2025年北師版七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第04講 整式的除法（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)+4大考點(diǎn)舉一反三+過關(guān)測(cè)試）

第04講整式的除法模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．掌握單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，并運(yùn)用它們進(jìn)行運(yùn)算；2．掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算，并能靈活的運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行混合運(yùn)算；

知識(shí)點(diǎn)1：?jiǎn)雾?xiàng)式的除法法則單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．知識(shí)點(diǎn)2：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．考點(diǎn)一：?jiǎn)雾?xiàng)式的除法運(yùn)算例1.計(jì)算：(1)?3a7b4c÷9(3)6.4×105÷200；【變式1-1】計(jì)算：(1)8a3b5c÷【變式1-2】計(jì)算：(1)?3x23?1【變式1-3】計(jì)算：(1)?5a5b3c÷15a4b；考點(diǎn)二：多項(xiàng)式的除法運(yùn)算例2計(jì)算．(1)7x2y3?8【變式2-1】計(jì)算：(1)23a5b【變式2-2】計(jì)算：(1)25mn2?6m【變式2-3】計(jì)算：(1)a3b5?3a考點(diǎn)三：整式的混合運(yùn)算例3.計(jì)算：5ab2??4a2(3)2x【變式3-1】計(jì)算：(1)3x2y2【變式3-2】計(jì)算?2ab22(3)x(x+2y)?(y?3x)(x+y)(4)(a+b+3)(a+b?3)【變式3-3】計(jì)算：(1)ab4b2?2ab÷2ab考點(diǎn)四：整式的化簡(jiǎn)求值例4.化簡(jiǎn)求值：(3x+2)(3x?2)?5x(x?1)?(2x?1)2，其中(2)xy+2xy?2?2x2【變式4-1】先化簡(jiǎn)，再求值：(xy?2)2?(2?xy)(2+xy)?2xy÷(?4xy)，其中x=3【變式4-2】先化簡(jiǎn)再求值：2a?b2?bb?4a+a÷?【變式4-3】先化簡(jiǎn)再求值(1)x+2yx?2y?x+4y(2)已知x2?2x=1，求一、單選題1．（23-24七年級(jí)下·貴州畢節(jié)·期中）一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是12a4b7，長(zhǎng)是A．6a2b3 B．3a22．（23-24七年級(jí)下·浙江金華·期中）化簡(jiǎn)20xA．4x2?3xy+1 B．4x2?3xy3．（23-24七年級(jí)下·江蘇連云港·期中）若9a3m÷3a=3aA．3 B．4 C．5 D．64．（23-24七年級(jí)下·陜西咸陽·期中）計(jì)算：8x2yA．4x2y2 B．2x35．（23-24七年級(jí)下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）若×4x2y2=?12xA．3y+4x B．3y?4x C．?3y+4x D．?3y?4x6．（23-24八年級(jí)上·湖南衡陽·期中）若長(zhǎng)方形的面積為4a2?6ab+2a，且一邊長(zhǎng)為2aA．4a?3b B．8a?6b C．4a?3b?1 D．8a?6b+2二、填空題7．（23-24七年級(jí)下·福建寧德·期中）計(jì)算：10a38．（22-23七年級(jí)下·山東棗莊·階段練習(xí)）長(zhǎng)方形的面積是ab2?2a29．（2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）已知，A是一個(gè)多項(xiàng)式，小明在計(jì)算A+3x2時(shí)，錯(cuò)將“+”抄成了“÷”，運(yùn)算結(jié)果得x2?3x?1，那么，原來算式三、解答題10．（23-24七年級(jí)下·貴州畢節(jié)·期中）計(jì)算：(1)2x4y23x?411．（23-24七年級(jí)下·廣西梧州·期中）計(jì)算：(1)?3a32?3a12．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期中）先化簡(jiǎn)，再求值：a?3b2?a+ba?b第04講整式的除法模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)1．掌握單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，并運(yùn)用它們進(jìn)行運(yùn)算；2．掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算，并能靈活的運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行混合運(yùn)算；

知識(shí)點(diǎn)1：?jiǎn)雾?xiàng)式的除法法則單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．知識(shí)點(diǎn)2：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．考點(diǎn)一：?jiǎn)雾?xiàng)式的除法運(yùn)算例1.計(jì)算：(1)?3a7b4c÷9(3)6.4×105÷200；【答案】(1)?(2)?4(3)3.2×(4)1【分析】本題考查了單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，積的乘方和冪的乘方；（1）根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則計(jì)算即可；（3）對(duì)原式變形，然后根據(jù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（4）先利用積的乘方和冪的乘方法則計(jì)算，再根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式==?1（2）解：原式==?4a（3）解：原式===3.2×10（4）解：原式=8==1【變式1-1】計(jì)算：(1)8a3b5c÷【答案】(1)?(2)32【分析】本題考查的是積的乘方運(yùn)算，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵；（1）先計(jì)算積的乘方運(yùn)算，再按照單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式計(jì)算即可；（2）先計(jì)算積的乘方運(yùn)算，再按照單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式計(jì)算即可；【詳解】（1）解：8a（2）(?4xy)3【變式1-2】計(jì)算：(1)?3x(2)?2a【答案】(1)?12(2)2【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，熟練掌握積的乘方，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）先算積的乘方，再算單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法，然后算單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法；（2）先算積的乘方，再算單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法，然后算單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法；【詳解】（1）?3=?27=?3=?12x（2）?2===2a【變式1-3】計(jì)算：(1)?5a5b3c÷15a4b；【答案】(1)?