第4章-一元一次方程(壓軸必刷30題3種題型專項訓練)(原卷版)-2024-2025學年七年級數(shù)學上

第4章一元一次方程（壓軸必刷30題3種題型專項訓練）一．一元一次方程的解（共2小題）1．（2022秋?啟東市校級月考）我們規(guī)定，若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為x＝b﹣a，則稱該方程為“差解方程”，例如：2x＝4的解為2，且2＝4﹣2，則方程2x＝4是差解方程．請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：（1）判斷3x＝4.5是否是差解方程；（2）若關(guān)于x的一元一次方程5x＝m+1是差解方程，求m的值．2．（2022秋?宿城區(qū)期中）我們規(guī)定，若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為b﹣a，則稱該方程為“差解方程”，例如：2x＝4的解為2，且2＝4﹣2，則方程2x＝4是差解方程．請根據(jù)上邊規(guī)定解答下列問題：（1）判斷3x＝4.5是否是差解方程；（2）若關(guān)于x的一元一次方程6x＝m+2是差解方程，求m的值．二．解一元一次方程（共3小題）3．（2021秋?高新區(qū)期末）用“*”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a*b＝ab2+2ab+a．如：1*3＝1×32+2×1×3+1＝16（1）求2*（﹣2）的值；（2）若（其中x為有理數(shù)），試比較m，n的大??；（3）若＝a+4，求a的值．4．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）如圖，小明在一張紙面上畫了一條數(shù)軸，折疊紙面，使表示數(shù)﹣1的點與表示數(shù)5的點重合，請你回答以下問題：（1）表示數(shù)﹣2的點與表示數(shù)的點重合；表示數(shù)7的點與表示數(shù)的點重合．（2）若數(shù)軸上點A在點B的左側(cè)，A，B兩點之間的距離為12，且A，B兩點按小明的方法折疊后重合，則點A表示的數(shù)是；點B表示的數(shù)是；（3）已知數(shù)軸上的點M分別到（2）中A，B兩點的距離之和為2022，求點M表示的數(shù)是多少？5．（2021秋?溧陽市期末）閱讀理解學：我們都應該知道，任何無限循環(huán)小數(shù)都應該屬于有理數(shù)，那是因為所有無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分數(shù)形式，而分數(shù)屬于有理數(shù)．那么無限循環(huán)小數(shù)怎么化成分數(shù)呢？下面的學習材料會告訴我們原因和方法：問題：利用一元一次方程將0.化成分數(shù)．設0.＝x．由0.＝0.7777…，可知10×0.＝7777…＝7+0.7777…＝7+0.，即10x＝7+x．可解得，即0.＝．（1）將0.直接寫成分數(shù)形式為．（2）請仿照上述方法把下列小數(shù)化成分數(shù)，要求寫出利用一元一次方程進行解答的過程．①0.；②0.1．三．一元一次方程的應用（共25小題）6．（2022秋?高新區(qū)期末）甲、乙兩個旅行團同時去蘇州旅游，已知乙團人數(shù)比甲團人數(shù)多4人，兩團人數(shù)之和恰等于兩團人數(shù)之差的18倍．（1）問甲、乙兩個旅行團的人數(shù)各是多少？（2）若乙團中兒童人數(shù)恰為甲團中兒童人數(shù)的3倍少2人，某景點成人票價為每張100元，兒童票價是成人票價的六折，兩旅行團在此景點所花費的門票費用相同，求甲、乙兩團兒童人數(shù)各是多少？7．（2022秋?興化市校級期末）甲、乙兩班學生到集市上購買蘋果，蘋果的價格如表：購買蘋果數(shù)不超過30千克30千克以上但不超過50千克50千克以上每千克價格3元2.5元2元甲班分兩次共購買蘋果80千克（第二次多于第一次），共付出185元，乙班則一次購買蘋果80千克．（1）乙班比甲班少付出多少元？（2）甲班第一次、第二次分別購買蘋果多少千克？8．（2023秋?海門市校級月考）已知A、B、C三點在同一條數(shù)軸上，點A、B表示的數(shù)分別為﹣2，18，點C在原點右側(cè)，且AC＝AB．