2025年滬科版七年級數(shù)學寒假復習 專題04 二元一次方程（組）

專題04二元一次方程（組）考點聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢重點專攻：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破知識點1：二元一次方程組的相關(guān)概念1．二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個未知數(shù)（一般用和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．注意：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù)．（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項（單項式）的次數(shù)是1．（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式．2．二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．注意：二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般要用大括號聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為的形式．3．二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組．此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù)．例如，二元一次方程組．注意：（1）它的一般形式為（其中，，，不同時為零）．（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，那么它們組成一個二元一次方程組．（3）符號“”表示同時滿足，相當于“且”的意思．4．二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．注意：（1）方程組中每個未知數(shù)的值應(yīng)同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解．（2）方程組的解要用大括號聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數(shù)個．知識點2：二元一次方程組的解法1．解二元一次方程組的思想：消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程2．解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關(guān)于（或）的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解．注意：（1）用代入法解二元一次方程組時，應(yīng)先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；（2）變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；（3）要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法．如將某個未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個整體用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法．整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率．（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；⑤將兩個未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可．注意：當方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時，用加減消元法較簡單．知識點3：實際問題與二元一次方程組注意：（1）解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組．知識點4：三元一次方程組1．定義：含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個相同的未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．等都是三元一次方程組．注意：理解三元一次方程組的定義時，要注意以下幾點：（1）方程組中的每一個方程都是一次方程；（2）如果三個一元一次方程合起來共有三個未知數(shù)，它們就能組成一個三元一次方程組．2．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)，最后再求出另一個未知數(shù)．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；（2）解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值；（3）將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；（4）解這個一元一次方程，求出最后一個未知數(shù)的值；（5）將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．注意：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據(jù)各方程特點尋求比較簡單的解法．（2）要檢驗求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個方程中，看每個方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解．3．三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(或三個)未知數(shù)；（2）找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；（3）根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個方程組，求出未知數(shù)的值；（5）寫出答案(包括單位名稱)．注意：（1）解實際應(yīng)用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去．（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一．（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個方程并組成方程組．題型歸納【考點01二元一次方程的定義】1．（22-23七年級上·湖南常德·期中）下列是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．2．（23-24七年級下·四川南充·期中）若是二元一次方程，則，3．（23-24七年級上·重慶·期末）已知方程是關(guān)于x、y的二元一次方程．則．4．（23-24七年級下·山東煙臺·期末）請寫出一個關(guān)于，的二元一次方程，使其滿足的系數(shù)是大于的整數(shù)，的系數(shù)是小于的整數(shù)，且，是這個二元一次方程的解．這個方程可以是．【考點02判斷是否是二元一次方程組】1．（23-24七年級下·云南德宏·期末）下列方程組中是二元一次方程組的是（

）A． B．C． D．2．（23-24七年級下·江蘇連云港·期末）下列方程組是二元一次方程組的是（

）A． B．C． D．3．（22-23七年級下·北京海淀·期中）下列方程組中，是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．4．（23-24七年級下·河北石家莊·期中）在方程組、、、、中，是二元一次方程組的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點03代入消元法】1．（22-23七年級下·重慶江津·期中）解下列方程組．(1)；(2)．2．（22-23七年級下·浙江·期中）用適當方法解下列方程組：(1)(2)3．（23-24七年級上·安徽·期末）解二元一次方程組：(1)(2)4．（22-23七年級下·新疆阿克蘇·期末）解下列方程組：(1)；(2)．【考點04加減消元法】1．（23-24八年級上·江蘇南通·期末）若x、y滿足方程，則的值是．2．（24-25八年級上·山東濟南·期中）解方程組(1)；(2)．3．（23-24七年級下·山東濟寧·期末）（1）解方程組：（2）解方程組：4．（23-24七年級下·廣東肇慶·期末）解下列方程組：(1)(2)【考點05二元一次方程組解的綜合應(yīng)用】1．（22-23七年級下·四川內(nèi)江·期中）利用加減消元法解二元一次方程組時，下列做法，正確的是（

