2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題33最值模型之胡不歸模型解讀與提分精練（全國版）

專題33最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.胡不歸模型（最值模型） 1 13模型1.胡不歸模型（最值模型）從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）。1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼看咕€段最短。例1.（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，在中，，，P為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接，則的最小值是（

）A． B． C． D．8例2．（23-24九年級(jí)上·湖南婁底·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，E，P分別是邊和對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，記，若，則的最小值為（

）

A．3 B．4 C．5 D．例3．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，，，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．例4．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，正方形邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且．P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．例5．（23-24九年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，切于點(diǎn)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)是弦上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，，則的最小值為（）

A． B． C． D．例7．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，連接．當(dāng)取最小值時(shí)，的最小值是．

例8．（2024·山東濟(jì)南·一模）實(shí)踐與探究【問題情境】（1）①如圖1，，，，分別為邊上的點(diǎn)，，且，則______；②如圖2，將①中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則所在直線較小夾角的度數(shù)為______．【探究實(shí)踐】（2）如圖3，矩形，，，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，，連接，作于點(diǎn)，連接．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求的長(zhǎng)．【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，，，，，為中點(diǎn)，連接，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出的最小值．例9．（24-25九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，連接．(1)直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，B________；C________．(2)點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，連接、．若的面積，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)設(shè)E為線段上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到C后停止，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．

1．（2024·山東淄博·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持是等邊三角形（點(diǎn)P不在第二象限），連接，求得的最小值為（

）A． B．4 C． D．22．（2024·四川德陽·二模）如圖，已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．若P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B．2 C．2 D．43.（2024·山東?？家荒＃┤鐖D，，，C（1，0），D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為，在AD上的速度為4個(gè)單位/秒，在CD上的速度為1個(gè)單位/秒，則整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少時(shí)，D的坐標(biāo)為．4．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則的最小值為．

5．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線交于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是．6．（2022·湖北武漢·九年級(jí)期末）如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為______．7．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）已知中，，則的最大值為．

8．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD交BC于點(diǎn)E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值為．9．（2023上·四川成都·九年級(jí)校考期中）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且，沿直線翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．10．（2023·浙江寧波·九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為__________．11．（2023·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，E是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)C作的垂線l，過點(diǎn)D作交l于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，，點(diǎn)H是中點(diǎn)，連接，則的最小值為．12．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線的長(zhǎng)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于______．13．（2023·廣東珠海·?？既＃┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.

14．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，點(diǎn)D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．15．（2024·天津紅橋·二模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，等腰直角三角形的頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，，以為直徑的半圓與邊的交點(diǎn)D在網(wǎng)格線上．（1）的值等于；（2）若P為邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)．取得最小值時(shí)，請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)P，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）．16．（23-24八年級(jí)下·四川綿陽·階段練習(xí)）如圖，直線分別交軸，軸于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，且，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)連接，，若面積等于面積的，求t的值；(3)求的最小值．17．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求的函數(shù)值的取值范圍；(3)將拋物線的頂點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．18．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分別以O(shè)C、OA所在的直線為x軸、y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，連接OB，反比例函數(shù)y=(x＞0)的圖象經(jīng)過線段OB的中點(diǎn)D，并與矩形的兩邊交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，直線l：y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)E和點(diǎn)F．（1）寫出中點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出反比例函數(shù)的解析式；（2）連接OE、OF，求△OEF的面積；（3）如圖②，將線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在x軸的正半軸上，連接BH，作OM⊥BH，點(diǎn)N為線段OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求HN+ON的最小值．

19．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）（1）【問題原型】如圖①，在，，，求點(diǎn)到的距離．（2）【問題延伸】如圖②，在，，．若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上，連結(jié)，過點(diǎn)作于，則的最小值為______．（3）【問題拓展】如圖（3），在矩形中，．點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上，連結(jié)．若，則的最小值為______．

專題33最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.胡不歸模型（最值模型） 1 13模型1.胡不歸模型（最值模型）從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）。1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼看咕€段最短。例1.（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，在中，，，P為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接，則的最小值是（

