2025高考數(shù)學一輪復習-第3章-第5節(jié) 導數(shù)與函數(shù)的最值【課件】

第三章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用第5節(jié)導數(shù)與函數(shù)的最值1.理解函數(shù)最值與極值的關(guān)系.2.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值.3.了解最值在現(xiàn)實生活中的應用.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：

如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.2.求y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟： (1)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的______； (2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值__________比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.極值f(a)，f(b)1.若函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值點只有一個，則其極值點為函數(shù)的最值點.2.若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)的最值點不是端點，則其最值點亦為其極值點.3.求最值時，應注意極值點和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最值.常用結(jié)論與微點提醒1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)有極值的函數(shù)一定有最值，有最值的函數(shù)不一定有極值.(

)(2)函數(shù)的極大值不一定是最大值，最小值也不一定是極小值.(

)(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上不存在最值.(

)(4)連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上一定存在最值.(

)×√解析(1)反例：有極值的函數(shù)不一定有最值，如圖所示，函數(shù)f(x)有極值，但沒有最值.(3)反例：f(x)＝x2在區(qū)間(－1，2)上的最小值為0.×√－10解析f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，

4解析f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，當x∈[0，2)時，f′(x)＜0；當x∈(2，3]時，f′(x)＞0，所以f(x)在[0，2)上單調(diào)遞減，在(2，3]上單調(diào)遞增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一求已知函數(shù)的最值D若a≤0，則f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；若a>0，則當x>a時，f′(x)<0；當0<x<a時，f′(x)>0，所以f(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a，＋∞)上單調(diào)遞減.感悟提升求函數(shù)f(x)在[a，b]上最值的方法(1)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或遞減，f(a)與f(b)一個為最大值，一個為最小值.(2)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)有極值，要先求出[a，b]上的極值，與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.訓練1(1)函數(shù)f(x)＝ex－x(e為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間[－1，1]上的最大值是______________.e－1(2)已知函數(shù)f(x)＝(x2－2x)ex(x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)).①求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；解f(x)＝(x2－2x)ex，求導得f′(x)＝ex(x2－2)，ex＞0，令f′(x)＝ex(x2－2)＞0，即x2－2＞0，令f′(x)＝ex(x2－2)＜0，即x2－2＜0，②求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，m]上的最大值和最小值.考點二由函數(shù)的最值求參數(shù)由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，當a＝－10時，f(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，f(x)在[1，4]上的最小值為f(4)＝8，符合題意.綜上，a＝－10.感悟提升若所給函數(shù)f(x)含參數(shù)，則需通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值.訓練2(1)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ax存在最大值0，則a＝________.所以當a≥0時，f′(x)＞0恒成立，故f(x)單調(diào)遞增，不存在最大值，[－2，1)解析由于f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1，1)上單調(diào)遞增，故若函數(shù)f(x)在(a，10－a2)上存在最大值，考點三生活中的優(yōu)化問題例3我國是一個人口大國，產(chǎn)糧、儲糧是關(guān)系國計民生的大事.現(xiàn)某儲糧機構(gòu)擬在長100米，寬80米的長方形地面建立兩座完全相同的糧倉(設(shè)計要求：頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑為1∶10，糧倉高為50米，兩座糧倉連體緊靠矩形一邊)，已知稻谷容重為600千克每立方米，糧倉厚度忽略不計，估算兩個糧倉最多能儲存稻谷(π取近似值3)(

