2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題20全等與相似模型之手拉手模型解讀與提分精練（全國(guó)版）

專題20全等與相似模型之手拉手模型全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就手拉手模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.手拉手模型（全等模型） 2模型2.手拉手模型（相似模型） 12 26大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！模型1.手拉手模型（全等模型）將兩個(gè)三角形（或多邊形）繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。等線段，共頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形大小，形狀不發(fā)生變化，只是位置不同而已。解題是通過三角形全等進(jìn)行解決。SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）。1）雙等邊三角形型條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。證明：∵△ABC和△DCE均為等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，過點(diǎn)C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。2）雙等腰直角三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)N。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。證明：∵△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，過點(diǎn)C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分∠BND。3）雙等腰三角形型條件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。證明：∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，過點(diǎn)C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。4）雙正方形形型條件：四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，C為公共點(diǎn)；連接BG，ED交于點(diǎn)N。結(jié)論：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。證明：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°，過點(diǎn)C作CP⊥DE,CQ⊥BG,則∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分∠BND。例1．（23-24八年級(jí)下·遼寧丹東·期中）如圖，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，，均為等邊三角形，連接和，分別交、于點(diǎn)M，P，交于點(diǎn)Q，連接，，下面結(jié)論：①；②；③為等邊三角形；④平分；⑤．其中結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例2．（2024·山東泰安·中考真題）如圖1，在等腰中，，，點(diǎn)，分別在，上，，連接，，取中點(diǎn)，連接．(1)求證：，；(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．①請(qǐng)直接寫出與的位置關(guān)系：___________________；②求證：．例3．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，為等邊三角形，點(diǎn)在邊上．【基本圖形】如圖1，以為一邊作等邊三角形，連結(jié)．可得（不需證明）．【遷移運(yùn)用】如圖2，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角．求證：．【類比探究】如圖3，點(diǎn)是邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角．試探究線段，，三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的結(jié)論并說明理由．例4．（23-24九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，并使C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D點(diǎn)落在直線上．(1)如圖1，證明：平分；(2)如圖2，與交于點(diǎn)F，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，連接，若，則的長(zhǎng)為．例5．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對(duì)邊，．記△ABC的面積為S．(1)如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為，正方形BGFC的面積為．①若，，求S的值；②延長(zhǎng)EA交GB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連結(jié)FN，交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：．(2)如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為，等邊三角形CBE的面積為．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點(diǎn)C在△ABF內(nèi)），連結(jié)EF，CF．若EF⊥CF，試探索與S之間的等量關(guān)系，并說明理由．例6．（2024·黑龍江·九年級(jí)期中）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點(diǎn)，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．如圖1，當(dāng)D與C重合時(shí)，易證：CD2＋DB2＝2DF2；（1）當(dāng)D不與C、B重合時(shí)，如圖2，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明．（2）當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．模型2.手拉手模型（相似模型）“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的項(xiàng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個(gè)頂點(diǎn)不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個(gè)頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。手拉手模型有以下特點(diǎn)：1）兩個(gè)三角形相似；2）這兩個(gè)三角形有公共頂點(diǎn)，且繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并縮放后2個(gè)三角形可以重合；3）圖形是任意三角形（只要這兩個(gè)三角形是相似的）。1）手拉手相似模型（任意三角形）條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC.證明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC，∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=，2）手拉手相似模型（直角三角形）條件:如圖，，；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.證明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD，∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴.3）手拉手相似模型（特殊的等邊三角形與等腰直角三角形）條件:M為等邊三角形ABC和DEF的邊AC和DF的中點(diǎn)；結(jié)論：△BME∽△CMF；.證明：∵M(jìn)為等邊三角形ABC和DEF的邊AC和DF的中點(diǎn)，∴，∠BMC=∠EMF=90°，∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴，條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；.證明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ACE=∠ABD=90°例1．（2023·江西·一模）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小麗和小亮對(duì)等腰只角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行研究．(1)[觀察猜想]如圖1，△ABC是以AB、AC為腰的等腰三角形，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在AB、AC上．且DE∥BC，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°≤a≤360°）．請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)后BD與CE的數(shù)量關(guān)系；(2)[探究證明]如圖2，△ACB是以∠C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，DE∥BC分別交AC與AB兩邊于點(diǎn)E、點(diǎn)D．將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖中所示的位置時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立．若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)[拓展延伸]如圖3，BD是等邊△ABC底邊AC的中線，AE⊥BE，AE∥BC．將△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△FBE，點(diǎn)A落在點(diǎn)F的位置，若等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，當(dāng)AB⊥BE時(shí)，求出DF2的值．例2．（2024·山東棗莊·二模）綜合實(shí)踐問題背景：借助三角形的中位線可構(gòu)造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線的長(zhǎng)度存在特殊的數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)小組對(duì)此進(jìn)行了研究，如圖1，在中，，，分別取，的中點(diǎn)D，E，作．如圖2所示，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，．(1)探究發(fā)現(xiàn)：旋轉(zhuǎn)過程中，線段和的長(zhǎng)度存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明．(2)性質(zhì)應(yīng)用：如圖3，當(dāng)所在直線首次經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求的長(zhǎng)．例3．（2024·四川成都·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片和中，，，．【初步感知】（1）如圖1，連接，，在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，試探究的值．【深入探究】（2）如圖2，在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)恰好落在的中線的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【拓展延伸】（3）在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，試探究，，三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形的面積；若不能，請(qǐng)說明理由．例4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿足，，則______．例5．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐問題背景：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們進(jìn)行三角形旋轉(zhuǎn)的探究，已知和均為等邊三角形，O是和的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．猜想證明：(1)如圖①，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)E恰好在的延長(zhǎng)線上時(shí)，交于點(diǎn)H，試判斷的形狀，并說明理由；(2)如圖②，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊上時(shí)，連接，試猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖③，若，連接，設(shè)所在直線與所在直線交于點(diǎn)M，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)B，F(xiàn)，E在同一直線上時(shí)，在M，O兩點(diǎn)中的其中一點(diǎn)恰好是另一點(diǎn)與點(diǎn)C構(gòu)成的線段的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的長(zhǎng)．例6．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，矩形與矩形相似，且矩形的兩邊分別在矩形的邊和上，，連接．線段F與的數(shù)量關(guān)系為；(2)拓展探究：如圖2，將矩形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變．在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖2進(jìn)行說理．(3)解決問題：當(dāng)矩形的邊時(shí)，點(diǎn)E為直線上異于D，C的一點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)H為正方形的中心，連接，若，，直接寫出的長(zhǎng)．例7．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在等腰直角中，，D為上一點(diǎn)，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，，則．1．（23-24九年級(jí)·遼寧盤錦·開學(xué)考試）如圖，在中，，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，連接，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)N．與相交于點(diǎn)E，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）個(gè)．