）A．要消去，可以將B．要消去，可以將C．要消去，可以將D．要消去，可以將2．（23-24七年級下·湖南益陽·期中）是關(guān)于，的二元一次方程，則．3．（23-24七年級下·海南海口·期中）已知二元一次方程，用含y的代數(shù)式表示x，則．4．（23-24七年級下·浙江寧波·期中）已知關(guān)于x，y的方程組，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應(yīng)相加，得到一個新的方程，當m每取一個值時，就有一個方程，這些方程有一個公共解，這個公共解為．【考點06方案選擇】1．（23-24七年級下·四川眉山·期中）用長方形硬紙板做長方體盒子，底面為正方形，側(cè)面是相同的長方形，經(jīng)測量，一張硬紙板有如圖4種裁剪方案．方案：剪個側(cè)面；方案：剪個側(cè)面和個底面；方案：剪個側(cè)面和個底面；方案：剪個底面．現(xiàn)有張硬紙板，請你設(shè)計一種不浪費紙板的裁剪組合方案，并計算最多可以做多少個盒子？2．（23-24七年級下·重慶彭水·期中）某面粉加工廠要加工一批小麥，臺大面粉機和臺小面粉機同時工作加工小麥噸；臺大面粉機和臺小面粉機同時工作共加工小麥26噸．(1)臺大面粉機和臺小面粉機每小時各加工小麥多少噸？(2)該廠現(xiàn)有450噸小麥需要加工，計劃使用臺大面粉機和臺小面粉機同時工作，能否全部加工完？請你幫忙計算一下．3．（23-24七年級下·山東菏澤·期中）干佛山、趵突泉、大明湖并稱濟南三大風景名勝區(qū)，為了激發(fā)學生個人潛能和團隊精神，某學校組織學生去千佛山開展素質(zhì)拓展活動．已知千佛山景區(qū)成人票每張30元，學生票按成人票五折優(yōu)惠．某班教師加學生一共去了50人，門票共需810元．(1)這個班參與活動的教師和學生各多少人？（應(yīng)用二元一次方程組解決）(2)該班在購買活動獎品時，A獎品每件20元，B獎品每件50元，如果準備用200元購買，A，B兩種獎品（200元恰好用完，兩種獎品都有），請你幫班級設(shè)計出購買A，B兩種獎品的購買方案．4．（22-23七年級下·江蘇南通·期中）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車制造商開發(fā)了一款新能源汽車，計劃一年生產(chǎn)安裝360輛．由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成安裝任務(wù)，工廠決定招聘部分新工人，他們經(jīng)過培訓后也能獨立進行新能源汽車的安裝．生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熟練工和3名新工人每月可安裝12輛新能源汽車；2名熟練工和5名新工人每月可以安裝22輛新能源汽車．(1)每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛新能源汽車？(2)如果工廠招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務(wù)，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？(3)在（2）的條件下，工廠給安裝新能源汽車的每名熟練工人每月發(fā)放4000元的工資，給每名新工人每月發(fā)2400元的工資，那么工廠應(yīng)招聘多少名新工人，使新工人的數(shù)量多于熟練工，同時工廠每月支出的工資總額W（元）盡可能少？【考點07行程問題】1．（22-23七年級下·云南曲靖·期末）從甲地到乙地有一段上坡路與一段平路，如果上坡每小時走，平路每小時走，下坡每小時走，那么從甲地到乙地需要36分鐘，從乙地到甲地需要24分鐘，甲地到乙地全程是多少？根據(jù)題意，老師給出的方程組為，則方程組中x表示．2．（23-24七年級下·北京延慶·期末）學校和博物館相距20千米，小明與小強分別從學校和博物館出發(fā)，相向而行．如果小明比小強早出發(fā)30分鐘，那么在小強出發(fā)后2小時，他們相遇；如果他們同時出發(fā)，那么1小時后兩人還相距11千米．求小明、小強每小時各走多少千米．3．（23-24七年級下·江蘇徐州·期末）用二元一次方程組解決問題：A、B兩地相距，甲騎電動車從A地出發(fā)到B地，與此同時，乙騎電動車從B地出發(fā)到A地，兩人均保持勻速行駛．已知第10分鐘兩人相遇，又經(jīng)過4分鐘，里剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的騎行速度．4．（23-24七年級上·山東濱州·期末）列方程解應(yīng)用題：(1)A車和B車從甲，乙兩地同時出發(fā)，沿同一路線相向勻速而行．出發(fā)后1.5小時兩車相距75公里，之后再行駛2.5小時A車到達乙地，而B車還差40公里才能到達甲地．求甲地和乙地相距多少公里？(2)某工廠車間有60個工人生產(chǎn)A零件和B零件，每人每天可生產(chǎn)A零件15個或B零件20個（每人每天只能生產(chǎn)一種零件），一個A零件配兩個B零件，且每天生產(chǎn)的A零件和B零件恰好配套．工廠將零件批發(fā)給商場時，每個A零件可獲利10元，每個B零件可獲利5元．①求該工廠有多少工人生產(chǎn)A零件？②因市場需求，該工廠每天要多生產(chǎn)出一部分A零件供商場零售使用，現(xiàn)從生產(chǎn)B零件的工人中調(diào)出多少名工人生產(chǎn)A零件，才能使每日生產(chǎn)的零件總獲利比調(diào)動前多600元？【考點08分配問題】1．（23-24七年級下·山東淄博·期中）某旅館的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天40元，兩人間每人每天50元，一個50人的旅游團到該旅館住宿，租住了若干客房，且每個客房正好住滿，一天共花去住宿費元，兩種客房各租住了多少間？2．（23-24七年級下·廣東廣州·期中）列方程或方程組解應(yīng)用題福林制衣廠現(xiàn)有24名制作服裝的工人，每天都制作某種品牌的襯衫和褲子，每人每天可制作這種襯衫3件或褲子5條．已知制作一件襯衫可獲得利潤30元，制作一條褲子可獲得利潤16元，若該廠要求每天獲得利潤2100元，則需要安排多少名工人制作襯衫？多少名工人制作褲子？3．（22-23七年級上·廣西賀州·期末）某校預計安排若干間宿舍給七年級男寄宿生住，若每間宿舍住6人，則有4人住不下，若每間住7人，則有1間只住2人且空余8間宿舍，求該校七年級男寄宿生有多少人？預計安排給七年級男寄宿生的宿舍有多少間？4．（22-23七年級下·海南海口·期中）學校準備租用一批汽車，現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，甲種客車每輛載客量人，乙種客車每輛載客量人，已知輛甲種客車和輛乙種客車共需租金元，輛甲種客車和輛乙種客車共需租金元．(1)求輛甲種客車和輛乙種客車的租金分別是多少元？(2)學校計劃租用甲、乙兩種客車共輛，送名師生集體外出活動，剛好全部坐滿，問租車費用是多少？【考點09銷售盈虧問題】1．（23-24七年級下·江蘇淮安·期中）為迎接春季運動會，學校先在體育用品商店購買30個足球和60條跳繩用去720元，后又購買10個足球和50條跳繩用去360元．(1)足球、跳繩的單價各是多少元？(2)該店最近正在開展促銷活動，所有商品都按相同的折數(shù)打折銷售，在該店促銷期間購買100個足球和100條跳繩只需1800元，該店的商品按原價的幾折銷售？2．（23-24七年級下·重慶·期中）近日被市民們親切的稱為“背簍專線”的重慶輕軌四號線受到人們的關(guān)注，某天張大爺乘坐“背簍專線”將自己種植的新鮮水果櫻桃和枇杷拿去市區(qū)售賣，已知2斤櫻桃和3斤枇杷共可賣95元，3斤櫻桃和2斤枇杷共可賣105元．(1)請問張大爺售賣的櫻桃和枇杷每斤的售價各為多少元？(2)張大爺這天一共有20斤櫻桃和30斤枇杷，經(jīng)過一天的售賣，櫻桃一共賣出了櫻桃總量的，由于天氣炎熱，在剩下的櫻桃中出現(xiàn)了的損壞不能售賣．枇杷售出了枇杷總量的，張大爺決定對剩下的櫻桃打8折銷售，剩下的枇杷直接每斤降價m元，很快便將所有水果銷售一空，張大爺這天賣水果一共收入了889元，求m的值．3．（23-24七年級上·重慶北碚·期中）列方程解應(yīng)用題：7月，某水果店用370元購進葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的2倍還多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的進價分別為5元、2元，售價分別為8元、5元．(1)求購進兩種水果各多少千克？(2)8月，水果店以7月的進價又購進葡萄、西瓜兩種水果，其中葡萄、西瓜的重量都不變，葡萄降價y元銷售，西瓜按原價銷售，8月份兩種水果售完后的總利潤是315元，求y的值．4．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）黑馬鈴薯又名“黑金剛”，它富含碘、硒等多種微量元素，特別是含有花青素、花青原素，素有“地下蘋果”之稱．老李今年種植了5畝品種黑馬?薯，畝品種黑馬鈴薯，其中品種的平均畝產(chǎn)量比品種的平均畝產(chǎn)量低，共收獲兩個品種黑馬鈴薯千克．(1)求，兩個品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量各多少千克？(2)根據(jù)如圖信息，求收購時、兩種馬鈴薯每箱的收購價格分別是多少元？(3)在（2）的條件下某蔬菜商人分兩次向老李收購完這些黑馬?薯．收購方式如下：，兩個品種各自獨立裝箱，品種每箱千克，品種每箱千克，老李給出如下優(yōu)惠：收購或的數(shù)量（單位：箱）不超過箱超過箱-優(yōu)惠方式收購總價打九五折收購總價打八折第一次收購了兩個品種共箱，且收購的品種箱數(shù)比品種箱數(shù)多；受某些因素影響，蔬菜商人第二次收購時做出了價格調(diào)整：每箱的收購價不變，每箱的收購價比第一次的收購價降低，優(yōu)惠方式不變．兩次收購完所有的黑馬鈴薯后，蔬菜商人發(fā)現(xiàn)第二次支付給老李的費用比第一次支付給老李費用多元，求蔬菜商人第一次收購品種黑馬鈴薯多少箱？【考點10三元一次方程組】1．（23-24七年級下·福建泉州·期中）解方程組時，要使解法較為簡便，應(yīng)（

