高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)2020QJ11SXRA034學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期第一學(xué)期課題橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）教科書書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)（A版）出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教學(xué)人員姓名單位授課教師許綺菲北京一七一中學(xué)教育集團(tuán)指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.形成和完善橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的概念，及時(shí)鞏固橢圓的概念與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及之間的關(guān)系．2.初步嘗試使用中間變量法，進(jìn)一步使用依據(jù)曲線上點(diǎn)滿足的幾何條件列出點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程，化簡(jiǎn)所列出的方程兩種方法求解動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．3.通過(guò)求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．重點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及a，b，c之間的關(guān)系，動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解方法．難點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解方法．教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)2分鐘18分鐘２分鐘新課引入例題講解課堂小結(jié)作業(yè)引導(dǎo)語(yǔ)：上節(jié)課我們通過(guò)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，根據(jù)橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何條件列出橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程，化簡(jiǎn)所列出的方程．請(qǐng)同學(xué)們回顧橢圓上點(diǎn)滿足的幾何條件．焦點(diǎn)在x軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．問(wèn)題1：如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且的坐標(biāo)分別為(0,c),(0,-c)，仍然令，那么橢圓的方程又是什么？追問(wèn)1：請(qǐng)同學(xué)們猜想方程形式是什么，猜想的依據(jù)是什么？追問(wèn)2：同學(xué)們是否有信心獨(dú)立完成這一推導(dǎo)過(guò)程？如何推導(dǎo)？師生活動(dòng)：學(xué)生先猜想，并討論猜想成立的依據(jù)，由學(xué)生課下獨(dú)立完成推導(dǎo)過(guò)程．設(shè)計(jì)意圖：形成和完善橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的概念．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)坐標(biāo)為及且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；，．解：（1）方法1：由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0）.由橢圓的定義知c＝1，所以所以所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．方法2：由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0）.由橢圓的定義知c＝1，有解得，，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．追問(wèn)：在方程求解過(guò)程中，是否體會(huì)到了方程與方程組思想？由，得解得，．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．例圖12如圖1，在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M圖1追問(wèn)1：解析幾何視角下可以通過(guò)什么方法確定線段PD的中點(diǎn)M的軌跡？追問(wèn)2：求一類軌跡問(wèn)題的基本思路與方法是什么？解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x0，0）．由點(diǎn)M是線段PD的中點(diǎn)，得x＝x0，y＝．因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以．①把，代入方程①，得，即QUOTEx24．所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓．尋求點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）中與之間的關(guān)系，然后消去，得到點(diǎn)M的軌跡方程．這是解析幾何中求點(diǎn)的軌跡方程常用的方法．利用信息技術(shù)，可以更方便地探究點(diǎn)M的軌跡的形狀.追問(wèn)3：由例3我們發(fā)現(xiàn)圓與橢圓的聯(lián)系，圓通過(guò)哪些方式可以，得到橢圓.你能由圓通過(guò)“拉伸”得到橢圓嗎？如何“拉伸”？師生活動(dòng)：（1）明確求軌跡方程即是求軌跡上任意的點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)所滿足的條件，因此必須先搞清楚點(diǎn)M所滿足的條件．（2）掌握求一類軌跡問(wèn)題的基本思路與方法，即通過(guò)建立點(diǎn)M與已知曲線上點(diǎn)的聯(lián)系，利用已知曲線的方程求解．（3）明確圓與橢圓的聯(lián)系，橢圓可看作是把圓“壓扁”或“拉長(zhǎng)”后，圓心一分為二所成的曲線．設(shè)計(jì)意圖：增強(qiáng)思維的探究性與挑戰(zhàn)性，同時(shí)更好地理解橢圓與圓的關(guān)系．圖2例3如圖2，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（－5，0），（5，0）．直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程．圖2追問(wèn)1：回顧橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程，求點(diǎn)M的軌跡方程的方法是什么？追問(wèn)2：這個(gè)題目我們可以利用點(diǎn)M的什么幾何性質(zhì)求其軌跡方程？設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），那么直線AM，BM的斜率就可用含x，y的關(guān)系式分別表示.由直線AM，BM的斜率之積是－QUOTE49，可得出建立x，y之間的關(guān)系式，進(jìn)而得到點(diǎn)M的軌跡方程．追問(wèn)3：在求解過(guò)程中，是否有特殊點(diǎn)需要關(guān)注？解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是（－5，0），所以直線AM的斜率kAM＝QUOTEyx+5（x≠－5）．同理，直線BM的斜率kBM＝QUOTEyx-5（x≠5）．由已知，有×＝－QUOTE49（x≠±5），化簡(jiǎn)，得點(diǎn)M的軌跡方程為（x≠±5）．點(diǎn)M的軌跡是除去（－5，0），（5，0）兩點(diǎn)的橢圓．追問(wèn)4：當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)連線的斜率之積是－1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么？追問(wèn)5：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)連線的斜率之積是一個(gè)正常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)軌跡又是什么？這兩個(gè)問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)們課下探究．師生活動(dòng)：（1）在學(xué)生分析、討論解題思路的基礎(chǔ)上，由學(xué)生獨(dú)立完成；（2）教師視情況講解、點(diǎn)評(píng)；（3）注意檢驗(yàn)方程與曲線之間是否等價(jià)．設(shè)計(jì)意圖：深化學(xué)生對(duì)求曲線的方程的方法、橢圓的幾何特征的認(rèn)識(shí)．追問(wèn)4又一次讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的聯(lián)系；追問(wèn)5雖然是學(xué)習(xí)雙曲線才能解決的，但這里的引導(dǎo)可以提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力．問(wèn)題2：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些形式？追問(wèn)：給出一個(gè)橢圓方程，如何區(qū)分其焦點(diǎn)在軸或軸？問(wèn)題3：這節(jié)課我們用到了哪些求解動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法？１.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）a＝4，c＝QUOTE15，焦