A．4 B．3 C．2 D．12．（2022·湖南·中考真題）如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．3．（23-24九年級(jí)上·遼寧大連·期中）如圖，在中，，點(diǎn)D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)C作，使，連接，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交邊所在直線于點(diǎn)G，若，則的長(zhǎng)為．4.（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，等腰直角中，，，過點(diǎn)作，，連接，過點(diǎn)作，垂足為，連接，則長(zhǎng)為．5．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等邊三角形，，點(diǎn)E是的平分線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將點(diǎn)E繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，連接，．若是直角三角形，則線段的長(zhǎng)為

6．（2024·山東泰安·三模）將矩形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)A、C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、．如圖，當(dāng)過點(diǎn)C時(shí)，若，，則的長(zhǎng)為．7．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)E若，則（從“”中選擇一個(gè)符合要求的填空）；．

8．（2024·上海徐匯·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，點(diǎn)D為斜邊BC上一點(diǎn)，且BD=3CD，將△ABD沿直線AD翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，則sin∠CB′D=．9．（23-24九年級(jí)上·遼寧大連·期末）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給出下面問題：如圖1，和是等邊三角形，點(diǎn)B、C、E不在同一條直線上，請(qǐng)找出圖中的全等三角形并直接寫出結(jié)論________________；（寫出一對(duì)即可）上面幾何模型被稱為“手拉手”模型，面對(duì)題目時(shí)我們也會(huì)“尋模而入，破模而出”．

【類比分析】（2）如下圖，已知四邊形中，，，是的平分線，且．將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．當(dāng)時(shí)，連接，試判斷線段和線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；①小明同學(xué)從結(jié)論出發(fā)給出如下解題思路：可以先猜測(cè)線段和線段的數(shù)量關(guān)系，然后通過逆用“手拉手”模型，合理添加輔助線，借助“全等”來解決問題；②小玲同學(xué)從條件入手給出另一種解題思路：可以根據(jù)條件，則，再通過“手拉手”模型，合理添加輔助線，構(gòu)造與全等的三角形來解決問題．請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路（也可另辟蹊徑）來解決問題，并說明理由．【拓展延伸】（3）如下圖，中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D、E為、上的點(diǎn)，，，若，，求線段的長(zhǎng)．10．（23-24九年級(jí)下·四川達(dá)州·開學(xué)考試）已知，與都是等腰直角三角形，，，連接，．(1)如圖，求證；(2)如圖，點(diǎn)在內(nèi)，，，三點(diǎn)在同一直線上，過點(diǎn)作的高，證明：；(3)如圖，點(diǎn)在內(nèi)，平分，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好為中點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng)．11．（2023·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，則：(1)①∠ACE的度數(shù)是；②線段AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是．拓展探究：(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，請(qǐng)寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD，BD，CD之間得數(shù)量關(guān)系，并說明理由；解決問題：(3)如圖3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若點(diǎn)A滿足AB＝AC，∠BAC＝90°，請(qǐng)直接寫出線段AD的長(zhǎng)度．12．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，則：(1)①∠ACE的度數(shù)是；②線段AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是．拓展探究：(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，請(qǐng)寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD，BD，CD之間得數(shù)量關(guān)系，并說明理由；解決問題：(3)如圖3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若點(diǎn)A滿足AB＝AC，∠BAC＝90°，請(qǐng)直接寫出線段AD的長(zhǎng)度．13．（2024·浙江紹興·?？家荒＃締栴}探究】（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，不需要證明．【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同學(xué)受到第一問的啟發(fā)構(gòu)造了如圖所示的一個(gè)和△ABD全等的三角形，將BD進(jìn)行轉(zhuǎn)化再計(jì)算，請(qǐng)你準(zhǔn)確的敘述輔助線的作法，再計(jì)算；【變式思考】（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，則CD＝．14．（2024·江西·中考真題）綜合與實(shí)踐：如圖，在中，點(diǎn)D是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），連接，以為直角邊在的右側(cè)構(gòu)造，，連接，．特例感知（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，與之間的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；類比遷移（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．拓展應(yīng)用（3）在（1）的條件下，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，連接，，，如圖3．已知，設(shè)，四邊形的面積為y．①求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．15．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）在平面內(nèi)，將一個(gè)多邊形先繞自身的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為k，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作順；若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作逆．例如：如圖①，先將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)B為位似中心縮小到原來的，得到，這個(gè)變換記作逆．(1)如圖②，經(jīng)過順得到，用尺規(guī)作出．（保留作圖痕跡）(2)如圖③，經(jīng)過逆得到，經(jīng)過順得到，連接．求證：四邊形AFDE是平行四邊形．(3)如圖④，在中，，，．若經(jīng)過（2）中的變換得到的四邊形是正方形，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．16．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）天府新區(qū)某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究：(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，連接．易證：(2)變式探究：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，連接．判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：(3)解決問題：如圖3，在正方形中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，以邊作正方形，Q是正方形的中心，連接．若正方形的邊長(zhǎng)為6，則正方形的邊長(zhǎng)為17．（2024·湖北黃石·三模）（1）如圖①，和為等腰直角三角形，，求證：．（2）如圖②，，，試探究線段與線段的關(guān)系，并加以證明．（3）如圖③，，，求的最大值．