）A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常數(shù)2．（23-24七年級下·山東煙臺·期中）三元一次方程組消去一個未知數(shù)后，所得二元一次方程組是（

）A． B． C． D．3．（23-24七年級下·四川眉山·期中）在等式中，當時，；當時，；當時，．則這個等式為4．（24-25八年級上·山東濟南·期中）【閱讀理解】在求代數(shù)式的值時，有些題目可以用整體求值的方法，化難為易．例：已知，求的值．解：②①得：

③得：，所以，的值為3．【類比遷移】（1）已知，求的值；【實際應(yīng)用】（2）某班級班委準備把本學期賣廢品的錢給同學們買期中獎品，根據(jù)商店的價格，若購買3本筆記本、2支簽字筆、1支記號筆需要28元；若購買7本筆記本、5支簽字筆、3支記號筆需要66元；本班共45位同學，則購買45本筆記本、45支簽字筆、45支記號筆需要多少錢？過關(guān)檢測一、單選題1．（23-24七年級下·云南文山·期中）若是關(guān)于的二元一次方程，則的值為（

）A．1 B． C． D．22．（23-24八年級上·河南駐馬店·期末）已知，用含的代數(shù)式表示可得（

）A． B． C． D．3．（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習）在長方形中放入六個長、寬都相同的小長方形，所標尺寸如圖所示，則圖中陰影部分的面積之和為（

）A．48 B．72 C．36 D．244．（23-24七年級下·江蘇徐州·期中）如圖，用四個完全相同且長、寬分別為，()的長方形紙片圍成一個大正方形，中間是空的小正方形EFGH．已知，，則下列關(guān)系式中不正確的是(

)A． B．C． D．5．（24-25七年級上·北京·期中）正正和陽陽一起玩猜數(shù)游戲．正正說：“你隨便選定三個小于8的正整數(shù)，按下列步驟進行計算：第一步把第一個數(shù)乘以4，再減去15；第二步把第一步的結(jié)果乘以2，再加上第二個數(shù)；第三步把第二步的結(jié)果乘以8，再加上第三個數(shù)．只要你告訴我最后的得數(shù)，我就能知道你所選的三個正整數(shù)．”陽陽表示不信，但試了幾次以后，正正都猜對了．請你利用所學過的數(shù)學知識來探索該“奧秘”，回答：當“最后的得數(shù)”是102時，陽陽最初選定的三個正整數(shù)按順序分別是（

）A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，66．（22-23七年級下·重慶綦江·期中）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學專著，其“方程”章中給出了“遍乘直除”的算法解方程組．比如對于方程組，，先將方程①中的未知數(shù)系數(shù)排成數(shù)列，然后執(zhí)行如下步驟：（如圖）第一步，將方程②中的未知數(shù)系數(shù)乘以3，然后不斷地減一行，直到第二行第一個數(shù)變?yōu)?；第二步，對第三行做同樣的操作，其余步驟都類似．方程①：第一步方程②：第二步方程③：其實以上步驟的本質(zhì)就是在消元，根據(jù)以上操作，有下列結(jié)論：（1）數(shù)列M為：（2）（3）其中正確的有（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）二、填空題7．（23-24七年級下·浙江紹興·期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組（a是常數(shù)），若不論a取什么實數(shù)，代數(shù)式（k是常數(shù)）的值始終不變，則．8．（23-24七年級下·河北石家莊·期中）已知、滿足方程組，則的值為．9．（24-25七年級上·重慶·期中）對于一個三位正整數(shù)，如果滿足：它的百位數(shù)字、十位數(shù)字之和與個位數(shù)字的差等于7，那稱這個數(shù)為“七巧數(shù)”．例如：，，是“七巧數(shù)”；，，不是“七巧數(shù)”．最小的“七巧數(shù)”是；若“七巧數(shù)”滿足：所有數(shù)位的數(shù)字之和是9的倍數(shù)，且它的百位數(shù)字大于十位數(shù)字，則的最大值是．10．（23-24七年級下·福建泉州·期中）已知、、是三個非負實數(shù)，滿足，，若，則的最大值與最小值的差為．三、解答題11．（22-23七年級下·重慶沙坪壩·期中）解方程組：(1)；(2)；(3)；(4)．12．（23-24七年級下·北京·期中）解方程組：(1)(2)13．（22-23七年級下·河南洛陽·期中）下面所示為七下教材38頁中三元一次方程組的解題過程，請根據(jù)教材提供的做法和有關(guān)信息解決問題．例1解方程組：解由方程②，得．……步驟一④將④分別代入方程①和③，得……步驟二整理，得解這個二元一次方程組，得，代入④，得．所以原方程組的解是，(1)我們在之前學習了二元一次方程組的解法，其基本思想是：通過“消元”，消去一個未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為求解，方法有和．其中的步驟二通過法消去未知數(shù)z，將三元一次方程組變成了，體現(xiàn)了數(shù)學中思想．(2)仿照以上思路解方程組消去字母Z后得到的二元一次方程組為．14．（23-24七年級上·浙江杭州·期中）如圖，在一張長方形紙條上畫一條數(shù)軸．(1)折疊紙條使數(shù)軸上表示的點與表示9的點重合，折痕與數(shù)軸的交點表示的數(shù)是；如果數(shù)軸上兩點之間的距離為7，經(jīng)過上述的折疊方式能夠重合，那么左邊這個點表示的數(shù)是；(2)如圖2，點A、表示的數(shù)分別是、4，數(shù)軸上有點，使點到點的距離是點到點A距離的3倍，那么點表示的數(shù)是多少？(3)如圖2，若將此紙條沿A、兩處剪開，將中間的一段紙條對折，使其左右兩端重合，這樣連續(xù)對折5次后，再將其展開，分別求出最左端和最右端的折痕與數(shù)軸的交點表示的數(shù)．15．（23-24七年級下·廣東廣州·期中）關(guān)于x，y的二元一次方程組，如果方程組的解x，y滿足，我們就說方程組的解x與y具有“鄰好關(guān)系”，請完成下面問題：(1)方程組的解x與y是否具有“鄰好關(guān)系”？請說明理由；(2)方程組的解x與y具有“鄰好關(guān)系”，求k的值．16．（23-24七年級下·福建廈門·期中）已知關(guān)于，的二元一次方程組，其中為實數(shù)．(1)當時，求方程組的解；(2)求的值（用含的代數(shù)式表示）；(3)試說明無論取何數(shù)時，代數(shù)式的值始終不變．17．（23-24七年級下·福建泉州·期中）閱讀：某同學在解方程組時，運用了換元法，方法如下：設(shè)，，則原方程組可變形為關(guān)于m，n的方程組，解這個方程組得到它的解為．由，，求得原方程組的解為．請利用換元法解方程組：．18．（24-25七年級上·安徽六安·期中）如圖，已知點A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為a，點B對應(yīng)的數(shù)為b，且a，b滿足．(1)求點A與點B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)a和b；(2)現(xiàn)動點P從點A出發(fā)，沿數(shù)軸向右以每秒4個單位長度的速度運動；同時，動點Q從點B出發(fā)，沿數(shù)軸向左以每秒2個單位長度的速度運動，設(shè)點P的運動時間為t秒．①若點P和點Q相遇于點C，求點C在數(shù)軸上表示的數(shù)；②當點P和點Q相距15個單位長度時，直接寫出t的值．19．（24-25七年級上·廣東深圳·期中）如下表，從左邊第一個格子開始向右數(shù)，在每個小格子中都填入一個整數(shù)，使得其中任意三個相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等．7…(1)填空：________，________，第個格子中的數(shù)是________；(2)前個格子中所填整數(shù)之和是否可能為？若能，求出的值；若不能，請說明理由；(3)如果在前個格子中任取兩個數(shù)并用大數(shù)減去小數(shù)得到差值，而后將所有的這樣的差值累加起來稱為前項的累差值，例如前3項的累差值列式為：，那么前項的累差值為多少？20．（23-24七年級下·浙江·期中）滴滴快車是一種便捷的出行工具，計價規(guī)則如下表：計費項目里程費時長費遠途費單價1.8元/公里0.3元/分鐘0.8元/公里注：車費由里程費、時長費、遠途費三部分構(gòu)成，其中里程費按行車的實際里程計算；時長費按行車的實際時間計算；遠途費的收取方式為：行車里程7公里以內(nèi)（含7公里）不收遠途費，超過7公里的，超出部分每公里收0.8元．(1)一人乘坐滴滴快車，用了20分鐘到目的地，快車共行駛了x（）公里，他共用元（用含x的代數(shù)式表示）．(2)甲、乙兩好友出行，因順路兩人乘坐同一輛滴滴快車（多人乘坐只需一人支付全程費用），在途中乙先下車，此時計費器顯示已產(chǎn)生了8.4元費用，又過了8分鐘，甲到達目的地，并在支付14.4元給司機時發(fā)現(xiàn)快車全程共行駛了5公里，求乙的乘車時長和實際里程．(3)丙、丁兩人各自乘坐滴滴快車，丁比丙行車里程多1.5公里，如果下車時兩人所付車費相同，且兩人計費項目也相同，那么這兩輛滴滴快車的行車時長相差（直接寫出答案）．

