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.已知角勿的終邊在x軸上方，那么角a的范圍是(C)

A.第一象限角的集合

B.第一或第二象限角的集合

C.第一或第三象限角的集合

D.第一或第四象限角的集合

［解析］由題意得：36(TMv2av36(r/十180\&BZ.

???2180°vct<P1800+90°,kGZ,故選C.

2.集合A={a|a=k900-36。，kWZ),{^|-180°<^<I80°),則AAB等于(C)

A.{-36°,54°}

B.{-126°,144°}

C.{-126°,-36°,54°,144°}

D.{-126°,54°}

［解析］令&分別取一1,0,12對(duì)應(yīng)得到a的值為一126。，-36°,54。，144。.故選C.

3.(多選題)下列與412。角的終邊相同的角是(ACD)

A.52°B.778°

11

C.-308°D.1132°

［解析］因?yàn)?12。=360。+52。，所以與412。角的終邊相同的角為￡=k乂360。+52。，當(dāng)k=-\時(shí)，

夕=一308。；當(dāng)k=0時(shí)，￡=52。；當(dāng)k=2時(shí)，4=772。；當(dāng)2=3時(shí)，［$=\132。.綜上，ACD正確.

4.（多選題）下列條件中，能使Q和/7的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱的是（BD）

A.“+4=90。

B.a+S=180。

C.夕=/360。+90。（％￡2）

D..+片（22+1）4800（/Z）

［解析］假設(shè)扇用為0。?180。內(nèi)的角，如圖所示，因?yàn)椤甑慕K邊關(guān)于），軸對(duì)稱，所以0+/?=180。，

所以B滿足條件；結(jié)合終邊相同的角的概念，可得。+尸=2?360。+180。=（22+1>180。/丘2）,所以D滿足

條件，AC都不滿足條件.

二、填空題

5.與一500。角的終邊相同的最小正角是220。,最大負(fù)角是一140。.

［解析］與一500。角的終邊相同的角可表示為。=幺360。-500。（2￡Z）,當(dāng)k=2時(shí)。=220。為最小正角,

當(dāng)k=\時(shí)a=-140。為最大負(fù)角.

6.已知角B的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），那么—!!!㈤〃180°+30°vav〃480。

+150〉，刀￡Z}.

［解析］在0。?360。范圍內(nèi)，終邊落在陰影內(nèi)的角a的取值范圍為30。<0<150。與210。<。<330。，所以所

有滿足題意的角a的集合為{。體360。+30。<。<七360。+150。，U{a|jt-360o+210o<a<A-360o+330°,kW

Z}={a\2h\80°+30°va<2k180°+150°,k￡Z}U{a\(2k+1)180°+3O°va〈(2A+1)-180°+150°,k^Z］=

{a\n\80°+30°<a<nl80°+l50°,/?￡Z}.

三、解答題

7.在集合{a|a=B90°+45。,-WZ}中

(1)有幾種終邊不相同的角？

12

⑵有幾個(gè)在區(qū)間(一360。，360。)內(nèi)的角？

(3)寫出其中的第三象限角.

［解析］(1)由2=4〃,4〃+l,4〃+2,4〃+3(〃￡Z),知在給定的角的集合中終邊不相同的角共有四種.

Q7

(2)由-360。<拈90。+45°<360°,得一尹時(shí).

又上￡Z,故左=一4,一3,-2,-1,0,123.所以在給定的角的集合中在區(qū)間(一360。，360。)內(nèi)的角共有

8個(gè).

(3)其中的第三象限角為k360。+225。，kSZ.

8.已知角P的終邊在直線小%—>=0上.

⑴寫出角的集合S；(2)寫出S中適合不等式一360弋.<720。的元素.