18．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，且．(1)如圖1，若F、G分別是、的中點(diǎn)，求證：．(2)如圖2，若，，連接，求的值．(3)如圖3，若，，F(xiàn)、G分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足，將繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，則的最小值為______．19．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在菱形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．求的度數(shù)．（2）問題探究：如圖2，在正方形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度；（3）問題解決：某科技公司現(xiàn)有一塊形如矩形的研發(fā)基地，如圖3，已知米，米，為了響應(yīng)國(guó)家“科教興國(guó)”戰(zhàn)略，現(xiàn)需要擴(kuò)大基地面積．?dāng)U建方案如下：點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作直角三角形，滿足，，其中將修建成新能源研發(fā)區(qū)，為試驗(yàn)區(qū)，為保證研發(fā)效果，要使研發(fā)區(qū)（即的面積最大，求此時(shí)試驗(yàn)區(qū)（即的面積．

專題20全等與相似模型之手拉手模型全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就手拉手模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.手拉手模型（全等模型） 2模型2.手拉手模型（相似模型） 12 26大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！模型1.手拉手模型（全等模型）將兩個(gè)三角形（或多邊形）繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。等線段，共頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形大小，形狀不發(fā)生變化，只是位置不同而已。解題是通過三角形全等進(jìn)行解決。SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）。1）雙等邊三角形型條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。證明：∵△ABC和△DCE均為等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，過點(diǎn)C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。2）雙等腰直角三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)N。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。證明：∵△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，過點(diǎn)C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分∠BND。3）雙等腰三角形型條件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C為公共點(diǎn)；連接BE，AD交于點(diǎn)F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。證明：∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，過點(diǎn)C作CP⊥AD,CQ⊥BE,則∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分∠BFD。4）雙正方形形型條件：四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，C為公共點(diǎn)；連接BG，ED交于點(diǎn)N。結(jié)論：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。證明：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°，過點(diǎn)C作CP⊥DE,CQ⊥BG,則∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS）∴CQ=CP，根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分∠BND。例1．（23-24八年級(jí)下·遼寧丹東·期中）如圖，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，，均為等邊三角形，連接和，分別交、于點(diǎn)M，P，交于點(diǎn)Q，連接，，下面結(jié)論：①；②；③為等邊三角形；④平分；⑤．其中結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可證得故①正確；根據(jù)結(jié)合三角形外角性質(zhì)即可得出，故②正確；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易證，得到結(jié)合即可得到為等邊三角形，故③正確；根據(jù)全等三角形性質(zhì)，得到點(diǎn)到，的距離相等，，從而可得點(diǎn)在的角平分線上，故④正確；已有的條件無法求的度數(shù)，故⑤錯(cuò)誤；從而解題．【詳解】解：、為等邊三角形，，，，，，在和中，，，故①正確；，，，，故②正確；在和中，，，，為等邊三角形，故③正確；，，點(diǎn)到，的距離相等，即邊上的高相等，點(diǎn)在的角平分線上，即平分；故④正確；已有的條件無法求的度數(shù)，故⑤錯(cuò)誤；綜上所述：正確的結(jié)論有4個(gè)；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，角度的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．例2．（2024·山東泰安·中考真題）如圖1，在等腰中，，，點(diǎn)，分別在，上，，連接，，取中點(diǎn)，連接．(1)求證：，；(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．①請(qǐng)直接寫出與的位置關(guān)系：___________________；②求證：．【答案】(1)見解析(2)①；②見解析【分析】（1）先證明得到，，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到，根據(jù)等邊對(duì)等角證明，進(jìn)而可證明；（2）①延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連結(jié)，延長(zhǎng)到，使，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．同（1）證明得到，然后利用三角形的中位線性質(zhì)得到，則，進(jìn)而證明即可得到結(jié)論；②延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．先證明，得到，，進(jìn)而，．證明得到即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：在和中，，，，，，．是斜邊的中點(diǎn)，，，，．，，．；（2）解：①；理由如下：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連結(jié)，延長(zhǎng)到，使，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．證明（具體證法過程跟②一樣）．