2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第二次月考試卷 【含答案】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第二次月考試卷（滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）測(cè)試范圍：集合+不等式+函數(shù)+三角函數(shù)與解三角形+導(dǎo)數(shù)+復(fù)數(shù)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知，則（

）A． B． C． D．5．設(shè)，，.若，，則最大值為（

）A．2 B． C．1 D．6．阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國(guó)第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動(dòng)過(guò)程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時(shí)間分別為，，，且，，則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開(kāi)平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為（

）

A． B． C．1s D．7．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若滿足：，，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．8．函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，是奇函數(shù)．記關(guān)于的方程的根為，若，則的值可以為（

）A． B． C． D．1二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．，和是方程的兩個(gè)根，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．已知是同一平面內(nèi)的四點(diǎn)，且，則（

）A．當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，B．當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，C．當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，的最小值為3D．當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，11．已知有三個(gè)不相等的零點(diǎn)且，則下列命題正確的是（

）A．存在實(shí)數(shù)，使得B．C．D．為定值三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若函數(shù)為偶函數(shù)，則.13．已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則的最小值為.14．已知函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)a，b，c，d，且，且在區(qū)間和上各存在唯一一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且的面積.(1)求角B；(2)若的平分線交于點(diǎn)D，，，求的長(zhǎng).16．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.17．已知向量，，，圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離.(1)求的值及在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，求的值域.18．某單位購(gòu)入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫米/立方米）隨著時(shí)間（單位：小時(shí)）變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．(1)若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)幾小時(shí)？(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6小時(shí)后再噴灑個(gè)單位的消毒劑，要使接下來(lái)的4小時(shí)中能夠持續(xù)有效消毒，試求的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）19．若函數(shù)在區(qū)間上有定義，且，，則稱是的一個(gè)“封閉區(qū)間”．(1)已知函數(shù)，區(qū)間且的一個(gè)“封閉區(qū)間”，求的取值集合；(2)已知函數(shù)，設(shè)集合．（i）求集合中元素的個(gè)數(shù)；（ii）用表示區(qū)間的長(zhǎng)度，設(shè)為集合中的最大元素．證明：存在唯一長(zhǎng)度為的閉區(qū)間，使得是的一個(gè)“封閉區(qū)間”．參考答案與詳細(xì)解析一、選擇題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式求出兩個(gè)集合，再求出，然后求即可.【解析】由，得，解得，所以，由，得或，所以，所以，所以．故選：B2．若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出z，再根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義得出z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，進(jìn)而求解．【解析】設(shè)，則，則，即，所以，，解得，，故，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．故選：D．3．設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價(jià)于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【解析】因?yàn)椋傻?，即，可知等價(jià)于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無(wú)法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡(jiǎn)等式，在利用二倍角公式計(jì)算得到結(jié)果；【解析】∵，∴，∴，故選：A．5．設(shè)，，.若，，則最大值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】先利用指、對(duì)數(shù)的關(guān)系，用表示，再利用基本不等式求最大值.【解析】∵，，，，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).∴的最大值為1.故選：C.6．阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國(guó)第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動(dòng)過(guò)程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時(shí)間分別為，，，且，，則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開(kāi)平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為（

）

A． B． C．1s D．【答案】C【分析】先根據(jù)周期求出，再解不等式，得到的范圍即得解.【解析】因?yàn)?，，，所以，又，所以，則，由可得，所以，，所以，，故，所以在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開(kāi)平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為1s.故選：C.7．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若滿足：，，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意令，利用導(dǎo)數(shù)及題干所給條件求得的單調(diào)性，利用函數(shù)的對(duì)稱性，可得，對(duì)其進(jìn)行比較即可判斷各選項(xiàng).【解析】令，則，函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，又由，即函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，從而，對(duì)于A，，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C正確；對(duì)于D，，，，D錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性即可.8．函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，是奇函數(shù)．記關(guān)于的方程的根為，若，則的值可以為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，再畫(huà)出函數(shù)和的圖象，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.【解析】若函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以而也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，恒過(guò)點(diǎn)，方程根，即為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且其中一個(gè)交點(diǎn)是，如圖畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，若，根據(jù)對(duì)稱性可知，軸左側(cè)和右側(cè)各有3個(gè)交點(diǎn)，如圖，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，軸右側(cè)有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，軸右側(cè)有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，所以滿足條件的的取值范圍是，選項(xiàng)中滿足條件的只有.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是正確分析出函數(shù)的圖象，尤其是，并且會(huì)利用數(shù)形結(jié)合，分析臨界直線，即可求解.二、多選題9．，和是方程的兩個(gè)根，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由題設(shè)，利用根與系數(shù)關(guān)系及判別式有，，，再結(jié)合和角正切公式、基本不等式判斷各項(xiàng)正誤.【解析】由，則，則，且，則，由，A對(duì)，B、C錯(cuò)；由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，D對(duì).故選：AD10．已知是同一平面內(nèi)的四點(diǎn)，且，則（