）A． B． C． D．8【答案】B【分析】以為斜邊在下方作等腰直角，過B作于E，通過解直角三角形可得的長(zhǎng)，再根據(jù)，可得，據(jù)此即可解答．【詳解】解：如圖，以為斜邊在下方作等腰直角，過B作于E，連接，，，，，，的最小值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．例2．（23-24九年級(jí)上·湖南婁底·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，E，P分別是邊和對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，記，若，則的最小值為（

）

A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【分析】本題考查了三角函數(shù)的定義，矩形的判定和性質(zhì)．過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，求得，根據(jù)垂線段最短，知當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)G重合時(shí)，有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，

∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)G重合時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)，∵，∴的最小值為3，故選：A．例3．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，，，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，過點(diǎn)P作，連接，由菱形的性質(zhì)可得，則由勾股定理可得，解直角三角形得到，則，進(jìn)而得到當(dāng)三點(diǎn)共線，且時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，據(jù)此利用等面積法求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)P作，連接，∵在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，，，∴，∴，∴，∴在中，，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線，且時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，∴此時(shí)有，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．例4．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，正方形邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且．P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】連接AC，作，證明當(dāng)取最小值時(shí)，A，P，G三點(diǎn)共線，且，此時(shí)最小值為AG，再利用勾股定理，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求出結(jié)果．【詳解】解：連接AC，作∵是正方形且邊長(zhǎng)為4，∴，，，∵，∴，∴，∴當(dāng)取最小值時(shí)，A，P，G三點(diǎn)共線，且，此時(shí)最小值為AG，∵，，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，解得：，設(shè)，則，∵，∴，解得：∴，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題，勾股定理，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是證明當(dāng)取最小值時(shí)，A，P，G三點(diǎn)共線，且，此時(shí)最小值為AG．例5．（23-24九年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，切于點(diǎn)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)是弦上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，，則的最小值為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】作平分，交于，連接、、，過點(diǎn)作于，根據(jù)切線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得，求得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得，求得，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)可得平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求得，根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)可求得，推得，根據(jù)垂線段最短可得，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即時(shí)，的值最小，根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)可求得，即可求解．【詳解】解：作的角平分線，交于，連接、、，過點(diǎn)作于，如圖：

∵，∴，又∵，∴，∴，∵平分，則，∵，，∴，即，又∵，，∴，∴，即圓的半徑為，∵，，∴、是等邊三角形，∴，∴四邊形是菱形，∴平分，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．若使的值最小，即的值最小，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)的值最小，即時(shí)，的值最小，此時(shí)，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，特殊角的銳角三角函數(shù)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是明確當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即的值最?。?．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，連接．當(dāng)取最小值時(shí)，的最小值是．

【答案】【分析】作出點(diǎn)，作于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)F，此時(shí)的最小值為的長(zhǎng)，利用解直角三角形求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，聯(lián)立即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)G，此時(shí)的最小值是的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，∴，，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，把點(diǎn)向右平移3個(gè)單位得到，作于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)作交x軸于點(diǎn)E，則四邊形是平行四邊形，此時(shí)，，∴有最小值，作軸于點(diǎn)P，

則，，∵，∴，∴，∴，即，∴，則，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，聯(lián)立，，解得，即；過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)G，直線與x軸的交點(diǎn)為，則，∴，∴，∴，即的最小值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形，利用軸對(duì)稱求最短距離，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．例8．（2024·山東濟(jì)南·一模）實(shí)踐與探究【問題情境】（1）①如圖1，，，，分別為邊上的點(diǎn)，，且，則______；②如圖2，將①中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則所在直線較小夾角的度數(shù)為______．【探究實(shí)踐】（2）如圖3，矩形，，，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，，連接，作于點(diǎn)，連接．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求的長(zhǎng)．【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，，，，，為中點(diǎn)，連接，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出的最小值．【答案】（1）①；②；（2）2；（3）【分析】（1）①由得出，再由相似三角形的性質(zhì)即可得解；②延長(zhǎng)交于，令交于，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得出答案；（2）延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，連接．由矩形的性質(zhì)可得，，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)為中點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)得出，當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，證明出為等邊三角形，即可得解；（3）分別過點(diǎn)和作垂線，兩線相交于點(diǎn)，連接、、，則，證明，得出，再證明出四點(diǎn)共圓，得出，，解直角三角形得出，即可得出，最后由勾股定理計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：（1）①，，，故答案為：；②如圖，延長(zhǎng)交于，令交于，由①可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，所在直線較小夾角的度數(shù)為，故答案為：；（2）延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，連接．四邊形是矩形，，，∴，，∴，∴，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，，∵于點(diǎn)，∴在中，，∵在中，，且為定值，∴當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，∵，∴，此時(shí)為等邊三角形，．（3）如圖，分別過點(diǎn)和作垂線，兩線相交于點(diǎn)，連接、、，則，，，，，為中點(diǎn)，，，，為等邊三角形，，，，，，，，，，，，四點(diǎn)共圓，，，在中，，，，在中，，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、圓的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．例9．（24-25九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，連接．(1)直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，B________；C________．(2)點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，連接、．若的面積，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)設(shè)E為線段上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到C后停止，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．

