2025年滬科版七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假復(fù)習(xí) 專題04 二元一次方程（組）

專題04二元一次方程（組）考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破知識(shí)點(diǎn)1：二元一次方程組的相關(guān)概念1．二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個(gè)未知數(shù)（一般用和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．注意：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù)．（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1．（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式．2．二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．注意：二元一次方程的每一個(gè)解，都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值，一般要用大括號(hào)聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為的形式．3．二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組．此外，組成方程組的各個(gè)方程也不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù)．例如，二元一次方程組．注意：（1）它的一般形式為（其中，，，不同時(shí)為零）．（2）更一般地，如果兩個(gè)一次方程合起來共有兩個(gè)未知數(shù)，那么它們組成一個(gè)二元一次方程組．（3）符號(hào)“”表示同時(shí)滿足，相當(dāng)于“且”的意思．4．二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．注意：（1）方程組中每個(gè)未知數(shù)的值應(yīng)同時(shí)滿足兩個(gè)方程，所以檢驗(yàn)是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個(gè)方程，若兩個(gè)方程同時(shí)成立，才是方程組的解，而方程組中某一個(gè)方程的某一組解不一定是方程組的解．（2）方程組的解要用大括號(hào)聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數(shù)個(gè)．知識(shí)點(diǎn)2：二元一次方程組的解法1．解二元一次方程組的思想：消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程2．解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個(gè)方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個(gè)關(guān)于（或）的一元一次方程；③解這個(gè)一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解．注意：（1）用代入法解二元一次方程組時(shí)，應(yīng)先觀察各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，盡可能選擇變形后比較簡(jiǎn)單或代入后化簡(jiǎn)比較容易的方程變形；（2）變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個(gè)方程；（3）要善于分析方程的特點(diǎn)，尋找簡(jiǎn)便的解法．如將某個(gè)未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個(gè)整體用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個(gè)方程，或直接將某一方程代入另一個(gè)方程，這種方法叫做整體代入法．整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運(yùn)用可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，提高運(yùn)算速度及準(zhǔn)確率．（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等的形式；②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個(gè)方程相加（或相減），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；③解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；⑤將兩個(gè)未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可．注意：當(dāng)方程組中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時(shí)，用加減消元法較簡(jiǎn)單．知識(shí)點(diǎn)3：實(shí)際問題與二元一次方程組注意：（1）解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組．知識(shí)點(diǎn)4：三元一次方程組1．定義：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．等都是三元一次方程組．注意：理解三元一次方程組的定義時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）方程組中的每一個(gè)方程都是一次方程；（2）如果三個(gè)一元一次方程合起來共有三個(gè)未知數(shù)，它們就能組成一個(gè)三元一次方程組．2．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個(gè)未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)，最后再求出另一個(gè)未知數(shù)．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組；（2）解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；（3）將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)一元一次方程；（4）解這個(gè)一元一次方程，求出最后一個(gè)未知數(shù)的值；（5）將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．注意：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時(shí)要根據(jù)各方程特點(diǎn)尋求比較簡(jiǎn)單的解法．（2）要檢驗(yàn)求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個(gè)方程中，看每個(gè)方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個(gè)方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解．3．三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(gè)(或三個(gè))未知數(shù)；（2）找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；（3）根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值；（5）寫出答案(包括單位名稱)．注意：（1）解實(shí)際應(yīng)用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去．（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一．（3）一般來說，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個(gè)方程并組成方程組．題型歸納【考點(diǎn)01二元一次方程的定義】1．（22-23七年級(jí)上·湖南常德·期中）下列是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．2．（23-24七年級(jí)下·四川南充·期中）若是二元一次方程，則，3．（23-24七年級(jí)上·重慶·期末）已知方程是關(guān)于x、y的二元一次方程．則．4．（23-24七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）請(qǐng)寫出一個(gè)關(guān)于，的二元一次方程，使其滿足的系數(shù)是大于的整數(shù)，的系數(shù)是小于的整數(shù)，且，是這個(gè)二元一次方程的解．這個(gè)方程可以是．【考點(diǎn)02判斷是否是二元一次方程組】1．（23-24七年級(jí)下·云南德宏·期末）下列方程組中是二元一次方程組的是（

）A． B．C． D．2．（23-24七年級(jí)下·江蘇連云港·期末）下列方程組是二元一次方程組的是（

）A． B．C． D．3．（22-23七年級(jí)下·北京海淀·期中）下列方程組中，是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．4．（23-24七年級(jí)下·河北石家莊·期中）在方程組、、、、中，是二元一次方程組的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【考點(diǎn)03代入消元法】1．（22-23七年級(jí)下·重慶江津·期中）解下列方程組．(1)；(2)．2．（22-23七年級(jí)下·浙江·期中）用適當(dāng)方法解下列方程組：(1)(2)3．（23-24七年級(jí)上·安徽·期末）解二元一次方程組：(1)(2)4．（22-23七年級(jí)下·新疆阿克蘇·期末）解下列方程組：(1)；(2)．【考點(diǎn)04加減消元法】1．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期末）若x、y滿足方程，則的值是．2．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）解方程組(1)；(2)．3．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）（1）解方程組：（2）解方程組：4．（23-24七年級(jí)下·廣東肇慶·期末）解下列方程組：(1)(2)【考點(diǎn)05二元一次方程組解的綜合應(yīng)用】1．（22-23七年級(jí)下·四川內(nèi)江·期中）利用加減消元法解二元一次方程組時(shí)，下列做法，正確的是（

