第1章-隨機(jī)事件與概率電子教案

第1章隨機(jī)事件與概率1.1隨機(jī)事件1.2事件的概率1.3概率的加法公式1.4條件概率與乘法公式1.5全概率公式與貝葉斯公式1.6事件的獨(dú)立性與貝努里概型2025/1/151概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.1.1隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)或?qū)﹄S機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀察。這種實(shí)驗(yàn)或觀察的過程稱為隨機(jī)試驗(yàn)。概率論里所研究的隨機(jī)試驗(yàn)具有下面兩個(gè)特征：(1)可以在完全相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪些可能的結(jié)果在試驗(yàn)前是已知的，但每次試驗(yàn)究竟會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果在試驗(yàn)前是無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)知的。在隨機(jī)試驗(yàn)中，每一個(gè)可能出現(xiàn)的不可再分解的最簡(jiǎn)單的結(jié)果稱為隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件或樣本點(diǎn)；由全體基本事件構(gòu)成的集合稱為基本事件空間或樣本空間，樣本空間通常用表示。

2025/1/152概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.1.1隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間例1射擊環(huán)靶的試驗(yàn)，用表示“擊中環(huán)”，則為這個(gè)試驗(yàn)的全體基本事件，樣本空間。例2記錄某電話總機(jī)在一天內(nèi)接到呼喚的次數(shù)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果(接到呼喚的次數(shù))可能值為所有的非負(fù)整數(shù)(因?yàn)殡y以規(guī)定一個(gè)呼喚次數(shù)的上界)。所以樣本空間。例3擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。用表示“出現(xiàn)點(diǎn)”，則為這個(gè)試驗(yàn)的全體基本事件。這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間。

2025/1/153概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.1.2隨機(jī)事件特別的，必然事件對(duì)應(yīng)樣本空間，不可能事件對(duì)應(yīng)空集(當(dāng)然和也是的子集)。本書中用表示必然事件，用表示不可能事件。

2025/1/155概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.1.3事件間的關(guān)系和運(yùn)算1．事件的包含與相等

定義如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，記作或。這種關(guān)系如圖1.1所示。圖1.1

2025/1/156概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.事件的包含與相等例如在驗(yàn)收機(jī)械零件時(shí)，設(shè)A表示“尺寸不合格”，B表示“零件不合格”，則。定義若事件B包含事件A，同時(shí)事件A又包含事件B，則稱事件A與事件B相等，記作。2025/1/157概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.事件的和

定義“事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生”也是一個(gè)隨機(jī)事件，稱之為事件A與事件B的和(或和事件)，記作。

A與B的和如圖1.2中的陰影部分所示圖1.22025/1/158概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

例如在驗(yàn)收機(jī)械零件時(shí)，規(guī)定只要尺寸和粗糙度有一不合格則零件就不合格，則“零件不合格”(用C表示)就是“尺寸不合格”(用A表示)與“粗糙度不合格”(用B表示)的和，即一般地，稱“事件中至少有一個(gè)發(fā)生”為事件的和，記作或或。2.事件的和2025/1/159概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

3．事件的積定義“事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”也是一個(gè)隨機(jī)事件，稱為事件A與事件B的積(或積事件)。A與B的積如圖1.3中的陰影部分所示。

圖1.32025/1/1510概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4．互不相容事件與對(duì)立事件定義如果兩個(gè)事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，即“A與B同時(shí)發(fā)生”是不可能事件：，則稱事件A與B互不相容(或互斥)。如圖1.4所示。

圖1.4

2025/1/1511概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4．互不相容事件與對(duì)立事件定義

如果事件A與事件B必有一個(gè)發(fā)生且僅有一個(gè)發(fā)生，即，則稱事件A與B互為對(duì)立事件。記作,讀作A為B的對(duì)立事件或B為A的對(duì)立事件。A的對(duì)立事件,如圖1.5所示的陰影部分所示。

圖1.5

2025/1/1512概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4．互不相容事件與對(duì)立事件例如擲一顆骰子，設(shè)A表示“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，B表示“出現(xiàn)3點(diǎn)”，C表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，則A與B互不相容，A與C互不相容，而且A與C互為對(duì)立事件。但B與C是相容的。

2025/1/1513概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

5．事件的差

定義

“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”稱為事件A與事件B的差，記作A-B。事件A與B的差如圖1.6中的陰影部分所示。

圖1.6

2025/1/1514概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.1.3事件間的關(guān)系和運(yùn)算事件之間的關(guān)系和運(yùn)算具有下列性質(zhì)

(1)交換律；。(2)結(jié)合律；。(3)分配律；A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)。(4)摩根法則