【答案】(1)，(2)或或(3)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值為7秒【分析】（1）根據(jù)拋物線計(jì)算即可；（2）利用同底等高的三角形面積相等構(gòu)造與平行直線，找到與拋物線的交點(diǎn)P；（3）如圖，在x軸上取一點(diǎn)G，連接，使得，作于N．作于交于．由點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，，推出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)A，E，N關(guān)系，點(diǎn)N與重合，點(diǎn)E與重合時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少．由此即可解決問題；【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得：，，故答案為：，；（2）解：設(shè)x軸上點(diǎn)D，使得的面積，，解得：，，，則可求直線解析式為：，故點(diǎn)D坐標(biāo)為或，當(dāng)D坐標(biāo)為時(shí)，過點(diǎn)D平行于的直線l與拋物線交點(diǎn)為滿足條件的P，則可求得直線l的解析式為：，求直線l與拋物線交點(diǎn)得：，解得：，，則P點(diǎn)坐標(biāo)為或，同理當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為時(shí)，直線l的解析式為，求直線l與拋物線交點(diǎn)得：，解得：（舍棄），，則點(diǎn)P坐標(biāo)為，綜上滿足條件P點(diǎn)坐標(biāo)為：或或；（3）解：如圖，在x軸上取一點(diǎn)G，連接CG，使得，作于N．作于交BC于．

，，，，直線的解析式為，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)A，E，N關(guān)系，點(diǎn)N與重合，點(diǎn)E與重合時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少．由題意，，，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值為7秒，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題為代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)圖象性質(zhì)、一次函數(shù)圖象性質(zhì)及圓的有關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．1．（2024·山東淄博·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持是等邊三角形（點(diǎn)P不在第二象限），連接，求得的最小值為（