）A．要消去，可以將B．要消去，可以將C．要消去，可以將D．要消去，可以將2．（23-24七年級(jí)下·湖南益陽·期中）是關(guān)于，的二元一次方程，則．3．（23-24七年級(jí)下·海南?？凇て谥校┮阎淮畏匠?，用含y的代數(shù)式表示x，則．4．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期中）已知關(guān)于x，y的方程組，將此方程組的兩個(gè)方程左右兩邊分別對(duì)應(yīng)相加，得到一個(gè)新的方程，當(dāng)m每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，這些方程有一個(gè)公共解，這個(gè)公共解為．【考點(diǎn)06方案選擇】1．（23-24七年級(jí)下·四川眉山·期中）用長(zhǎng)方形硬紙板做長(zhǎng)方體盒子，底面為正方形，側(cè)面是相同的長(zhǎng)方形，經(jīng)測(cè)量，一張硬紙板有如圖4種裁剪方案．方案：剪個(gè)側(cè)面；方案：剪個(gè)側(cè)面和個(gè)底面；方案：剪個(gè)側(cè)面和個(gè)底面；方案：剪個(gè)底面．現(xiàn)有張硬紙板，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種不浪費(fèi)紙板的裁剪組合方案，并計(jì)算最多可以做多少個(gè)盒子？2．（23-24七年級(jí)下·重慶彭水·期中）某面粉加工廠要加工一批小麥，臺(tái)大面粉機(jī)和臺(tái)小面粉機(jī)同時(shí)工作加工小麥噸；臺(tái)大面粉機(jī)和臺(tái)小面粉機(jī)同時(shí)工作共加工小麥26噸．(1)臺(tái)大面粉機(jī)和臺(tái)小面粉機(jī)每小時(shí)各加工小麥多少噸？(2)該廠現(xiàn)有450噸小麥需要加工，計(jì)劃使用臺(tái)大面粉機(jī)和臺(tái)小面粉機(jī)同時(shí)工作，能否全部加工完？請(qǐng)你幫忙計(jì)算一下．3．（23-24七年級(jí)下·山東菏澤·期中）干佛山、趵突泉、大明湖并稱濟(jì)南三大風(fēng)景名勝區(qū)，為了激發(fā)學(xué)生個(gè)人潛能和團(tuán)隊(duì)精神，某學(xué)校組織學(xué)生去千佛山開展素質(zhì)拓展活動(dòng)．已知千佛山景區(qū)成人票每張30元，學(xué)生票按成人票五折優(yōu)惠．某班教師加學(xué)生一共去了50人，門票共需810元．(1)這個(gè)班參與活動(dòng)的教師和學(xué)生各多少人？（應(yīng)用二元一次方程組解決）(2)該班在購買活動(dòng)獎(jiǎng)品時(shí)，A獎(jiǎng)品每件20元，B獎(jiǎng)品每件50元，如果準(zhǔn)備用200元購買，A，B兩種獎(jiǎng)品（200元恰好用完，兩種獎(jiǎng)品都有），請(qǐng)你幫班級(jí)設(shè)計(jì)出購買A，B兩種獎(jiǎng)品的購買方案．4．（22-23七年級(jí)下·江蘇南通·期中）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車制造商開發(fā)了一款新能源汽車，計(jì)劃一年生產(chǎn)安裝360輛．由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成安裝任務(wù)，工廠決定招聘部分新工人，他們經(jīng)過培訓(xùn)后也能獨(dú)立進(jìn)行新能源汽車的安裝．生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熟練工和3名新工人每月可安裝12輛新能源汽車；2名熟練工和5名新工人每月可以安裝22輛新能源汽車．(1)每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛新能源汽車？(2)如果工廠招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務(wù)，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？(3)在（2）的條件下，工廠給安裝新能源汽車的每名熟練工人每月發(fā)放4000元的工資，給每名新工人每月發(fā)2400元的工資，那么工廠應(yīng)招聘多少名新工人，使新工人的數(shù)量多于熟練工，同時(shí)工廠每月支出的工資總額W（元）盡可能少？【考點(diǎn)07行程問題】1．（22-23七年級(jí)下·云南曲靖·期末）從甲地到乙地有一段上坡路與一段平路，如果上坡每小時(shí)走，平路每小時(shí)走，下坡每小時(shí)走，那么從甲地到乙地需要36分鐘，從乙地到甲地需要24分鐘，甲地到乙地全程是多少？根據(jù)題意，老師給出的方程組為，則方程組中x表示．2．（23-24七年級(jí)下·北京延慶·期末）學(xué)校和博物館相距20千米，小明與小強(qiáng)分別從學(xué)校和博物館出發(fā)，相向而行．如果小明比小強(qiáng)早出發(fā)30分鐘，那么在小強(qiáng)出發(fā)后2小時(shí)，他們相遇；如果他們同時(shí)出發(fā)，那么1小時(shí)后兩人還相距11千米．求小明、小強(qiáng)每小時(shí)各走多少千米．3．（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·期末）用二元一次方程組解決問題：A、B兩地相距，甲騎電動(dòng)車從A地出發(fā)到B地，與此同時(shí)，乙騎電動(dòng)車從B地出發(fā)到A地，兩人均保持勻速行駛．已知第10分鐘兩人相遇，又經(jīng)過4分鐘，里剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的騎行速度．4．（23-24七年級(jí)上·山東濱州·期末）列方程解應(yīng)用題：(1)A車和B車從甲，乙兩地同時(shí)出發(fā)，沿同一路線相向勻速而行．出發(fā)后1.5小時(shí)兩車相距75公里，之后再行駛2.5小時(shí)A車到達(dá)乙地，而B車還差40公里才能到達(dá)甲地．求甲地和乙地相距多少公里？(2)某工廠車間有60個(gè)工人生產(chǎn)A零件和B零件，每人每天可生產(chǎn)A零件15個(gè)或B零件20個(gè)（每人每天只能生產(chǎn)一種零件），一個(gè)A零件配兩個(gè)B零件，且每天生產(chǎn)的A零件和B零件恰好配套．工廠將零件批發(fā)給商場(chǎng)時(shí)，每個(gè)A零件可獲利10元，每個(gè)B零件可獲利5元．①求該工廠有多少工人生產(chǎn)A零件？②因市場(chǎng)需求，該工廠每天要多生產(chǎn)出一部分A零件供商場(chǎng)零售使用，現(xiàn)從生產(chǎn)B零件的工人中調(diào)出多少名工人生產(chǎn)A零件，才能使每日生產(chǎn)的零件總獲利比調(diào)動(dòng)前多600元？【考點(diǎn)08分配問題】1．（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期中）某旅館的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天40元，兩人間每人每天50元，一個(gè)50人的旅游團(tuán)到該旅館住宿，租住了若干客房，且每個(gè)客房正好住滿，一天共花去住宿費(fèi)元，兩種客房各租住了多少間？2．（23-24七年級(jí)下·廣東廣州·期中）列方程或方程組解應(yīng)用題福林制衣廠現(xiàn)有24名制作服裝的工人，每天都制作某種品牌的襯衫和褲子，每人每天可制作這種襯衫3件或褲子5條．已知制作一件襯衫可獲得利潤(rùn)30元，制作一條褲子可獲得利潤(rùn)16元，若該廠要求每天獲得利潤(rùn)2100元，則需要安排多少名工人制作襯衫？多少名工人制作褲子？3．（22-23七年級(jí)上·廣西賀州·期末）某校預(yù)計(jì)安排若干間宿舍給七年級(jí)男寄宿生住，若每間宿舍住6人，則有4人住不下，若每間住7人，則有1間只住2人且空余8間宿舍，求該校七年級(jí)男寄宿生有多少人？預(yù)計(jì)安排給七年級(jí)男寄宿生的宿舍有多少間？4．（22-23七年級(jí)下·海南海口·期中）學(xué)校準(zhǔn)備租用一批汽車，現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，甲種客車每輛載客量人，乙種客車每輛載客量人，已知輛甲種客車和輛乙種客車共需租金元，輛甲種客車和輛乙種客車共需租金元．(1)求輛甲種客車和輛乙種客車的租金分別是多少元？(2)學(xué)校計(jì)劃租用甲、乙兩種客車共輛，送名師生集體外出活動(dòng)，剛好全部坐滿，問租車費(fèi)用是多少？【考點(diǎn)09銷售盈虧問題】1．（23-24七年級(jí)下·江蘇淮安·期中）為迎接春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，學(xué)校先在體育用品商店購買30個(gè)足球和60條跳繩用去720元，后又購買10個(gè)足球和50條跳繩用去360元．(1)足球、跳繩的單價(jià)各是多少元？(2)該店最近正在開展促銷活動(dòng)，所有商品都按相同的折數(shù)打折銷售，在該店促銷期間購買100個(gè)足球和100條跳繩只需1800元，該店的商品按原價(jià)的幾折銷售？2．（23-24七年級(jí)下·重慶·期中）近日被市民們親切的稱為“背簍專線”的重慶輕軌四號(hào)線受到人們的關(guān)注，某天張大爺乘坐“背簍專線”將自己種植的新鮮水果櫻桃和枇杷拿去市區(qū)售賣，已知2斤櫻桃和3斤枇杷共可賣95元，3斤櫻桃和2斤枇杷共可賣105元．(1)請(qǐng)問張大爺售賣的櫻桃和枇杷每斤的售價(jià)各為多少元？(2)張大爺這天一共有20斤櫻桃和30斤枇杷，經(jīng)過一天的售賣，櫻桃一共賣出了櫻桃總量的，由于天氣炎熱，在剩下的櫻桃中出現(xiàn)了的損壞不能售賣．枇杷售出了枇杷總量的，張大爺決定對(duì)剩下的櫻桃打8折銷售，剩下的枇杷直接每斤降價(jià)m元，很快便將所有水果銷售一空，張大爺這天賣水果一共收入了889元，求m的值．3．（23-24七年級(jí)上·重慶北碚·期中）列方程解應(yīng)用題：7月，某水果店用370元購進(jìn)葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的2倍還多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的進(jìn)價(jià)分別為5元、2元，售價(jià)分別為8元、5元．(1)求購進(jìn)兩種水果各多少千克？(2)8月，水果店以7月的進(jìn)價(jià)又購進(jìn)葡萄、西瓜兩種水果，其中葡萄、西瓜的重量都不變，葡萄降價(jià)y元銷售，西瓜按原價(jià)銷售，8月份兩種水果售完后的總利潤(rùn)是315元，求y的值．4．（23-24七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）黑馬鈴薯又名“黑金剛”，它富含碘、硒等多種微量元素，特別是含有花青素、花青原素，素有“地下蘋果”之稱．老李今年種植了5畝品種黑馬?薯，畝品種黑馬鈴薯，其中品種的平均畝產(chǎn)量比品種的平均畝產(chǎn)量低，共收獲兩個(gè)品種黑馬鈴薯千克．(1)求，兩個(gè)品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量各多少千克？(2)根據(jù)如圖信息，求收購時(shí)、兩種馬鈴薯每箱的收購價(jià)格分別是多少元？(3)在（2）的條件下某蔬菜商人分兩次向老李收購?fù)赀@些黑馬?薯．收購方式如下：，兩個(gè)品種各自獨(dú)立裝箱，品種每箱千克，品種每箱千克，老李給出如下優(yōu)惠：收購或的數(shù)量（單位：箱）不超過箱超過箱-優(yōu)惠方式收購總價(jià)打九五折收購總價(jià)打八折第一次收購了兩個(gè)品種共箱，且收購的品種箱數(shù)比品種箱數(shù)多；受某些因素影響，蔬菜商人第二次收購時(shí)做出了價(jià)格調(diào)整：每箱的收購價(jià)不變，每箱的收購價(jià)比第一次的收購價(jià)降低，優(yōu)惠方式不變．兩次收購?fù)晁械暮隈R鈴薯后，蔬菜商人發(fā)現(xiàn)第二次支付給老李的費(fèi)用比第一次支付給老李費(fèi)用多元，求蔬菜商人第一次收購品種黑馬鈴薯多少箱？【考點(diǎn)10三元一次方程組】1．（23-24七年級(jí)下·福建泉州·期中）解方程組時(shí)，要使解法較為簡(jiǎn)便，應(yīng)（

