矩 陣 的 秩課件

矩陣的秩矩陣的秩定義2-14設(shè)A=(aij

)是一個(gè)m×n矩陣，1≤k≤min{m,n}是一個(gè)正整數(shù).在A中任取k行（第i1,i2,…,ik行）和k列（第j1,j2,…,jk列）交叉點(diǎn)上的k2個(gè)元素，按照它們在A中所處的位置不變，而得到的一個(gè)k階行列式稱其為矩陣A的一個(gè)k階子式.當(dāng)子式D的值為0時(shí)，稱這個(gè)子式D為零子式，否則，稱為非零子式.特別地，當(dāng)is=js,s=1,2,…,k時(shí)，稱子式D為A的一個(gè)k階主子式.顯然，一個(gè)m×n矩陣A的k階子式總共有Ckm·Ckn個(gè).定義2-15如果在矩陣A中存在一個(gè)r階的非零子式D，而A的所有r+1階子式（如果存在的話）均為零子式，那么D稱為矩陣A的一個(gè)最高階非零子式，并將D的階數(shù)r稱為矩陣A的秩，記為R(A).并規(guī)定零矩陣O的秩為0.顯然，m×n矩陣A的秩R(A)滿足0≤R(A)≤min{m,n}.根據(jù)行列式按行、列展開的性質(zhì)，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)矩陣A的所有r+1階子式均為零子式時(shí)，所有高于r+1階的子式也為零子式.因此，定義中的r階非零子式D稱為最高階非零子式是合理的.于是，矩陣A的秩R(A)即為A中非零子式的最高階數(shù).提示通過矩陣秩的定義，我們注意到，求一個(gè)矩陣的秩，需要找到一個(gè)r階的非零子式，還要說明其所有r+1階子式全為零，這樣計(jì)算量很大.下面給出矩陣的秩的幾個(gè)性質(zhì)，通過這些性質(zhì)，可以得到一個(gè)相對簡單的計(jì)算矩陣秩的方法.性質(zhì)2-6R(A)=R(AT).證明由行列式與其轉(zhuǎn)置行列式是相等的，很容易得到，行列式D是矩陣A的一個(gè)最高階非零子式，則DT也是矩陣AT的一個(gè)最高階非零子式.從而R(A)=

R(AT).性質(zhì)2-7如果矩陣A存在一個(gè)k階的非零子式，那么R(A)≥k；如果矩陣A的l階子式全為零子式，則R(A)<l.證明根據(jù)矩陣的秩即為矩陣中非零子式的最高階數(shù)，及行列式按行列展開的性質(zhì)，很容易得到.性質(zhì)2-8初等變換不改變矩陣的秩，即如果A=B，則R(A)=R(B).證明因?yàn)锳=B意味著A經(jīng)過一系列初等變換可以變到B，所以只需證明：如果A經(jīng)過一次初等變換變到B，那么R(A)=R(B).設(shè)A是m×n矩陣，R(A)=r，且A的某個(gè)r階子式D≠0.下面針對初等行變換的三種情況分別討論，初等列變換的情況可以類似證明.（1）當(dāng)A經(jīng)過倍乘變換變到B時(shí)，即.那么總可以找到一個(gè)B的子式D1，使得D1=kD（D包含第i行），或D1=D（D不包含第i行）.因此，矩陣B存在一個(gè)非零子式D1.于是，由性質(zhì)2-7，R(B)≥r.（2）當(dāng)A經(jīng)過倍加變換變到B時(shí)，即.如果D不包含第j行，那么D也是B的一個(gè)r階非零子式；如果D包含第j行，不妨將矩陣B中的取自與D相同行和相同列的行列式記為D1，若D也包含第i行，則D1=D≠0是B的一個(gè)r階非零子式；如果D不包含第i行，則D1可以寫成D1=D+kM，其中M也是B的一個(gè)r階子式.由于D≠0，因此D1和M不能同時(shí)為0，因此，也可以找到一個(gè)非零子式N=D1，或者N=M.于是，無論哪種情形，都能找到一個(gè)r階非零子式.從而R(B)≥r.（3）當(dāng)A經(jīng)過對調(diào)變換變到B時(shí)，即.那么總可以找到B的一個(gè)子式D1，使得D1=D，或者D1=-D.因此，矩陣B存在一個(gè)非零子式D1.于是R(B)≥r.于是，矩陣A經(jīng)過一次初等行變換變到B后，都有R(A)≤R(B)，但是，初等變換是可逆的，也可以經(jīng)過一次初等行變換，將B變到A，從而也有R(B)≤R(A).因此R(A)=R(B).性質(zhì)2-9設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，P,Q分別為m階、n階可逆矩陣，則R(PAQ)=R(A)性質(zhì)1-10設(shè)A是一個(gè)n階方陣.則|A|≠0的充分必要條件是R(A)=n.證明必要性：如果|A|≠0，那么|A|即為A的一個(gè)n階的非零子式，因此R(A)≥n.又0≤R(A)≤n，所以R(A)=n.充分性：如果R(A)=n，那么A存在一個(gè)n階的非零子式.而A的n階子式只有|A|，因此|A|≠0.因此，通常也將可逆矩陣稱為滿秩矩陣，將不可逆矩陣稱為降秩矩陣.計(jì)算下列矩陣【例2-20】解直接計(jì)算可得對于矩陣B，可以計(jì)算得|B|=0.于是R(B)<3；又顯然B存在一個(gè)二階子式

