2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點精準(zhǔn)研析4.2三角函數(shù)的同角關(guān)系誘導(dǎo)公式文含解析北師大版

PAGE10-三角函數(shù)的同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式核心考點·精準(zhǔn)研析考點一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用

1.(2024·西安模擬)若sinα=-513,且α為第四象限角,則tan()A.125 B.-125 C.512【解析】選D.因為sinα=-513,α所以cosα=1-sin2α=1213,所以tan2.已知cosα=k,k∈R,α∈π2,π,則A.-1-k2C.±1-k2【解析】選B.因為α∈π2,π,所以cos所以sinα=1-cos【巧思妙解】(解除法)選B.因為α∈π2,π,所以sinα>0,解除A,C,又-1<k<0,所以1+若將題中的“cosα=k,k∈R,α∈π2,π”換為“sinα=k,k∈R,α∈π2,π”,【解析】因為α∈π2,π,所以coscosα=-1-sin3.已知tanα=12,則(1)sinα-3(2)sin2α+sinαcosα+2=________.

【解析】(1)sinα-3cosαsinα(2)sin2α+sinαcosα+2=3sin2α+sinαcosα+2cos2α=3=3tan2α+答案:(1)-53(2)同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法(1)利用sin2α+cos2α=1可實現(xiàn)α的正弦、余弦的互化,利用sinαcosα=tanα可以實現(xiàn)角(2)由一個角的隨意一個三角函數(shù)值可求出這個角的另外兩個三角函數(shù)值,因為利用“平方關(guān)系”公式,需求平方根,會出現(xiàn)兩解,需依據(jù)角所在的象限推斷符號,當(dāng)角所在的象限不明確時,要進行分類探討.(3)分式中分子與分母是關(guān)于sinα,cosα的齊次式,往往轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的式子求解.【秒殺絕技】1.勾股數(shù)解T1,看到sinα=-513,想到勾股數(shù)5,12,13,所以cosα=±12tanα=±512,因為α為第四象限角所以tanα<0,tanα=-5122.轉(zhuǎn)化代入法解T3,(1)將tanα=12轉(zhuǎn)化為cosα=2sinα,將cosα=2sinα代入sinα-3cosαsin考點二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

【典例】1.若f(x)=sinπ2x+α+1,且f(2020)=2,則f(22.已知cosπ6-θ=a,則cos5π6 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1看到形如2020的數(shù)字,想到函數(shù)有周期性.三角函數(shù)可運用誘導(dǎo)公式求解2看到三角函數(shù)給值求值問題.想到找出已知角與未知角的關(guān)系,π6-θ+56π+θ【解析】1.因為f(2020)=sinπ2×2020+sinα+1=2,所以sinα=1,cosα=0.所以f(2021)=sinπ2=sin1=cosα+1=1.答案:12.cos5π6+θ=-a,sin2π3-θ=sin所以cos5π6+答案:01.利用誘導(dǎo)公式把隨意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟也就是:“負(fù)化正,大化小,化到銳角就好了”.2.利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的要求(1)化簡過程是恒等變形.(2)結(jié)果要求項數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡潔,能求值的要求出值.1.(2024·淮南十校聯(lián)考)已知sinα-π3=13,則A.-13 B.13 C.22【解析】選A.因為sinα-π3所以cosα+π6=cosπ2+2.(2024·阜陽模擬)計算sin11π6+cos10A.-1 B.1 C.0 D.12-【解析】選A.原式=sin2π-=-sinπ6-cos=-12-1考點三同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