) A.105000噸 B.68160噸

C.157000噸 D.146500噸A解析由于糧倉高50米，頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑為1∶10，因為V′＝100π(50x－x2)，當0＜x＜50時，V′(x)＞0，V(x)在(0，50)上單調(diào)遞增，感悟提升解決最優(yōu)化問題，應從以下幾個方面入手：(1)設(shè)出變量，找出函數(shù)關(guān)系式，確定定義域；(2)在實際應用問題中，若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個極值點，則它就是最值點.B微點突破三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.定義定義1：形如f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的函數(shù)，稱為“三次函數(shù)”；定義2：三次函數(shù)的導數(shù)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，把Δ＝4b2－12ac叫做三次函數(shù)導函數(shù)的判別式.2.性質(zhì)(1)單調(diào)性一般地，當b2－3ac≤0時，三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在R上是單調(diào)函數(shù)；當b2－3ac＞0時，三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在R上有三個單調(diào)區(qū)間.(根據(jù)a＞0，a＜0兩種不同情況進行分類討論)(3)三次函數(shù)零點的問題①當Δ＝4b2－12ac≤0時，由不等式f′(x)≥0恒成立，函數(shù)是單調(diào)遞增的(a＞0)，所以三次函數(shù)僅有一個零點.②當Δ＝4b2－12ac＞0時，由方程f′(x)＝0有兩個不同的實根x1，x2，不妨設(shè)x1＜x2，可知，以a＞0為例，x1為函數(shù)的極大值點，x2為函數(shù)的極小值點，且函數(shù)y＝f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減，此時結(jié)合函數(shù)圖象可知：(ⅰ)若f(x1)·f(x2)＞0，即函數(shù)y＝f(x)的極大值和極小值同號，所以函數(shù)有且只有一個零點；(ⅱ)若f(x1)·f(x2)＜0，即函數(shù)y＝f(x)的極大值和極小值異號，函數(shù)圖象與x軸必有三個交點，所以函數(shù)有三個不同零點；(ⅲ)若f(x1)·f(x2)＝0，則f(x1)與f(x2)中有且只有一個值為0，所以函數(shù)有兩個不同零點.一、

三次函數(shù)的零點問題例1已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)，且f(x)在x＝1和x＝3處取得極值.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；解f′(x)＝3ax2＋2bx－3，因為f(x)在x＝1和x＝3處取得極值，(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)＋t，若g(x)＝f(x)＋t有且僅有一個零點，求實數(shù)t的取值范圍.當x＞3或x＜1時，g′(x)＜0，當1＜x＜3時，g′(x)＞0，所以函數(shù)g(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上遞減，在(1，3)上遞增，又x取足夠大的正數(shù)時，g(x)＜0，x取足夠小的負數(shù)時，g(x)＞0，因此，為使曲線y＝g(x)與x軸有一個交點，結(jié)合g(x)的單調(diào)性，因為f(x)在x＝0處取得極值，所以f′(0)＝m＝0.經(jīng)驗證m＝0符合題意.(2)若過(2，t)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求t的取值范圍.則g′(x)＝x2－4＝0，解得x＝±2.當x＜－2或x＞2時，g′(x)＞0，所以g(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上單調(diào)遞增；當－2＜x＜2時，g′(x)＜0，所以g(x)在(－2，2)上單調(diào)遞減.因為有三條切線，所以方程t＝g(x)有三個不同的解，y＝t與y＝g(x)的圖象有三個不同的交點，BC由上述可得f(x)＋f(1－x)＝2，①＋②得，2S＝2＋2＋…＋2＋2＝2×99?S＝99，訓練

(1)設(shè)三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋1的導函數(shù)f′(x)＝3ax(x－1)，且a＞2，則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.3D解析由f′(x)＝3ax(x－1)且a＞2知,當0＜x＜1時，f′(x)＜0，當x＜0或x＞1時,f′(x)＞0，則函數(shù)f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)有三個零點.A解析令f(x)＝x3＋6x2＋13x，則f′(x)＝3x2＋12x＋13，設(shè)h(x)＝f′(x)＝3x2＋12x＋13，令h′(x)＝6x＋12＝0，解得x＝－2，又f(－2)＝(－2)3＋6×(－2)2＋13×(－2)＝－10，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(－2，－10)成中心對稱.所以f(m)＋f(n)＝－20，又f′(x)＝3x2＋12x＋13＝3(x＋2)2＋1＞0，所以函數(shù)f(x)＝x3＋6x2＋13x在R上單調(diào)遞增，所以m＋n＝2×(－2)＝－4.解得a＝0，∴tanα≥－1，令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝1，當x＜0或x＞1時，g′(x)＜0，當0＜x＜1時，g′(x)＞0，所以g(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(0，1)上單調(diào)遞增，所以方程m＝g(x)有三個不同的解，y＝m與y＝g(x)的圖象有三個不同的交點，課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導函數(shù)f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是(