（1）A、B兩點相距個單位；（2）求點C表示的數(shù)；（3）點P、Q是該數(shù)軸上的兩個動點，點P從點A出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒1個單位的速度向右運動，點Q從點B出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒2個單位的速度向左運動，它們同時出發(fā)，運動時間為t秒，求當t為何值時，P、Q兩點到C點的距離相等？9．（2022秋?建鄴區(qū)校級期末）揚子江藥業(yè)集團生產(chǎn)的某種藥品的長方體包裝盒的側(cè)面展開圖如圖所示．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，如果長方體盒子的長比寬多4cm，求這種藥品包裝盒的體積．10．（2023秋?濱?？h月考）生活與數(shù)學日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）山姆同學在某月的日歷上圈出2×2個數(shù)，如圖1，正方形的方框內(nèi)的四個數(shù)的和是48，那么這四個數(shù)是．（2）小麗也在上面的日歷上圈出2×2個數(shù)，如圖2，斜框內(nèi)的四個數(shù)的和是46，則它們分別是．（3）劉莉也在日歷上圈出5個數(shù)，呈十字框形，如圖3，它們的和是55，則中間的數(shù)是．（4）某月有5個星期日的和是75，則這個月中最后一個星期日是號？11．（2022秋?興化市校級月考）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）探究：①數(shù)軸上表示5和2的兩點之間的距離是．②數(shù)軸上表示﹣1和﹣5的兩點之間的距離是．③數(shù)軸上表示﹣3和4的兩點之間的距離是．（2）歸納：一般的，數(shù)軸上表示數(shù)a和數(shù)b的兩點之間的距離等于．（3）應用：①若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于﹣4與3之間，則|a+4|+|a﹣3|的值＝．②若a表示數(shù)軸上的一個有理數(shù)，且|a﹣1|＝|a+3|，則a＝．③若a表示數(shù)軸上的一個有理數(shù)，|a﹣1|+|a+2|的最小值是．④若a表示數(shù)軸上的一個有理數(shù)，且|a+3|+|a﹣5|＞8，則有理數(shù)a的取值范圍是．（4）拓展：已知，如圖2，A、B分別為數(shù)軸上的兩點，A點對應的數(shù)為﹣20，B點對應的數(shù)為100．若當電子螞蟻P從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從B點出發(fā)，以3單位/秒的速度向左運動，求經(jīng)過多長時間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距20個單位長度，并寫出此時點P所表示的數(shù)．12．（2022秋?海安市月考）已知：在一條東西向的雙軌鐵路上迎面駛來一快一慢兩列火車，快車長AB＝2（單位長度），慢車長CD＝4（單位長度），設正在行駛途中的某一時刻，如圖，以兩車之間的某點O為原點，取向右方向為正方向畫數(shù)軸，此時快車頭A在數(shù)軸上表示的數(shù)是a，慢車頭C在數(shù)軸上表示的數(shù)是b．若快車AB以6個單位長度/秒的速度向右勻速繼續(xù)行駛，同時慢車CD以2個單位長度/秒的速度向左勻速繼續(xù)行駛，且|a+8|+（b﹣16）2＝0．（1）求此時刻快車頭A與慢車頭C之間相距單位長度；（2）從此時刻開始算起，問再行駛多少秒鐘兩列火車行駛到車頭AC相距8個單位長度？（3）此時在快車AB上有一位愛動腦筋的七年級學生乘客P，他發(fā)現(xiàn)行駛中有一段時間t秒鐘，他的位置P到兩列火車頭A、C的距離和加上到兩列火車尾B、D的距離和是一個不變的值（即PA+PC+PB+PD為定值）．你認為學生P發(fā)現(xiàn)的這一結(jié)論是否正確？若正確，求出這個時間及定值；若不正確，請說明理由．13．（2022秋?