一階微 分方程

一階微分方程一、可分離變量的微分方程本章討論的主題是求解微分方程.如上節(jié)例1求不定積分就是解一個(gè)最簡(jiǎn)單的微分方程=f(x)，但是，在解微分方程=x2+y2時(shí)，如果直接積分，就得不出任何結(jié)果.本節(jié)開始，我們討論一階微分方程y′=f(x,y)的一些解法.一、可分離變量的微分方程定義5

形如=f(x)g(y)的微分方程稱為可分離變量的微分方程.若設(shè)G(y),F(x)分別為［g(y)］－1和f(x)的原函數(shù)，則G(y)=F(x)+C(C為任意常數(shù))為所求得的通解，我們也稱之為隱式通解.我們稱這種解微分方程的方法為分離變量法.一、可分離變量的微分方程曲線上任意點(diǎn)M(x,y)處的切線垂直于該點(diǎn)與原點(diǎn)的連線,求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為y=y(x),如圖12－2所示.【例5】圖12－2一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程求微分方程

的通解.解把微分方程分離變量得ydy=－xdx，

兩邊積分得(r為任意常數(shù))，即x2+y2=r2為所給微分方程的通解.【例6】一、可分離變量的微分方程一棵小樹剛栽下去的時(shí)候長(zhǎng)得比較慢，隨著小樹越長(zhǎng)越高，小樹長(zhǎng)得越來(lái)越快，但長(zhǎng)到某一高度后，小樹的生長(zhǎng)會(huì)保持穩(wěn)定的速度，然后會(huì)再慢慢降下來(lái).如何為小樹的生長(zhǎng)過程建立數(shù)學(xué)模型？分析如果假設(shè)樹的生長(zhǎng)速度與它目前的高度成正比，則顯然不符合小樹前期與后期的生長(zhǎng)情形；如果假設(shè)樹的生長(zhǎng)速度正比于最大高度與目前高度的差，則又明顯不符合中間―段的生長(zhǎng)過程.因此，假定它的生長(zhǎng)速度既與目前的高度成對(duì)比，又與最大高度和目前高度之差成正比.【例8】一、可分離變量的微分方程解設(shè)樹生長(zhǎng)的最大高度為H(m)，在t(年)時(shí)的高度為h(t)，則有其中k是比例常數(shù)且k>0.這個(gè)方程稱為L(zhǎng)ogistic方程.它是可分離變量的一階常微分方程.下面來(lái)求解Logistic方程.分離變量,得一、可分離變量的微分方程兩邊積分一、可分離變量的微分方程函數(shù)h(t)的圖形稱為L(zhǎng)ogistic曲線.圖12-3所示的是一條典型的Logistic曲線，由于它的形狀，一般也稱為S曲線.可以看到，它基本符合前面描述的樹的生長(zhǎng)情形.另外還可以計(jì)算得到這說(shuō)明樹的生長(zhǎng)有一個(gè)限制，因此也稱為限制性增長(zhǎng)模式.生物種群的繁殖、信息的傳播、新技術(shù)的推廣、傳染病的擴(kuò)散以及某些商品的銷售等都符合這種規(guī)律.圖12-3二、齊次方程(12-5)二、齊次方程這是可分離變量的方程，把它改寫成二、齊次方程解方程【例9】二、齊次方程三、一階線性微分方程形如+P(x)y=Q(x)(12-6)的方程稱為一階線性微分方程.其中函數(shù)P(x)，Q(x)是區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù).當(dāng)Q(x)≡0時(shí)，方程(12-6)變?yōu)?P(x)y=0，(12-7)這個(gè)方程稱為一階齊次線性微分方程，相應(yīng)地，方程(12-6)稱為一階非齊次線性微分方程三、一階線性微分方程一階齊次線性方程(12-7)是可分離變量的方程，分離變量，得(12-8)三、一階線性微分方程(12-9)三、一階線性微分方程這個(gè)解與一階齊次線性微分方程的通解(12-8)相比較，易見其表達(dá)形式一致，只需將式(12-8)中的常數(shù)C換為函數(shù)C(x).由此引入求解一階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法，即在求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解(12-8)后，將通解中的常數(shù)C變?yōu)榇ê瘮?shù)C(x)，并設(shè)一階非齊次方程的通解為三、一階線性微分方程(12-10)三、一階線性微分方程求方程的通解.【例11】一般情況下，在解微分方程過程中，C均為滿足方程的任意常數(shù)，在以后的敘述和解題過程中不再說(shuō)明.注三、一階線性微分方程求方程的通解.解法1(常數(shù)變易法)由例7知對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為y=C(1+x)2，所以用常數(shù)變易法，把任意常數(shù)C換成任意待定函數(shù)C(x)，即令y=C(x)(1+x)2，則有=C′(x)(1+x)2+2C(x)(1+x)，將y,y′代入原方程得C′(x)=1，兩邊積分得C(x)=x+C.故所求非齊次微分方程的通解為y=(x+C)(1+x)2.【例12】三、一階線性微分方程解法2(公式法)因?yàn)镻(x)=,Q(x)=(1+x)2，將其直接代入公式得三、一階線性微分方程求方程的解.分析函數(shù)tany是x的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知(tany)′=y′sec2y.故令u=tany，則原方程可轉(zhuǎn)化為一階非齊次線性方程.解令u=tany，則原方程可化為【例13】三、一階線性微分方程于是，通解為三、一階線性微分方程若所給的方程從直觀形式上不是所學(xué)的類型，則需作變量代換將其轉(zhuǎn)化成我們所能解的類型，這是解方程的一種常用方法.但做什么樣的變換則需要結(jié)合方程的特點(diǎn)進(jìn)行考慮，并在練習(xí)中注意觀察和思考，不斷積累經(jīng)驗(yàn).注*四、伯努利方程形如+P(x)y=Q(x)yn(12－11)的方程稱為伯努利方程，其中n為常數(shù)，且n≠0，1.伯努利方程是一類非線性方程，但是通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，就可以把它化為線性方程.在方程(12－11)兩端除以yn，得(12-12)*四、伯努利方程求方程