專題04二元一次方程（組）考點聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢重點專攻：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破知識點1：二元一次方程組的相關(guān)概念1．二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個未知數(shù)（一般用和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．注意：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù)．（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項（單項式）的次數(shù)是1．（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式．2．二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．注意：二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般要用大括號聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為的形式．3．二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組．此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù)．例如，二元一次方程組．注意：（1）它的一般形式為（其中，，，不同時為零）．（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，那么它們組成一個二元一次方程組．（3）符號“”表示同時滿足，相當于“且”的意思．4．二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．注意：（1）方程組中每個未知數(shù)的值應(yīng)同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解．（2）方程組的解要用大括號聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數(shù)個．知識點2：二元一次方程組的解法1．解二元一次方程組的思想：消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程2．解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關(guān)于（或）的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解．注意：（1）用代入法解二元一次方程組時，應(yīng)先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；（2）變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；（3）要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法．如將某個未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個整體用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法．整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率．（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；⑤將兩個未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可．注意：當方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時，用加減消元法較簡單．知識點3：實際問題與二元一次方程組注意：（1）解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組．知識點4：三元一次方程組1．定義：含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個相同的未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．等都是三元一次方程組．注意：理解三元一次方程組的定義時，要注意以下幾點：（1）方程組中的每一個方程都是一次方程；（2）如果三個一元一次方程合起來共有三個未知數(shù)，它們就能組成一個三元一次方程組．2．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)，最后再求出另一個未知數(shù)．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；（2）解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值；（3）將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；（4）解這個一元一次方程，求出最后一個未知數(shù)的值；（5）將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．注意：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據(jù)各方程特點尋求比較簡單的解法．（2）要檢驗求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個方程中，看每個方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解．3．三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(或三個)未知數(shù)；（2）找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；（3）根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個方程組，求出未知數(shù)的值；（5）寫出答案(包括單位名稱)．注意：（1）解實際應(yīng)用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去．（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一．（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個方程并組成方程組．題型歸納【考點01二元一次方程的定義】1．（22-23七年級上·湖南常德·期中）下列是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：、是二元一次方程，該選項符合題意；、方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是，不是二元一次方程，該選項不合題意；、方程的左邊不是整式，不是二元一次方程，該選項不合題意；、方程只含有一個未知數(shù)，不是二元一次方程，該選項不合題意；故選：．2．（23-24七年級下·四川南充·期中）若是二元一次方程，則，【答案】【解析】解：∵是二元一次方程，∴，，∴，，故答案為：，．3．（23-24七年級上·重慶·期末）已知方程是關(guān)于x、y的二元一次方程．則．【答案】2【解析】解：∵方程是關(guān)于x、y的二元一次方程，∴，解得：，∴，故答案為：2．4．（23-24七年級下·山東煙臺·期末）請寫出一個關(guān)于，的二元一次方程，使其滿足的系數(shù)是大于的整數(shù)，的系數(shù)是小于的整數(shù)，且，是這個二元一次方程的解．這個方程可以是．【答案】（答案不唯一）【解析】解：由題意得，的系數(shù)是大于的整數(shù)，的系數(shù)是小于的整數(shù)，∴滿足題意，∵，是這個二元一次方程的解，∴當時，，解得：，∴符合題意．故答案為：（答案不唯一）．【考點02判斷是否是二元一次方程組】1．（23-24七年級下·云南德宏·期末）下列方程組中是二元一次方程組的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A．是三元一次方程組，故A不符合題意；B．是二元二次方程組，故B不符合題意；C．是二元一次方程組，故C符合題意；D．是分式方程組，故D不符合題意．故選：C．2．（23-24七年級下·江蘇連云港·期末）下列方程組是二元一次方程組的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：A、含有3個未知數(shù)，不是二元一次方程組；B、第一個方程不是整式方程，不是二元一次方程組；C、第一個方程不是二元一次方程，不是二元一次方程組；D、符合二元一次方程組的定義，是二元一次方程組；故選：D．3．（22-23七年級下·北京海淀·期中）下列方程組中，是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A．方程，含未知數(shù)的項的次數(shù)是2次，故該方程組不是二元一次方程組，選項不符合題意；B．方程不是整式方程，故該方程組不是二元一次方程組，選項不符合題意；C．該方程組含有三個未知數(shù)，故該方程組不是二元一次方程組，選項不符合題意；D．該方程組是二元一次方程組，選項符合題意．故選：D．4．（23-24七年級下·河北石家莊·期中）在方程組、、、、中，是二元一次方程組的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【解析】、是二元一次方程組，共2個，故選：A．【考點03代入消元法】1．（22-23七年級下·重慶江津·期中）解下列方程組．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，由②得，，把③代入①得，，∴把代入③得，，所以，方程組的解為；（2）解：，由①得，由②得，，∴，將代入③得，，∴，把代入，得，∴方程組的解為．2．（22-23七年級下·浙江·期中）用適當方法解下列方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，將①代入②得：，解得：，把代入①得：，∴原方程組的解為；（2）解：，整理為，得：，解得：，得：，解得：，∴原方程組的解為．3．（23-24七年級上·安徽·期末）解二元一次方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】（1）解：把①代入②得，解得把代入①得，∴（2）得，，把代入①得，，解得∴4．（22-23七年級下·新疆阿克蘇·期末）解下列方程組：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：得：，解得：，將代入①得：，解得：，故原方程組的解為；（2）解：設(shè)，，則原方程組化為，得：，解得：，將代入①得，解得：，則，得：，解得：，將代入得：，解得：，故原方程組的解為．【考點04加減消元法】1．（23-24八年級上·江蘇南通·期末）若x、y滿足方程，則的值是．【答案】【解析】解：得：，故答案為：．2．（24-25八年級上·山東濟南·期中）解方程組(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，，得，解得把代入①，得，解得，所以方程組的解為；（2）解：整理①得，即所以整理②得，把代入，得，解得，把代入，解得，所以方程組的解為．3．（23-24七年級下·山東濟寧·期末）（1）解方程組：（2）解方程組：【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）得：，解得，把代入①得：，解得，∴原方程組的解為；（2）整理得：，得：，解得，把代入①得：，解得，∴原方程組的解為．4．（23-24七年級下·廣東肇慶·期末）解下列方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，①②得：，解得：，把代入①得：，解得：，則方程組的解為．（2），①②得：，解得：，把代入①得：，則方程組的解為．【考點05二元一次方程組解的綜合應(yīng)用】1．（22-23七年級下·四川內(nèi)江·期中）利用加減消元法解二元一次方程組時，下列做法，正確的是（