，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是中位線，，，，，，．故答案為：；②證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．，，，，，，，，，，．，．在和中，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，靈活添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．例3．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，為等邊三角形，點(diǎn)在邊上．【基本圖形】如圖1，以為一邊作等邊三角形，連結(jié)．可得（不需證明）．【遷移運(yùn)用】如圖2，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角．求證：．【類比探究】如圖3，點(diǎn)是邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以為一邊作等邊三角．試探究線段，，三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的結(jié)論并說明理由．【答案】【基本圖形】見解析；【遷移運(yùn)用】見解析；【類比探究】見解析．【分析】基本圖形：只需要證明得到，即可證明；遷移運(yùn)用：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，然后證明得到，即可推出；類比探究：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，然后證明，得到，再由，即可得到．【詳解】基本圖形：證明：∵與都是等邊三角形，∴，，，，∴，，∴，在與中，，∴，∴，∴，∵，∴；遷移運(yùn)用：證明：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，，又∵，∴為等邊三角形，∴，∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴，在與中，∴，∴，∴；類比探究：解：，理由如下：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，，又∵，∴為等邊三角形，∴，∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴，在與中，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．例4．（23-24九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，并使C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D點(diǎn)落在直線上．(1)如圖1，證明：平分；(2)如圖2，與交于點(diǎn)F，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，連接，若，則的長(zhǎng)為．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)．【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及逆定理的應(yīng)用等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．（1）根據(jù)繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得，即得，故，平分；（2）設(shè)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得，即可解得；（3）過A作于H，由已知可得，即可得，從而，可得，是等腰直角三角形，故．【詳解】（1）證明：∵繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∴，∴平分；（2）解：設(shè)，∵∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴；（3）解：過A作于H，如圖：∵繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，故答案為：．例5．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對(duì)邊，．記△ABC的面積為S．(1)如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為，正方形BGFC的面積為．①若，，求S的值；②延長(zhǎng)EA交GB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連結(jié)FN，交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：．(2)如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為，等邊三角形CBE的面積為．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點(diǎn)C在△ABF內(nèi)），連結(jié)EF，CF．若EF⊥CF，試探索與S之間的等量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)①6；②見解析(2)，理由見解析【分析】（1）①將面積用a，b的代數(shù)式表示出來，計(jì)算，即可②利用AN公共邊，發(fā)現(xiàn)△FAN∽△ANB，利用，得到a，b的關(guān)系式，化簡(jiǎn)，變形，即可得結(jié)論（2）等邊與等邊共頂點(diǎn)B，形成手拉手模型，△ABC≌△FBE，利用全等的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角，得到：AC＝FE＝b，∠FEB＝∠ACB＝90°，從而得到∠FEC＝30°，再利用，，得到a與b的關(guān)系，從而得到結(jié)論【詳解】（1）∵，∴b＝3，a＝4∵∠ACB＝90°∴②由題意得：∠FAN＝∠ANB＝90°，∵FH⊥AB∴∠AFN＝90°－∠FAH＝∠NAB∴△FAN∽△ANB∴∴，得：∴．即（2），理由如下：∵△ABF和△BEC都是等邊三角形∴AB＝FB，∠ABC＝60°－∠FBC＝∠FBE，CB＝EB∴△ABC≌△FBE（SAS）∴AC＝FE＝b∠FEB＝∠ACB＝90°∴∠FEC＝30°∵EF⊥CF，CE＝BC＝a∴∴∴由題意得：，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似，手拉手模型，代數(shù)運(yùn)算，本題難點(diǎn)是圖二中的相似和圖三中的手拉手全等。例6．（2024·黑龍江·九年級(jí)期中）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點(diǎn)，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．如圖1，當(dāng)D與C重合時(shí)，易證：CD2＋DB2＝2DF2；（1）當(dāng)D不與C、B重合時(shí)，如圖2，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明．（2）當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．【答案】（1）CD2+DB2=2DF2；（2）CD2+DB2=2DF2，證明見解析【分析】（1）由已知得，連接CF，BE，證明得CD=BE，再證明為直角三角形，由勾股定理可得結(jié)論；（2）連接CF，BE，證明得CD=BE，再證明為直角三角形，由勾股定理可得結(jié)論．【詳解】解：（1）CD2+DB2=2DF2證明：∵DF=EF，∠DFE＝90°，∴∴連接CF，BE，如圖∵△ABC是等腰直角三角形，F(xiàn)為斜邊AB的中點(diǎn)∴，即∴，又∴在和中∴∴，∴∴∵，∴CD2+DB2=2DF2；（2）CD2+DB2=2DF2證明：連接CF、BE∵CF=BF，DF=EF又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90°∴∠DFC=∠EFB∴△DFC≌△EFB