淮陰區(qū)期中）據(jù)電力部門統(tǒng)計，每天8：00至21：00是用電高峰期，簡稱“峰時”，21：00至次日8：00是用電低谷期，簡稱“谷時”．為了緩解供電需求緊張的矛盾，我市電力部門擬逐步統(tǒng)一換裝“峰谷分時”電表，對用電實行“峰谷分時電價”新政策，具體見下表：時間換表前換表后峰時（8：00﹣21：00）谷時（21：00﹣8：00）電價每度0.52元每度0.55元每度0.30元小明家對換表后最初使用的95度電進行測算，經(jīng)測算比換表前使用95度電節(jié)約了5.9元，問小明家使用“峰時”電和“谷時”電分別是多少度？14．（2022秋?姜堰區(qū)期中）閱讀理解：M、N、P為數(shù)軸上三點，若點P到M的距離是點P到N的距離的k（k＞0）倍，即滿足PM＝k．PN時，則稱點P關(guān)于M、N的“相對關(guān)系值”為k．例如，當點M、N、P表示的數(shù)分別為0、2、3時，PM＝3PN，則稱點P關(guān)于M、N的“相對關(guān)系值”為3；PN＝MN，則稱點N關(guān)于P、M的“相對關(guān)系值”為．如圖，點A、B、C、D在數(shù)軸上，它們所表示的數(shù)分別為﹣1、2、6、﹣6．（1）原點O關(guān)于A、B的“相對關(guān)系值“為a，原點O關(guān)于B、A的“相對關(guān)系值”為b，則a＝，b＝．（2）點E為數(shù)軸上一動點，點E所表示的數(shù)為x，若x滿足|x+3|+|x﹣2|＝5，且點E關(guān)于C、D的“相對關(guān)系值”為k，則k的取值范圍是．（3）點F從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向左運動，設運動時間為t（t＞0）秒，當經(jīng)過t秒時，C、D、F三點中恰有一個點關(guān)于另外兩點的“相對關(guān)系值”為2，求t的值．15．（2022秋?蘇州期中）【問題背景】落實“雙減”政策后，某校開展了豐富多彩的科技活動．如圖1，電子螞蟻P、Q在長18分米的賽道AB上同時相向勻速運動，電子螞蟻P從A出發(fā)，速度為4分米/分鐘，電子螞蟻Q從B出發(fā)，速度為2分米/分鐘，當電子螞蟻P到達B時，電子螞蟻P，Q停止運動．經(jīng)過幾分鐘P，Q之間相距6分米？【問題解決】小辰同學在學習《有理數(shù)》之后，發(fā)現(xiàn)運用數(shù)形結(jié)合的方法建立數(shù)軸可以較快地解決上述問題：如圖2，將點A與數(shù)軸的原點O重合，點B落在正半軸上．設運動的時間為t（0≤t≤4.5）．（1）t分鐘后點P在數(shù)軸上對應的數(shù)是；點Q對應的數(shù)是；（用含t的代數(shù)式表示）（2）我們知道，如果數(shù)軸上M，N兩點分別對應數(shù)m，n，則MN＝|m﹣n|．試運用該方法求經(jīng)過幾分鐘P，Q之間相距6分米？（3）在賽道AB上有一個標記位置C，AC＝6．若電子螞蟻P與標記位置C之間的距離為a，電子螞蟻Q與B之間的距離為b．在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得a+b＝4？若存在，請求出運動的時間；若不存在，請說明理由．16．（2022秋?海陵區(qū)校級月考）閱讀理解，完成下列各題：定義：已知A、B、C為數(shù)軸上任意三點，若點C到點A的距離是它到點B的距離的3倍，則稱點C是[A，B]的3倍點，例如：如圖1，點C是[A，B]的3倍點，點D不是[A，B]的3倍點，但點D是[B，A]的3倍點，根據(jù)這個定義解決下面問題：（1）在圖1中，點A[C，D]的3倍點（填寫“是”或“不是”）；[D，C]的3倍點是點（填寫A或B或C或D）；（2）如圖2，M、N為數(shù)軸上兩點，點M表示的數(shù)是﹣3，點N表示的數(shù)是5，若點E是[M，N]的3倍點，則點E表示的數(shù)是；（3）若P、Q為數(shù)軸上兩點，點P在點Q的左側(cè)，PQ＝a，一動點H從點P出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，設運動時間為t秒，求當t為何值時，點H恰好是P和Q兩點的3倍點？（用含a的代數(shù)式表示）17．（2022秋?