）A．要消去，可以將B．要消去，可以將C．要消去，可以將D．要消去，可以將【答案】D【解析】解：對于方程組，若要要消去，則可以將；若要消去，可以將，故選：D2．（23-24七年級下·湖南益陽·期中）是關(guān)于，的二元一次方程，則．【答案】1【解析】解：根據(jù)題意，得且，解得，故答案為：1．3．（23-24七年級下·海南?？凇て谥校┮阎淮畏匠?，用含y的代數(shù)式表示x，則．【答案】【解析】解：∵，∴，∴，故答案為：．4．（23-24七年級下·浙江寧波·期中）已知關(guān)于x，y的方程組，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應(yīng)相加，得到一個新的方程，當m每取一個值時，就有一個方程，這些方程有一個公共解，這個公共解為．【答案】【解析】解：①②得，，，，根據(jù)題意，這些方程有一個公共解，與的取值無關(guān)，，解得．故答案為：．【考點06方案選擇】1．（23-24七年級下·四川眉山·期中）用長方形硬紙板做長方體盒子，底面為正方形，側(cè)面是相同的長方形，經(jīng)測量，一張硬紙板有如圖4種裁剪方案．方案：剪個側(cè)面；方案：剪個側(cè)面和個底面；方案：剪個側(cè)面和個底面；方案：剪個底面．現(xiàn)有張硬紙板，請你設(shè)計一種不浪費紙板的裁剪組合方案，并計算最多可以做多少個盒子？【答案】按方案裁剪張，方案裁剪7張組合，最多可以做個盒子【解析】解：設(shè)計1：選擇方案與方案組合，設(shè)按方案裁剪張，按方案裁剪張，根據(jù)題意可得：，解得：，可做盒子：(個)，答：按方案裁剪張，方案裁剪張組合，最多可以做個盒子；設(shè)計2：選擇裁剪方案、方案組合，設(shè)按方案裁剪張，按方案裁剪張，根據(jù)題意可得：，解得：，可做盒子：(個)，答：按方案裁剪張，方案裁剪張組合，最多可以做個盒子．2．（23-24七年級下·重慶彭水·期中）某面粉加工廠要加工一批小麥，臺大面粉機和臺小面粉機同時工作加工小麥噸；臺大面粉機和臺小面粉機同時工作共加工小麥26噸．(1)臺大面粉機和臺小面粉機每小時各加工小麥多少噸？(2)該廠現(xiàn)有450噸小麥需要加工，計劃使用臺大面粉機和臺小面粉機同時工作，能否全部加工完？請你幫忙計算一下．【答案】(1)1臺大面粉機每小時加工小麥6噸，1臺小面粉機每小時加工小麥4噸(2)不能全部加工完【解析】（1）解：設(shè)1臺大面粉機每小時加工小麥x噸，1臺小面粉機每小時加工小麥y噸，根據(jù)題意得：，解得：，答：1臺大面粉機每小時加工小麥6噸，1臺小面粉機每小時加工小麥4噸；（2）解：（噸），∵，∴不能全部加工完．3．（23-24七年級下·山東菏澤·期中）干佛山、趵突泉、大明湖并稱濟南三大風景名勝區(qū)，為了激發(fā)學生個人潛能和團隊精神，某學校組織學生去千佛山開展素質(zhì)拓展活動．已知千佛山景區(qū)成人票每張30元，學生票按成人票五折優(yōu)惠．某班教師加學生一共去了50人，門票共需810元．(1)這個班參與活動的教師和學生各多少人？（應(yīng)用二元一次方程組解決）(2)該班在購買活動獎品時，A獎品每件20元，B獎品每件50元，如果準備用200元購買，A，B兩種獎品（200元恰好用完，兩種獎品都有），請你幫班級設(shè)計出購買A，B兩種獎品的購買方案．【答案】(1)參與活動的教師有4人，學生有46人(2)購買A種獎品5件，購買B種獎品2件【解析】（1）解：設(shè)這個班參與活動的教師人，學生人，由題意得：，解得，答：這個班參與活動的教師4人，學生46人．（2）解：設(shè)購買種獎品件，種獎品件，由題意得：，則，均為正整數(shù)，，答：購買種獎品5件，種獎品2件．4．（22-23七年級下·江蘇南通·期中）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車制造商開發(fā)了一款新能源汽車，計劃一年生產(chǎn)安裝360輛．由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成安裝任務(wù)，工廠決定招聘部分新工人，他們經(jīng)過培訓后也能獨立進行新能源汽車的安裝．生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熟練工和3名新工人每月可安裝12輛新能源汽車；2名熟練工和5名新工人每月可以安裝22輛新能源汽車．(1)每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛新能源汽車？(2)如果工廠招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務(wù)，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？(3)在（2）的條件下，工廠給安裝新能源汽車的每名熟練工人每月發(fā)放4000元的工資，給每名新工人每月發(fā)2400元的工資，那么工廠應(yīng)招聘多少名新工人，使新工人的數(shù)量多于熟練工，同時工廠每月支出的工資總額W（元）盡可能少？【答案】(1)每名熟練工每月可以安裝6輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動汽車(2)工廠有3種新工人的招聘方案：①新工人9人，熟練工2人；②新工人6人，熟練工3人；③新工人3人，熟練工4人(3)應(yīng)招聘6名新工人【解析】（1）解：設(shè)每名熟練工每月可以安裝輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝輛電動汽車．根據(jù)題意得：，解得：．答：每名熟練工每月可以安裝6輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動汽車．（2）解：設(shè)工廠有名熟練工．根據(jù)題意，得，，，又，都是正整數(shù)，，所以，6，3．即工廠有3種新工人的招聘方案：①，，即新工人9人，熟練工2人；②，，即新工人6人，熟練工3人；③，，即新工人3人，熟練工4人．（3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的數(shù)量多于熟練工，則，或，；根據(jù)題意得：．當時，（元）當時，（元），當，時，即工廠應(yīng)招聘6名新工人，使新工人的數(shù)量多于熟練工，同時工廠每月支出的工資總額（元）盡可能少．【考點07行程問題】1．（22-23七年級下·云南曲靖·期末）從甲地到乙地有一段上坡路與一段平路，如果上坡每小時走，平路每小時走，下坡每小時走，那么從甲地到乙地需要36分鐘，從乙地到甲地需要24分鐘，甲地到乙地全程是多少？根據(jù)題意，老師給出的方程組為，則方程組中x表示．【答案】從甲地到乙地的上坡路程【解析】解：設(shè)從甲地到乙地的上坡路為，平路為，依題意得，方程組中x表示從甲地到乙地的上坡路程，故答案為：從甲地到乙地的上坡路程．2．（23-24七年級下·北京延慶·期末）學校和博物館相距20千米，小明與小強分別從學校和博物館出發(fā)，相向而行．如果小明比小強早出發(fā)30分鐘，那么在小強出發(fā)后2小時，他們相遇；如果他們同時出發(fā)，那么1小時后兩人還相距11千米．求小明、小強每小時各走多少千米．【答案】小明每小時走4千米，小強每小時走5千米【解析】解：設(shè)小明每小時走x千米，每小時走y千米，根據(jù)題意列方程組，得，解這個方程組，得答：小明每小時走4千米，小強每小時走5千米．3．（23-24七年級下·江蘇徐州·期末）用二元一次方程組解決問題：A、B兩地相距，甲騎電動車從A地出發(fā)到B地，與此同時，乙騎電動車從B地出發(fā)到A地，兩人均保持勻速行駛．已知第10分鐘兩人相遇，又經(jīng)過4分鐘，里剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的騎行速度．【答案】甲的速度為，乙的速度為【解析】設(shè)甲的速度為，乙的速度為．由題意，得解得答：甲的速度為，乙的速度為．4．（23-24七年級上·山東濱州·期末）列方程解應(yīng)用題：(1)A車和B車從甲，乙兩地同時出發(fā)，沿同一路線相向勻速而行．出發(fā)后1.5小時兩車相距75公里，之后再行駛2.5小時A車到達乙地，而B車還差40公里才能到達甲地．求甲地和乙地相距多少公里？(2)某工廠車間有60個工人生產(chǎn)A零件和B零件，每人每天可生產(chǎn)A零件15個或B零件20個（每人每天只能生產(chǎn)一種零件），一個A零件配兩個B零件，且每天生產(chǎn)的A零件和B零件恰好配套．工廠將零件批發(fā)給商場時，每個A零件可獲利10元，每個B零件可獲利5元．①求該工廠有多少工人生產(chǎn)A零件？