；。對(duì)于n個(gè)事件有

2025/1/1515概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.1.3事件間的關(guān)系和運(yùn)算例從一批產(chǎn)品中每次取出一個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)(每次取出的產(chǎn)品不放回)，事件表示第i次取到合格品。試用事件的運(yùn)算表示下列事件；(1)三次都取到了合格品；(2)三次中至少有一次取到合格品；(3)三次中恰有兩次取到合格品；(4)三次中最多有一次取到合格品。解(1)“三次取到合格品”=；(2)“三次中至少有一次取到合格品”=;(3)“三次中恰有兩次取到合格品”=;(4)“三次中最多有一次取到合格品”=。

2025/1/1516概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.2事件的概率研究隨機(jī)試驗(yàn)，不僅需要分析它在一定條件下可能產(chǎn)生的各種結(jié)果，而且還要分析各種結(jié)果發(fā)生的可能性大小。刻畫隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的量，則是本節(jié)要研究的概率的概念。此外本節(jié)還涉及概率的性質(zhì)和簡(jiǎn)單的計(jì)算。

2025/1/1517概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.2.1概率的統(tǒng)計(jì)定義及性質(zhì)

定義1在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，事件A出現(xiàn)的頻率在某個(gè)常數(shù)p附近擺動(dòng)并逐漸穩(wěn)定于p，則稱p為事件A的概率，記為。這個(gè)定義稱為概率的統(tǒng)計(jì)定義。由事件的頻率的性質(zhì)可以推想事件的概率也應(yīng)有相應(yīng)的性質(zhì)：(1)0≤P(A)≤1。(2)，。(3)當(dāng)事件A與B互不相容時(shí)，則有。這條性質(zhì)稱為概率的可加性，并稱此等式為互斥事件的加法公式。

2025/1/1518概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.2.2概率的古典定義

觀察“擲骰子”、“擲硬幣”的試驗(yàn)，它們都具有下列特點(diǎn)。(1)試驗(yàn)的所有基本事件的個(gè)數(shù)是有限的。(2)每次試驗(yàn)中，各基本事件發(fā)生的可能性是相等的。滿足上述特點(diǎn)的試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q為等可能性模型，這類模型在概率論的發(fā)展初期是重要的研究對(duì)象，因此稱為古典概型。定義2如果古典概型中的所有基本事件的個(gè)數(shù)為n，事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)為m，則事件A的概率為

2025/1/1519概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.2.2概率的古典定義例某年級(jí)有6名同學(xué)都是9月出生的，求這6人中沒有任何2人在同一天過生日的概率。解9月共有30天，每個(gè)人生日都可以是30天中的任一天，故基本事件總數(shù)為。設(shè)A表示“6人中沒有任何2人在同一天過生日”，則A含有個(gè)基本事件，因此所求概率為2025/1/1520概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.2.3幾何概率

如左圖所示,關(guān)于幾何概型的隨機(jī)事件“向區(qū)域G中任意投擲一個(gè)點(diǎn)M，點(diǎn)M落在G內(nèi)的部分區(qū)域g”的概率P定義為：g的度量m(g)(面積)與G的度量m(G)(面積)之比，即，并稱為幾何概率。

2025/1/1521概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.2.3幾何概率例

兩人相約8點(diǎn)到9點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等候20分鐘(1/3小時(shí))后即離去，試求此兩人能會(huì)面的概率。

解

設(shè)(x,y)分別表示兩人到達(dá)的時(shí)刻。由題設(shè)，兩人到達(dá)時(shí)刻是8點(diǎn)到9點(diǎn)之間(即1小時(shí)之內(nèi))，故(x,y)點(diǎn)必落在邊長(zhǎng)為1的正方形區(qū)域G內(nèi)，而兩人能會(huì)面的點(diǎn)所在的區(qū)域g為如左圖所示的影印面積。所求概率為2025/1/1522概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.2.4概率的公理化定義

定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，為它的基本事件空間。以E中所有的隨機(jī)事件(或的全體子集)組成的集合為定義域，定義一個(gè)函數(shù)P(A)(其中A為任一隨機(jī)事件)，且P(A)滿足以下三條公理，則稱函數(shù)P為事件A的概率。公理10≤P(A)≤1；公理2；公理3若兩兩互斥，則=2025/1/1523概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.3概率的加法公式定理1若事件A與B互不相容，則

定理2(兩個(gè)隨機(jī)事件的加法公式)對(duì)于任意兩個(gè)事件A與B(不要求A，B互不相容)有2025/1/1524概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.3概率的加法公式例某企業(yè)生產(chǎn)的電子產(chǎn)品分一等品、二等品與廢品三種，如果生產(chǎn)一等品的概率為0.8，生產(chǎn)二等品的概率為0.19，問生產(chǎn)合格品的概率是多少？解

設(shè)A=“生產(chǎn)的是一等品”，B=“生產(chǎn)的是二等品”，A+B則表示“生產(chǎn)的是合格品”。因?yàn)锳,B互斥，所以

2025/1/1525概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.4條件概率與乘法公式1.4.1條件概率