）A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常數(shù)2．（23-24七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）三元一次方程組消去一個(gè)未知數(shù)后，所得二元一次方程組是（

）A． B． C． D．3．（23-24七年級(jí)下·四川眉山·期中）在等式中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．則這個(gè)等式為4．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）【閱讀理解】在求代數(shù)式的值時(shí)，有些題目可以用整體求值的方法，化難為易．例：已知，求的值．解：②①得：

③得：，所以，的值為3．【類比遷移】（1）已知，求的值；【實(shí)際應(yīng)用】（2）某班級(jí)班委準(zhǔn)備把本學(xué)期賣廢品的錢給同學(xué)們買期中獎(jiǎng)品，根據(jù)商店的價(jià)格，若購買3本筆記本、2支簽字筆、1支記號(hào)筆需要28元；若購買7本筆記本、5支簽字筆、3支記號(hào)筆需要66元；本班共45位同學(xué)，則購買45本筆記本、45支簽字筆、45支記號(hào)筆需要多少錢？過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（23-24七年級(jí)下·云南文山·期中）若是關(guān)于的二元一次方程，則的值為（

）A．1 B． C． D．22．（23-24八年級(jí)上·河南駐馬店·期末）已知，用含的代數(shù)式表示可得（

）A． B． C． D．3．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）在長(zhǎng)方形中放入六個(gè)長(zhǎng)、寬都相同的小長(zhǎng)方形，所標(biāo)尺寸如圖所示，則圖中陰影部分的面積之和為（

）A．48 B．72 C．36 D．244．（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·期中）如圖，用四個(gè)完全相同且長(zhǎng)、寬分別為，()的長(zhǎng)方形紙片圍成一個(gè)大正方形，中間是空的小正方形EFGH．已知，，則下列關(guān)系式中不正確的是(

)A． B．C． D．5．（24-25七年級(jí)上·北京·期中）正正和陽陽一起玩猜數(shù)游戲．正正說：“你隨便選定三個(gè)小于8的正整數(shù)，按下列步驟進(jìn)行計(jì)算：第一步把第一個(gè)數(shù)乘以4，再減去15；第二步把第一步的結(jié)果乘以2，再加上第二個(gè)數(shù)；第三步把第二步的結(jié)果乘以8，再加上第三個(gè)數(shù)．只要你告訴我最后的得數(shù)，我就能知道你所選的三個(gè)正整數(shù)．”陽陽表示不信，但試了幾次以后，正正都猜對(duì)了．請(qǐng)你利用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)來探索該“奧秘”，回答：當(dāng)“最后的得數(shù)”是102時(shí)，陽陽最初選定的三個(gè)正整數(shù)按順序分別是（

）A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，66．（22-23七年級(jí)下·重慶綦江·期中）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)專著，其“方程”章中給出了“遍乘直除”的算法解方程組．比如對(duì)于方程組，，先將方程①中的未知數(shù)系數(shù)排成數(shù)列，然后執(zhí)行如下步驟：（如圖）第一步，將方程②中的未知數(shù)系數(shù)乘以3，然后不斷地減一行，直到第二行第一個(gè)數(shù)變?yōu)?；第二步，對(duì)第三行做同樣的操作，其余步驟都類似．方程①：第一步方程②：第二步方程③：其實(shí)以上步驟的本質(zhì)就是在消元，根據(jù)以上操作，有下列結(jié)論：（1）數(shù)列M為：（2）（3）其中正確的有（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）二、填空題7．（23-24七年級(jí)下·浙江紹興·期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組（a是常數(shù)），若不論a取什么實(shí)數(shù)，代數(shù)式（k是常數(shù)）的值始終不變，則．8．（23-24七年級(jí)下·河北石家莊·期中）已知、滿足方程組，則的值為．9．（24-25七年級(jí)上·重慶·期中）對(duì)于一個(gè)三位正整數(shù)，如果滿足：它的百位數(shù)字、十位數(shù)字之和與個(gè)位數(shù)字的差等于7，那稱這個(gè)數(shù)為“七巧數(shù)”．例如：，，是“七巧數(shù)”；，，不是“七巧數(shù)”．最小的“七巧數(shù)”是；若“七巧數(shù)”滿足：所有數(shù)位的數(shù)字之和是9的倍數(shù)，且它的百位數(shù)字大于十位數(shù)字，則的最大值是．10．（23-24七年級(jí)下·福建泉州·期中）已知、、是三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，，若，則的最大值與最小值的差為．三、解答題11．（22-23七年級(jí)下·重慶沙坪壩·期中）解方程組：(1)；(2)；(3)；(4)．12．（23-24七年級(jí)下·北京·期中）解方程組：(1)(2)13．（22-23七年級(jí)下·河南洛陽·期中）下面所示為七下教材38頁中三元一次方程組的解題過程，請(qǐng)根據(jù)教材提供的做法和有關(guān)信息解決問題．例1解方程組：解由方程②，得．……步驟一④將④分別代入方程①和③，得……步驟二整理，得解這個(gè)二元一次方程組，得，代入④，得．所以原方程組的解是，(1)我們?cè)谥皩W(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法，其基本思想是：通過“消元”，消去一個(gè)未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為求解，方法有和．其中的步驟二通過法消去未知數(shù)z，將三元一次方程組變成了，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中思想．(2)仿照以上思路解方程組消去字母Z后得到的二元一次方程組為．14．（23-24七年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，在一張長(zhǎng)方形紙條上畫一條數(shù)軸．(1)折疊紙條使數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示9的點(diǎn)重合，折痕與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的數(shù)是；如果數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離為7，經(jīng)過上述的折疊方式能夠重合，那么左邊這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是；(2)如圖2，點(diǎn)A、表示的數(shù)分別是、4，數(shù)軸上有點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到點(diǎn)A距離的3倍，那么點(diǎn)表示的數(shù)是多少？(3)如圖2，若將此紙條沿A、兩處剪開，將中間的一段紙條對(duì)折，使其左右兩端重合，這樣連續(xù)對(duì)折5次后，再將其展開，分別求出最左端和最右端的折痕與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的數(shù)．15．（23-24七年級(jí)下·廣東廣州·期中）關(guān)于x，y的二元一次方程組，如果方程組的解x，y滿足，我們就說方程組的解x與y具有“鄰好關(guān)系”，請(qǐng)完成下面問題：(1)方程組的解x與y是否具有“鄰好關(guān)系”？請(qǐng)說明理由；(2)方程組的解x與y具有“鄰好關(guān)系”，求k的值．16．（23-24七年級(jí)下·福建廈門·期中）已知關(guān)于，的二元一次方程組，其中為實(shí)數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求方程組的解；(2)求的值（用含的代數(shù)式表示）；(3)試說明無論取何數(shù)時(shí)，代數(shù)式的值始終不變．17．（23-24七年級(jí)下·福建泉州·期中）閱讀：某同學(xué)在解方程組時(shí)，運(yùn)用了換元法，方法如下：設(shè)，，則原方程組可變形為關(guān)于m，n的方程組，解這個(gè)方程組得到它的解為．由，，求得原方程組的解為．請(qǐng)利用換元法解方程組：．18．（24-25七年級(jí)上·安徽六安·期中）如圖，已知點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，且a，b滿足．(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)a和b；(2)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向右以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①若點(diǎn)P和點(diǎn)Q相遇于點(diǎn)C，求點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)Q相距15個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，直接寫出t的值．19．（24-25七年級(jí)上·廣東深圳·期中）如下表，從左邊第一個(gè)格子開始向右數(shù)，在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，使得其中任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等．7…(1)填空：________，________，第個(gè)格子中的數(shù)是________；(2)前個(gè)格子中所填整數(shù)之和是否可能為？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說明理由；(3)如果在前個(gè)格子中任取兩個(gè)數(shù)并用大數(shù)減去小數(shù)得到差值，而后將所有的這樣的差值累加起來稱為前項(xiàng)的累差值，例如前3項(xiàng)的累差值列式為：，那么前項(xiàng)的累差值為多少？20．（23-24七年級(jí)下·浙江·期中）滴滴快車是一種便捷的出行工具，計(jì)價(jià)規(guī)則如下表：計(jì)費(fèi)項(xiàng)目里程費(fèi)時(shí)長(zhǎng)費(fèi)遠(yuǎn)途費(fèi)單價(jià)1.8元/公里0.3元/分鐘0.8元/公里注：車費(fèi)由里程費(fèi)、時(shí)長(zhǎng)費(fèi)、遠(yuǎn)途費(fèi)三部分構(gòu)成，其中里程費(fèi)按行車的實(shí)際里程計(jì)算；時(shí)長(zhǎng)費(fèi)按行車的實(shí)際時(shí)間計(jì)算；遠(yuǎn)途費(fèi)的收取方式為：行車?yán)锍?公里以內(nèi)（含7公里）不收遠(yuǎn)途費(fèi)，超過7公里的，超出部分每公里收0.8元．(1)一人乘坐滴滴快車，用了20分鐘到目的地，快車共行駛了x（）公里，他共用元（用含x的代數(shù)式表示）．(2)甲、乙兩好友出行，因順路兩人乘坐同一輛滴滴快車（多人乘坐只需一人支付全程費(fèi)用），在途中乙先下車，此時(shí)計(jì)費(fèi)器顯示已產(chǎn)生了8.4元費(fèi)用，又過了8分鐘，甲到達(dá)目的地，并在支付14.4元給司機(jī)時(shí)發(fā)現(xiàn)快車全程共行駛了5公里，求乙的乘車時(shí)長(zhǎng)和實(shí)際里程．(3)丙、丁兩人各自乘坐滴滴快車，丁比丙行車?yán)锍潭?.5公里，如果下車時(shí)兩人所付車費(fèi)相同，且兩人計(jì)費(fèi)項(xiàng)目也相同，那么這兩輛滴滴快車的行車時(shí)長(zhǎng)相差（直接寫出答案）．