②因市場需求，該工廠每天要多生產(chǎn)出一部分A零件供商場零售使用，現(xiàn)從生產(chǎn)B零件的工人中調(diào)出多少名工人生產(chǎn)A零件，才能使每日生產(chǎn)的零件總獲利比調(diào)動前多600元？【答案】(1)甲地和乙地相距240公里(2)①該工廠有24名工人生產(chǎn)A零件；②應(yīng)從生產(chǎn)B零件的工人中調(diào)出12名工人生產(chǎn)A零件【解析】（1）解：設(shè)車的速度是公里/小時，車的速度是公里/小時，根據(jù)題意得：，解得，答：甲地和乙地相距240公里．（2）解：①設(shè)該工廠有a名工人生產(chǎn)零件，b名工人生產(chǎn)零件，根據(jù)題意得：，解得答：該工廠有24名工人生產(chǎn)零件．②設(shè)應(yīng)從生產(chǎn)零件的工人中調(diào)出名工人生產(chǎn)零件．拫據(jù)題意得：解得：．答：應(yīng)從生產(chǎn)零件的工人中調(diào)出12名工人生產(chǎn)零件．【考點08分配問題】1．（23-24七年級下·山東淄博·期中）某旅館的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天40元，兩人間每人每天50元，一個50人的旅游團到該旅館住宿，租住了若干客房，且每個客房正好住滿，一天共花去住宿費元，兩種客房各租住了多少間？【答案】三人間客房租了間，二人間客房租了間【解析】解：設(shè)三人間客房有間，二人間客房有間，根據(jù)題意，得：解得：，答：三人間客房租了間，二人間客房租了間．2．（23-24七年級下·廣東廣州·期中）列方程或方程組解應(yīng)用題福林制衣廠現(xiàn)有24名制作服裝的工人，每天都制作某種品牌的襯衫和褲子，每人每天可制作這種襯衫3件或褲子5條．已知制作一件襯衫可獲得利潤30元，制作一條褲子可獲得利潤16元，若該廠要求每天獲得利潤2100元，則需要安排多少名工人制作襯衫？多少名工人制作褲子？【答案】安排18名工人制作襯衫，6名工人制作褲子【解析】解：設(shè)安排x名工人制作襯衫，y名工人制作褲子，根據(jù)題意，得，解得，答：安排18名工人制作襯衫，6名工人制作褲子．3．（22-23七年級上·廣西賀州·期末）某校預計安排若干間宿舍給七年級男寄宿生住，若每間宿舍住6人，則有4人住不下，若每間住7人，則有1間只住2人且空余8間宿舍，求該校七年級男寄宿生有多少人？預計安排給七年級男寄宿生的宿舍有多少間？【答案】該校七年級男寄宿生有394人，預計安排給七年級男寄宿生的宿舍有65間【解析】解：設(shè)該校七年級男寄宿生有x人，預計安排給七年級男寄宿生的宿舍有y間，根據(jù)題意得：，解得：．答：該校七年級男寄宿生有394人，預計安排給七年級男寄宿生的宿舍有65間．4．（22-23七年級下·海南?？凇て谥校W校準備租用一批汽車，現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，甲種客車每輛載客量人，乙種客車每輛載客量人，已知輛甲種客車和輛乙種客車共需租金元，輛甲種客車和輛乙種客車共需租金元．(1)求輛甲種客車和輛乙種客車的租金分別是多少元？(2)學校計劃租用甲、乙兩種客車共輛，送名師生集體外出活動，剛好全部坐滿，問租車費用是多少？【答案】(1)輛甲種客車的租金是元，輛乙種客車的租金是元(2)租車費用是元【解析】（1）解：設(shè)輛甲種客車的租金是元，輛乙種客車的租金是元，依題意有，解得，答：輛甲種客車的租金是元，輛乙種客車的租金是元．（2）解：設(shè)租用甲種客車輛，乙種客車輛，則，解得，元．答：剛好坐滿時，租車費用是元．【考點09銷售盈虧問題】1．（23-24七年級下·江蘇淮安·期中）為迎接春季運動會，學校先在體育用品商店購買30個足球和60條跳繩用去720元，后又購買10個足球和50條跳繩用去360元．(1)足球、跳繩的單價各是多少元？(2)該店最近正在開展促銷活動，所有商品都按相同的折數(shù)打折銷售，在該店促銷期間購買100個足球和100條跳繩只需1800元，該店的商品按原價的幾折銷售？【答案】(1)足球的單價為16元/個，跳繩的單價為4元/條(2)該店的商品按原價的9折銷售【解析】（1）解：設(shè)足球的單價為x元/個，跳繩的單價為y元/條，由題意可得：解得：答：足球的單價為16元/個，跳繩的單價為4元/條．（2）設(shè)該店的商品按原價的m折銷售，由題意可得：解得：答：該店的商品按原價的9折銷售．2．（23-24七年級下·重慶·期中）近日被市民們親切的稱為“背簍專線”的重慶輕軌四號線受到人們的關(guān)注，某天張大爺乘坐“背簍專線”將自己種植的新鮮水果櫻桃和枇杷拿去市區(qū)售賣，已知2斤櫻桃和3斤枇杷共可賣95元，3斤櫻桃和2斤枇杷共可賣105元．(1)請問張大爺售賣的櫻桃和枇杷每斤的售價各為多少元？(2)張大爺這天一共有20斤櫻桃和30斤枇杷，經(jīng)過一天的售賣，櫻桃一共賣出了櫻桃總量的，由于天氣炎熱，在剩下的櫻桃中出現(xiàn)了的損壞不能售賣．枇杷售出了枇杷總量的，張大爺決定對剩下的櫻桃打8折銷售，剩下的枇杷直接每斤降價m元，很快便將所有水果銷售一空，張大爺這天賣水果一共收入了889元，求m的值．【答案】(1)張大爺售賣的櫻桃每斤25元，枇杷每斤15元；(2)m的值為．【解析】（1）解：設(shè)張大爺售賣的櫻桃每斤元，枇杷每斤元，由題意可得：，解方程組得：，∴張大爺售賣的櫻桃每斤元，枇杷每斤元．（2）解：由題意可得：，解得：，∴答：的值為．3．（23-24七年級上·重慶北碚·期中）列方程解應(yīng)用題：7月，某水果店用370元購進葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的2倍還多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的進價分別為5元、2元，售價分別為8元、5元．(1)求購進兩種水果各多少千克？(2)8月，水果店以7月的進價又購進葡萄、西瓜兩種水果，其中葡萄、西瓜的重量都不變，葡萄降價y元銷售，西瓜按原價銷售，8月份兩種水果售完后的總利潤是315元，求y的值．【答案】(1)購進40千克葡萄，85千克西瓜(2)【解析】（1）解：設(shè)購進m千克葡萄，n千克西瓜，根據(jù)題意得：，解得：．答：購進40千克葡萄，85千克西瓜；（2）根據(jù)題意得：，解得：．答：y的值為．4．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）黑馬鈴薯又名“黑金剛”，它富含碘、硒等多種微量元素，特別是含有花青素、花青原素，素有“地下蘋果”之稱．老李今年種植了5畝品種黑馬?薯，畝品種黑馬鈴薯，其中品種的平均畝產(chǎn)量比品種的平均畝產(chǎn)量低，共收獲兩個品種黑馬鈴薯千克．(1)求，兩個品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量各多少千克？(2)根據(jù)如圖信息，求收購時、兩種馬鈴薯每箱的收購價格分別是多少元？(3)在（2）的條件下某蔬菜商人分兩次向老李收購完這些黑馬?薯．收購方式如下：，兩個品種各自獨立裝箱，品種每箱千克，品種每箱千克，老李給出如下優(yōu)惠：收購或的數(shù)量（單位：箱）不超過箱超過箱-優(yōu)惠方式收購總價打九五折收購總價打八折第一次收購了兩個品種共箱，且收購的品種箱數(shù)比品種箱數(shù)多；受某些因素影響，蔬菜商人第二次收購時做出了價格調(diào)整：每箱的收購價不變，每箱的收購價比第一次的收購價降低，優(yōu)惠方式不變．兩次收購完所有的黑馬鈴薯后，蔬菜商人發(fā)現(xiàn)第二次支付給老李的費用比第一次支付給老李費用多元，求蔬菜商人第一次收購品種黑馬鈴薯多少箱？【答案】(1)品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量為千點，品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量為千克(2)品種每箱元，品種每箱元(3)【解析】（1）解：設(shè)品種的畝產(chǎn)量為千克，則品種的畝產(chǎn)量為，根據(jù)題意得，解得品種的畝產(chǎn)量為（千克）所以品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量為千點，品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量為千克．（2）解：設(shè)品種每箱元，品種每箱元，，解得所以品種每箱元，品種每箱元；（3）解：品種共有的箱數(shù)：（箱）產(chǎn)品共有的箱數(shù)：（箱）設(shè)第一次收購品種箱，第二次收購箱，則品種第一收購為箱，整理得即那么解得所以蔬菜商人第一次收購品種黑馬鈴薯箱．【考點10三元一次方程組】1．（23-24七年級下·福建泉州·期中）解方程組時，要使解法較為簡便，應(yīng)（