）A． B．4 C． D．2【答案】C【分析】如圖1所示，以O(shè)A為邊，向右作等邊△AOD，連接PD，過點(diǎn)D作DE⊥OA于E，先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后證明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，則點(diǎn)P在經(jīng)過點(diǎn)D且與AD垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸時(shí)，如圖2所示，證明此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2）從而求出直線PD的解析式；如圖3所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接PG，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于F，設(shè)直線PD與x軸的交點(diǎn)為H，先求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，然后證明∠HCO=30°，從而得到，則當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即有最小值，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出點(diǎn)G在x軸上，則OG即為所求．【詳解】解：如圖1所示，以O(shè)A為邊，向右作等邊△AOD，連接PD，過點(diǎn)D作DE⊥OA于E，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；∵△ABP是等邊三角形，△AOD是等邊三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，∴點(diǎn)P在經(jīng)過點(diǎn)D且與AD垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸時(shí)，如圖2所示，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∵△ABP是等邊三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2），設(shè)直線PD的解析式為，∴，∴，∴直線PD的解析式為；如圖3所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接PG，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于F，連接CG，設(shè)直線PD與x軸的交點(diǎn)為H，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為，∴，∴∠OCH=30°，∴，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知AP=GP，∴，∴當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即有最小值，∵A、G兩點(diǎn)關(guān)于直線PD對(duì)稱，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即點(diǎn)D為AG的中點(diǎn)，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴AG=2AD=2OA=4，∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等邊三角形，∵OC=OA，∴OG⊥AC，即點(diǎn)G在x軸上，∴由勾股定理得，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)時(shí)，有最小值，即有最小值，最小值即為OG的長(zhǎng)，∴的最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，軸對(duì)稱最短路徑問題，解直角三角形等等，正確作出輔助線確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．2．（2024·四川德陽·二模）如圖，已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．若P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B．2 C．2 D．4【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識(shí)，關(guān)鍵在于把求最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值；連接，過點(diǎn)P作于點(diǎn)G，連接，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H；由B、C的坐標(biāo)得，則有，從而；于是求最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值．【詳解】解：連接，過點(diǎn)P作于點(diǎn)G，連接，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，如圖，，，，，∴，的最小值為的長(zhǎng)，∵，，在中，，，的最小值為．故選：C．3.（2024·山東?？家荒＃┤鐖D，，，C（1，0），D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為，在AD上的速度為4個(gè)單位/秒，在CD上的速度為1個(gè)單位/秒，則整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少時(shí)，D的坐標(biāo)為．【答案】【分析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．運(yùn)動(dòng)時(shí)間，由，推出，可得，推出當(dāng)共線且和重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．【詳解】如圖，作于H，于，交AO于．∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間，∵，，∴，∵，C（1，0），，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)C，D，H共線且和CM重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，，∴，∴，∵，設(shè)，則，則有：∴或（舍去），∴∴4．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則的最小值為．

【答案】6【分析】過點(diǎn)P作，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)得到，，然后利用含角直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出，然后利用代入求解即可．【詳解】如圖所示，過點(diǎn)P作，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接

∵是等邊三角形，∴∵是等邊三角形的外接圓，其半徑為4∴，，∴∴∵∴∴∵，∴∴∴的最小值為的長(zhǎng)度∵是等邊三角形，，∴∴的最小值為6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．5．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線交于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是．【答案】【分析】過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理求出，然后利用含的直角三角的性質(zhì)得出，則，當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且與垂直時(shí)，最小，最小值為，利用含的直角三角的性質(zhì)和勾股定理求出，，最后利用等面積法求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，由題意知：平分，∵，，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線，且與垂直時(shí)，最小，最小值為，∵，，，∴，∴，∵，∴，即最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，注意掌握利用等積法求三角形的高或點(diǎn)的線的距離的方法．6．（2022·湖北武漢·九年級(jí)期末）如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【分析】作PH丄AD交AD的延長(zhǎng)線于H，由直角三角形的性質(zhì)可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，當(dāng)H、P、B三點(diǎn)共線時(shí)HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，四邊形是平行四邊形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，HP+PB有最小值，即有最小值，此時(shí)，，，∴，則最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)．構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）已知中，，則的最大值為．

【答案】【分析】過點(diǎn)C作，垂足為D，取，即可說明是等腰直角三角形，求出，進(jìn)一步求出，繼而將轉(zhuǎn)化為，推出點(diǎn)D在以為直徑的圓上，從而可知當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，最大，再求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作，垂足為D，取，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，而一定，∴當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，最大，∵，∴點(diǎn)D在以為直徑的圓上，∴當(dāng)D平分時(shí)，點(diǎn)D到的距離最大，即高最大，則面積最大，此時(shí)，則為等腰直角三角形，∴，故答案為：．