專題04二元一次方程（組）考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破知識(shí)點(diǎn)1：二元一次方程組的相關(guān)概念1．二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個(gè)未知數(shù)（一般用和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．注意：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù)．（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1．（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式．2．二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．注意：二元一次方程的每一個(gè)解，都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值，一般要用大括號(hào)聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為的形式．3．二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組．此外，組成方程組的各個(gè)方程也不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù)．例如，二元一次方程組．注意：（1）它的一般形式為（其中，，，不同時(shí)為零）．（2）更一般地，如果兩個(gè)一次方程合起來共有兩個(gè)未知數(shù)，那么它們組成一個(gè)二元一次方程組．（3）符號(hào)“”表示同時(shí)滿足，相當(dāng)于“且”的意思．4．二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．注意：（1）方程組中每個(gè)未知數(shù)的值應(yīng)同時(shí)滿足兩個(gè)方程，所以檢驗(yàn)是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個(gè)方程，若兩個(gè)方程同時(shí)成立，才是方程組的解，而方程組中某一個(gè)方程的某一組解不一定是方程組的解．（2）方程組的解要用大括號(hào)聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數(shù)個(gè)．知識(shí)點(diǎn)2：二元一次方程組的解法1．解二元一次方程組的思想：消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程2．解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個(gè)方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個(gè)關(guān)于（或）的一元一次方程；③解這個(gè)一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解．注意：（1）用代入法解二元一次方程組時(shí)，應(yīng)先觀察各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，盡可能選擇變形后比較簡(jiǎn)單或代入后化簡(jiǎn)比較容易的方程變形；（2）變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個(gè)方程；（3）要善于分析方程的特點(diǎn)，尋找簡(jiǎn)便的解法．如將某個(gè)未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個(gè)整體用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個(gè)方程，或直接將某一方程代入另一個(gè)方程，這種方法叫做整體代入法．整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運(yùn)用可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，提高運(yùn)算速度及準(zhǔn)確率．（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等的形式；②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個(gè)方程相加（或相減），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；③解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；⑤將兩個(gè)未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可．注意：當(dāng)方程組中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時(shí)，用加減消元法較簡(jiǎn)單．知識(shí)點(diǎn)3：實(shí)際問題與二元一次方程組注意：（1）解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組．知識(shí)點(diǎn)4：三元一次方程組1．定義：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．等都是三元一次方程組．注意：理解三元一次方程組的定義時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）方程組中的每一個(gè)方程都是一次方程；（2）如果三個(gè)一元一次方程合起來共有三個(gè)未知數(shù)，它們就能組成一個(gè)三元一次方程組．2．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個(gè)未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)，最后再求出另一個(gè)未知數(shù)．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組；（2）解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；（3）將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)一元一次方程；（4）解這個(gè)一元一次方程，求出最后一個(gè)未知數(shù)的值；（5）將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．注意：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時(shí)要根據(jù)各方程特點(diǎn)尋求比較簡(jiǎn)單的解法．（2）要檢驗(yàn)求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個(gè)方程中，看每個(gè)方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個(gè)方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解．3．三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(gè)(或三個(gè))未知數(shù)；（2）找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；（3）根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值；（5）寫出答案(包括單位名稱)．注意：（1）解實(shí)際應(yīng)用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去．（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一．（3）一般來說，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個(gè)方程并組成方程組．題型歸納【考點(diǎn)01二元一次方程的定義】1．（22-23七年級(jí)上·湖南常德·期中）下列是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：、是二元一次方程，該選項(xiàng)符合題意；、方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是，不是二元一次方程，該選項(xiàng)不合題意；、方程的左邊不是整式，不是二元一次方程，該選項(xiàng)不合題意；、方程只含有一個(gè)未知數(shù)，不是二元一次方程，該選項(xiàng)不合題意；故選：．2．（23-24七年級(jí)下·四川南充·期中）若是二元一次方程，則，【答案】【解析】解：∵是二元一次方程，∴，，∴，，故答案為：，．3．（23-24七年級(jí)上·重慶·期末）已知方程是關(guān)于x、y的二元一次方程．則．【答案】2【解析】解：∵方程是關(guān)于x、y的二元一次方程，∴，解得：，∴，故答案為：2．4．（23-24七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）請(qǐng)寫出一個(gè)關(guān)于，的二元一次方程，使其滿足的系數(shù)是大于的整數(shù)，的系數(shù)是小于的整數(shù)，且，是這個(gè)二元一次方程的解．這個(gè)方程可以是．【答案】（答案不唯一）【解析】解：由題意得，的系數(shù)是大于的整數(shù)，的系數(shù)是小于的整數(shù)，∴滿足題意，∵，是這個(gè)二元一次方程的解，∴當(dāng)時(shí)，，解得：，∴符合題意．故答案為：（答案不唯一）．【考點(diǎn)02判斷是否是二元一次方程組】1．（23-24七年級(jí)下·云南德宏·期末）下列方程組中是二元一次方程組的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A．是三元一次方程組，故A不符合題意；B．是二元二次方程組，故B不符合題意；C．是二元一次方程組，故C符合題意；D．是分式方程組，故D不符合題意．故選：C．2．（23-24七年級(jí)下·江蘇連云港·期末）下列方程組是二元一次方程組的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：A、含有3個(gè)未知數(shù)，不是二元一次方程組；B、第一個(gè)方程不是整式方程，不是二元一次方程組；C、第一個(gè)方程不是二元一次方程，不是二元一次方程組；D、符合二元一次方程組的定義，是二元一次方程組；故選：D．3．（22-23七年級(jí)下·北京海淀·期中）下列方程組中，是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A．方程，含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是2次，故該方程組不是二元一次方程組，選項(xiàng)不符合題意；B．方程不是整式方程，故該方程組不是二元一次方程組，選項(xiàng)不符合題意；C．該方程組含有三個(gè)未知數(shù)，故該方程組不是二元一次方程組，選項(xiàng)不符合題意；D．該方程組是二元一次方程組，選項(xiàng)符合題意．故選：D．4．（23-24七年級(jí)下·河北石家莊·期中）在方程組、、、、中，是二元一次方程組的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【解析】、是二元一次方程組，共2個(gè)，故選：A．【考點(diǎn)03代入消元法】1．（22-23七年級(jí)下·重慶江津·期中）解下列方程組．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，由②得，，把③代入①得，，∴把代入③得，，所以，方程組的解為；（2）解：，由①得，由②得，，∴，將代入③得，，∴，把代入，得，∴方程組的解為．2．（22-23七年級(jí)下·浙江·期中）用適當(dāng)方法解下列方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，將①代入②得：，解得：，把代入①得：，∴原方程組的解為；（2）解：，整理為，得：，解得：，得：，解得：，∴原方程組的解為．3．（23-24七年級(jí)上·安徽·期末）解二元一次方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】（1）解：把①代入②得，解得把代入①得，∴（2）得，，把代入①得，，解得∴4．（22-23七年級(jí)下·新疆阿克蘇·期末）解下列方程組：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：得：，解得：，將代入①得：，解得：，故原方程組的解為；（2）解：設(shè)，，則原方程組化為，得：，解得：，將代入①得，解得：，則，得：，解得：，將代入得：，解得：，故原方程組的解為．【考點(diǎn)04加減消元法】1．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期末）若x、y滿足方程，則的值是．【答案】【解析】解：得：，故答案為：．2．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）解方程組(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，，得，解得把代入①，得，解得，所以方程組的解為；（2）解：整理①得，即所以整理②得，把代入，得，解得，把代入，解得，所以方程組的解為．3．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）（1）解方程組：（2）解方程組：【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）得：，解得，把代入①得：，解得，∴原方程組的解為；（2）整理得：，得：，解得，把代入①得：，解得，∴原方程組的解為．4．（23-24七年級(jí)下·廣東肇慶·期末）解下列方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，①②得：，解得：，把代入①得：，解得：，則方程組的解為．（2），①②得：，解得：，把代入①得：，則方程組的解為．【考點(diǎn)05二元一次方程組解的綜合應(yīng)用】1．（22-23七年級(jí)下·四川內(nèi)江·期中）利用加減消元法解二元一次方程組時(shí)，下列做法，正確的是（

