2025版高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列2.2等差數(shù)列第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)課時(shí)作業(yè)案新人教A版必修5

PAGEPAGE1第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．假如數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則(B)A．a(chǎn)1＋a8>a4＋a5 B．a(chǎn)1＋a8＝a4＋a5C．a(chǎn)1＋a8<a4＋a5 D．a(chǎn)1a8＝a4[解析]由等差數(shù)列的性質(zhì)有a1＋a8＝a4＋a5.2．假如等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(C)A．14 B．21C．28 D．35[解析]∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12∴a4＝4，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a43．等差數(shù)列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么關(guān)于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(A)A．無(wú)實(shí)根 B．有兩個(gè)相等實(shí)根C．有兩個(gè)不等實(shí)根 D．不能確定有無(wú)實(shí)根[解析]由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5∴a5＝3，方程為x2＋6x＋10＝0，Δ＝62－4×10<0，無(wú)實(shí)數(shù)解．故選A．4．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是(B)(1)若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2肯定成等差數(shù)列；(2)若a，b，c成等差數(shù)列，則2a,2b,2(3)若a，b，c成等差數(shù)列，則ka＋2，kb＋2，kc＋2肯定成等差數(shù)列；(4)若a，b，c成等差數(shù)列，則eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)可能成等差數(shù)列．A．4個(gè) B．3個(gè)C．2個(gè) D．1個(gè)[解析]對(duì)于(1)取a＝1，b＝2，c＝3?a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)錯(cuò)誤；對(duì)于(2)，a＝b＝c?2a＝2b＝2c，(2)正確；對(duì)于(3)，∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，(3)正確；對(duì)于(4)，a＝b＝c≠0?eq\f(1,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,c)，(4)正確，綜上選B．5．設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，則a11＋a12＋A．120 B．105C．90 D．75[解析]∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2∵d>0，∴d＝3.則a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d6．設(shè)公差為－2的等差數(shù)列{an}，假如a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于(D)A．－182 B．－78C．－148 D．－82[解析]a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.二、填空題7．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差數(shù)列，則x＝__log25__.[解析]由題意得2lg(2x－1)＝lg2＋lg(2x＋3)，所以(2x－1)2＝2·(2x＋3)，即(2x－5)(2x＋1)＝0，所以2x＝5，即x＝log25.8．中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為_(kāi)_5__.[解析]該數(shù)列記作{an}，公差記作d，若共2m＋1項(xiàng)則am＋1＝1010，a2m＋1＝2015，∴md＝1005∴a1＝am＋1－md＝5；若共2m項(xiàng)則am＋am＋1＝2×1010＝2020，a2m＝2015又a1＋a2m＝am＋am＋1，∴a1＝5.綜上a1三、解答題9．已知數(shù)列{an}，an＝2n－1，bn＝a2n－1.(1)求{bn}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列？說(shuō)明理由．[解析](1)∵an＝2n－1，bn＝a2n－1，∴bn＝a2n－1＝2(2n－1)－1＝4n－3.(2)由bn＝4n－3，知bn－1＝4(n－1)－3＝4n－7，∵bn－bn－1＝(4n－3)－(4n－7)＝4，∴{bn}是首項(xiàng)b1＝1，公差為4的等差數(shù)列．10．四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為－8，求這四個(gè)數(shù)．[解析]設(shè)這四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)．依題意，得2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d>0，∴d＝1，故所求的四個(gè)數(shù)為－2,0,2,4.B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知數(shù)列{eq\f(an,n)}是等差數(shù)列，且a3＝2，a9＝12，則a15＝(B)A．