．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，將最值轉(zhuǎn)化為的長(zhǎng)．8．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD交BC于點(diǎn)E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值為．【答案】【分析】“胡不歸模型”，以BF為斜邊構(gòu)造含30°角的直角三角形，結(jié)合∠B＝30°，即把Rt△ABC補(bǔ)成等邊△ABP，過F作BP的垂線FH，根據(jù)垂線段最短得，當(dāng)G、F、H成一直線時(shí)，GF+FB最短，又根據(jù)直角所對(duì)的弦是直徑，可得點(diǎn)G在以AC為直徑的圓上，取AC的中點(diǎn)O，連接OG，過點(diǎn)O作OQ⊥BP于點(diǎn)Q，據(jù)此解題．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)P，使CP=AC，連接BP，過點(diǎn)F作FH⊥BP于點(diǎn)H，取AC的中點(diǎn)O，連接OG，過點(diǎn)O作OQ⊥BP于點(diǎn)Q，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=8，∴AC=CP=4，AP=8，BP=AB=8，∴△ABP是等邊三角形，∴∠FBH=30°，在Rt△FHB中，F(xiàn)H=FB，∴當(dāng)G、F、H在同一直線上時(shí)，GF+FB=GF+FH取得最小值，∵AE⊥CD，∴∠AGC=90°，∵O為AC的中點(diǎn)，∴OA=OC=OG=AC，∴A、C、G三點(diǎn)共圓，圓心為O，即點(diǎn)G在⊙O上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到OQ上時(shí)，GF+FH取得最小值，∵在Rt△OPQ中，∠P=60°，OP=6，sinP=，∴，∴GF+FH的最小值為，即GF+FB的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查含30°直角三角形性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，垂直平分線性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離，圓周角定理，最短路徑，解題關(guān)鍵是找到點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，GH最小，聯(lián)想到找出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑再計(jì)算．9．（2023上·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且，沿直線翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【分析】作于H，作于L，首先利用勾股定理得的長(zhǎng)，再根據(jù)，求出的長(zhǎng)，再利用，得，則當(dāng)E、M、L三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，進(jìn)而解決問題．【詳解】解：如圖，作于H，作于L，在矩形中，，，，，，∵沿直線翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)E、M、L三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，垂線段最短等知識(shí)，熟練掌握最短路徑的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．10．（2023·浙江寧波·九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為__________．【答案】6【分析】先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，由勾股定理可求AB的長(zhǎng)，作點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，可證是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH＝AC，則，即當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)C，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)，∴AO＝3，，∴，作點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，如圖所示：∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∵，∴，∵CH⊥AB，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)C，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即2BC＋AC有最小值，此時(shí)，，是等邊三角形，∴，，∴，∴2BC＋AC的最小值為6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確定點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵．11．（2023·四川成都·九年級(jí)校考期中）如圖，在矩形中，，E是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)C作的垂線l，過點(diǎn)D作交l于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，，點(diǎn)H是中點(diǎn)，連接，則的最小值為．【答案】/【分析】證明，得出，再證，求出，所以，即，可得．作的垂直平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，連接，過點(diǎn)E作于點(diǎn)Q，求出，所以．求的最小值，即為求的最小值，過點(diǎn)H作于點(diǎn)J，即為所求最小值．設(shè)，根據(jù)勾股定理可得出，所以，由，可求得的長(zhǎng)度．【詳解】解：在矩形中，，∴，∵于點(diǎn)C，∴，∴．∴．同理可證，∴，∴，∵，∴，∴，∵于點(diǎn)G，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴．如圖，作的垂直平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，連接，過點(diǎn)E作于點(diǎn)Q，∴，∴，即．∴．∴，∴求的最小值，即為求的最小值，過點(diǎn)H作于點(diǎn)J，HJ即為所求最小值．設(shè)，則，在中，由勾股定理可知，，解得，∴．如圖，連接，，∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，即，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理，垂線段最短，三角形的面積等相關(guān)知識(shí)，根據(jù)題意作出輔助線，將所求目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求垂線段的長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵．12．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線的長(zhǎng)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于______．【答案】4【分析】由四邊形是菱形，根據(jù)已知線段長(zhǎng)度，將轉(zhuǎn)化，再根據(jù)垂線段最短即可求解．【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)P，四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為5，，，，，，，，，，，，，，即，，當(dāng)A，P，G三點(diǎn)共線且時(shí)，取最小值，最小值為，菱形的面積，，的最小值是4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，解直角三角形，以及最短路徑問題，熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的面積公式，將轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵．13．（2023·廣東珠海·校考三模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.