定義設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(B>=0)，則在B事件已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率定義為例設(shè)某種動(dòng)物能活到20歲的概率為0.8，能活到25歲的概率為0.4，某個(gè)這種動(dòng)物現(xiàn)齡20歲，問它能活到25歲的概率是多少？解設(shè)A=“能活到20歲”，B=“能活到25歲”。因?yàn)椤澳芑畹?5歲”一定“能活到20歲”，所以。由條件概率的定義式得

2025/1/1526概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.4條件概率與乘法公式1.4.2概率的乘法公式由條件概率的定義可得重要的乘法公式。若，則

若，則

它表明：兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于其中一個(gè)事件的概率與另一事件在前一事件發(fā)生下的條件概率的乘積。利用條件概率去計(jì)算乘積事件的概率，這在概率計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用。

2025/1/1527概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.5全概率公式與貝葉斯公式

1.5.1全概率公式

定理設(shè)為一個(gè)完備事件組，且則對(duì)任意事件B，有例12個(gè)不同號(hào)碼中有2個(gè)號(hào)碼為有獎(jiǎng)號(hào)碼，甲從中抽取1個(gè)號(hào)碼后，不放回，由乙從剩余的號(hào)碼中任取1個(gè)號(hào)碼，求乙抽到中獎(jiǎng)號(hào)碼的概率。解

設(shè)“甲抽到有獎(jiǎng)號(hào)碼”，“甲抽到無(wú)獎(jiǎng)號(hào)碼”，B=“乙抽到有獎(jiǎng)號(hào)碼”，則由全概率公式有

2025/1/1528概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.5.2貝葉斯(Bayes)公式

定理(貝葉斯公式)設(shè)是一個(gè)完備事件組，且，則有公式

2025/1/1529概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.5.2貝葉斯(Bayes)公式例已知一批零件是由甲、乙、丙3名工人生產(chǎn)的。3人的產(chǎn)量分別占總量的20%、40%和40%。若已知3人的次品率分別為各自產(chǎn)量的5%、4%和3%，現(xiàn)任意抽取1個(gè)零件檢驗(yàn)。若已知取到的是次品，問它是甲工人生產(chǎn)的概率是多少？解設(shè)B=“取到的零件是次品”，分別表示取到的零件是甲、乙、丙工人生產(chǎn)的，則按貝葉斯公

=

=2025/1/1530概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.6事件的獨(dú)立性與貝努里概型

1.6.1事件的獨(dú)立性

定義

如果事件B的發(fā)生與否不影響事件A發(fā)生的概率，即P(A/B)=P(A)，則稱事件A對(duì)事件B是獨(dú)立的。否則就是不獨(dú)立的。定理1若事件A對(duì)事件B是獨(dú)立的，則事件B對(duì)事件A也是獨(dú)立的。定理2事件A與B獨(dú)立的充要條件是。定理3若四對(duì)事件A與B；A與；與B；與中有一對(duì)獨(dú)立，則另外三對(duì)也獨(dú)立。

2025/1/1531概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.6.1事件的獨(dú)立性定義如果有

則稱事件A,B,C相互獨(dú)立。顯然，當(dāng)相互獨(dú)立時(shí)，有

2025/1/1532概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.6.1事件的獨(dú)立性例設(shè)某型號(hào)的高射炮，每一門炮(發(fā)射一發(fā)炮彈)擊中飛機(jī)的概率為0.6?，F(xiàn)若干門炮同時(shí)發(fā)射(每炮發(fā)射一發(fā)炮彈)。問欲以99%的把握擊中來(lái)犯的一架敵機(jī)，至少需配置幾門高射炮？解

設(shè)n是以99%的概率擊中敵機(jī)需配置的高射炮門數(shù)。令

“第門炮擊中敵機(jī)”，;A=“敵機(jī)被擊中”，則

因?yàn)?且是相互獨(dú)立的，所以2025/1/1533概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.6.1事件的獨(dú)立性

===因此，不等式(1-5)就化為≥0.99由此得n≥

故至少需配置6門高射炮方能以99%以上的把握擊中來(lái)犯的敵機(jī)。

2025/1/1534概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.6.2貝努里概型

定義

在完全相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，如果每次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即每次試驗(yàn)的結(jié)果與其他各次試驗(yàn)的結(jié)果無(wú)關(guān)，則稱這n次重復(fù)試驗(yàn)為重n獨(dú)立試驗(yàn)。特別地，如果每次試驗(yàn)只有兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果，即事件A和,且,則稱這n重獨(dú)立試驗(yàn)為重n貝努里試驗(yàn)，或貝努里概型。

2025/1/1535概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.6.2貝努里概型定理如果在n