10 B．30C．40 D．20[解析]解法一：設(shè)數(shù)列{eq\f(an,n)}的公差為d.∵a3＝2，a9＝12，∴6d＝eq\f(a9,9)－eq\f(a3,3)＝eq\f(12,9)－eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，∴d＝eq\f(1,9)，eq\f(a15,15)＝eq\f(a3,3)＋12d＝2.故a15＝30.解法二：由于數(shù)列{eq\f(an,n)}是等差數(shù)列，故2×eq\f(a9,9)＝eq\f(a3,3)＋eq\f(a15,15)，即eq\f(a15,15)＝2×eq\f(12,9)－eq\f(2,3)＝2，故a15＝30.2．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－eq\f(1,3)a11的值為(C)A．14 B．15C．16 D．17[解析]由題意，得5a8＝120，∴a8＝24∴a9－eq\f(1,3)a11＝(a8＋d)－eq\f(1,3)(a8＋3d)＝eq\f(2,3)a8＝16.3．已知數(shù)列{an}滿意a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，則正整數(shù)k＝(B)A．24 B．23C．22 D．21[解析]由3an＋1＝3an－2得an＋1－an＝－eq\f(2,3)，所以數(shù)列{an}為首項(xiàng)a1＝15，公差d＝－eq\f(2,3)的等差數(shù)列，所以an＝15－eq\f(2,3)(n－1)＝－eq\f(2,3)n＋eq\f(47,3)，則由ak·ak＋1<0得ak>0，ak＋1<0，令an＝－eq\f(2,3)n＋eq\f(47,3)＝0得n＝eq\f(47,2)，所以a23>0，a24<0，所以k＝23.故選B．4．設(shè){an}是等差數(shù)列．下列結(jié)論中正確的是(C)A．若a1＋a2＞0，則a2＋a3＞0B．若a1＋a3＜0，則a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，則a2＞eq\r(a1a3)D．若a1＜0，則(a2－a1)(a2－a3)＞0[解析]先分析四個(gè)答案，A舉一反例a1＝2，a2＝－1，則a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A錯(cuò)誤；B舉同樣反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B錯(cuò)誤；下面針對(duì)C進(jìn)行探討，{an}是等差數(shù)列，若0<a1<a2，則a1>0，設(shè)公差為d，則d>0，數(shù)列各項(xiàng)均為正，由于aeq\o\al(2,2)－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝aeq\o\al(2,1)＋2a1d＋d2－aeq\o\al(2,1)－2a1d＝d2>0，則aeq\o\al(2,2)>a1a3?a2>eq\r(a1a3)，選C．二、填空題5．在等差數(shù)列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，，則am＝__eq\f(1,2)(A＋B)__.[解析]∵m－n，m，m＋n成等差數(shù)列，又{an}是等差數(shù)列．∴am－n，am，am＋n成等差數(shù)列，∴2am＝am－n＋am＋n＝A＋B，∴am＝eq\f(1,2)(A＋B)．6．已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，若點(diǎn)(eq\f(an,n)，eq\f(an＋1,n＋1))在直線x－y＋1＝0上，則an＝__n2__.[解析]依題意得eq\f(an,n)－eq\f(an＋1,n＋1)＋1＝0，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，∴數(shù)列{eq\f(an,n)}為等差數(shù)列，且公差d＝1.又eq\f(a1,1)＝1，∴eq\f(an,n)＝1＋(n－1)×1＝n，an＝n2.三、解答題7．在△ABC中，若lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差數(shù)列，并且三個(gè)內(nèi)角A，B，C也成等差數(shù)列，試推斷該三角形的形態(tài)．[解析]由A，B，C成等差數(shù)列，得2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴3B＝π，∴B＝eq\f(π,3).∵lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差數(shù)列，∴2lg(sinB)＝lg(sinA)＋lg(sinC)，即sin2B＝sinAsinC，∴sinAsinC＝eq\f(3,4).又∵cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC，cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC，∴sinAsinC＝－eq\f(1,2)[cos(A＋C)－cos(A－C)]．∴－eq\f(1,2)[coseq\f(2π,3)－cos(A－C)]＝eq\f(3,4).∴eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)cos(A－C)＝eq\f(3,4).∴cos(A－C)＝1.∵A－C∈(－π，π)，∴A－C＝0，即A＝C＝eq\f(π,3)，∴A＝B＝C.故△ABC為等邊三角形．8．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，bn＝(eq\f(1,2))an又b1＋b2＋b3＝eq\f(21,8)，b1b2b3＝eq\f(1,8)，求通項(xiàng)an.[解析]∵b1b2b3＝eq\f(1,8)，又bn＝(eq\f(1,2))an，∴(eq\f(1,2))a1·(eq\f(1,2))a2·(eq\f(1,2))a3＝eq\f(1,8).∴(eq\f(1,2))a1＋a2＋a3＝eq\f(1,8)，∴a1＋a2＋a3＝3，又{an}成等差數(shù)列∴a2＝1，a1＋a3＝2，∴b1b3＝eq\f(1,4)，