昆山市校級月考）如圖所示，將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7…排列成如下的數(shù)表，用十字形框框出5個數(shù)．探究規(guī)律一：設十字框中間的奇數(shù)為x，則框中五個奇數(shù)的和用含x的整式表示為，這說明被十字框框中的五個奇數(shù)的和一定是正整數(shù)p（p＞1）的倍數(shù)，這個正整數(shù)p是．探究規(guī)律二：落在十字框中間且位于第二列的一組奇數(shù)是15，27，39…，則這一組數(shù)可以用整式表示為12m+3（m為正整數(shù)），同樣，落在十字框中間且位于第三列的一組奇數(shù)可以表示為；（用含m的式子表示）運用規(guī)律（1）被十字框框中的五個奇數(shù)的和可能是625嗎？若能，請求出這五個數(shù)，若不能，請說明理由．（2）請問（1）中的十字框中間的奇數(shù)落在第幾行第幾列？18．（2022秋?廣陵區(qū)校級月考）從泰州乘“K”字頭列車A、“T”字頭列車B都可直達南京，已知A車的平均速度為80km/h，B車的平均速度為A車的1.5倍，且行完全程B車所需時間比A車少40分鐘．（1）求泰州至南京的鐵路里程；（2）若兩車以各自的平均速度分別從泰州、南京同時相向而行，問經(jīng)過多少時間兩車相距40km？19．（2022秋?江都區(qū)月考）某地的一種綠色蔬菜，在市場上若直接銷售，每噸利潤為1000元，經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤4000元，經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤7000元．當?shù)匾患夜粳F(xiàn)有這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工16噸，如果對蔬菜進行精加工，每天可加工6噸，但每天兩種方式不能同時進行．受季節(jié)等條件的限制，必須用15天時間將這批蔬菜全部銷售或加工完畢．為此，公司研制了三種方案：方案一：將蔬菜全部進行粗加工；方案二：盡可能地對蔬菜進行精加工，沒來得及加工的蔬菜，在市場上直接出售；方案三：將一部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并剛好15天完成．如果你是公司經(jīng)理，你會選擇哪一種方案，說說理由．20．（2023秋?錫山區(qū)期中）如圖，數(shù)軸上有A、B、C、D四點，點D對應的數(shù)為x，已知OA＝5，OB＝3，CD＝2，P、Q兩點同時從原點O出發(fā)，沿著數(shù)軸正方向分別以每秒鐘a和b個單位長度的速度運動，且a＜b．點Q到點D后立即朝數(shù)軸的負方向運動，速度不變，在點C處與點P相遇，相遇后點P也立即朝著數(shù)軸的負方向運動，且P點的速度變?yōu)?a，Q點的速度不變．（1）P、Q兩點相遇時，點P前進的路程為；Q、P兩點相遇前的速度比＝；（用含有x的式子表示）（2）若點B為線段AD的中點，①此時，點D表示的數(shù)x＝；②相遇后，當點P到達點A處時，點Q在原點O的（填“左”或“右”）側(cè)，并求出此時點Q在數(shù)軸上所表示的數(shù)字；（3）在（2）的條件下，當點P到達點A處時，立即掉頭朝數(shù)軸的正方向運動，速度變?yōu)?a，點Q的速度始終不變，這兩點在點M處第二次相遇，則點M在數(shù)軸上所表示的數(shù)字為．21．（2023秋?沭陽縣校級月考）探索規(guī)律：將連續(xù)的偶2，4，6，8，…，排成如圖：（1）十字框中的五個數(shù)的和與中間的數(shù)16有什么關(guān)系？（2）設中間的數(shù)為x，用代數(shù)式表示十字框中的五個數(shù)的和；（3）若將十字框上下左右移動，可框住另外的五位數(shù)，其它五位數(shù)的和能等于2010嗎？如能，寫出這五位數(shù)，如不能，說明理由．22．（2021秋?姑蘇區(qū)校級期末）為增強公民節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用“階梯收費”，標準如下表：用水量單價不超過6m3的部分2元/m3超過6m3不超過10m3的部分4元/m3超出10m3的部分8元/m3譬如：某用戶2月份用水9m3，則應繳水費：2×6+4×（9﹣6）＝24（元）（1）某用戶3月用水15m3應繳水費多少元？