2024年中考模擬試卷數(shù)學(xué)（福建卷）

2024年福建中考第二次模擬考試數(shù)學(xué)第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．截至2023年6月11日17時，全國冬小麥?zhǔn)斋@2.39億畝，進(jìn)度過七成半，將239000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A. B. C. D.2．下列圖形中，為軸對稱的圖形的是（）A. B. C. D.3.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.（）C. D.（）4.一元一次不等式組的解集為()A. B. C. D.5.若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.96.如圖，海中有一小島A，在B點(diǎn)測得小島A在北偏東30°方向上，漁船從B點(diǎn)出發(fā)由西向東航行10到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)測得小島A恰好在正北方向上，此時漁船與小島A的距離為（）A. B. C.20 D.7.如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中．如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個外角（）A. B. C. D.8.某中學(xué)積極推進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)評價改革，該中學(xué)學(xué)生小明本學(xué)期德、智、體、美、勞五項(xiàng)的評價得分如圖所示，則小明同學(xué)五項(xiàng)評價得分的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)分別為（）A.9，9， B.9，9， C.8，8， D.9，8，9.如圖，是的直徑，，則（）A. B. C. D.10.如圖，拋物線經(jīng)過正方形的三個頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在軸上，則的值為（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）11．若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．12.分解因式：=__________________.13.小明從《紅星照耀中國》，《紅巖》，《長征》，《鋼鐵是怎樣煉成的》四本書中隨機(jī)挑選一本，其中拿到《紅星照耀中國》這本書的概率為______．14.一個圓錐的底面半徑為5，高為12，則它的體積為________．15.邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為_______．16.如圖，在中，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至，得到，使，我們稱是的“旋補(bǔ)三角形”，的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．下列結(jié)論正確的有________．①與面積相同；②；③若，連接和，則；④若，，，則．三、解答題（本大題共9個小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（8分）計(jì)算：．18.（8分）先化簡，再求值：，其中．19.（8分）如圖，B是的中點(diǎn)，，.求證：．20.（8分）對聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊．一般情況下，天頭長與地頭長的比是，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的．某人要裝裱一副對聯(lián)，對聯(lián)的長為，寬為．若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長．（書法作品選自《啟功法書》）21.（8分）小紅家到學(xué)校有兩條公共汽車線路，為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做了試驗(yàn)，第一周(5個工作日)選擇A線路，第二周(5個工作日)選擇B線路，每天在固定時間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時間，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：(單位：min)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表試驗(yàn)序號12345678910A線路所用時間15321516341821143520B線路所用時間25292325272631283024數(shù)據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖根據(jù)以上信息解答下列問題：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差A(yù)線路所用時間22a1563.2B線路所用時間b26.5c6.36（1）填空：__________；___________；___________；（2）應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路．22.（10分）如圖，為的直徑，E為上一點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)D，延長交的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑長．23.（10分）綜合與實(shí)踐問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個已知角．”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點(diǎn)C和D，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．請寫出平分的依據(jù)：____________；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：不一定必須是等邊三角形，只需即可．他查閱資料：我國古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過角尺頂點(diǎn)C的射線是的平分線，請說明此做法的理由；拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應(yīng)該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）24.（13分）如圖，在正方形中，E是邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．邊關(guān)于對稱的線段為，連接．（1）若，求證：是等邊三角形；（2）延長，交射線于點(diǎn)G；①能否為等腰三角形？如果能，求此時的度數(shù)；如果不能，請說明理由；②若，求面積的最大值，并求此時的長．25.（13分）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，兩點(diǎn)，且自變量的部分取值與對應(yīng)函數(shù)值如下表：…………備用圖（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若將線段向下平移，得到的線段與二次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)（在左邊），為二次函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，求的值；（3）若將線段先向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到的線段與二次函數(shù)的圖象只有一個交點(diǎn)，其中為常數(shù)，請直接寫出的取值范圍．