）A．要消去，可以將B．要消去，可以將C．要消去，可以將D．要消去，可以將【答案】D【解析】解：對(duì)于方程組，若要要消去，則可以將；若要消去，可以將，故選：D2．（23-24七年級(jí)下·湖南益陽·期中）是關(guān)于，的二元一次方程，則．【答案】1【解析】解：根據(jù)題意，得且，解得，故答案為：1．3．（23-24七年級(jí)下·海南?？凇て谥校┮阎淮畏匠?，用含y的代數(shù)式表示x，則．【答案】【解析】解：∵，∴，∴，故答案為：．4．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期中）已知關(guān)于x，y的方程組，將此方程組的兩個(gè)方程左右兩邊分別對(duì)應(yīng)相加，得到一個(gè)新的方程，當(dāng)m每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，這些方程有一個(gè)公共解，這個(gè)公共解為．【答案】【解析】解：①②得，，，，根據(jù)題意，這些方程有一個(gè)公共解，與的取值無關(guān)，，解得．故答案為：．【考點(diǎn)06方案選擇】1．（23-24七年級(jí)下·四川眉山·期中）用長(zhǎng)方形硬紙板做長(zhǎng)方體盒子，底面為正方形，側(cè)面是相同的長(zhǎng)方形，經(jīng)測(cè)量，一張硬紙板有如圖4種裁剪方案．方案：剪個(gè)側(cè)面；方案：剪個(gè)側(cè)面和個(gè)底面；方案：剪個(gè)側(cè)面和個(gè)底面；方案：剪個(gè)底面．現(xiàn)有張硬紙板，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種不浪費(fèi)紙板的裁剪組合方案，并計(jì)算最多可以做多少個(gè)盒子？【答案】按方案裁剪張，方案裁剪7張組合，最多可以做個(gè)盒子【解析】解：設(shè)計(jì)1：選擇方案與方案組合，設(shè)按方案裁剪張，按方案裁剪張，根據(jù)題意可得：，解得：，可做盒子：(個(gè))，答：按方案裁剪張，方案裁剪張組合，最多可以做個(gè)盒子；設(shè)計(jì)2：選擇裁剪方案、方案組合，設(shè)按方案裁剪張，按方案裁剪張，根據(jù)題意可得：，解得：，可做盒子：(個(gè))，答：按方案裁剪張，方案裁剪張組合，最多可以做個(gè)盒子．2．（23-24七年級(jí)下·重慶彭水·期中）某面粉加工廠要加工一批小麥，臺(tái)大面粉機(jī)和臺(tái)小面粉機(jī)同時(shí)工作加工小麥噸；臺(tái)大面粉機(jī)和臺(tái)小面粉機(jī)同時(shí)工作共加工小麥26噸．(1)臺(tái)大面粉機(jī)和臺(tái)小面粉機(jī)每小時(shí)各加工小麥多少噸？(2)該廠現(xiàn)有450噸小麥需要加工，計(jì)劃使用臺(tái)大面粉機(jī)和臺(tái)小面粉機(jī)同時(shí)工作，能否全部加工完？請(qǐng)你幫忙計(jì)算一下．【答案】(1)1臺(tái)大面粉機(jī)每小時(shí)加工小麥6噸，1臺(tái)小面粉機(jī)每小時(shí)加工小麥4噸(2)不能全部加工完【解析】（1）解：設(shè)1臺(tái)大面粉機(jī)每小時(shí)加工小麥x噸，1臺(tái)小面粉機(jī)每小時(shí)加工小麥y(cè)噸，根據(jù)題意得：，解得：，答：1臺(tái)大面粉機(jī)每小時(shí)加工小麥6噸，1臺(tái)小面粉機(jī)每小時(shí)加工小麥4噸；（2）解：（噸），∵，∴不能全部加工完．3．（23-24七年級(jí)下·山東菏澤·期中）干佛山、趵突泉、大明湖并稱濟(jì)南三大風(fēng)景名勝區(qū)，為了激發(fā)學(xué)生個(gè)人潛能和團(tuán)隊(duì)精神，某學(xué)校組織學(xué)生去千佛山開展素質(zhì)拓展活動(dòng)．已知千佛山景區(qū)成人票每張30元，學(xué)生票按成人票五折優(yōu)惠．某班教師加學(xué)生一共去了50人，門票共需810元．(1)這個(gè)班參與活動(dòng)的教師和學(xué)生各多少人？（應(yīng)用二元一次方程組解決）(2)該班在購買活動(dòng)獎(jiǎng)品時(shí)，A獎(jiǎng)品每件20元，B獎(jiǎng)品每件50元，如果準(zhǔn)備用200元購買，A，B兩種獎(jiǎng)品（200元恰好用完，兩種獎(jiǎng)品都有），請(qǐng)你幫班級(jí)設(shè)計(jì)出購買A，B兩種獎(jiǎng)品的購買方案．【答案】(1)參與活動(dòng)的教師有4人，學(xué)生有46人(2)購買A種獎(jiǎng)品5件，購買B種獎(jiǎng)品2件【解析】（1）解：設(shè)這個(gè)班參與活動(dòng)的教師人，學(xué)生人，由題意得：，解得，答：這個(gè)班參與活動(dòng)的教師4人，學(xué)生46人．（2）解：設(shè)購買種獎(jiǎng)品件，種獎(jiǎng)品件，由題意得：，則，均為正整數(shù)，，答：購買種獎(jiǎng)品5件，種獎(jiǎng)品2件．4．（22-23七年級(jí)下·江蘇南通·期中）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車制造商開發(fā)了一款新能源汽車，計(jì)劃一年生產(chǎn)安裝360輛．由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成安裝任務(wù)，工廠決定招聘部分新工人，他們經(jīng)過培訓(xùn)后也能獨(dú)立進(jìn)行新能源汽車的安裝．生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熟練工和3名新工人每月可安裝12輛新能源汽車；2名熟練工和5名新工人每月可以安裝22輛新能源汽車．(1)每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛新能源汽車？(2)如果工廠招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務(wù)，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？(3)在（2）的條件下，工廠給安裝新能源汽車的每名熟練工人每月發(fā)放4000元的工資，給每名新工人每月發(fā)2400元的工資，那么工廠應(yīng)招聘多少名新工人，使新工人的數(shù)量多于熟練工，同時(shí)工廠每月支出的工資總額W（元）盡可能少？【答案】(1)每名熟練工每月可以安裝6輛電動(dòng)汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動(dòng)汽車(2)工廠有3種新工人的招聘方案：①新工人9人，熟練工2人；②新工人6人，熟練工3人；③新工人3人，熟練工4人(3)應(yīng)招聘6名新工人【解析】（1）解：設(shè)每名熟練工每月可以安裝輛電動(dòng)汽車，每名新工人每月可以安裝輛電動(dòng)汽車．根據(jù)題意得：，解得：．答：每名熟練工每月可以安裝6輛電動(dòng)汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動(dòng)汽車．（2）解：設(shè)工廠有名熟練工．根據(jù)題意，得，，，又，都是正整數(shù)，，所以，6，3．即工廠有3種新工人的招聘方案：①，，即新工人9人，熟練工2人；②，，即新工人6人，熟練工3人；③，，即新工人3人，熟練工4人．（3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的數(shù)量多于熟練工，則，或，；根據(jù)題意得：．當(dāng)時(shí)，（元）當(dāng)時(shí)，（元），當(dāng)，時(shí)，即工廠應(yīng)招聘6名新工人，使新工人的數(shù)量多于熟練工，同時(shí)工廠每月支出的工資總額（元）盡可能少．【考點(diǎn)07行程問題】1．（22-23七年級(jí)下·云南曲靖·期末）從甲地到乙地有一段上坡路與一段平路，如果上坡每小時(shí)走，平路每小時(shí)走，下坡每小時(shí)走，那么從甲地到乙地需要36分鐘，從乙地到甲地需要24分鐘，甲地到乙地全程是多少？根據(jù)題意，老師給出的方程組為，則方程組中x表示．【答案】從甲地到乙地的上坡路程【解析】解：設(shè)從甲地到乙地的上坡路為，平路為，依題意得，方程組中x表示從甲地到乙地的上坡路程，故答案為：從甲地到乙地的上坡路程．2．（23-24七年級(jí)下·北京延慶·期末）學(xué)校和博物館相距20千米，小明與小強(qiáng)分別從學(xué)校和博物館出發(fā)，相向而行．如果小明比小強(qiáng)早出發(fā)30分鐘，那么在小強(qiáng)出發(fā)后2小時(shí)，他們相遇；如果他們同時(shí)出發(fā)，那么1小時(shí)后兩人還相距11千米．求小明、小強(qiáng)每小時(shí)各走多少千米．【答案】小明每小時(shí)走4千米，小強(qiáng)每小時(shí)走5千米【解析】解：設(shè)小明每小時(shí)走x千米，每小時(shí)走y千米，根據(jù)題意列方程組，得，解這個(gè)方程組，得答：小明每小時(shí)走4千米，小強(qiáng)每小時(shí)走5千米．3．（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·期末）用二元一次方程組解決問題：A、B兩地相距，甲騎電動(dòng)車從A地出發(fā)到B地，與此同時(shí)，乙騎電動(dòng)車從B地出發(fā)到A地，兩人均保持勻速行駛．已知第10分鐘兩人相遇，又經(jīng)過4分鐘，里剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的騎行速度．【答案】甲的速度為，乙的速度為【解析】設(shè)甲的速度為，乙的速度為．由題意，得解得答：甲的速度為，乙的速度為．4．（23-24七年級(jí)上·山東濱州·期末）列方程解應(yīng)用題：(1)A車和B車從甲，乙兩地同時(shí)出發(fā)，沿同一路線相向勻速而行．出發(fā)后1.5小時(shí)兩車相距75公里，之后再行駛2.5小時(shí)A車到達(dá)乙地，而B車還差40公里才能到達(dá)甲地．求甲地和乙地相距多少公里？