∴CD=BE，∠DCF=∠EBF=135°∵∠EBD=∠EBF－∠FBD=135°－45°=90°在Rt△DBE中，BE2+DB2=DE2∵DE2=2DF2∴CD2+DB2=2DF2【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．模型2.手拉手模型（相似模型）“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的項(xiàng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個(gè)頂點(diǎn)不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個(gè)頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。手拉手模型有以下特點(diǎn)：1）兩個(gè)三角形相似；2）這兩個(gè)三角形有公共頂點(diǎn)，且繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并縮放后2個(gè)三角形可以重合；3）圖形是任意三角形（只要這兩個(gè)三角形是相似的）。1）手拉手相似模型（任意三角形）條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC.證明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC，∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=，2）手拉手相似模型（直角三角形）條件:如圖，，；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.證明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD，∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴.3）手拉手相似模型（特殊的等邊三角形與等腰直角三角形）條件:M為等邊三角形ABC和DEF的邊AC和DF的中點(diǎn)；結(jié)論：△BME∽△CMF；.證明：∵M(jìn)為等邊三角形ABC和DEF的邊AC和DF的中點(diǎn)，∴，∠BMC=∠EMF=90°，∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴，條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；.證明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ACE=∠ABD=90°例1．（2023·江西·一模）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小麗和小亮對(duì)等腰只角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行研究．(1)[觀察猜想]如圖1，△ABC是以AB、AC為腰的等腰三角形，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在AB、AC上．且DE∥BC，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°≤a≤360°）．請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)后BD與CE的數(shù)量關(guān)系；(2)[探究證明]如圖2，△ACB是以∠C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，DE∥BC分別交AC與AB兩邊于點(diǎn)E、點(diǎn)D．將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖中所示的位置時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立．若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)[拓展延伸]如圖3，BD是等邊△ABC底邊AC的中線，AE⊥BE，AE∥BC．將△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△FBE，點(diǎn)A落在點(diǎn)F的位置，若等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，當(dāng)AB⊥BE時(shí)，求出DF2的值．【答案】(1)結(jié)論BD=CE．證明見解析；(2)結(jié)論不成立．BD與CE的數(shù)量關(guān)系：BD=CE．證明見解析；(3)28【分析】（1）結(jié)論BD=CE．證明△ABD≌△ACE（）；（2）結(jié)論不成立．BD與CE的數(shù)量關(guān)系：BD=CE．證明△DAB∽△EAC，可得結(jié)論；（3）根據(jù)條件可得當(dāng)AB⊥BE時(shí)，，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，可得，勾股定理即可求得．【詳解】（1）結(jié)論BD=CE．理由：如圖1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（），∴BD=EC．故答案為：BD=CE．（2）結(jié)論不成立．BD與CE的數(shù)量關(guān)系：BD=CE．理由：∵△ABC，△AED都是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠EAD=45°，，∵∠DAB=∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴，∴BD=CE（3）如圖3，BD是等邊△ABC底邊AC的中線，AE⊥BE，AE∥BC．，將△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△FBE，點(diǎn)A落在點(diǎn)F的位置，當(dāng)AB⊥BE時(shí)，ABC是等邊△，等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，，【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．例2．（2024·山東棗莊·二模）綜合實(shí)踐問題背景：借助三角形的中位線可構(gòu)造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線的長(zhǎng)度存在特殊的數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)小組對(duì)此進(jìn)行了研究，如圖1，在中，，，分別取，的中點(diǎn)D，E，作．如圖2所示，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，．(1)探究發(fā)現(xiàn)：旋轉(zhuǎn)過程中，線段和的長(zhǎng)度存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明．(2)性質(zhì)應(yīng)用：如圖3，當(dāng)所在直線首次經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，證明見解析；(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等；相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，以及解直角三角形的方法和步驟．（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義得出，進(jìn)而得出，易得，通過證明，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意推出當(dāng)所在直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)（1）可得，即可求解；【詳解】（1）解：猜想，證明如下：在中，，，，的中點(diǎn)分別為D，E，∴，，，則，，，，，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，；（2）解：，分別取，的中點(diǎn)D，E，，，，，∴當(dāng)所在直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，，，在中，根據(jù)勾股定理可得：，由（1）可得：，，解得：；例3．（2024·四川成都·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片和中，，，．【初步感知】（1）如圖1，連接，，在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，試探究的值．【深入探究】（2）如圖2，在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)恰好落在的中線的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【拓展延伸】（3）在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，試探究，，三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形的面積；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）的值為；（2）；（3）直角三角形的面積分別為4，16，12，【分析】（1）根據(jù)，，．證明，，繼而得到，即，再證明，得到．（2）連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，根據(jù)(1)得，得到，根據(jù)中線得到，繼而得到，結(jié)合，得到即，得到，再證明，得證矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)計(jì)算即可．（3）運(yùn)用分類思想解答即可．【詳解】（1）∵，，．∴，∴，，∴即，∵∴，∴．（2）連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，根據(jù)(1)得，∴，∵是中線∴，∴，∵，∴即，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形矩形，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∵，∴，解得；∴，，∵，∴，∴，∴，∴，解得．（3）如圖，當(dāng)與重合時(shí)，此時(shí)，此時(shí)是直角三角形，故；如圖，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)，此時(shí)是直角三角形，故；如圖，當(dāng)時(shí)，此時(shí)是直角三角形，過點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，∵，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，故；如圖，當(dāng)時(shí)，此時(shí)是直角三角形，過點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)N，∴，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，解得；故．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理的判定和應(yīng)用，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，中位線定理是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿足，，則______．【答案】(1)，(2)，，證明見解析(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)已知得出，即可證明，得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；（2）同（1）的方法即可得證；（3）同（1）的方法證明，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)題意畫出圖形，連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，證明，得出，勾股定理求得，進(jìn)而求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴，∴，設(shè)交于點(diǎn)，∵∴，故答案為：，．