［解析］

(1)如圖，直線，lx-y=0過原點(diǎn)，傾斜角為60。，在0。?360。范圍內(nèi)，終邊落在射線OA上的角是60。,

終邊落在射線OB上的角是240。，所以以射線04、。8為終邊的角的集合為：

S={緲=60°+拈360°,MZ},S2=WB=240°+k360°,MZ},

所以，角用的集合S=$US2

={緲=60°+k360。，&WZ}U{AW=60°+180°+&?360。，k^Z］

={鄧=60。+2k180°,左￡Z}U{須=60°+(2k+l>180。，k^Z］

={緲=60。+〃-180。，〃￡Z}.

(2)由于一360°W￡<720。，即一360°W60°+〃480°<720。，〃￡Z,

711

解得一〃￡Z,所以〃=一2、一1、0、1、2、3.

所以S中適合不等式一360。遼/?<720。的元素為：

6Do-2X180o=-300°；

600-IX1800=-120°；

&)。-0義180。=60。；

63°+lX180o=240°；

63o+2X180o=420°；

63O4-3X180°=600°.

13

5.1.2弧度制

【素養(yǎng)目標(biāo)】

1.掌握弧度與角度的互化，熟悉特殊角的弧度數(shù).（數(shù)學(xué)運(yùn)算）

2.掌握弧度制中扇形的弧長和面積公式及公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）

3.根據(jù)弧度制與角度制的互化以及弧度制條件下扇形的弧長和面積公式，體會(huì)引入弧度制的必要性.（邏

輯推理）

【學(xué)法解讀】

本節(jié)在學(xué)習(xí)中把抽象問題直觀化，即借助扇形理解弧度概念，在學(xué)角度與弧度換算時(shí)巧借兀=180。，學(xué)

生可提升自己的數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).

必備知識(shí)?探新知

基礎(chǔ)知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)1度量角的兩種制度

⑴角度制.

①定義：用度作為單位來度量角的單位制.

②1度的角：周角的！?。≈緸?度角,記作1°.

（2）弧度制

①定義：以弧度為單位來度量角的單位制.

②1弧度的角：長度等于生徑長的圓弧所對(duì)的圓心角叫做L速的角.

③表示方法：1弧度記作1rad.

思考1：圓心角a所對(duì)應(yīng)的弧長與半徑的比值是否是唯一的確定的？

提示：一定大小的圓心角a的弧度數(shù)是所對(duì)弧長與半徑的比值，是唯一確定的，與半徑大小無關(guān).

知識(shí)點(diǎn)2弧度數(shù)

一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是Q

如果半徑為r的圓的圓心角a所對(duì)弧的長為/,那么角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值是lal=!!!

思考2：（1）建立弧度制的意義是什么？

（2）對(duì)于角度制和弧度制，在具體的應(yīng)用中，兩者可混用嗎？如何書寫才是規(guī)范的？

提示：（1）在瓠度制下，角的集合與實(shí)效R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)（即

這個(gè)角的瓠度數(shù)）與它對(duì)應(yīng)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角（即瓠度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角）與它對(duì)

應(yīng).

（2）角度制與弧度制是兩種不同的度量制度，在表示角時(shí)不能混用，例如。=上360。+小2￡Z）,p=2kn

14

+60。伏WZ)等寫法都是不規(guī)范的，應(yīng)寫為1=%360。+30。(攵0,Q=2E+梟￡Z).

知識(shí)點(diǎn)3弧度與角度的換算公式

(1)周角的弧度數(shù)是2兀，而在角度制下的度數(shù)是360。，于是360。=2兀rad,即

....：1°=薪句0.01745rad

180°=wrad|：；：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：...

二?；Irad=(-l^-)0=57.30°

根據(jù)以上關(guān)系式就可以進(jìn)行弧度與角度的換算了.

瓠度與角度的換算公式如下：

若一個(gè)角的弧度數(shù)為a,角度數(shù)為〃，則arad=(』警)。，?■嵩rad.

⑵常用特殊角的弧度數(shù)

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

!!!!!!!!!!!!!!!!!!jV!

0E27r

n22n37t57t7t37r

4TTTT

(3)角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起:-一對(duì)應(yīng)關(guān)系:每一個(gè)角都有唯一

的一個(gè)實(shí)教(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng)：反過來，任一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)魚(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)

數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng).