）A．當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，B．當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，C．當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，的最小值為3D．當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，【答案】ACD【分析】依據(jù)在直線的同側(cè)或兩側(cè)分類研究，在兩側(cè)時(shí)由數(shù)量積和模的運(yùn)算計(jì)算結(jié)果，可判斷A、C；在同側(cè)時(shí)利用數(shù)量積的三角形式求解可判斷B，結(jié)合平面向量基本定理，判斷答案D.【解析】設(shè)，由，，得；由，得，，當(dāng)點(diǎn)在直線的兩側(cè)時(shí)，如圖①，，所以，即，故A正確；因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，的最小值為3，故C正確；當(dāng)點(diǎn)在直線的同側(cè)時(shí)，如圖②，，所以，故B錯(cuò)誤；設(shè)，則，即解得，所以，即，故D正確．故選：ACD.11．已知有三個(gè)不相等的零點(diǎn)且，則下列命題正確的是（

）A．存在實(shí)數(shù)，使得B．C．D．為定值【答案】BCD【分析】化簡(jiǎn)方程，令，得，構(gòu)造，則，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象，要使關(guān)于x的方程三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，且，結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個(gè)實(shí)根，，結(jié)合韋達(dá)定理，推出所求表達(dá)式的關(guān)系式，然后對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案．【解析】由方程，可得．令，則有，即，令函數(shù)，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，作出圖象如圖所示，要使關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，且，結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個(gè)實(shí)根，，且，或，，令，若，，則，故，若，，則，無(wú)解，綜上：，故C正確；由圖結(jié)合單調(diào)性可知，故B正確；若，則，又，故A不正確；，故D正確，故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象將，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的函數(shù)即可求解.三、填空題12．若函數(shù)為偶函數(shù)，則.【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義得，代入化簡(jiǎn)即得值.【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，即，即，所以，故答案為：13．已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則的最小值為.【答案】/【分析】由余弦定理可得，利用基本不等式可求最小值.【解析】由題意可得，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以，所以根?jù)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.14．已知函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)a，b，c，d，且，且在區(qū)間和上各存在唯一一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【答案】【分析】解法一：根據(jù)可以化為，令，易得為偶函數(shù)，所以只需考慮時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)c，d，且在區(qū)間存在唯一的整數(shù)，根據(jù)因?yàn)?，則，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間存在唯一的整數(shù)，列出不等書(shū)組即可；解法二：由得到，令，得到為奇函數(shù)，所以只需考慮時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)且在區(qū)間存在唯一的整數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)得到單調(diào)性，根據(jù)直線過(guò)特殊點(diǎn)時(shí)的值即可得到范圍.【解析】(解法一)，令，則．∴為偶函數(shù)，∴只需考慮時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)c，d，且在區(qū)間存在唯一的整數(shù)．時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，．∴在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞減，∵在區(qū)間存在唯一的整數(shù)，∴，即，∴m的取值范圍為．(解法二)，令則，∴為奇函數(shù)，∵也是奇函數(shù)，∴只需考慮時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)且在區(qū)間存在唯一的整數(shù)．當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞減，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(1，1)時(shí)，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，∵與有兩個(gè)交點(diǎn)，且在區(qū)間存在唯一的整數(shù)，∴，∴m的取值范圍為．故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.四、解答題15．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且的面積.(1)求角B；(2)若的平分線交于點(diǎn)D，，，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2).【分析】（1）由三角形面積公式可得，即可由余弦定理求解，（2）利用等面積法即可求解.【解析】（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）在中，由等面積法得，即，即所以.16．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）求出，切點(diǎn)為，直接寫出切線方程；（2）轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，，所以的圖象在處的切線方程為：.（2），若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對(duì)于恒成立，即對(duì)于恒成立，令，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故.17．已知向量，，，圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離.(1)求的值及在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，求的值域.【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，即可求出，從而得到函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）由余弦定理得到，再由基本不等式求出的范圍，即可得到的范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【解析】（1）依題意可得，由條件圖象上的相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，解得（負(fù)值已舍去），則，解得..令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，又，故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)?，，由余弦定理，又且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，又，所以，所以，則，則，所以的值域?yàn)?18．某單位購(gòu)入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫米/立方米）隨著時(shí)間（單位：小時(shí)）變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．(1)若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)幾小時(shí)？(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6小時(shí)后再噴灑個(gè)單位的消毒劑，要使接下來(lái)的4小時(shí)中能夠持續(xù)有效消毒，試求的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）【答案】(1)8小時(shí)(2)1.6【分析】（1）由可求出結(jié)果；（2）根據(jù)題意求出從第一次噴灑起，經(jīng)小時(shí)后，其濃度關(guān)于的函數(shù)解析式，再根據(jù)基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得結(jié)果.【解析】（1）因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的消毒劑，所以其濃度為當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，所以若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)8小時(shí)．（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)小時(shí)后，其濃度，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以其最小值為，由，解得，所以a的最小值為．19．