(2)6(3)2【分析】（1）利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）先計(jì)算積的乘方，再利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）?5（2）?（3）6=6=【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則和積的乘方，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：把系數(shù)、相同底數(shù)的冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除數(shù)里含有的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．考點(diǎn)二：多項(xiàng)式的除法運(yùn)算例2計(jì)算．(1)7x2y3?8【答案】(1)7(2)2x?y?4【分析】本題考查的是多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，熟記運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵；（1）按照多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）按照多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可；【詳解】（1）解：7=7=7（2）x==2x?y?4．【變式2-1】計(jì)算：(1)23a5b【答案】(1)6(2)6【分析】本題考查的是積的乘方運(yùn)算，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵；（1）先計(jì)算積的乘方運(yùn)算，再計(jì)算多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算即可；（2）先計(jì)算積的乘方運(yùn)算，再計(jì)算多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算即可；【詳解】（1）解：2==6a（2）3==6【變式2-2】計(jì)算：(1)25mn2?6m【答案】(1)1(2)4【分析】本題考查了多項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式用多形式的每一項(xiàng)分別與單項(xiàng)式相除即可．（1）用多形式的每一項(xiàng)分別與單項(xiàng)式相除即可（2）用多形式的每一項(xiàng)分別與單項(xiàng)式相除即可【詳解】（1）原式==1（2）原式=2=4y【變式2-3】計(jì)算：(1)a3(2)2x2【答案】(1)a(2)?2y+4【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，進(jìn)行計(jì)算即可求解．（2）先根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，然后合并同類項(xiàng)，最后根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：a==ab（2）解：2x===?2y+4．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三：整式的混合運(yùn)算例3.計(jì)算：(1)5ab2??4a2(3)2x【答案】(1)10a(2)2(3)7【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則以及運(yùn)算順序是解此題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算冪的乘方與積的乘方，再計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，最后計(jì)算單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式即可得解；（2）根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可得出答案；（3）根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：5ab2（2）解：4x（3）解：2x【變式3-1】計(jì)算：(1)3x2y2【答案】(1)15x(2)?2a+4【分析】本題主要考查整式的去處：（1）原式先計(jì)算積的乘方，再進(jìn)行單項(xiàng)式的乘除法運(yùn)算即可答案；（2）原式先計(jì)算中括號(hào)內(nèi)的，再根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】（1）解：3=9=?135=15xy（2）解：2a+b===?2a+4【變式3-2】計(jì)算(1)?2ab22(3)x(x+2y)?(y?3x)(x+y)(4)(a+b+3)(a+b?3)【答案】(1)?8(2)2(3)4(4)a【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算；（1）先根據(jù)積的乘方以及單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，然后合并同類項(xiàng)，即可求解；（2）根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，進(jìn)行計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可求解；（4）根據(jù)平方差公式以及完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：?2a=4=?8a（2）解：4=2a（3）解：x(x+2y)?(y?3x)(x+y)===4x（4）解：(a+b+3)(a+b?3)==【變式3-3】計(jì)算：(1)ab4b2?2ab÷2ab【答案】(1)2(2)3【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵：（1）先計(jì)算除法，再去括號(hào)；（2）首先利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算，然后合并同類項(xiàng)求解．【詳解】（1）解：ab==2（2）解：2a+3b=4=3考點(diǎn)四：整式的化簡(jiǎn)求值例4.化簡(jiǎn)求值：(1)(3x+2)(3x?2)?5x(x?1)?(2x?1)2，其中(2)xy+2xy?2?2x2【答案】(1)9x?5，-8(2)?xy，2【分析】考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，以及完全平方公式；（1）利用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把x的值代入即可；（2）利用平方差公式化簡(jiǎn)，合并后利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x與y的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】（1）解：原式=9x=9x?5．