2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)33空間兩點(diǎn)間的距離公式新人教A版必修2

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)33空間兩點(diǎn)間的距離公式基礎(chǔ)鞏固1．點(diǎn)P(2，3，4)到y(tǒng)軸的距離是()A.eq\r(13) B．2eq\r(5)C．5 D.eq\r(29)解析：點(diǎn)P在y軸的射影P′為(0，3，0)，所以|PP′|＝eq\r(22＋42)＝eq\r(20)＝2eq\r(5).答案：B2．空間點(diǎn)A(1，2，3)關(guān)于點(diǎn)C(3，5，1)的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A．(1，1.5，1) B．(5，8，－1)C．(－1，－1.5，－1) D．(－5，8，1)解析：考查空間中的對(duì)稱問(wèn)題．設(shè)B(x，y，z)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝\f(x＋1,2)，,5＝\f(y＋2,2)，,1＝\f(z＋3,2).))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝8，,z＝－1))故選B.答案：B3．點(diǎn)A(1，2，－1)，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于面xOy對(duì)稱，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，則|BC|的值為()A．2eq\r(5) B．4C．2eq\r(2) D．2eq\r(7)解析：點(diǎn)A關(guān)于面xOy對(duì)稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)是(1，2，1)，點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1，－2，1)，故|BC|＝eq\r(（1－1）2＋（2＋2）2＋（1－1）2)＝4.答案：B4．如圖1所示，點(diǎn)P′在x軸的正半軸上，且|OP′|＝2，點(diǎn)P在xOz平面內(nèi)，且垂直于x軸，|PP′|＝1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．圖1解析：由于點(diǎn)P在xOz平面內(nèi)，故其縱坐標(biāo)為0，結(jié)合圖形可知點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，0，1)．答案：(2，0，1)5．在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，－1，2)，其中心M的坐標(biāo)為(0，1，2)，則該正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析：由A(3，－1，2)，中心M(0，1，2)所以C1(－3，3，2)．正方體體對(duì)角線長(zhǎng)為|AC1|＝eq\r([3－（－3）]2＋（－1－3）2＋（2－2）2)＝2eq\r(13)，所以正方體的棱長(zhǎng)為eq\f(2\r(13),\r(3))＝eq\f(2\r(39),3).答案：eq\f(2\r(39),3)6．如圖2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分別是棱AB，B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，求DE，EF的長(zhǎng)度．圖2解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系．圖3因?yàn)閨C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(xiàn)(1，0，0)，所以|DE|＝eq\r(（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2)＝eq\r(5)，|EF|＝eq\r(（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2)＝eq\r(6).實(shí)力提升1．已知三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A(4，1，3)、B(2，－5，1)、C(3，7，λ)，若AB⊥AC，則λ等于()A．28 B．－28C．14 D．－14解析：∵AB⊥AC，∴△ABC為直角三角形，|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.而|BC|2＝λ2－2λ＋146，|AB|2＝44，|AC|2＝(3－λ)2＋37，解得λ＝－14.答案：D2．已知點(diǎn)A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，則△ABC的形態(tài)是()A.等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析：|AB|＝eq\r(（1－4）2＋（－2－2）2＋（11－3）2)＝eq\r(89)，|BC|＝eq\r(（4－6）2＋（2＋1）2＋（3－4）2)＝eq\r(14)，|AC|＝eq\r(（1－6）2＋（－2＋1）2＋（11－4）2)＝eq\r(75)，∴|AB|2＝|BC|2＋|AC|2.∴△ABC為直角三角形．答案：C3．在空間直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)等距離的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．多數(shù)解析：由兩點(diǎn)間距離公式可得|AB|＝eq\r(26)，|BC|＝eq\r(74)，|AC|＝eq\r(26).易知A，B，C三點(diǎn)不共線，故可確定一個(gè)平面，在△ABC所在平面內(nèi)可找到一點(diǎn)到A，B，C的距離相等．而過(guò)該點(diǎn)與平面ABC垂直的直線上的每一點(diǎn)到A，B，C的距離均相等．答案：D4．給定空間直角坐標(biāo)系，在x軸上找一點(diǎn)P，使它與點(diǎn)P0(4，1，2)的距離為eq\r(30)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0，0)，由題意，得|P0P|＝eq\r(30)，即eq\r(（x－4）2＋12＋22)＝eq\r(30).解得x＝9或x＝－1.所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(9，0，0)或(－1，0，0)．答案：(9，0，0)或(－1，0，0)5．與點(diǎn)A(－1，2，3)，B(0，0，5)的距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿意的條件為_(kāi)_______．解析：設(shè)滿意條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y，z)，由題意可得eq\r(（x＋1）2＋（y－2）2＋（z－3）2)＝eq\r(x2＋y2＋（z－5）2)，即2x－4y＋4z－11＝0.答案：2x－4y＋4z－11＝06．在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，點(diǎn)M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且為D1C的中點(diǎn)，求M、N兩點(diǎn)間的距離．圖4解：如圖5分別以AB、AD、AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．由題意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，圖5∵|DD1|＝|CC1|＝2，∴C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，∵N為CD1的中點(diǎn)，∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3，1)).M是A1C1的三分之一分點(diǎn)且靠近A1點(diǎn)，∴M(1，1，2)．由兩點(diǎn)間距離公式得|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))\s\up12(2)＋（3－1）2＋（1－2）2)＝eq\f(\r(21),2).7．如圖6所示，BC＝4，原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，點(diǎn)D在平面yOz內(nèi)，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的長(zhǎng)度．圖6解：由題意有B(0，－2，0)，C(0，2，0)，設(shè)D(0，y，z)，在Rt△BDC中，∠DCB＝30°，∴|BD|＝2，|CD|＝2eq\r(3)，z＝eq\r(3).∴y＝－1，∴D(0，－1，eq\r(3))．又∵Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，∴|AD|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－0))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))\s\up12(2)＋（0－\r(3)）2)＝eq\r(6).8．在xOy平面內(nèi)的直線x＋y＝1上確定一點(diǎn)M，