2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)13直線與平面垂直的判定新人教A版必修2

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)13直線與平面垂直的判定基礎(chǔ)鞏固1．如圖1所示，假如MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是()圖1A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：因?yàn)锳BCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC.因?yàn)锳C∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.明顯直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交．答案：C2．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中，肯定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m?α B.m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n?β D.m⊥n，且n∥β解析：A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β內(nèi)的隨意直線，再由m∥n，知m也垂直于β內(nèi)的隨意直線，所以m⊥β，B符合題意；C，D中，m?β或m∥β或m與β相交，不符合題意．故選B.答案：B3．已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面()圖2A．有且只有一個(gè) B．至多一個(gè)C．有一個(gè)或多數(shù)個(gè) D．不存在解析：若異面直線m、n垂直，則符合要求的平面有一個(gè)，否則不存在．答案：B4．假如PA，PB，PC兩兩垂直，那么點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的投影肯定是△ABC的()A．重心 B．內(nèi)心C．外心 D．垂心解析：如圖2，由PA，PB，PC兩兩相互垂直，可得AP⊥平面PBC，BP⊥平面PAC，CP⊥平面PAB，所以BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB，所以點(diǎn)O是△ABC三條高的交點(diǎn)，即點(diǎn)O是△ABC的垂心，故選D.答案：D圖35．如圖3，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，則CD與AB的位置關(guān)系是________.解析：∵EA⊥α，CD?α，依據(jù)直線和平面垂直的定義，則有CD⊥EA.同樣，∵EB⊥β，CD?β，則有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，∴CD⊥平面AEB.又∵AB?平面AEB，∴CD⊥AB.答案：CD⊥AB6．如圖4所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)有________．圖4解析：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC?平面ABC))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.答案：47．在三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB＝1，AA′＝2，求直線BC′與平面ABB′A′所成角的正弦值．解：如圖5所示，取A′B′的中點(diǎn)D，連接C′D，BD.圖5∵底面△A′B′C′是正三角形，∴C′D⊥A′B′.∵AA′⊥底面ABC，∴A′A⊥C′D.又AA′∩A′B′＝A′，∴C′D⊥側(cè)面ABB′A′，故∠C′BD是直線BC′與平面ABB′A′所成角．等邊三角形A′B′C′的邊長為1，C′D＝eq\f(\r(3),2)，在Rt△BB′C′中，BC′＝eq\r(B′B2＋B′C′2)＝eq\r(5)，故直線BC′與平面ABB′A′所成角的正弦值為eq\f(C′D,BC′)＝eq\f(\r(15),10).實(shí)力提升1．下列四個(gè)命題中，正確的是()①若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的多數(shù)條直線，則這條直線與這個(gè)平面垂直；②若一條直線平行于一個(gè)平面，則垂直于這條直線的直線必垂直于這個(gè)平面；③若一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線垂直于這個(gè)平面，則這兩條直線相互垂直；④若兩條直線垂直，則過其中一條直線有唯一一個(gè)平面與另一條直線垂直．A．①② B.②③C．②④ D.③④解析：若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的多數(shù)條平行的直線，則這條直線與這個(gè)平面不肯定垂直，所以①錯(cuò)誤．若一條直線平行于一個(gè)平面，垂直于這條直線的直線也可能平行于這個(gè)平面，所以②錯(cuò)誤．若一條直線平行于一個(gè)平面，則平面內(nèi)必有一條直線與之平行，另一條直線垂直于這個(gè)平面，則該直線與平面內(nèi)的那條直線垂直，從而這兩條直線相互垂直，所以③正確．明顯若兩條直線垂直，則過其中一條直線與另外一條直線垂直的平面只有一個(gè)，所以④正確．答案：D2．若直線l不垂直于平面α，那么在平面α內(nèi)()A．不存在與l垂直的直線B．只存在一條與l垂直的直線C．存在多數(shù)條直線與l垂直D．以上都不對(duì)解析：過斜足，簡單在α內(nèi)找到一條直線與l垂直，則在α內(nèi)與此直線平行的多數(shù)條直線都與l垂直．答案：C3．空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對(duì)角線AC、BD的關(guān)系是()A．垂直且相交 B.相交但不肯定垂直C．垂直但不相交 D.不垂直也不相交圖6解析：取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO，則BD⊥AO，BD⊥CO，且AO∩CO＝O，∴BD⊥面AOC，又AC?平面AOC，∴BD⊥AC，又BD、AC異面，∴選C.答案：C4．設(shè)α表示平面，a、b表示直線，給出下列四個(gè)說法，其中正確的是()①a∥α，a⊥b?b∥α②a∥b，a⊥α?b⊥α③a⊥α，a⊥b?b?