）A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常數(shù)【答案】B【解析】解：，②③，即可消去，轉(zhuǎn)化成關(guān)于、的二元一次方程組，故選：．2．（23-24七年級下·山東煙臺·期中）三元一次方程組消去一個未知數(shù)后，所得二元一次方程組是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：，②③得：即，③①得：，∴，故選A3．（23-24七年級下·四川眉山·期中）在等式中，當時，；當時，；當時，．則這個等式為【答案】【解析】解：由題可得：，解得，∴等式為，故答案為：．4．（24-25八年級上·山東濟南·期中）【閱讀理解】在求代數(shù)式的值時，有些題目可以用整體求值的方法，化難為易．例：已知，求的值．解：②①得：

③得：，所以，的值為3．【類比遷移】（1）已知，求的值；【實際應(yīng)用】（2）某班級班委準備把本學期賣廢品的錢給同學們買期中獎品，根據(jù)商店的價格，若購買3本筆記本、2支簽字筆、1支記號筆需要28元；若購買7本筆記本、5支簽字筆、3支記號筆需要66元；本班共45位同學，則購買45本筆記本、45支簽字筆、45支記號筆需要多少錢？【答案】（1）18；（2）共需要450元．【解析】解：（1），①②得：③③得：所以，的值為18；（2）設(shè)買1本筆記本需要a元、買1支簽字筆需要b元、買1支記號筆需要c元，由題意得：①得：③②③得所以，元；答：買45本筆記本、45支簽字筆、45支記號筆共需要450元．過關(guān)檢測一、單選題1．（23-24七年級下·云南文山·期中）若是關(guān)于的二元一次方程，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】解：由題意得：，且，解得，故選：B．2．（23-24八年級上·河南駐馬店·期末）已知，用含的代數(shù)式表示可得（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，移項得：，將的系數(shù)化為1得：，故選：D．3．（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習）在長方形中放入六個長、寬都相同的小長方形，所標尺寸如圖所示，則圖中陰影部分的面積之和為（

