高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題(1)-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)2020QJ11SXRA010學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期上學(xué)期課題用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題（1）教科書書名：《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)出版社：人教社出版日期：年月教學(xué)人員姓名單位授課教師劉興華北京景山學(xué)校指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：能利用投影向量得到點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面的距離公式，結(jié)合一些具體的距離問(wèn)題的解決，歸納用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)．教學(xué)重點(diǎn)：利用投影向量推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式和點(diǎn)到平面的距離公式．教學(xué)難點(diǎn)：利用投影向量統(tǒng)一研究空間距離問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)前面我們學(xué)習(xí)了用空間向量及其運(yùn)算研究立體幾何中點(diǎn)、直線、平面這些幾何元素的平行、垂直的位置關(guān)系．除了上述平行、垂直這些特殊的位置關(guān)系外，立體幾何中還經(jīng)常需要研究距離、角度等度量問(wèn)題．現(xiàn)在，我們?nèi)匀煌ㄟ^(guò)空間向量及其運(yùn)算研究這些幾何元素之間產(chǎn)生的距離與夾角等問(wèn)題．在前面的學(xué)習(xí)中，對(duì)于應(yīng)用空間向量及其運(yùn)算計(jì)算距離與夾角的方法，同學(xué)們已經(jīng)有了初步的體會(huì)．今天我們一起，繼續(xù)深入學(xué)習(xí)用空間向量研究距離問(wèn)題．距離是歐氏幾何中最基本的度量，回顧立體幾何的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)空間中點(diǎn)、直線、平面之間的距離問(wèn)題包括：兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線之間的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離以及平行平面之間的距離等．距離是這些幾何要素之間最短的路徑，除兩點(diǎn)間距離外，其他距離都需要用垂直刻畫．問(wèn)題1：這些空間中的距離問(wèn)題歸類嗎？生：首先，點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線之間的距離可以歸結(jié)為一類，因?yàn)閮蓷l平行線之間的距離可以轉(zhuǎn)化為一直線上的點(diǎn)到另一條直線的距離問(wèn)題；其次，點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離以及平行平面之間的距離可以歸結(jié)為點(diǎn)（或直線上的點(diǎn)，或一平面上的點(diǎn)）到平面的距離．所有的距離問(wèn)題，都可以歸結(jié)為兩點(diǎn)間的距離．師：如何用空間向量研究距離？生：類比平面向量的知識(shí)，距離可以通過(guò)向量的模獲得．例如，空間兩點(diǎn)間的距離可以轉(zhuǎn)化為空間向量的模的計(jì)算．師：除兩點(diǎn)間的距離外，其他距離問(wèn)題都需要通過(guò)垂直來(lái)刻畫，投影向量和勾股定理勢(shì)必在這些距離的計(jì)算中發(fā)揮重要作用．問(wèn)題2：是直線外的一點(diǎn)，如何求出點(diǎn)到的距離？生：此時(shí)點(diǎn)與直線確定一個(gè)平面，只需過(guò)點(diǎn)作，垂足為，垂線段的長(zhǎng)度即為點(diǎn)到直線的距離．師：這里，給出下列條件：已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，如何利用這些條件求點(diǎn)到該直線的距離？生：結(jié)合圖形與已知條件，在直角中，使用勾股定理可以求出直角邊PQ的長(zhǎng)度．具體過(guò)程就是，先求出向量及其在直線上的投影向量，再利用勾股定理即可求線段的長(zhǎng)度．那么，問(wèn)題是師：如何表示在直線上的投影向量？生：根據(jù)投影向量的概念可以得到．設(shè)AP=a，則又因?yàn)闉閱挝环较蛳蛄浚裕畯亩覀兛梢缘玫綆煟喝绻麠l件改為“已知直線的方向向量”呢？你還會(huì)表示點(diǎn)到該直線的距離嗎？生：由已知直線的方向向量，可以先求為直線的單位方向向量，再得到向量在直線上的投影向量為，則．從而有，．師:如何用向量方法求兩條平行線之間的距離？需要哪些條件？生：兩條平行線之間的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，需要給出兩條直線的方向向量，以及每條直線上的一個(gè)定點(diǎn)．由這兩個(gè)定點(diǎn)確定的向量及直線的方向向量，就可以使用前述公式來(lái)求得兩條平行線之間的距離．PQ=問(wèn)題3：是平面外的一點(diǎn)，如何求點(diǎn)到平面的距離？師：如何作出點(diǎn)到平面的距離？