當(dāng)x=?13（2）原式=x=?x=?xy．當(dāng)x=10，y=?125【變式4-1】先化簡(jiǎn)，再求值：(xy?2)2?(2?xy)(2+xy)?2xy÷(?4xy)，其中x=3【答案】?12【分析】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握整式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先分別根據(jù)完全平方公式，平方差公式計(jì)算(xy?2)2和(2?xy)(2+xy)【詳解】解：原式====?當(dāng)x=3，y=2時(shí)，原式=?【變式4-2】先化簡(jiǎn)再求值：2a?b2?bb?4a+a÷?【答案】?8a?2，?1【分析】本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，先根據(jù)整式的混合運(yùn)算計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，再根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式計(jì)算，然后代入求值．【詳解】解：原式=(4=(4=?8a?2當(dāng)a=?18，b=4時(shí)，原式【變式4-3】先化簡(jiǎn)再求值(1)x+2yx?2y?x+4y(2)已知x2?2x=1，求【答案】(1)?5y?2x，3(2)2x2【分析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，整式的化簡(jiǎn)求值，根據(jù)乘法公式，整式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)，代入求值即可，掌握乘法公式，整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用乘法公式化簡(jiǎn)，再代入求值即可；（2）運(yùn)用乘法公式將代數(shù)式化簡(jiǎn)，再整體代入計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：x+2y====?5y?2x，當(dāng)x=1，y=?1時(shí)，原式（2）解：(x?1)(3x+1)?=3=3=2=2x∵x2∴原式=2×1?2=0．一、單選題1．（23-24七年級(jí)下·貴州畢節(jié)·期中）一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是12a4b7，長(zhǎng)是A．6a2b3 B．3a2【答案】B【分析】本題考查了單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先根據(jù)長(zhǎng)方形的寬等于面積除以長(zhǎng)列出式子，再根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、冪的乘方與積的乘方法則計(jì)算即可得．【詳解】解：由題意得：這個(gè)長(zhǎng)方形的寬是12=12=3a故選：B．2．（23-24七年級(jí)下·浙江金華·期中）化簡(jiǎn)20xA．4x2?3xy+1 B．4x2?3xy【答案】C【分析】此題考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則．根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：20=?4x故選：C．3．（23-24七年級(jí)下·江蘇連云港·期中）若9a3m÷3a=3aA．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題主要考查了冪的乘方的逆運(yùn)算，積的乘方計(jì)算，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把原式變形為32ma3m÷3a=3a【詳解】解：9a∴32∴32m∴32m?1∴2m?1=1，∴m=1，∴m+n=3，故選：A．4．（23-24七年級(jí)下·陜西咸陽·期中）計(jì)算：8x2yA．4x2y2 B．2x3【答案】C【分析】本題主要考查了單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，熟知單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：8x故選：C．5．（23-24七年級(jí)下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）若×4x2y2=?12xA．3y+4x B．3y?4x C．?3y+4x D．?3y?4x【答案】C【分析】本題考查的是單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵，根據(jù)乘法的意義，先列式再計(jì)算即可．【詳解】解：由題意可得：所代表的整式是：?12x=?3y+4x，故選：C6．（23-24八年級(jí)上·湖南衡陽·期中）若長(zhǎng)方形的面積為4a2?6ab+2a，且一邊長(zhǎng)為2aA．4a?3b B．8a?6b C．4a?3b?1 D．8a?6b+2【答案】D【分析】本題考查整式的除法及整式加減運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式可得長(zhǎng)方形的另一邊長(zhǎng)為4a2?6ab+2a÷2a，根據(jù)多項(xiàng)式除法法則進(jìn)行計(jì)算；長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)【詳解】解：∵長(zhǎng)方形的面積為4a2?6ab+2a∴另一邊長(zhǎng)是：4a則其周長(zhǎng)是：22a?3b+1故選：D．二、填空題7．（23-24七年級(jí)下·福建寧德·期中）計(jì)算：10a3【答案】2【分析】本題考查的是單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵，利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：10a故答案為：28．（22-23七年級(jí)下·山東棗莊·階段練習(xí)）長(zhǎng)方形的面積是ab2?2a2【答案】b【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式即可計(jì)算．【詳解】解：根據(jù)題意，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是ab故答案為：b2【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．9．（2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）已知，A是一個(gè)多項(xiàng)式，小明在計(jì)算A+3x2時(shí)，錯(cuò)將“+”抄成了“÷”，運(yùn)算結(jié)果得x2?3x?1，那么，原來算式【答案】3【分析】根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則以及乘除運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：A÷3x∴A==3∴A+3=3=3x【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是