因此，由性質(zhì)2-7知，R(B)≥2.從而R(B)=2.矩陣C是一個(gè)行階梯形矩陣，顯然C存在一個(gè)非零子式

而所有3階子式全為0.因此R(C)=2.由【例2-20】中矩陣C的求秩過程，我們注意到，對于一個(gè)具有r個(gè)非零行的行階梯形矩陣，很容易找到一個(gè)r階的非零子式（取自這r行非零行，以及各非零行的首個(gè)非零元素所在的r列，這個(gè)子式是一個(gè)上三角行列式）.于是行階梯形矩陣的秩就是其非零行的行數(shù).因此，根據(jù)性質(zhì)2-8，對于一般的矩陣A，特別是A的行數(shù)和列數(shù)較高時(shí)，可以利用初等變換將A化成一個(gè)行階梯形矩陣B，直接觀察非零行的行數(shù)r，得到矩陣B的秩，從而也得到了矩陣A的秩為r.求矩陣【例2-21】的秩R(A)，并求A的一個(gè)最高階非零子式.解對矩陣A進(jìn)行初等行變換，將其化成行階梯形矩陣既然R(A)=3，那么A的最高階非零子式為3階.而矩陣A的3階子式總共有C34·C35=40個(gè)，驗(yàn)證起來比較煩瑣.但是，在進(jìn)行初等變換時(shí)，只是應(yīng)用了初等行變換，沒有打亂列的順序，則由A的第1,2,4列（也就是行階梯形矩陣的非零行首個(gè)非零元素所在的列）所組成的4×3矩陣B，按上面同樣的一系列初等行變換，可以變成因此R(B)=3.于是B中必存在一個(gè)3階非零子式，這樣最多只需要驗(yàn)證C34=4個(gè)3階行列式.而且很容易得到由B的前三行所構(gòu)成的子式這個(gè)子式D也是矩陣A的最高階非零子式.對于一個(gè)矩陣，它的所有列向量構(gòu)成一個(gè)列向量組，其所有行向量也構(gòu)成一個(gè)行向量組.根據(jù)向量組的秩的定義，矩陣的列向量組存在一個(gè)秩，行向量組也存在一個(gè)秩.定義2-16設(shè)A是一個(gè)矩陣，將A的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩；將A的列向量組的秩稱為矩陣A的列秩.計(jì)算矩陣【例2-22】的秩及其行秩和列秩.解這個(gè)矩陣是一個(gè)行階梯形矩陣，由前面的討論，A的秩即為其非零行的行數(shù)，因此R(A)=3.設(shè)A按行分塊和按列分塊分別記為由k1αT1+k2αT2+k3αT3=0，即k1(1,1,－1,2,1)+k2(0,0,2,3,1)+k3(0,0,0,1,4)