α④a⊥b，b?α?a⊥αA．①② B.①④C．② D.②④解析：①中可能有b∥α，b?α或b與α相交；③中可能有b?α或b∥α；④中可能有a與α不垂直，或a⊥α；只有②正確．答案：C5．如圖7，四棱錐S-ABCD的底面ABCD為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的有________個(gè)．圖7①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA與平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角．解析：因?yàn)镾D⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.因?yàn)锳BCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正確；因?yàn)锳B∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正確；因?yàn)锳D是SA在平面ABCD內(nèi)的射影，所以SA與平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正確；因?yàn)锳B∥CD，所以AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角，故④正確．答案：4圖86．(2024年河北正定高一檢測)直三棱柱ABC-A1B1C1(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝eq\r(2)，D是A1B1的中點(diǎn)．(1)求證：C1D⊥平面AA1B1B；(2)當(dāng)點(diǎn)F在BB1上的什么位置時(shí)，會(huì)使得AB1⊥平面C1DF？請(qǐng)證明你的結(jié)論．圖9解：(1)證明：∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，由已知得A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中點(diǎn)，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D?平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延長DE交BB1于F，連接C1F，則AB1⊥平面C1DF，點(diǎn)F為所求．事實(shí)上，∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝eq\r(2)，∴四邊形AA1B1B為正方形．又D為A1B1的中點(diǎn)，DF⊥AB1，∴F為BB1的中點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)F為BB1的中點(diǎn)時(shí)，AB1⊥平面C1DF.7．如圖10，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上隨意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足．圖10(1)求證：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.證明：(1)∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM?平面ABM.∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.8．如圖11所示，三棱錐A-SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直線AS與平面SBC所成的角．圖11解析：因?yàn)椤螦SB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB與△SAC都是等邊三角形．因此AB＝AC.如圖12所示，取BC的中點(diǎn)D，圖12連接AD，SD，則AD⊥BC.設(shè)SA＝a，則在Rt△SBC中，BC＝eq\r(2)a，CD＝SD＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ADC中，AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\f(\r(2),2)a.則AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即為直線AS與平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝eq\f(\r(2),2)a，所以∠ASD＝45°，即直線AS與平面SBC所成的角為45°.拓展要求1．如圖13，動(dòng)點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對(duì)角線BD1上，過點(diǎn)P作垂直于平面BB1D1D的直線，與正方體表面相交于M，N.設(shè)BP＝x，MN＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()圖13解析：取A1A、CC1中點(diǎn)E、F，則點(diǎn)P移動(dòng)時(shí)，M，N為菱形EBFD1的邊上的點(diǎn)，當(dāng)M在EB上時(shí)，eq\f(\f(1,2)MN,BP)＝eq\f(\f(y,2),x)＝tan∠EBD1為常數(shù)，函數(shù)y＝f(x)的圖象應(yīng)為直線的一部分，再由對(duì)稱性知選B.答案：B2．如圖14甲，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖14乙．圖14(1)求證：DE∥平面A1CB；(2)求證：A1F⊥BE；(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由．解：(1)證明：因?yàn)镈，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以DE∥BC.又因?yàn)镈E?平面A1CB，BC?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)證明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.因?yàn)镈E⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因?yàn)锳1F⊥C