2024年福建中考第二次模擬考試數(shù)學(xué)·全解全析第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．截至2023年6月11日17時，全國冬小麥?zhǔn)斋@2.39億畝，進(jìn)度過七成半，將239000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)，且比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)，且比原來的整數(shù)位數(shù)少1，解題的關(guān)鍵是要正確確定和的值．2．下列圖形中，為軸對稱的圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱圖形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形概念，一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就是軸對稱圖形．3.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.（）C. D.（）【答案】C【解析】【分析】根據(jù)整式的計(jì)算法則：冪的乘方法則，同底數(shù)冪除法法則，同底數(shù)冪乘法法則，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算法則分別計(jì)算判斷．【詳解】解：A、，故該項(xiàng)原計(jì)算錯誤；B、（），故該項(xiàng)原計(jì)算錯誤；C、，故該項(xiàng)原計(jì)算正確；D、（），故該項(xiàng)原計(jì)算錯誤；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的計(jì)算法則，熟記冪的乘方法則，同底數(shù)冪除法法則，同底數(shù)冪乘法法則，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．4.一元一次不等式組的解集為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】第一個不等式解與第二個不等式的解，取公共部分即可.【詳解】解：解不等式得：結(jié)合得：不等式組的解集是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組，掌握解一元一次不等式組的一般步驟是解題的關(guān)鍵．5.若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴．解得：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實(shí)數(shù)根．6.如圖，海中有一小島A，在B點(diǎn)測得小島A在北偏東30°方向上，漁船從B點(diǎn)出發(fā)由西向東航行10到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)測得小島A恰好在正北方向上，此時漁船與小島A的距離為（）A. B. C.20 D.【答案】D【解析】【分析】連接，此題易得，得，再利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接，由已知得：，，，∴，在中，，∴（），故選：D【點(diǎn)睛】此題考查的知識點(diǎn)是勾股定理的應(yīng)用，直角三角形30度角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握勾股定理的計(jì)算．7.如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中．如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個外角（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正八邊形的外角和為，結(jié)合正八邊形的每一個外角都相等，再列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵正八邊形的外角和為，∴，故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的外角問題，熟記多邊形的外角和為是解本題的關(guān)鍵．8.某中學(xué)積極推進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)評價改革，該中學(xué)學(xué)生小明本學(xué)期德、智、體、美、勞五項(xiàng)的評價得分如圖所示，則小明同學(xué)五項(xiàng)評價得分的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)分別為（）A.9，9， B.9，9， C.8，8， D.9，8，【答案】B【解析】【分析】利用眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的定義寫出答案即可．【詳解】解：該同學(xué)五項(xiàng)評價得分從小到大排列分別為7，8，9，9，10，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是9，所以眾數(shù)為9，位于中間位置的數(shù)是9，所以中位數(shù)是9，平均數(shù)為故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)的知識，掌握眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的計(jì)算方法是關(guān)鍵．9.如圖，是的直徑，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角的相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握直徑所對圓周角為直角是解題的關(guān)鍵．10.如圖，拋物線經(jīng)過正方形的三個頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在軸上，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，交y軸于點(diǎn)D，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，然后可得點(diǎn)，進(jìn)而代入求解即可．【詳解】解：連接，交y軸于點(diǎn)D，如圖所示：當(dāng)時，則，即，∵四邊形是正方形，∴，，∴點(diǎn)，∴，解得：，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）11．若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式有意義的條件列不等式求解即可．【詳解】解：若代數(shù)式有意義，則，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義，分母不為零是解題的關(guān)鍵．12.