=(k1,k1,－k1+2k2,2k1+3k2+k3,k1+k2+4k3)=(0,0,0,0,0)

得到k1=k2=k3=0，從而αT1,αT2,αT3線性無關(guān).但顯然αT1,αT2,αT3,αT4線性相關(guān).那么αT1,αT2,αT3是A的行向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，從而A的行秩為3.另外，由l1β1+l3β3+l4β4=0，即l1(1,0,0,0)T+l3(－1,2,0,0)T+l4(2,3,1,0)

T=(l1－l3+2l4,2l3+3l4,l4,0)T=(0,0,0,0)

T

得到l1=l3=l4=0，從而β1,β3,β4線性無關(guān).由于齊次線性方程組AX=0的系數(shù)矩陣A=(β1,β2,β3,β4)的非零行的個(gè)數(shù)3小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)4，故AX=0有非零解，從而β1,β2,β3,β4線性相關(guān)，再由可逆矩陣的性質(zhì)，β2可以由β1,β3,β4線性表出.同樣，可以說明β5可以由β1,β3,β4線性表出.因此，β1,β2,β3,β4,β5均可由β1,β3,β4線性表出.于是β1,β3,β4是A的列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，從而A的列秩也為3.在上面的例題中，矩陣A的行秩＝A的列秩＝A的秩R(A)，并且仿照其證明，也能得到，對于行階梯形矩陣，矩陣的行秩＝列秩＝非零行的個(gè)數(shù)＝矩陣的秩.這不是偶然的，下面將證明這個(gè)結(jié)論對所有矩陣都是成立的.引理2-1初等行變換不改變矩陣的行秩.證明設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣.將A按行分塊，得到其行向量組為Ⅰ:αT1,αT2,…,αTm.如果A經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)锽，將B的行向量組記為Ⅱ:βT1,βT2,…,βTm.顯然無論經(jīng)過倍乘變換，還是倍加和對調(diào)變換，向量組Ⅱ都能由向量組Ⅰ線性表出，由于初等行變換是可逆的，也可以經(jīng)過一次初等行變換將B變到A，故向量組Ⅰ也可以由向量組Ⅱ線性表出.從而向量組Ⅰ與Ⅱ等價(jià).由前可知，向量組Ⅰ與Ⅱ的秩相等，即矩陣A與B的行秩相等.引理2-2初等行變換不改變矩陣的列秩.證明設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣.將A按列分塊A=(α1,α2,…,αn)，即Ⅰ:α1,α2,…,αn是A的列向量組.若A經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)锽，將B的列向量組記為Ⅱ:β1,β2,…,βn.由本節(jié)最初的討論知，α1,α2,…,αn是否線性相關(guān)等價(jià)于AX=0是否有非零解：α1,α2,…,αn線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)AX=0無非零解；α1,α2,…,αn線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)AX=0有非零解.同樣，β1,β2,…,βn是否線性相關(guān)等價(jià)于BX=0是否有非零解.而A經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)锽，即是對方程組AX=0經(jīng)過一次方程組的初等變換變到方程組BX=0，于是AX=0與BX=0是同解的方程組.