(2)某工廠車間有60個(gè)工人生產(chǎn)A零件和B零件，每人每天可生產(chǎn)A零件15個(gè)或B零件20個(gè)（每人每天只能生產(chǎn)一種零件），一個(gè)A零件配兩個(gè)B零件，且每天生產(chǎn)的A零件和B零件恰好配套．工廠將零件批發(fā)給商場(chǎng)時(shí)，每個(gè)A零件可獲利10元，每個(gè)B零件可獲利5元．①求該工廠有多少工人生產(chǎn)A零件？②因市場(chǎng)需求，該工廠每天要多生產(chǎn)出一部分A零件供商場(chǎng)零售使用，現(xiàn)從生產(chǎn)B零件的工人中調(diào)出多少名工人生產(chǎn)A零件，才能使每日生產(chǎn)的零件總獲利比調(diào)動(dòng)前多600元？【答案】(1)甲地和乙地相距240公里(2)①該工廠有24名工人生產(chǎn)A零件；②應(yīng)從生產(chǎn)B零件的工人中調(diào)出12名工人生產(chǎn)A零件【解析】（1）解：設(shè)車的速度是公里/小時(shí)，車的速度是公里/小時(shí)，根據(jù)題意得：，解得，答：甲地和乙地相距240公里．（2）解：①設(shè)該工廠有a名工人生產(chǎn)零件，b名工人生產(chǎn)零件，根據(jù)題意得：，解得答：該工廠有24名工人生產(chǎn)零件．②設(shè)應(yīng)從生產(chǎn)零件的工人中調(diào)出名工人生產(chǎn)零件．拫據(jù)題意得：解得：．答：應(yīng)從生產(chǎn)零件的工人中調(diào)出12名工人生產(chǎn)零件．【考點(diǎn)08分配問題】1．（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期中）某旅館的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天40元，兩人間每人每天50元，一個(gè)50人的旅游團(tuán)到該旅館住宿，租住了若干客房，且每個(gè)客房正好住滿，一天共花去住宿費(fèi)元，兩種客房各租住了多少間？【答案】三人間客房租了間，二人間客房租了間【解析】解：設(shè)三人間客房有間，二人間客房有間，根據(jù)題意，得：解得：，答：三人間客房租了間，二人間客房租了間．2．（23-24七年級(jí)下·廣東廣州·期中）列方程或方程組解應(yīng)用題福林制衣廠現(xiàn)有24名制作服裝的工人，每天都制作某種品牌的襯衫和褲子，每人每天可制作這種襯衫3件或褲子5條．已知制作一件襯衫可獲得利潤(rùn)30元，制作一條褲子可獲得利潤(rùn)16元，若該廠要求每天獲得利潤(rùn)2100元，則需要安排多少名工人制作襯衫？多少名工人制作褲子？【答案】安排18名工人制作襯衫，6名工人制作褲子【解析】解：設(shè)安排x名工人制作襯衫，y名工人制作褲子，根據(jù)題意，得，解得，答：安排18名工人制作襯衫，6名工人制作褲子．3．（22-23七年級(jí)上·廣西賀州·期末）某校預(yù)計(jì)安排若干間宿舍給七年級(jí)男寄宿生住，若每間宿舍住6人，則有4人住不下，若每間住7人，則有1間只住2人且空余8間宿舍，求該校七年級(jí)男寄宿生有多少人？預(yù)計(jì)安排給七年級(jí)男寄宿生的宿舍有多少間？【答案】該校七年級(jí)男寄宿生有394人，預(yù)計(jì)安排給七年級(jí)男寄宿生的宿舍有65間【解析】解：設(shè)該校七年級(jí)男寄宿生有x人，預(yù)計(jì)安排給七年級(jí)男寄宿生的宿舍有y間，根據(jù)題意得：，解得：．答：該校七年級(jí)男寄宿生有394人，預(yù)計(jì)安排給七年級(jí)男寄宿生的宿舍有65間．4．（22-23七年級(jí)下·海南?？凇て谥校W(xué)校準(zhǔn)備租用一批汽車，現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，甲種客車每輛載客量人，乙種客車每輛載客量人，已知輛甲種客車和輛乙種客車共需租金元，輛甲種客車和輛乙種客車共需租金元．(1)求輛甲種客車和輛乙種客車的租金分別是多少元？(2)學(xué)校計(jì)劃租用甲、乙兩種客車共輛，送名師生集體外出活動(dòng)，剛好全部坐滿，問租車費(fèi)用是多少？【答案】(1)輛甲種客車的租金是元，輛乙種客車的租金是元(2)租車費(fèi)用是元【解析】（1）解：設(shè)輛甲種客車的租金是元，輛乙種客車的租金是元，依題意有，解得，答：輛甲種客車的租金是元，輛乙種客車的租金是元．（2）解：設(shè)租用甲種客車輛，乙種客車輛，則，解得，元．答：剛好坐滿時(shí)，租車費(fèi)用是元．【考點(diǎn)09銷售盈虧問題】1．（23-24七年級(jí)下·江蘇淮安·期中）為迎接春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，學(xué)校先在體育用品商店購買30個(gè)足球和60條跳繩用去720元，后又購買10個(gè)足球和50條跳繩用去360元．(1)足球、跳繩的單價(jià)各是多少元？(2)該店最近正在開展促銷活動(dòng)，所有商品都按相同的折數(shù)打折銷售，在該店促銷期間購買100個(gè)足球和100條跳繩只需1800元，該店的商品按原價(jià)的幾折銷售？【答案】(1)足球的單價(jià)為16元/個(gè)，跳繩的單價(jià)為4元/條(2)該店的商品按原價(jià)的9折銷售【解析】（1）解：設(shè)足球的單價(jià)為x元/個(gè)，跳繩的單價(jià)為y元/條，由題意可得：解得：答：足球的單價(jià)為16元/個(gè)，跳繩的單價(jià)為4元/條．（2）設(shè)該店的商品按原價(jià)的m折銷售，由題意可得：解得：答：該店的商品按原價(jià)的9折銷售．2．（23-24七年級(jí)下·重慶·期中）近日被市民們親切的稱為“背簍專線”的重慶輕軌四號(hào)線受到人們的關(guān)注，某天張大爺乘坐“背簍專線”將自己種植的新鮮水果櫻桃和枇杷拿去市區(qū)售賣，已知2斤櫻桃和3斤枇杷共可賣95元，3斤櫻桃和2斤枇杷共可賣105元．(1)請(qǐng)問張大爺售賣的櫻桃和枇杷每斤的售價(jià)各為多少元？(2)張大爺這天一共有20斤櫻桃和30斤枇杷，經(jīng)過一天的售賣，櫻桃一共賣出了櫻桃總量的，由于天氣炎熱，在剩下的櫻桃中出現(xiàn)了的損壞不能售賣．枇杷售出了枇杷總量的，張大爺決定對(duì)剩下的櫻桃打8折銷售，剩下的枇杷直接每斤降價(jià)m元，很快便將所有水果銷售一空，張大爺這天賣水果一共收入了889元，求m的值．【答案】(1)張大爺售賣的櫻桃每斤25元，枇杷每斤15元；(2)m的值為．【解析】（1）解：設(shè)張大爺售賣的櫻桃每斤元，枇杷每斤元，由題意可得：，解方程組得：，∴張大爺售賣的櫻桃每斤元，枇杷每斤元．（2）解：由題意可得：，解得：，∴答：的值為．3．（23-24七年級(jí)上·重慶北碚·期中）列方程解應(yīng)用題：7月，某水果店用370元購進(jìn)葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的2倍還多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的進(jìn)價(jià)分別為5元、2元，售價(jià)分別為8元、5元．(1)求購進(jìn)兩種水果各多少千克？(2)8月，水果店以7月的進(jìn)價(jià)又購進(jìn)葡萄、西瓜兩種水果，其中葡萄、西瓜的重量都不變，葡萄降價(jià)y元銷售，西瓜按原價(jià)銷售，8月份兩種水果售完后的總利潤(rùn)是315元，求y的值．【答案】(1)購進(jìn)40千克葡萄，85千克西瓜(2)【解析】（1）解：設(shè)購進(jìn)m千克葡萄，n千克西瓜，根據(jù)題意得：，解得：．答：購進(jìn)40千克葡萄，85千克西瓜；（2）根據(jù)題意得：，解得：．答：y的值為．4．（23-24七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）黑馬鈴薯又名“黑金剛”，它富含碘、硒等多種微量元素，特別是含有花青素、花青原素，素有“地下蘋果”之稱．老李今年種植了5畝品種黑馬?薯，畝品種黑馬鈴薯，其中品種的平均畝產(chǎn)量比品種的平均畝產(chǎn)量低，共收獲兩個(gè)品種黑馬鈴薯千克．(1)求，兩個(gè)品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量各多少千克？(2)根據(jù)如圖信息，求收購時(shí)、兩種馬鈴薯每箱的收購價(jià)格分別是多少元？(3)在（2）的條件下某蔬菜商人分兩次向老李收購?fù)赀@些黑馬?薯．收購方式如下：，兩個(gè)品種各自獨(dú)立裝箱，品種每箱千克，品種每箱千克，老李給出如下優(yōu)惠：收購或的數(shù)量（單位：箱）不超過箱超過箱-優(yōu)惠方式收購總價(jià)打九五折收購總價(jià)打八折第一次收購了兩個(gè)品種共箱，且收購的品種箱數(shù)比品種箱數(shù)多；受某些因素影響，蔬菜商人第二次收購時(shí)做出了價(jià)格調(diào)整：每箱的收購價(jià)不變，每箱的收購價(jià)比第一次的收購價(jià)降低，優(yōu)惠方式不變．兩次收購?fù)晁械暮隈R鈴薯后，蔬菜商人發(fā)現(xiàn)第二次支付給老李的費(fèi)用比第一次支付給老李費(fèi)用多元，求蔬菜商人第一次收購品種黑馬鈴薯多少箱？【答案】(1)品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量為千點(diǎn)，品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量為千克(2)品種每箱元，品種每箱元(3)【解析】（1）解：設(shè)品種的畝產(chǎn)量為千克，則品種的畝產(chǎn)量為，根據(jù)題意得，解得品種的畝產(chǎn)量為（千克）所以品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量為千點(diǎn)，品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量為千克．（2）解：設(shè)品種每箱元，品種每箱元，，解得所以品種每箱元，品種每箱元；（3）解：品種共有的箱數(shù)：（箱）產(chǎn)品共有的箱數(shù)：（箱）設(shè)第一次收購品種箱，第二次收購箱，則品種第一收購為箱，整理得即那么解得所以蔬菜商人第一次收購品種黑馬鈴薯箱．【考點(diǎn)10三元一次方程組】1．（23-24七年級(jí)下·福建泉州·期中）解方程組時(shí)，要使解法較為簡(jiǎn)便，應(yīng)（