思考3：(1)角度制與弧度制在進(jìn)制上有何區(qū)別？

(2)弧度數(shù)與角度數(shù)之間有何等量關(guān)系？

提示：(1)角度制是六十進(jìn)制，而弧度制是十進(jìn)制的實(shí)數(shù).

(2)瓠度數(shù)=角度數(shù)X焉；

1QA

角度數(shù)=瓠度數(shù)x(」詈).

知識(shí)點(diǎn)4弧度制下的弧長公式與扇形面積公式

(1)弧長公式

在半徑為r的圓中，弧長為/的弧所對(duì)的圓心角大小為a,則同=%變形可得/=囪￡,此公式稱為弧長

公式，其中a的單位是弧度.

(2)扇形面積公式

由圓心角為1rad的扇形面積晦而弧長為/的扇形的圓心角大小注rad,故其面積為

=/，將/=即代入上式可得S=/=如凡此公式稱為扇形面積公式.

思考4：(1)弧度制下弧長公式及扇形面積公式有哪些常用變形形式？

15

（2）弧度制下的弧長公式及扇形面積公式可以解決哪些問題？體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？

提示：⑴①|(zhì)。|=看：②氏=由

2020

③悶=京；@R=—

（2）由弧度制下的瓠長公式及扇形面枳公式可知，對(duì)于a,R,/,S四個(gè)量，可“知二求二”.這實(shí)質(zhì)上

是方程思想的應(yīng)用.

基礎(chǔ)自測(cè)

1.下列說法中正確的是（D）

A.1弧度是1度的圓心角所對(duì)的弧

B.1弧度是長度為半徑長的弧

C.1弧度是1度的弧與1度的角之和

D.1弧度是長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角的大小，它是角的一種度量單位

［解析］利用弧度的定義及角度的定義判斷.

選項(xiàng)結(jié)論理由

A錯(cuò)誤

B錯(cuò)誤長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度是角的一種

C錯(cuò)誤度量單位，不是長度的度量單位.

D正確

2.一300?；癁榛《仁牵˙）

4兀

A.-TB.

7兀D.-普

C.

3.已知半徑為10cm的圓上，有一條弧的長是40cm,則）該弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)是4.

4.如果。=-2,貝Ijci的終邊所在的象限為（C）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［解析］因?yàn)橐粦粢?v一會(huì)所以a的終邊在第三象限.

5.與60。終邊相同的角可表示為（D）

A.左360。+孤WZ)

16

B.2E+60°伏￡Z)

C.203600+60°(2eZ)

Tl

D.2E+?&￡Z)

［解析］60。化為瓠度制等于會(huì)與含邊相同的角可表示為2E+界￡Z).

關(guān)鍵能力?攻重難

題型探究

題型一角度與弧度的換算及應(yīng)用

??例1將下列角度與弧度進(jìn)行互化：

(1)20°；(2)-800°；(3)患；(4)一會(huì).

［解析］(l)20°=20X^=1；

⑵一800°=一800X焉=一事；

⑶居=縱(祟。=105。；

(4)一去=―氏義(號(hào))°=-144°.

［歸納提升］角度制與弧度制互化的原則和方法

⑴原則：牢記180。=兀驚(1,充分利用和1rad=(3^)。進(jìn)行換算.

(2)方法：設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為a,角度數(shù)〃，?'Jarad=a-(^^)°;〃°=〃,盍?

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?設(shè)w=-570。、a2=750。、仇=尚、色=一生

⑴將外、。2用弧度制表示出來，并指出它們各自所在的象限；

⑵將小、成2用角度制表示出來，并指出它們各自所在象限.

［解析］⑴???18O°=7trad,

§70汽197r

:.-570°一180-6，

rucc750兀25兀.n

8=750=的=可=2義2兀+不.

17

二內(nèi)在第二象限,G2在第一象限.

(2)^i=y=1x180°=108°.

JT

傷=一1=一60。，.?.由在第二象限，少在笫四象限.

題型二用弧度制表示給定區(qū)域角的集合

??例2用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合.