（2）結(jié)論：，；證明：∵，∴，即，又∵，，∴∴，∵，，∴，∴，（3），理由如下，∵，∴，即，又∵和均為等腰直角三角形∴，∴，∴，在中，，∴，∴；（4）解：如圖所示，連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，則是等腰直角三角形，∵,∴，∵，∴∴，∴，∵，在中，，∴∴過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，在中，，在中，∴∴解得：，則，設(shè)交于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，∴在中，∴∴又，∴∴∴，∴∴，在中，∴，綜上所述，或故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，熟練運(yùn)用已知模型是解題的關(guān)鍵．例5．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐問題背景：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們進(jìn)行三角形旋轉(zhuǎn)的探究，已知和均為等邊三角形，O是和的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．猜想證明：(1)如圖①，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)E恰好在的延長(zhǎng)線上時(shí)，交于點(diǎn)H，試判斷的形狀，并說明理由；(2)如圖②，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊上時(shí)，連接，試猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖③，若，連接，設(shè)所在直線與所在直線交于點(diǎn)M，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)B，F(xiàn)，E在同一直線上時(shí)，在M，O兩點(diǎn)中的其中一點(diǎn)恰好是另一點(diǎn)與點(diǎn)C構(gòu)成的線段的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的長(zhǎng)．【答案】(1)為等腰三角形，理由見詳解(2)，證明見詳解(3)1或2【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及外角定理得到，則，即可求證；（2）連接，證明，則，即；（3）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上，連接，先證明，繼而得到，則，則，可得，故，即可求解；如圖②，當(dāng)點(diǎn)O為中點(diǎn)時(shí)，，在中，由勾股定理得，則，而此時(shí)三點(diǎn)共線，故點(diǎn)B和點(diǎn)E重合，由點(diǎn)M是直線與直線的交點(diǎn)，得到三點(diǎn)重合，故此時(shí)的長(zhǎng)為的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：為等腰三角形，理由：∵為等邊三角形，∴，，∵O是的中點(diǎn)∴，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴為等腰三角形；（2）解：，證明如下：連接，∵均是等邊三角形，∴，∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：情況一，如圖①，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上，連接，∵點(diǎn)O為中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)O為中點(diǎn)，∴，∴，即，解得：；情況二：∵為等邊三角形，∴，∵點(diǎn)O為中點(diǎn)，，∴，，如圖②，當(dāng)點(diǎn)O為中點(diǎn)時(shí)，，∵等邊邊長(zhǎng)為2，∴在中，，∴，∵此時(shí)三點(diǎn)共線，∴點(diǎn)B和點(diǎn)E重合，又∵點(diǎn)M是直線與直線的交點(diǎn)，∴三點(diǎn)重合，∴此時(shí)的長(zhǎng)為的長(zhǎng)，即，綜上所述，此時(shí)的長(zhǎng)為1或2．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．例6．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，矩形與矩形相似，且矩形的兩邊分別在矩形的邊和上，，連接．線段F與的數(shù)量關(guān)系為；(2)拓展探究：如圖2，將矩形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變．在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖2進(jìn)行說理．(3)解決問題：當(dāng)矩形的邊時(shí)，點(diǎn)E為直線上異于D，C的一點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)H為正方形的中心，連接，若，，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見解析．(3)的長(zhǎng)為或【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）延長(zhǎng)，交于H，連接，利用矩形的性質(zhì)與判定可證明四邊形是矩形，得出，，利用相似多邊形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，在中，由勾股定理得：，即可求解；（2）如圖2，連接、，利用相似多邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明，得出，利用矩形的性質(zhì)，勾股定理可求出，即可得出結(jié)論；（3）分點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)E在線段延長(zhǎng)線上，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，延長(zhǎng)，交于H，連接，∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵矩形與矩形相似，，∴，∴，即，在中，由勾股定理得：，∴，故答案為：．（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立理由如下：如圖2，連接、，∵矩形與矩形相似，∴，由旋轉(zhuǎn)可得：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：①如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，連接、，∵四邊形，四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；②如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，連接、，∵四邊形，四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，綜上所述，的長(zhǎng)為或．例7．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在等腰直角中，，D為上一點(diǎn)，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，，則．【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，添加輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，先證明，得到，，同時(shí)計(jì)算，因此得到，再證明，即可得到答案．【詳解】過點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．1．（23-24九年級(jí)下·遼寧盤錦·開學(xué)考試）如圖，在中，，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，連接，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)N．與相交于點(diǎn)E，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）個(gè)．