）A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常數(shù)【答案】B【解析】解：，②③，即可消去，轉(zhuǎn)化成關(guān)于、的二元一次方程組，故選：．2．（23-24七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）三元一次方程組消去一個(gè)未知數(shù)后，所得二元一次方程組是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：，②③得：即，③①得：，∴，故選A3．（23-24七年級(jí)下·四川眉山·期中）在等式中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．則這個(gè)等式為【答案】【解析】解：由題可得：，解得，∴等式為，故答案為：．4．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）【閱讀理解】在求代數(shù)式的值時(shí)，有些題目可以用整體求值的方法，化難為易．例：已知，求的值．解：②①得：

③得：，所以，的值為3．【類比遷移】（1）已知，求的值；【實(shí)際應(yīng)用】（2）某班級(jí)班委準(zhǔn)備把本學(xué)期賣廢品的錢給同學(xué)們買期中獎(jiǎng)品，根據(jù)商店的價(jià)格，若購買3本筆記本、2支簽字筆、1支記號(hào)筆需要28元；若購買7本筆記本、5支簽字筆、3支記號(hào)筆需要66元；本班共45位同學(xué)，則購買45本筆記本、45支簽字筆、45支記號(hào)筆需要多少錢？【答案】（1）18；（2）共需要450元．【解析】解：（1），①②得：③③得：所以，的值為18；（2）設(shè)買1本筆記本需要a元、買1支簽字筆需要b元、買1支記號(hào)筆需要c元，由題意得：①得：③②③得所以，元；答：買45本筆記本、45支簽字筆、45支記號(hào)筆共需要450元．過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（23-24七年級(jí)下·云南文山·期中）若是關(guān)于的二元一次方程，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】解：由題意得：，且，解得，故選：B．2．（23-24八年級(jí)上·河南駐馬店·期末）已知，用含的代數(shù)式表示可得（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，移項(xiàng)得：，將的系數(shù)化為1得：，故選：D．3．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）在長(zhǎng)方形中放入六個(gè)長(zhǎng)、寬都相同的小長(zhǎng)方形，所標(biāo)尺寸如圖所示，則圖中陰影部分的面積之和為（