生：根據(jù)點(diǎn)到平面的距離的定義知，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，垂線段的長(zhǎng)度為點(diǎn)到平面的距離．師：在平面的描述中給出條件，已知平面的法向量為，A是平面內(nèi)的定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作平面的垂線記為l，如何利用這些條件求點(diǎn)到平面的距離？生：根據(jù)定義，我們知道，點(diǎn)到平面的距離就等于向量在法向量方向上的投影向量的長(zhǎng)度．具體操作，可以先求AP，再求AP在l上的投影向量QP，最后求PQ的長(zhǎng)度．其中QP=(AP?nn)nn．小結(jié)：整理向量法求距離的公式距離問(wèn)題圖示向量法的距離公式兩點(diǎn)間距離PPQPQ=點(diǎn)到直線的距離PPQlAuaPQ=兩平行直線之間的距離ll1l2APQauPQ=點(diǎn)到平面的距離PPQnαAPQ=在處理距離問(wèn)題時(shí)，投影向量和勾股定理的使用是關(guān)鍵．例如圖在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．求點(diǎn)到直線的距離．判斷直線與平面的位置關(guān)系；如果平行，求直線到平面的距離．師：使用向量方法求距離，共同點(diǎn)是什么？生：這些公式的共同點(diǎn)：都運(yùn)用了向量的數(shù)量積運(yùn)算．師：為此我們要做什么準(zhǔn)備？生：根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示相關(guān)的點(diǎn)、直線的方向向量和平面的法向量．解：以D1為原點(diǎn)，D1A1，D1C1，D1D所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1，12，0)，F(xiàn)(1，12，1)取a＝AB＝(0，1，a2＝1，a?u＝33所以，點(diǎn)B到直線AC1的距離為a2-a?u2＝1-(2)因?yàn)镕C＝EC1＝(-1所以FC//平面AEC1．所以點(diǎn)F到平面AEC1的距離即為直線FC到平面AEC1的距離．設(shè)平面AEC1的法向量為n＝(x，y，z)，則n 所以1所以y取z＝1，則x＝1，y＝2．所以，n＝(1，2，1)是平面AEC1的一個(gè)法向量．又因?yàn)锳F＝所以點(diǎn)F到平面AEC1的距離為AF?n|n|＝(0 即直線FC到平面AEC1的距離為66例題小結(jié)：1.求直線到平面的距離、兩平行平面間的距離問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，都等于向量AP在平面單位法向量方向上投影向量的長(zhǎng)度，即PQ=2.用向量法解決距離問(wèn)題的“三步曲”建立空間直角坐標(biāo)系，求有關(guān)向量的坐標(biāo)——將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；使用距離的向量計(jì)算公式——向量的運(yùn)算與求解；得到所求距離——回到幾何圖形，得到結(jié)論．下面，我們總結(jié)一下本節(jié)課．課堂小結(jié)：?jiǎn)栴}4：本節(jié)課研究的主要內(nèi)容有哪些？本節(jié)課我們一起應(yīng)用空間向量及其運(yùn)算研究了求空間中的距離問(wèn)題，包括兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，平行直線之間的距離，點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離，平行平面之間的距離等，結(jié)合投影向量、勾股定理以及向量數(shù)量積運(yùn)算等，我們得到了這些距離問(wèn)題的計(jì)算公式，并通過(guò)例題的解決，體會(huì)了公式的使用，在很多問(wèn)題中，我們需要建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，以及直線的方向向量、平面的法向量的坐標(biāo)表示，代入公式進(jìn)行計(jì)算．問(wèn)題5：本節(jié)課我們采用的研究方法是什么？轉(zhuǎn)化的研究方法．我們把要解決的五個(gè)距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)距離問(wèn)題，幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題，求解距離轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算．在此過(guò)程中提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．問(wèn)題6：本節(jié)課的學(xué)習(xí)你體會(huì)到向量方法解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”嗎？與用平面向量解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”類似，我們可以得出用空間向量解決立體問(wèn)題的“三步曲”：（１）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（２）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離等問(wèn)題；（３）把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論．課后作業(yè)：1．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)A1到直線B1E