從而，向量組α1,α2,…,αn與向量組β1,β2,…,βn的線性相關(guān)性是一致的.又因?yàn)樵谶M(jìn)行初等行變換時(shí)，沒有打亂列的順序，所以向量組Ⅰ:α1,α2,…,αn的部分組和Ⅱ:β1,β2,…,βn同序號的部分組的相關(guān)性一致，即若αi1,αi2,…,αir是Ⅰ的線性相關(guān)（無關(guān)）的部分組，則βi1,βi2,…,βir也是Ⅱ的線性相關(guān)（無關(guān)）的部分組.如果設(shè)A的列秩為r1，B的列秩為r2,則向量組Ⅰ:α1,α2,…,αn存在一個(gè)含有r1個(gè)無關(guān)向量的部分組，從而Ⅱ:β1,β2,…,βn也存在一個(gè)含有r1個(gè)無關(guān)向量的部分組.因此r1≤r2.又由于初等行變換是可逆的，并且其逆變換也是同類型的初等行變換，從而也可以得到r2≤r1.于是r1=r2.定理2-2初等變換不改變矩陣的行秩，也不改變矩陣的列秩.證明由引理2-1和引理2-2，可以得到，對矩陣A進(jìn)行初等行變換不改變矩陣的行秩，也不改變矩陣的列秩.由于對A進(jìn)行初等列變換，就是對AT進(jìn)行初等行變換，因此，再由引理2-1和引理2-2，對A進(jìn)行初等列變換，AT的行秩不變，AT的列秩也不變.又因?yàn)锳T的行（列）向量組就是A的列（行）向量組，所以AT的行（列）秩等于A的列（行）秩.于是，初等列變換不改變矩陣的行秩，也不改變矩陣的列秩.定理2-3矩陣的行秩與列秩相等，并且等于矩陣的秩.證明假設(shè)矩陣A經(jīng)過一系列初等行變換變成行階梯形矩陣B，則由引理2-1和引理2-2，得到A的行秩＝B的行秩，A的列秩＝B的列秩又由于B是行階梯形矩陣，故有B的行秩＝B的列秩＝B的非零行的行數(shù).因此，矩陣A的行秩等于列秩.又由前面的性質(zhì)知，A與B的秩相等，即R(A)=R(B).而行階梯形矩陣B的秩R(B)=B的非零行的行數(shù).于是R(A)等于矩陣A的行秩和列秩.定理2-3及引理2-2的證明，也給我們提供了一個(gè)計(jì)算向量組的秩及求得此向量組的一個(gè)極大無關(guān)組的方法，即將n維向量組Ⅰ:α1,α2,…,αs作為列組成一個(gè)n×s矩陣A=(α1,α2,…,αs)，利用初等行變換將A化成行階梯形矩陣B，則向量組Ⅰ:α1,α2,…,αs的秩等于R(A)=R(B)＝B的非零行的行數(shù)r.并且設(shè)B的非零行的首個(gè)非零元素所在的列分別為i1,i2,…,ir（1≤i1<i2<…<ir≤s），則向量組αi1,αi2,…,αir為向量組Ⅰ:α1,α2,…,αs的一個(gè)極大無關(guān)組.提示性質(zhì)2-11

max{R(A),R(B)}≤R(A，B)≤R(A)+R(B).證明根據(jù)矩陣秩的定義，矩陣的秩為矩陣中非零子式的最高階數(shù)，而A的非零子式也是(A，B)的非零子式，因此R(A)≤R(A，B).同理R(B)≤R(A，B).這樣

max{R(A),R(B)}≤R(A，B)設(shè)A為m×n矩陣，B為m×p矩陣，且R(A)=r，R(B)=s.將A，B均按列分塊為A=(α1,α2,…,αn)，B=(β1,β2,…,βp)

則(A，B)=(α1,α2,…,αn,β1,β2,…,βp)不妨設(shè)向量組αi1,αi2,…,αir，βj1,βj2,…,βjs分別為A的列向量組和B的列向量組的極大無關(guān)組.由極大無關(guān)組的定義，A的列向量組和B的列向量組分別可以由αi1,αi2,…,αir，βj1,βj2,…,βjs線性表出，因此(A，B)的列向量組α1,α2,…,αn,β