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)；證明是等腰直角三角形，從而證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論，證明是等腰直角三角形，可得，，可得，即可證明結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故①②③正確，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∵，，∴，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故④正確，故選：A．2．（2022·湖南·中考真題）如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，得到是等邊三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，從而求解．【詳解】解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，，，，是等邊三角形，，∵，，，，與的面積之和為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，利用旋轉(zhuǎn)將與的面積之和轉(zhuǎn)化為，是解題的關(guān)鍵．3．（23-24九年級(jí)上·遼寧大連·期中）如圖，在中，，點(diǎn)D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)C作，使，連接，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交邊所在直線于點(diǎn)G，若，則的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】分點(diǎn)G在上，和在延長(zhǎng)線上，兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)G在上，連接，證明，可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，由勾股定理可得，即可求解；當(dāng)點(diǎn)G在延長(zhǎng)線上，連接，同理可證，得，，由是等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，得到是的垂直平分線，推出，設(shè)，則，，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)G在上，連接，

∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，即，是等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的垂直平分線，，設(shè)，∵，，∴，∵，∴，解得：，即；如圖，當(dāng)點(diǎn)G在延長(zhǎng)線上，連接，同理可得：，，∴，∴，是等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的垂直平分線，，設(shè)，則，，，，，，即，解得：，，綜上，的長(zhǎng)為或故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，證明，是解題的關(guān)鍵．4.（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，等腰直角中，，，過點(diǎn)作，，連接，過點(diǎn)作，垂足為，連接，則長(zhǎng)為．【答案】/【分析】利用勾股定理及等面積法求得，，，過點(diǎn)作交于，由等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可證得，，，易知，可得，，則，進(jìn)而由等腰三角形的性質(zhì)可得．【詳解】解：∵，，，∴，∵，則，∴，則，過點(diǎn)作交于，則，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，則，∴，又∵，則，則由三角形內(nèi)角和可知：，∴，∴，∴，，則，∵，則，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．5．（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等邊三角形，，點(diǎn)E是的平分線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將點(diǎn)E繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，連接，．若是直角三角形，則線段的長(zhǎng)為

【答案】或【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和角平分線的定義可得，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，利用等量代換可得，證得，可得，，，由是直角三角形，分類討論：或進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，平分，∴，，∵將點(diǎn)E繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)F，∴，，∴，，∴，∴，∴，，，∵是直角三角形，當(dāng)，在中，，∴，當(dāng)時(shí)，在中，，即，∴，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理證得，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵。6．（2024·山東泰安·三模）將矩形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)A、C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、．如圖，當(dāng)過點(diǎn)C時(shí)，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)．連接，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接，由題意得，，，由勾股定理得，，，由勾股定理得，，，，，，，即，解得，．故答案為：．7．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)E若，則（從“”中選擇一個(gè)符合要求的填空）；．

【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，即可推出；通過證明，得出，求出，設(shè)，，則，，證明，得出，則，即可求解．【詳解】解：∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，即，∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，∴，即，解得：，∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴，設(shè)，，則，，∵，∴，∴，∴，整理得：，把代入解得：故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)性質(zhì)定理，掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．8．（2024·上海徐匯·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，點(diǎn)D為斜邊BC上一點(diǎn)，且BD=3CD，將△ABD沿直線AD翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，則sin∠CB′D=．【答案】/【分析】先證明A、B′、C、D四點(diǎn)共圓，推出∠CB′D=∠CAD，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，利用平行線分線段成比例定理得到AE=3CE，由勾股定理得到AD=，再由正弦函數(shù)即可求解．【詳解】解：∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，由折疊的性質(zhì)得∠AB′D=∠B=45°，∴∠AB′D=∠ACD=45°，∴A、B′、C、D四點(diǎn)共圓，∴∠CB′D=∠CAD，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，∵∠CAB=90°，∴DE∥AB，∵BD=3CD，∴AE=3CE，∵∠ACB=45°，∴△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CE，設(shè)DE=CE=a，則AE=3CE=3a，在Rt△ADE中，AD=，∴sin∠CB′D=sin∠CAD=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的知識(shí)，正弦函數(shù)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．9．（23-24九年級(jí)上·遼寧大連·期末）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給出下面問題：如圖1，和是等邊三角形，點(diǎn)B、C、E不在同一條直線上，請(qǐng)找出圖中的全等三角形并直接寫出結(jié)論________________；（寫出一對(duì)即可）上面幾何模型被稱為“手拉手”模型，面對(duì)題目時(shí)我們也會(huì)“尋模而入，破模而出”．

【類比分析】（2）如下圖，已知四邊形中，，，是的平分線，且．將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．當(dāng)時(shí)，連接，試判斷線段和線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；①小明同學(xué)從結(jié)論出發(fā)給出如下解題思路：可以先猜測(cè)線段和線段的數(shù)量關(guān)系，然后通過逆用“手拉手”模型，合理添加輔助線，借助“全等”來解決問題；②小玲同學(xué)從條件入手給出另一種解題思路：可以根據(jù)條件，則，再通過“手拉手”模型，合理添加輔助線，構(gòu)造與全等的三角形來解決問題．請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路（也可另辟蹊徑）來解決問題，并說明理由．【拓展延伸】（3）如下圖，中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D、E為、上的點(diǎn)，，，若，，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）利用證明即可；（2）過點(diǎn)作平分交于，先證明四邊形是平行四邊形，可得，再證明是等邊三角形，推出，再證得即可；（3）設(shè)，以、為邊作，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，可得是等邊三角形，，，再得出，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案．【詳解】解：（1）．理由如下：如圖1，

