2024-2025學(xué)年新疆維吾爾自治區(qū)高三12月大聯(lián)考（新課標(biāo)卷）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年新疆維吾爾自治區(qū)高三12月大聯(lián)考（新課標(biāo)卷）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．3．已知平面向量，滿足，，，則（）A．1 B．2 C． D．4．蘇州荻溪倉(cāng)始建于明代，曾作為古代官方桹倉(cāng)，圓筒桹倉(cāng)簡(jiǎn)約美觀、儲(chǔ)存容量大，在糧食儲(chǔ)存方面優(yōu)勢(shì)明顯，如圖（1）.某校模型制作小組設(shè)計(jì)圓筒糧倉(cāng)模型時(shí)，將糧倉(cāng)的屋頂近似看成一個(gè)圓錐，如圖（2）.若該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，底面圓的直徑為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若為偶函數(shù)，且在區(qū)間上不單調(diào)，則（）A． B． C． D．6．物理學(xué)中的“波義耳定律”是指一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變的情況下，壓強(qiáng)p與體積V成反比．若容器的容積為V，容器內(nèi)某種氣體的初始?jí)簭?qiáng)為，真空泵每次抽出該氣體的體積為，n次抽氣后，設(shè)容器內(nèi)剩余該氣體的壓強(qiáng)為，則．若，設(shè)抽氣時(shí)該氣體溫度不變，欲使容器內(nèi)剩余該氣體的壓強(qiáng)低于初始?jí)簭?qiáng)的，則最少需要抽氣的次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知，，，則（）A． B． C． D．8．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，則（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．已知是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)P在內(nèi)或邊界上，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為 D．若，則11．如圖所示的多面體中，為矩形，平面，且，，點(diǎn)為的重心，設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．該多面體的體積為B．存在，使得平面C．若，則四點(diǎn)共面D．若點(diǎn)在該多面體外接球的球面上，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則的最大值為．13．某密碼鎖的密碼由三位不重復(fù)的數(shù)字組成，請(qǐng)根據(jù)下面三張圖片提供的信息，判斷這個(gè)密碼鎖的解碼為．14．若關(guān)于x的方程有且僅有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)a的值為．四、解答題（本大題共5小題）15．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求；(2)若，，求．16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且，．?dāng)?shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及．17．已知函數(shù).(1)若，求證：；(2)若且在上恒成立，求的最大值.18．如圖，在四棱臺(tái)中，平面，底面為菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，，二面角的大小為45°，求該四棱臺(tái)的體積．19．已知函數(shù)．(1)若為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．(2)若，正項(xiàng)數(shù)列滿足，．①求證：當(dāng)時(shí)，；②求證：對(duì)任意，．

答案1．【正確答案】D【詳解】將代入中，可知成立，不成立，．故選：D．2．【正確答案】B【詳解】，故，故選：B3．【正確答案】C【詳解】由可得，故，又，故，故，故選：C4．【正確答案】A【詳解】由題意，知該圓錐底面圓的半徑為，設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為，高為.由，得，，所以該圓錐的體積.故選：A.5．【正確答案】A【詳解】為偶函數(shù)，故，故，由于，故，則，令,解得，故的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，由于區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，要使在區(qū)間上不單調(diào)，故，故選：A6．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，即得，要使，即得，即?所以.故選：C.7．【正確答案】D【詳解】由于，，故，由，可得由可得，則，故選：D8．【正確答案】B【詳解】任取，，且，設(shè)，，由，得，即，所以，所以在上為減函數(shù)，記，則，記，所以，所以在上單調(diào)遞增且，所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，所以，即.故選.9．【正確答案】BD【詳解】對(duì)于A，，故，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故，B正確，對(duì)于C,，解得，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由，則，故，D正確，故選：BD10．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，則,故，A正確，對(duì)于B，，則，由余弦定理可得，B正確，對(duì)于C,若，則點(diǎn)P的軌跡為以圓心，以為半徑的圓（在內(nèi)部及邊界部分），故長(zhǎng)度為，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)，則位于邊的高上，故,又，故，D正確，故選：ABD11．【正確答案】ACD【詳解】將該多面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如圖所示：對(duì)于A，故該多面體的體積為，A正確，對(duì)于B，由于為的重心，故，，顯然不垂直，故，因此，故不垂直，因此不存在，使得平面，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，建立如圖所示的空間之間坐標(biāo)系，則，則，由于，故是的中點(diǎn)，故，故，故，因此共面，進(jìn)而可得共面，C正確，對(duì)于D，，該多面體的外接球與長(zhǎng)方體的外接球相同，故球的直徑為長(zhǎng)方體對(duì)角線，而，故，故位于，故，，D正確.故選：ACD.12．【正確答案】1【詳解】由題意，，即，解得，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為1.故113．【正確答案】698【詳解】假設(shè)第一個(gè)圖片中的3號(hào)碼正確，且位置正確，則第二圖片中的3也滿足號(hào)碼正確，且位置正確，不合要求，假設(shè)第一個(gè)圖片中的1號(hào)碼正確，且位置正確，則從第三個(gè)圖片可知，剩余的2個(gè)號(hào)碼為8和3，且位置要互換，故密碼鎖的解碼為318，但此時(shí)第一個(gè)圖片將有2個(gè)號(hào)碼正確，不合要求，假設(shè)第一個(gè)圖片中的8正確，則從第三個(gè)圖片可知，有1個(gè)號(hào)碼為6，從第二個(gè)圖片可知，第三個(gè)號(hào)碼為7或9，若第三個(gè)號(hào)碼為7，且密碼鎖的解碼為678，此時(shí)第二個(gè)圖片中7的位置正確，不合要求，若第三個(gè)號(hào)碼為9，且密碼鎖的解碼為698，滿足所有圖片要求.故69814．【正確答案】【詳解】由題意可知當(dāng)，即時(shí)，方程為不成立，故可得，則此方程可化為，令，，則，當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，則在上恒成立，故函數(shù)為增函數(shù)，作出和函數(shù)的圖象如下：故由圖象可知當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)的圖象只有2個(gè)公共點(diǎn).故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1），由余弦定理得，故，將其代入中得，，故；（2），故，，因?yàn)?，所以①，由余弦定理得，又，所以，，由余弦定理得，故②，?lián)立①②得③，又，故，將其代入中得④，聯(lián)立③④得，解得，解得，負(fù)值舍去16．【正確答案】(1)；(2)；.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，作差得，所以，所以，所以.（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，，，所以累加法得出，所以，所以，?dāng)時(shí)，，所以，所以，所以.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以.（2）令，則在上恒成立.求導(dǎo)，得，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.又，不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，若，可得，所以在上單調(diào)遞增，若，可得，所以在上單調(diào)遞減，所以，只需即可.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，所以.又，所以的最大值為.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由于，底面為菱形，且為四棱臺(tái)，故四邊形也為菱形，故且，由于點(diǎn)為的中點(diǎn),故,故四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，故平面，（2）因?yàn)槠矫妫移矫?，?,則,,故,由于也為菱形，故,故為等邊三角形，,,且也為等邊三角形，由于點(diǎn)為的中點(diǎn),故,因?yàn)槠矫?，故平面，?平面，故平面，過(guò)作于,連接,平面，平面,故,平面,故平面,平面,故,故為二面角的平面角，所以，,故,又，故,故，因此，,則,故四棱臺(tái)的