分解因式：=__________________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=考點(diǎn)：分解因式點(diǎn)評：本題難度中等，主要考查學(xué)生對多項(xiàng)式提公因式分解因式等知識點(diǎn)的掌握．需要運(yùn)用平方差公式．13.小明從《紅星照耀中國》，《紅巖》，《長征》，《鋼鐵是怎樣煉成的》四本書中隨機(jī)挑選一本，其中拿到《紅星照耀中國》這本書的概率為______．【答案】##0.25【解析】【分析】根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：隨機(jī)挑選一本書共有4種等可能的結(jié)果，其中拿到《紅星照耀中國》這本書的結(jié)果有1種，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查概率．熟練掌握概率公式，是解題的關(guān)鍵．14.一個圓錐的底面半徑為5，高為12，則它的體積為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓錐的體積=×底面積×高，即可求解．【詳解】解：∵圓錐的底面半徑為5，高為12，∴它的體積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積，關(guān)鍵是熟練掌握圓錐的體積=×底面積×高．15.邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為_______．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：如圖，由題意可知，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故答案為15．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在中，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至，得到，使，我們稱是的“旋補(bǔ)三角形”，的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．下列結(jié)論正確的有________．①與面積相同；②；③若，連接和，則；④若，，，則．【答案】①②③【解析】【分析】延長，并截取，連接，證明，得出，，根據(jù)，，得出，證明，得出，即可判斷①正確；根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得出，根據(jù)，得出，判斷②正確；根據(jù)時，，得出，，，，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出，求出，判斷③正確；根據(jù)②可知，，根據(jù)勾股定理得出，求出，判斷④錯誤．【詳解】解：延長，并截取，連接，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，即與面積相同，故①正確；∵，，∴是的中位線，∴，∵，∴，故②正確；當(dāng)時，，∴，，，，∵，∴，即，故③正確；∵，∴根據(jù)②可知，，∵當(dāng)時，，為中線，∴，∴，∴，∴，故④錯誤；綜上分析可知，正確的是①②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中位線性質(zhì)，勾股定理，四邊形內(nèi)角和，補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明．三、解答題（本大題共9個小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（8分）計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】代入特殊角三角函數(shù)值，利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對值和二次根式的性質(zhì)化簡，然后計(jì)算即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，牢記特殊角三角函數(shù)值，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對值和二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18.（8分）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡，再把x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】∵∴原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．19.（8分）如圖，B是的中點(diǎn)，，.求證：．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)已知條件證得，，然后證明，應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)得到．【詳解】證明：∵B是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．20.（8分）對聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊．一般情況下，天頭長與地頭長的比是，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的．某人要裝裱一副對聯(lián)，對聯(lián)的長為，寬為．若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長．（書法作品選自《啟功法書》）【答案】邊的寬為，天頭長為【解析】【分析】設(shè)天頭長為，則地頭長為，邊的寬為，再分別表示礎(chǔ)裝裱后的長和寬，根據(jù)裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)天頭長為，由題意天頭長與地頭長的比是，可知地頭長為，邊的寬為，裝裱后的長為，裝裱后的寬為，由題意可得：解得，∴，答：邊的寬為，天頭長為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，題中的數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，需要合理設(shè)未知數(shù)，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系．21.（8分）小紅家到學(xué)校有兩條公共汽車線路，為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做了試驗(yàn)，第一周(5個工作日)選擇A線路，第二周(5個工作日)選擇B線路，每天在固定時間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時間，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：(單位：min)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表試驗(yàn)序號12345678910A線路所用時間15321516341821143520B線路所用時間25292325272631283024數(shù)據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖根據(jù)以上信息解答下列問題：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差A(yù)線路所用時間22a1563.2B線路所用時間b26.5c6.36（1）填空：__________；___________；___________；（2）應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路．