）A．48 B．72 C．36 D．24【答案】B【解析】解：設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為，依題意得，解之得，∴小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為，∴．故選：B．4．（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·期中）如圖，用四個(gè)完全相同且長(zhǎng)、寬分別為，()的長(zhǎng)方形紙片圍成一個(gè)大正方形，中間是空的小正方形EFGH．已知，，則下列關(guān)系式中不正確的是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】解：依題意，解得：∴，則只有D選項(xiàng)不正確，符合題意故選：D．5．（24-25七年級(jí)上·北京·期中）正正和陽陽一起玩猜數(shù)游戲．正正說：“你隨便選定三個(gè)小于8的正整數(shù)，按下列步驟進(jìn)行計(jì)算：第一步把第一個(gè)數(shù)乘以4，再減去15；第二步把第一步的結(jié)果乘以2，再加上第二個(gè)數(shù)；第三步把第二步的結(jié)果乘以8，再加上第三個(gè)數(shù)．只要你告訴我最后的得數(shù)，我就能知道你所選的三個(gè)正整數(shù)．”陽陽表示不信，但試了幾次以后，正正都猜對(duì)了．請(qǐng)你利用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)來探索該“奧秘”，回答：當(dāng)“最后的得數(shù)”是102時(shí)，陽陽最初選定的三個(gè)正整數(shù)按順序分別是（

）A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6【答案】D【解析】解：設(shè)這三個(gè)數(shù)為、、，由題意得：，整理得：，、將1，4，6代入可得：，故不符合題意；B、將6，4，1代入可得：，故不符合題意；C、將6，2，5代入可得：，故不符合題意；D、將5，2，6代入可得：，故符合題意；故選：D．6．（22-23七年級(jí)下·重慶綦江·期中）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)專著，其“方程”章中給出了“遍乘直除”的算法解方程組．比如對(duì)于方程組，，先將方程①中的未知數(shù)系數(shù)排成數(shù)列，然后執(zhí)行如下步驟：（如圖）第一步，將方程②中的未知數(shù)系數(shù)乘以3，然后不斷地減一行，直到第二行第一個(gè)數(shù)變?yōu)?；第二步，對(duì)第三行做同樣的操作，其余步驟都類似．方程①：第一步方程②：第二步方程③：其實(shí)以上步驟的本質(zhì)就是在消元，根據(jù)以上操作，有下列結(jié)論：（1）數(shù)列M為：（2）（3）其中正確的有（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）【答案】B【解析】解：由，得④，由，得⑤，由，得，∴，由，得⑥，由，得，∴，故選：B．二、填空題7．（23-24七年級(jí)下·浙江紹興·期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組（a是常數(shù)），若不論a取什么實(shí)數(shù)，代數(shù)式（k是常數(shù)）的值始終不變，則．【答案】【解析】解：關(guān)于，的二元一次方程組，①②得：，，，∵不論a取什么實(shí)數(shù)，代數(shù)式（k是常數(shù)）的值始終不變∴故答案為：．8．（23-24七年級(jí)下·河北石家莊·期中）已知、滿足方程組，則的值為．【答案】1【解析】解：，①②得：，故答案為：1．9．（24-25七年級(jí)上·重慶·期中）對(duì)于一個(gè)三位正整數(shù)，如果滿足：它的百位數(shù)字、十位數(shù)字之和與個(gè)位數(shù)字的差等于7，那稱這個(gè)數(shù)為“七巧數(shù)”．例如：，，是“七巧數(shù)”；，，不是“七巧數(shù)”．最小的“七巧數(shù)”是；若“七巧數(shù)”滿足：所有數(shù)位的數(shù)字之和是9的倍數(shù)，且它的百位數(shù)字大于十位數(shù)字，則的最大值是．【答案】160801【解析】解：根據(jù)題意，得：最小的“七巧數(shù)”為160；設(shè)“七巧數(shù)”m的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)分別為a、b、c，根據(jù)題意得：，（n為正整數(shù)）且得：，∴當(dāng)時(shí)，，，∴，或，或，或，，當(dāng)，3，4……得不到符合題意的m，∴m的值為801或711或621或531．∴的最大值是801，故答案為：160，801．10．（23-24七年級(jí)下·福建泉州·期中）已知、、是三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，，若，則的最大值與最小值的差為．【答案】1【解析】解：要使S取最大值，最大，z最小，∵x、y、z是三個(gè)非負(fù)整數(shù)，∴，解方程組，解得：，∴S的最大值；要使S取最小值，聯(lián)立得方程組，得，，得，，∴，把，代入，整理得，，當(dāng)x取最小值時(shí)，S有最小值，∵x、y、z是三個(gè)非負(fù)整數(shù)，∴x的最小值是0，∴，∴S的最大值與最小值的差：；故答案為：1三、解答題11．（22-23七年級(jí)下·重慶沙坪壩·期中）解方程組：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）解：，得，，∴，把代入②得，，∴x=1，∴方程組的解為；（2）解：方程組整理得，得，x=2，把x=2代入②得，，∴y=?1，∴方程組的解為；（3）解：方程組整理得，得，，∴，把代入②得，，∴，∴方程組的解為；（4）解：方程組整理得，得，，∴，把代入①得，，∴，∴方程組的解為．12．（23-24七年級(jí)下·北京·期中）解方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】（1）由②得，③，把③代入①，得，解得：，把代入③，得，∴方程組的解為（2）把②代入①，得，解得：，①-③，得，解得：，把代入②，得，解得：，∴方程組的解為：.13．（22-23七年級(jí)下·河南洛陽·期中）下面所示為七下教材38頁中三元一次方程組的解題過程，請(qǐng)根據(jù)教材提供的做法和有關(guān)信息解決問題．例1解方程組：解由方程②，得．……步驟一④將④分別代入方程①和③，得……步驟二整理，得解這個(gè)二元一次方程組，得，代入④，得．所以原方程組的解是，(1)我們?cè)谥皩W(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法，其基本思想是：通過“消元”，消去一個(gè)未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為求解，方法有和．其中的步驟二通過法消去未知數(shù)z，將三元一次方程組變成了，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中思想．(2)仿照以上思路解方程組消去字母Z后得到的二元一次方程組為．【答案】(1)一元一次方程；代入消元法；加減消元法；代入消元法；二元一次方程組；消元(2)【解析】（1）我們?cè)谥皩W(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法，其基本思想是：通過“消元”，消去一個(gè)未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，方法有代入消元法和加減消元法．其中的步驟二通