命題精解讀1.考什么:(1)同角關(guān)系整體代換,sinα±cosα與sinα·cosα之間的關(guān)系,同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用等.(2)考查邏輯推理,數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng),以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想.2.怎么考:誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系結(jié)合考查求三角函數(shù)值,代數(shù)式的值等.3.新趨勢:以考查同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用為主.學(xué)霸好方法同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧1.切弦互化:主要利用公式tanθ=sinθcosθ化成正弦、余弦,或者利用公式sinθcosθ=tan2.“1”的變換:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=(sinθ±cosθ)2?2sinθcosθ=tan3.和積轉(zhuǎn)換:利用關(guān)系式(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ進行變形、轉(zhuǎn)化整體代換問題【典例】(2024·合肥模擬)已知tanα=-34,則sinα(sinα-cosα)=世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號A.2125 B.2521 C.45【解析】選A.sinα(sinα-cosα)=sin2α-sinαcosα=sin2α-sinαcosαsin2α+co整體代換是如何實現(xiàn)的?提示:弦切互化法:主要利用公式tanx=sinxcosx進行切化弦或弦化切,如absinxcosx+ccos2x等類型可進行弦化切.sinα±cosα與sinα·cosα之間的關(guān)系【典例】(2024·蘇州模擬)已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),則tanθ的值為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號【解析】因為sinθ+cosθ=15,兩邊平方,得1+2sinθcosθ=125所以2sinθcosθ=-2425,又θ∈(0,π所以sinθ>0,cosθ<0,因為(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=4925所以sinθ-cosθ=75,由①②得sinθ=45,cosθ=-35,所以tanθ=-答案:-4一般求值問題的步驟如何?提示:(1)將已知條件或所求式子利用誘導(dǎo)公式進行化簡.(2)從已知條件中結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系得出須要的結(jié)論.(3)代入化簡后的所求式子,得出最終的結(jié)論.同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用【典例】(2024·保定模擬)已知tan(3π+α)=3,則3sin 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號()A.13 B.89 C.2【解析】選B.因為tan(3π+α)=3,所以tanα=3,所以3sinα-cosα2sin運用“切弦互化”時有哪些留意事項?提示:(1)弦化切:把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式,統(tǒng)一為“切”的表達式,進行求值.常見的結(jié)構(gòu)有:①sinα,cosα的二次齊次式(如asin2α+bsinαcosα+ccos2α)的問題常采納“切”代換法求解;②sinα,cosα的齊次分式如a(2)切化弦:一般單獨出現(xiàn)正切、余切的時候,運用公式tanα=sinα1.(2024·寶雞模擬)若sin(π-θ)+cos(θA.1 B.-1 C.3 【解析】選D.因為sin(π-θ)+cos(θ-2sinθ-cosθ,所以sinθ=-3cosθ,所以tanθ=-3.2.(2024·唐山模擬)已知sin5π2+α=35,所以A.-43 B.-34 C.±43【解析】選C.sin5π2+α=sinπ2所以sinα=±45,tanα=sinαcosα3.已知α∈π2,3π2,tan(α-π)=-34,則sin【解析】已知tan(α-π)=tanα=-34,又α∈π所以sinα=35,cosα=-45,所以sinα+cosα=-答案:-11.(2024·南充模擬)設(shè)f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零實數(shù).若f(2019)=-1,則f(2020)= ()A.1 B.2 C.0 【解析】選A.因為f(2019)=asin(2019π+α)+bcos(2019π+β)=-asinα-bcosβ=-1,所以asinα+bcosβ=1,所以f(2020)=asin(2020π+α)+bcos(2020π+β)=asinα+bcosβ=1.2.(2024·淮安模擬)若tanα+1tanα=52,α∈π4,π【解析】因為tanα+1tanα=52,所以tanα=2或12所以sin(π=cosα(2sinα答案:13.(2024·通州模擬)如圖是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形,若直角三角形中較小的內(nèi)角為θ,大正方形的面積是1,小正方形的面積是125,則sin2θ-cos2θ的值是________【解析】由題圖知,每個直角三角形長直角邊為cosθ,短直角邊為sinθ,小正方形邊長為cosθ-sinθ,因為小正方形的面積是125,所以(cosθ-sinθ)2=1又θ為直