和是等邊三角形，，，，，即，在和中，，；（2）如圖2，過點(diǎn)作平分交于，四邊形中，，，，，，平分，，，，，四邊形是平行四邊形，，平分，，，是等邊三角形，，，，，即，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，；（3）如圖3，以、為邊作平行四邊形，連接，則，，，，設(shè)，則，，，又，是等邊三角形，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，是等邊三角形，，，，，，即，，即的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題是幾何綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵．10．（23-24九年級(jí)下·四川達(dá)州·開學(xué)考試）已知，與都是等腰直角三角形，，，連接，．(1)如圖，求證；(2)如圖，點(diǎn)在內(nèi)，，，三點(diǎn)在同一直線上，過點(diǎn)作的高，證明：；(3)如圖，點(diǎn)在內(nèi)，平分，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好為中點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)【分析】本題是三角形的綜合問題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）由“”可證，可得；（2）同理知：，先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得，再由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得，最后由線段的和可得結(jié)論；（3）連接，設(shè)，則，，，由（1）知，得，證明，得，計(jì)算，列方程即可解答．【詳解】（1）證明：與都是等腰直角三角形，，，，，，，；（2）證明：，，，，，，由（1）可知：，點(diǎn)在內(nèi)，，，三點(diǎn)在同一直線上，（3）解：如圖，連接，平分，，，，，，設(shè)，則，，，由（1）知，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，；11．（2023·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，則：(1)①∠ACE的度數(shù)是；②線段AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是．拓展探究：(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，請(qǐng)寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD，BD，CD之間得數(shù)量關(guān)系，并說明理由；解決問題：(3)如圖3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若點(diǎn)A滿足AB＝AC，∠BAC＝90°，請(qǐng)直接寫出線段AD的長(zhǎng)度．【答案】(1)60°，AC＝DC+EC(2)∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，見解析(3)AD＝或AD＝4【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（3）如圖3，作AE⊥CD于E，連接AD，根據(jù)勾股定理得到BC==，推出點(diǎn)B，C，A，D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠ADE=45°，求得△ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=60°，∴AC=AB=BC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：∠B=∠BAC＝∠DAE＝60°，AD=AE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴AC＝BC＝EC+CD；故答案為：60°，AC＝DC+EC；（2）解：BD2+CD2＝2AD2，理由如下：由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；（3）解：作AE⊥CD于E，連接AD，∵在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，∴BC＝，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝，∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴點(diǎn)B，C，A，D四點(diǎn)共圓，∴∠ADE＝∠ABC=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴CE＝5﹣DE，∵AE2+CE2＝AC2，∴AE2+（5﹣AE）2＝17，∴AE＝1，或AE＝4，∴AD＝或AD＝4．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．12．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，則：(1)①∠ACE的度數(shù)是；②線段AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是．拓展探究：(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，請(qǐng)寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD，BD，CD之間得數(shù)量關(guān)系，并說明理由；解決問題：(3)如圖3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若點(diǎn)A滿足AB＝AC，∠BAC＝90°，請(qǐng)直接寫出線段AD的長(zhǎng)度．【答案】(1)60°，AC＝DC+EC(2)∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，見解析(3)AD＝或AD＝4【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（3）如圖3，作AE⊥CD于E，連接AD，根據(jù)勾股定理得到BC==，推出點(diǎn)B，C，A，D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠ADE=45°，求得△ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=60°，∴AC=AB=BC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：∠B=∠BAC＝∠DAE＝60°，AD=AE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴AC＝BC＝EC+CD；故答案為：60°，AC＝DC+EC；（2）解：BD2+CD2＝2AD2，理由如下：由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；（3）解：作AE⊥CD于E，連接AD，∵在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，∴BC＝，∵∠BAC＝90°，AB＝AC∴AB＝AC＝，∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴點(diǎn)B，C，A，D四點(diǎn)共圓，∴∠ADE＝∠ABC=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴CE＝5﹣DE，∵AE2+CE2＝AC2，∴AE2+（5﹣AE）2＝17，∴AE＝1，或AE＝4，∴AD＝或AD＝4．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．（2024·浙江紹興·?？家荒＃締栴}探究】（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，不需要證明．【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同學(xué)受到第一問的啟發(fā)構(gòu)造了如圖所示的一個(gè)和△ABD全等的三角形，將BD進(jìn)行轉(zhuǎn)化再計(jì)算，請(qǐng)你準(zhǔn)確的敘述輔助線的作法，再計(jì)算；【變式思考】（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，則CD＝．【答案】（1）BD＝CE；（2）BD2＝54；（3）8【分析】（1）首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明∠EAC=∠BAD，則根據(jù)SAS即可證明△EAC≌△BAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）在△ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC，證明△EAC≌△BAD，證明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；（3）先證明△ABC是等邊三角形，再把△