［分析］本題考查區(qū)域角的表示，關(guān)鍵是要確定好區(qū)域的起止邊界.

［解析］(1)225。角的終邊可以看作是一135。角的終邊，化為弧度，即一個(gè)，60。角的終邊即號(hào)的終邊，所

以終起落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為{a|2E—苧Z<2H+1,kGZ］.

(2)與⑴類似可寫出終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為{a|2E+*a〈2E+冬％￡Z}U

{a|2E+7c+*av2E+7c+5,攵￡Z}={a|wc+*a<〃兀+］,〃￡Z}.

［歸納提升］解答本題時(shí)常犯以下三種錯(cuò)誤.

(1)弧度與角度混用.

(2)終邊在同一條直線上的角未合并.

(3)將圖①中所求的角的集合錯(cuò)誤地寫成{a4|/+2E〈aq7T+2E,kGZ\,這是一個(gè)空集.對(duì)于區(qū)域角的

書寫，一定要看其區(qū)間是否跨越x軸的正半軸，若區(qū)間冷越x軸的正半軸，則在“前面”的角用負(fù)角表示，

“后面”的角用正角表示；若區(qū)間不跨越x軸的正半軸，則無須這樣寫.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在陰影部分的角的集

合(不包括邊界)，如圖所示.

［解析］(1)330。和60。的終邊分別對(duì)應(yīng)一熱多所表示的區(qū)域位于一號(hào)生之間且跨越x軸的正半軸，所

18

以終辿落在陰影部分的角的集合為{42E—/學(xué)<2E+$k￡Z}.

(2)210。和135。的終邊分別對(duì)應(yīng)一*P尊所表示的區(qū)域位于一普與子之間且跨越x軸的正半軸，所以

終邊落在陰影部分的角的集合為W2E—景詠2E+%kGZ).

(3)30。=去210。=普，所表示的區(qū)域由兩部分組成，即終邊落在陰影部分的角的集合為{眼

+/A￡Z}U{a2E+7C“<2ht+卷，k￡Z}={O|2EvO<2E+2，2￡Z}U{秋2攵+1)廬0<(22+1)兀+5，k￡Z)

={〃|“冗〈0〈〃兀+5，〃￡Z}.

題型三弧長公式和扇形面積公式的應(yīng)用

(2020?東北師大附中單元測(cè)試)已知扇形的周長是8cm,面積為3cn?,那么這個(gè)扇形的圓

心角的弧度數(shù)(圓心角為正)為!??！緘6.

［解析］設(shè)這個(gè)扇形的半徑為r,孤長為/,圓心角的弧度數(shù)為出由題意轡

2r+/=8,

r=3,

%=3,解得

1=2

Ya是扇形的圓心角的弧度數(shù)，，0va<2兀

/2

當(dāng)，=3,/=2時(shí)，a=~=y符合題意；

當(dāng)，=1,/=6時(shí)，。=:=?=6,符合題意.

綜上所述，這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為彳或6.

［歸納提升］1.運(yùn)用扇彩弧長及面積公式時(shí)應(yīng)注意的問題.

(1)由扇形的弧長及面積公式可知，對(duì)于a,r,/,S中“知二求二”的問題，其實(shí)質(zhì)上是方程思想的運(yùn)

用.

(2)運(yùn)用弧度制下扇形的弧長公式與面積公式比用角度制下的公式要簡(jiǎn)單得多.若角是以“度”為單位

的，則必須先將其化成弧度，再計(jì)算.

(3)在運(yùn)用公式時(shí)，還應(yīng)熟練掌握下面幾個(gè)公式.

①/=w,a=:,/?=：

0122s

②5=］a廠，</=產(chǎn)

2.解決扇形的周長或面積的最值問題的關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)思想，把要求的最值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值

問題即可.

19

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?（1）一個(gè)扇形的面積為15幾，弧長為5兀，則這個(gè)扇形的圓心角為（D）

四乙

&A6BR.3

DY

⑵（2021?廈門期末）若