)C解析由題圖可知，當x≤c時，f′(x)≥0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，c]上單調(diào)遞增，又a＜b＜c，所以f(a)＜f(b)＜f(c)，故A不正確；A.f(b)＞f(a)＞f(c)B.函數(shù)f(x)在x＝c處取得最大值，在x＝e處取得最小值C.函數(shù)f(x)在x＝c處取得極大值，在x＝e處取得極小值D.函數(shù)f(x)的最小值為f(d)因為f′(c)＝0，f′(e)＝0，且當x＜c時，f′(x)＞0；當c＜x＜e時，f′(x)＜0；當x＞e時，f′(x)＞0.所以函數(shù)f(x)在x＝c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝e處取得極小值，不一定是最小值，故B不正確，C正確；由題圖可知，當d≤x≤e時，f′(x)≤0，所以函數(shù)f(x)在[d，e]上單調(diào)遞減，從而f(d)＞f(e)，所以D不正確.故選C.A由f′(x)＝x2－4＞0，得x＞2或x＜－2，由f′(x)＝x2－4＜0，得－2＜x＜2，所以f(x)在[0，2)上單調(diào)遞減，在(2，3]上單調(diào)遞增，B解析因為函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，B解析因為函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，因此函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，當x＝1時取最大值，滿足題意.4.(多選)已知函數(shù)f(x)＝x2ex，x∈R.下列結(jié)論正確的是(

)A.函數(shù)f(x)不存在最大值，也不存在最小值B.函數(shù)f(x)存在極大值和極小值C.函數(shù)f(x)有且只有1個零點D.函數(shù)f(x)的極小值就是f(x)的最小值BCD解析f(x)＝x2ex，x∈R，則f′(x)＝x(x＋2)ex，令f′(x)＜0?－2＜x＜0，令f′(x)＞0?x＜－2或x＞0，所以函數(shù)f(x)在(－2，0)上單調(diào)遞減，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(0)＝0，f(x)＝x2ex≥0，如圖，所以f(x)min＝f(0)＝0，函數(shù)在x＝－2處取得極大值，在x＝0處取得極小值，極小值f(0)即為最小值，且函數(shù)有且只有一個零點0.5.某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進一批商品，若該商品零售價定為p(p≥20)元，銷售量為Q件，銷售量Q與零售價p有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2，則這批商品的最大毛利潤(毛利潤＝銷售收入－進貨支出)為(

) A.30000元 B.60000元

C.28000元 D.23000元D解析設(shè)毛利潤為L(p)，由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).此時，L(30)＝23000.因此當20≤p＜30時，L′(p)＞0，當p＞30時，L′(p)＜0，所以L(30)是極大值，根據(jù)實際問題的意義知，L(30)也是最大值，即零售定價為每件30元時，最大毛利潤為23000元.A若a＞0，令f′(x)＝0，即ax－cosx＝0，畫出函數(shù)y＝ax與y＝cosx的圖象，如圖所示，綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是(0，＋∞).C0當x∈[0，1)時，f′(x)＞0；當x∈(1，3]時，f′(x)＜0.所以函數(shù)f(x)在[0，1)上單調(diào)遞增，在(1，3]上單調(diào)遞減.所以f(x)min＝f(0)＝0.解析∵f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax的定義域為(0，2)，∵x∈(0，1]，a＞0，∴f(x)在(0，1]上單調(diào)遞增，80解析設(shè)全程運輸成本為y元，令y′＝0，得v＝80.當v>80時，y′>0；當0<v<80時，y′<0.所以當v＝80時，全程運輸成本最小.11.(2024·湖北名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ex(2x2＋ax－1)，其中a∈R.若f(x)的圖象在點(0，f(0))處的切線方程為2x＋by＋1＝0.求： (1)函數(shù)f(x)的解析式；解依題意，f(0)＝－1，切點(0，－1)在切線2x＋by＋1＝0上，則b＝1，f′(x)＝ex(2x2＋ax－1)＋ex(4x＋a)＝ex[2x2＋(a＋4)x＋a－1]，而f(x)的圖象在點(0，f(0))處的切線斜率為－2，則f′(0)＝a－1＝－2，解得a＝－1，所以f(x)＝ex(2x2－x－1).(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－3，1]上的最值.解由(1)