）A．48 B．72 C．36 D．24【答案】B【解析】解：設(shè)小長方形的長、寬分別為，依題意得，解之得，∴小長方形的長、寬分別為，∴．故選：B．4．（23-24七年級下·江蘇徐州·期中）如圖，用四個完全相同且長、寬分別為，()的長方形紙片圍成一個大正方形，中間是空的小正方形EFGH．已知，，則下列關(guān)系式中不正確的是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】解：依題意，解得：∴，則只有D選項不正確，符合題意故選：D．5．（24-25七年級上·北京·期中）正正和陽陽一起玩猜數(shù)游戲．正正說：“你隨便選定三個小于8的正整數(shù)，按下列步驟進行計算：第一步把第一個數(shù)乘以4，再減去15；第二步把第一步的結(jié)果乘以2，再加上第二個數(shù)；第三步把第二步的結(jié)果乘以8，再加上第三個數(shù)．只要你告訴我最后的得數(shù)，我就能知道你所選的三個正整數(shù)．”陽陽表示不信，但試了幾次以后，正正都猜對了．請你利用所學過的數(shù)學知識來探索該“奧秘”，回答：當“最后的得數(shù)”是102時，陽陽最初選定的三個正整數(shù)按順序分別是（

）A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6【答案】D【解析】解：設(shè)這三個數(shù)為、、，由題意得：，整理得：，、將1，4，6代入可得：，故不符合題意；B、將6，4，1代入可得：，故不符合題意；C、將6，2，5代入可得：，故不符合題意；D、將5，2，6代入可得：，故符合題意；故選：D．6．（22-23七年級下·重慶綦江·期中）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學專著，其“方程”章中給出了“遍乘直除”的算法解方程組．比如對于方程組，，先將方程①中的未知數(shù)系數(shù)排成數(shù)列，然后執(zhí)行如下步驟：（如圖）第一步，將方程②中的未知數(shù)系數(shù)乘以3，然后不斷地減一行，直到第二行第一個數(shù)變?yōu)?；第二步，對第三行做同樣的操作，其余步驟都類似．方程①：第一步方程②：第二步方程③：其實以上步驟的本質(zhì)就是在消元，根據(jù)以上操作，有下列結(jié)論：（1）數(shù)列M為：（2）（3）其中正確的有（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）【答案】B【解析】解：由，得④，由，得⑤，由，得，∴，由，得⑥，由，得，∴，故選：B．二、填空題7．（23-24七年級下·浙江紹興·期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組（a是常數(shù)），若不論a取什么實數(shù)，代數(shù)式（k是常數(shù)）的值始終不變，則．【答案】【解析】解：關(guān)于，的二元一次方程組，①②得：，，，∵不論a取什么實數(shù)，代數(shù)式（k是常數(shù)）的值始終不變∴故答案為：．8．（23-24七年級下·河北石家莊·期中）已知、滿足方程組，則的值為．【答案】1【解析】解：，①②得：，故答案為：1．9．（24-25七年級上·重慶·期中）對于一個三位正整數(shù)，如果滿足：它的百位數(shù)字、十位數(shù)字之和與個位數(shù)字的差等于7，那稱這個數(shù)為“七巧數(shù)”．例如：，，是“七巧數(shù)”；，，不是“七巧數(shù)”．最小的“七巧數(shù)”是；若“七巧數(shù)”滿足：所有數(shù)位的數(shù)字之和是9的倍數(shù)，且它的百位數(shù)字大于十位數(shù)字，則的最大值是．【答案】160801【解析】解：根據(jù)題意，得：最小的“七巧數(shù)”為160；設(shè)“七巧數(shù)”m的百位、十位、個位上的數(shù)分別為a、b、c，根據(jù)題意得：，（n為正整數(shù)）且得：，∴當時，，，∴，或，或，或，，當，3，4……得不到符合題意的m，∴m的值為801或711或621或531．∴的最大值是801，故答案為：160，801．10．（23-24七年級下·福建泉州·期中）已知、、是三個非負實數(shù)，滿足，，若，則的最大值與最小值的差為．【答案】1【解析】解：要使S取最大值，最大，z最小，∵x、y、z是三個非負整數(shù)，∴，解方程組，解得：，∴S的最大值；要使S取最小值，聯(lián)立得方程組，得，，得，，∴，把，代入，整理得，，當x取最小值時，S有最小值，∵x、y、z是三個非負整數(shù)，∴x的最小值是0，∴，∴S的最大值與最小值的差：；故答案為：1三、解答題11．（22-23七年級下·重慶沙坪壩·期中）解方程組：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）解：，得，，∴，把代入②得，，∴x=1，∴方程組的解為；（2）解：方程組整理得，得，x=2，把x=2代入②得，，∴y=?1，∴方程組的解為；（3）解：方程組整理得，得，，∴，把代入②得，，∴，∴方程組的解為；（4）解：方程組整理得，得，，∴，把代入①得，，∴，∴方程組的解為．12．（23-24七年級下·北京·期中）解方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】（1）由②得，③，把③代入①，得，解得：，把代入③，得，∴方程組的解為（2）把②代入①，得，解得：，①-③，得，解得：，把代入②，得，解得：，∴方程組的解為：.13．（22-23七年級下·河南洛陽·期中）下面所示為七下教材38頁中三元一次方程組的解題過程，請根據(jù)教材提供的做法和有關(guān)信息解決問題．例1解方程組：解由方程②，得．……步驟一④將④分別代入方程①和③，得……步驟二整理，得解這個二元一次方程組，得，代入④，得．所以原方程組的解是，(1)我們在之前學習了二元一次方程組的解法，其基本思想是：通過“消元”，消去一個未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為求解，方法有和．其中的步驟二通過法消去未知數(shù)z，將三元一次方程組變成了，體現(xiàn)了數(shù)學中思想．(2)仿照以上思路解方程組消去字母Z后得到的二元一次方程組為．【答案】(1)一元一次方程；代入消元法；加減消元法；代入消元法；二元一次方程組；消元(2)【解析】（1）我們在之前學習了二元一次方程組的解法，其基本思想是：通過“消元”，消去一個未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，方法有代入消元法和加減消元法．其中的步驟二通