【答案】（1）19，26.8，25（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)定義將A線路所用時間按從小到大的順序排列，求中間兩個數(shù)的平均數(shù)即為A線路所用時間的中位數(shù)a，利用平均數(shù)的定義求出B線路所用時間的平均數(shù)b，找出B線路所用時間中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)即為B線路所用時間的眾數(shù)c，從而得解；（2）根據(jù)四個統(tǒng)計(jì)量分析，然后根據(jù)分析結(jié)果提出建議即可．【小問1詳解】解：將A線路所用時間按從小到大順序排列得：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35，中間兩個數(shù)是18，20，∴A線路所用時間的中位數(shù)為：，由題意可知B線路所用時間得平均數(shù)為：，∵B線路所用時間中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是25，有兩次，其他數(shù)據(jù)都是一次，∴B線路所用時間的眾數(shù)為：故答案為：19，26.8，25；【小問2詳解】根據(jù)統(tǒng)計(jì)量上來分析可知，A線路所用時間平均數(shù)小于B線路所用時間平均數(shù)線路，A線路所用時間中位數(shù)也小于B線路所用時間中位數(shù)，但A線路所用時間的方差比較大，說明A線路比較短，但容易出現(xiàn)擁堵情況，B線路比較長，但交通暢通，總體上來講A路線優(yōu)于B路線．因此，我的建議是：根據(jù)上學(xué)到校剩余時間而定，如果上學(xué)到校剩余時間比較短，比如剩余時間是21分鐘，則選擇A路線，因?yàn)锳路線的時間不大于21分鐘的次數(shù)有7次，而B路線的時間都大于21分鐘；如果剩余時間不短也不長，比如剩余時間是31分鐘，則選擇B路線，因?yàn)锽路線的時間都不大于31分鐘，而A路線的時間大于31分鐘有3次，選擇B路線可以確保不遲到；如果剩余時間足夠長，比如剩余時間是36分鐘，則選擇A路線，在保證不遲到的情況，選擇平均時間更少，中位數(shù)更小的路線．【點(diǎn)睛】本題考查求平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)，以及根據(jù)統(tǒng)計(jì)量做決策等知識，掌握統(tǒng)計(jì)量的求法是解題的關(guān)鍵．22.（10分）如圖，為的直徑，E為上一點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)D，延長交的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)弦、弧、圓周角的關(guān)系可證，根據(jù)圓的性質(zhì)得，證明，得到，根據(jù)切線的判定定理證明；（2）連接，，根據(jù)勾股定理得到的長，根據(jù)等弧對等弦得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得，推出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【小問1詳解】證明：連接，∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴∴∴，∴，∵為半徑，∴為切線；【小問2詳解】解：連接，，∵，∴，∵，，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴，∴，∵為的直徑，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的半徑長為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．23.（10分）綜合與實(shí)踐問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個已知角．”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點(diǎn)C和D，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．請寫出平分的依據(jù)：____________；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：不一定必須是等邊三角形，只需即可．他查閱資料：我國古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過角尺頂點(diǎn)C的射線是的平分線，請說明此做法的理由；拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應(yīng)該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）作圖見解析；【解析】【分析】（1）先證明，可得，從而可得答案；（2）先證明，可得，可得是的角平分線；（3）先作的角平分線，再在角平分線上截取即可．【詳解】解：（1）∵，，，∴，∴，∴是的角平分線；故答案為：（2）∵，，，∴，∴，∴是的角平分線；（3）如圖，點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義與角平分線的性質(zhì)，作已知角的角平分線，理解題意，熟練的作角的平分線是解本題的關(guān)鍵．24.（13分）如圖，在正方形中，E是邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．邊關(guān)于對稱的線段為，連接．（1）若，求證：是等邊三角形；（2）延長，交射線于點(diǎn)G；①能否為等腰三角形？如果能，求此時的度數(shù)；如果不能，請說明理由；②若，求面積的最大值，并求此時的長．【答案】（1）見解析（2）①能為等腰三角形，；②【解析】【分析】（1）由軸對稱的性質(zhì)得到，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，根據(jù)等邊三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，得到，推出點(diǎn)B不可能是等腰三角形的頂點(diǎn)，若點(diǎn)F是等腰三角形的頂點(diǎn)，則有，此時E與D重合，不合題意，于是得到只剩下了，連接交于H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，得到為等腰三角形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，于是得到；②由①知，，要求面積的最大值，即求面積的最大值，在中，底邊是定值，即求高的最大值即可，如圖2，過G作于P，連接，取的中點(diǎn)M，連接，作于N，設(shè)，則，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，推出，當(dāng)當(dāng)G，M，N三點(diǎn)共線時，取等號，于是得到結(jié)論；如圖3，設(shè)與交于Q，則四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，求得，于是得到結(jié)論．【小問1詳解】證明：由軸對稱的性質(zhì)得到，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵于對稱的線段為，∴，∴，∴是等邊三角形；【小