【答案】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短畫出圖形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)做，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∴，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)共線時(shí)，的值最小，即的最小值為，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴，故答案為．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，點(diǎn)D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．【答案】/【分析】本題考查利用軸對(duì)稱求最小值問題，涉及解直角三角形、勾股定理等知識(shí)．作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，作，垂足為，利用勾股定理求得，利用三角函數(shù)求得，將轉(zhuǎn)化為，當(dāng)共線時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，作，垂足為，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，當(dāng)共線時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)．在中，，∴，∴，即的最小值為．故答案為：．15．（2024·天津紅橋·二模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，等腰直角三角形的頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，，以為直徑的半圓與邊的交點(diǎn)D在網(wǎng)格線上．（1）的值等于；（2）若P為邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)．取得最小值時(shí)，請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)P，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】作圖見解析，連接與網(wǎng)格線交于點(diǎn)，取與網(wǎng)格線交點(diǎn)，連接與網(wǎng)格線交于點(diǎn)，連接，與半圓相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．【分析】（1）連接，根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為，得到，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得到，即可求解，（2）由，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值，找到中點(diǎn)，中點(diǎn)G，，，根據(jù)特殊角直角三角形的性質(zhì)，通過的圓心角得到，的圓周角，即可求解，本題考查了，直徑所對(duì)圓周角為，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形中位線，圓周角定理，特殊角直角三角形，解題的關(guān)鍵是：將問題轉(zhuǎn)化為．【詳解】解：（1）連接，∵為直徑，∴，∵等腰直角三角形，∴，∴，∴；（2）在左側(cè)，作，，則，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線的時(shí)候，取得最小值，即取得最小值，此時(shí)，，則是等邊三角形，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴過中點(diǎn)，作的平行線，與圓交于點(diǎn)，與的交點(diǎn)，即可確定點(diǎn)，用無刻度直尺作圖如下，連接與網(wǎng)格線交于點(diǎn)，取與網(wǎng)格線交點(diǎn)，連接與網(wǎng)格線交于點(diǎn)，連接，與半圓相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．16．（23-24八年級(jí)下·四川綿陽·階段練習(xí)）如圖，直線分別交軸，軸于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，且，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)連接，，若面積等于面積的，求t的值；(3)求的最小值．【答案】(1)(2)10或(3)【分析】（1）根據(jù)題意求得，，推得，求得，待定系數(shù)法求直線的函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)題意求得，，根據(jù)面積等于面積的，列式即可求得或；（3）過點(diǎn)作點(diǎn)，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，推得，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，根據(jù)勾股定理可得，推得，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，為的最小值，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，推得，根據(jù)勾股定理可得，即可得到的最小值為．【詳解】（1）解：∵直線分別交軸，軸于點(diǎn)，點(diǎn)，將代入，解得，將代入，解得，∴，，∴，，∵，∴，設(shè)直線的解析式為．將，代入得，解得，∴直線的解析式為；（2）解：如圖：∵設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，∴，∵點(diǎn)在直線：上，將代入解得，∴，∵面積等于面積的，∴，∴解得：或．（3）如圖，過點(diǎn)作點(diǎn)，在中，∵，∴，∴，∴，在，根據(jù)勾股定理得，，∴；當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，為的最小值，在中，∵，∴，∵，根據(jù)勾股定理，得∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，求一次函數(shù)解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)勾股定理求得最小值是解題的關(guān)鍵．17．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求的函數(shù)值的取值范圍；(3)將拋物線的頂點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)的最小值為：【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可；（2）求解的對(duì)稱軸為直線，而，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）求解，，可得，求解直線為，及，證明在直線上，如圖，過作于，連接，過作于，可得，，證明，可得，可得，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）解：∵的對(duì)稱軸為直線，而，∴函數(shù)最小值為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)值的范圍為：；（3）解：∵，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，解得：，，∴，∴，設(shè)直線為，∴，∴，∴直線為，∵拋物線的頂點(diǎn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，而頂點(diǎn)為，∴，∴在直線上，如圖，過作于，連接，過作于，∵，，∴，，∵對(duì)稱軸與軸平行，∴，∴，∴，由拋物線的對(duì)稱性可得：，，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，∴，∴，∴，即的最小值為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解線段和的最小值，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．18．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖①，在矩形OABC中，OA=4，