（2）已知某用戶4月份繳水費20元，求該用戶4月份的用水量；（3）如果該用戶5、6月份共用水20m3（6月份用水量超過5月份用水量），共交水費64元，則該戶居民5、6月份各用水多少立方米？23．（2021秋?惠山區(qū)期末）【探索新知】如圖1，點C將線段AB分成AC和BC兩部分，若BC＝πAC，則稱點C是線段AB的圓周率點，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段．（1）若AC＝3，則AB＝；（2）若點D也是圖1中線段AB的圓周率點（不同于C點），則ACDB；（填“＝”或“≠”）【深入研究】如圖2，現(xiàn)有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數(shù)軸上表示1的點重合，并把圓片沿數(shù)軸向右無滑動地滾動1周，該點到達點C的位置．（3）若點M、N均為線段OC的圓周率點，求線段MN的長度．（4）在圖2中，若點D在射線OC上，且線段CD與圖中以O、C、D中某兩點為端點的線段互為圓周率伴侶線段，直接寫出D點所表示的數(shù)．24．（2022秋?江都區(qū)校級月考）元旦期間，某商場打出促銷廣告（如下表）優(yōu)惠條件一次性購物不超過200元一次性購物超過200元但不超過500元一次性購物超過500元優(yōu)惠辦法無優(yōu)惠全部按9折優(yōu)惠其中500元仍按9折優(yōu)惠，超過500元部分按8折優(yōu)惠小明媽媽第一次購物用了134元，第二次購物用了490元．（1）小明媽媽第一次所購物品的原價是元；（2）小明媽媽第二次所購物品的原價是多少元？（寫出解答過程）（3）若小明媽媽將兩次購買的物品一次性買清，可比兩次購買節(jié)省多少元？25．（2022秋?梁溪區(qū)校級月考）在數(shù)軸上A點表示數(shù)a，B點表示數(shù)b，且a、b滿足|a+2|+|b﹣4|＝0；（1）點A表示的數(shù)為；點B表示的數(shù)為；（2）如果M、N為數(shù)軸上兩個動點，點M從點A出發(fā)，速度為每秒1個單位長度；點N從點B出發(fā)，速度為點A的3倍，它們同時向左運動，點O為原點．當運動2秒時，點M、N對應的數(shù)分別是、．當運動t秒時，點M、N對應的數(shù)分別是、．（用含t的式子表示）運動多少秒時，點M、N、O中恰有一個點為另外兩個點所連線段的中點？（可以直接寫出答案）26．（2022秋?興化市校級月考）如圖，已知A、B分別為數(shù)軸上的兩點，A點對應的數(shù)為﹣20，B點對應的數(shù)為80．（1）請直接寫出AB的中點M對應的數(shù)；（2）現(xiàn)在有一只電子螞蟻P從A點出發(fā)，以2個單位/秒的速度向右運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從B點出發(fā)，以3個單位/秒的速度向左運動，設兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點相遇，請求出C點對應的數(shù)是多少；（3）若當電子螞蟻P從A點出發(fā)時，以2個單位/秒的速度向右運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從B點出發(fā)，以3個單位/秒的速度向左運動，經(jīng)過多長時間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距25個單位長度？27．（2022秋?昆山市校級月考）在購買足球賽門票時，設購買門票張數(shù)為x（張），現(xiàn)有兩種購買方案：方案一：若單位贊助廣告費10000元，則該單位購買門票的價格為60元（總費用＝廣告贊助費+門票費）．方案二：若購買的門票數(shù)不超過100張，每張100元，若所購門票超過100張，則超出部分按八折計算．解答下列問題：（1）方案一中，用含x的代數(shù)式來表示總費用為．方案二中，當購買的門票數(shù)x不超過100張時，用含x的代數(shù)式來表示總費用為．當所購門票數(shù)x超過100張時，用含x的代數(shù)式來表示總費用為