向量及其線性運算

向量及其線性運算一、向量的概念

在日常生活中，經(jīng)常接觸的量主要只有兩類.以天氣預報為例，所得到的信息是“今天氣溫10℃～20℃，西南風2～3級”.其中氣溫是由按適當?shù)膯挝欢攘康臄?shù)值所完全確定的，像這樣只有大小，沒有方向的量稱為數(shù)量（也稱標量），如溫度、質量、體積、壓強等；而關于風的信息則既包括風的速率，也包括風的方向，像這樣既有大小，又有方向的量稱為向量（也稱矢量），如力、速度、位移、電場等.一、向量的概念圖7-1

在數(shù)學上，用有方向的線段來表示向量，其起點和終點表示向量的起點和終點，其長度表示向量的大小，方向表示向量的方向.如圖7-1所示，以A為起點、B為終點的有向線段所表示的向量記為AB.向量可用黑體字母表示,也可用字母上面加箭頭表示,如a，r，s，F(xiàn)或一、向量的概念

向量的大小稱為向量的模，向量

的模分別記為.其中，模為1的向量稱為單位向量，模為零的向量稱為零向量，記為0或.零向量的起點與終點是重合的，所以其方向可看作是任意的.不是零向量的向量就稱為非零向量.對于兩個非零向量a和b,若它們的方向相同或相反，則稱這兩個向量平行，記為a∥b.這里應該注意到，由于零向量的方向是任意的，所以可認為零向量與任何向量都平行.一、向量的概念

當把實際問題抽象成數(shù)學問題時，對很多向量而言，其屬性可完整地由大小與方向表示出來，而與其起終點的空間位置無關，如前面提到的風向，無論在哪個點觀測，其強度和方向都是一樣的.像這樣，與起點無關的向量，稱為自由向量.自由向量可以任意平行移動，移動后的向量仍然代表原來的向量.由于在數(shù)學上著重研究自由向量，所以今后自由向量簡稱為向量，當研究的向量與起點有關時，將做特別說明.一、向量的概念

在自由向量的概念下，只要兩個向量大小相等，方向相同，就稱兩向量相等，記為a=b.從幾何角度來講，經(jīng)過平移后能完全重合的向量就是相等的.與之對應，大小相等但方向相反的向量稱為負向量，記為－a.顯然，與互為負向量.將一組平行向量的起點放在同一點，其終點與公共起點在同一條直線上，稱其共線.將一組向量(向量的個數(shù)大于等于3）的起點放在同一點，其所有終點和公共起點在同一個平面上，稱其共面.由向量平行定義可知，當兩向量相等或互為負向量時，必平行，同時向量平行也可稱向量共線.二、向量線性運算的幾何表達

為在向量之間建立聯(lián)系，規(guī)定了向量的線性運算，包括向量間的加減法與數(shù)乘.二、向量線性運算的幾何表達向量的加減法1.

向量的加法與物理學中求合力的方法一樣，其規(guī)則稱為平行四邊形法則：當向量a與b不平行時,平移向量使a與b的起點重合,以a,b為鄰邊作一平行四邊形,從公共起點到對角的向量c稱為向量a與b的和，記為a+b,即c=a+b（見圖7-2）.圖7-2二、向量線性運算的幾何表達

由上述法則容易驗證，向量的加法符合下列運算規(guī)律：(1)交換律a+b=b+a.(2)結合律（a+b）+c=a+（b+c）.在自由向量的意義下，平行四邊形法則還可歸納為三角形法則：設有兩個向量a與b，平移向量使b的起點與a的終點重合,此時從a的起點到b的終點的向量c稱為向量a與b的和（見圖7-3）.圖7-3二、向量線性運算的幾何表達

由于向量的加法滿足交換律與結合律，所以無論它們的先后順序如何，它們的和總是相同的，從而n個向量a1，a2,…,an(n≥3)相加可按任意順序寫成a1+a2+…+an,再由向量相加的三角形法則，可得n個向量相加的多邊形法則：使前一向量的終點作為下一向量的起點,相繼作向量a1，a2,…,an，再以第一向量的起點為起點,最后一向量的終點為終點作一向量,這個向量即為所求的和.如圖7-4所示，有s=a1+a2+a3+a4+a5.圖7-4二、向量線性運算的幾何表達

結合負向量的概念，可以將向量的減法變?yōu)榧臃ㄟ\算.差向量可以理解為把向量－b加到向量a上，即為a－b=a+－b（見圖7-5）.由此可以得到向量減法的運算規(guī)則：設有兩個向量a與b,平移向量使b的起點與a的起點重合,此時連結兩向量終點且指向被減向量的有向線段就是差向量，記為a－b（見圖7-6），特別地,當b=a時,有a－a=a+－a=0.圖7-5圖7-6二、向量線性運算的幾何表達

此外還要指出，由三角形兩邊之和大于第三邊的原理,有a+b≤a+b，a－b≤a+b.其中等號在b與a同向或反向時成立.二、向量線性運算的幾何表達向量與數(shù)的乘法2.

已知物理公式s=vt，其中v表示速度，是向量；t表示時間，是數(shù)量；而s表示位移，是向量，是向量與數(shù)量之間的結合，這種結合稱為向量與數(shù)的乘法，也稱向量的數(shù)乘.定義如下.向量a與實數(shù)λ的乘積記為λa,規(guī)定λa是一個向量,它的模λa=λa,它的方向當λ>0時與a相同,當λ<0時與a相反.當λ=0時,λa=0,即λa為零向量,這時它的方向可以是任意的.當λ=1時,有1a=a；當λ=－1時,有－1a=－a，所得即前面所提到的負向量.二、向量線性運算的幾何表達

向量與數(shù)的乘積符合下列運算規(guī)律：（1）結合律λμa=μλa=λμa.（2）第一分配律λ+μa=λa+μa；

第二分配律λa+b=λa+λb.向量相加及數(shù)乘向量統(tǒng)稱為向量的線性運算.設a≠0,則向量

是與a同方向的單位向量,一般記為ea，于是有

二、向量線性運算的幾何表達

設u=2a－b+2c,v=a+4b－c，試求4u－3v.

解【例1】二、向量線性運算的幾何表達

如果平面上一個四邊形的對角線互相平分,試用向量證明這是平行四邊形(見圖7-7).【例2】圖7-7二、向量線性運算的幾何表達證明所以

這說明四邊形ABCD的對邊AB=CD且AB∥CD,從而四邊形ABCD是平行四邊形.三、空間直角坐標系與向量的坐標分解數(shù)軸1.

初中階段的代數(shù)學中，規(guī)定：給定一個點、一個方向及單位長度，就確定了一條數(shù)軸．在向量的概念下，一個單位向量既確定了方向，又確定了單位長度，所以只需給定一個點及一個單位向量就確定了一條數(shù)軸.例如，設點O及單位向量e確定了數(shù)軸Ou（見圖7-8）.建立數(shù)軸的理論依據(jù)就是如下定理.圖7-8三、空間直角坐標系與向量的坐標分解

設有非零向量a,則向量b∥a的充分必要條件是存在唯一的實數(shù)λ,使b=λa.定理三、空間直角坐標系與向量的坐標分解證明定理的充分性顯然成立,下面證明定理的必要性.由b∥a，取，當b與a同向時取λ正值，當b與a反向時λ取負值，于是b與λa同向，即有b=λa.且再證數(shù)λ的唯一性.設b=λa，又設b=μa，兩式相減，得三、空間直角坐標系與向量的坐標分解λ－μa=0,即λ－μa=0,因|a|≠0，故λ－μ=0，即λ=μ.因此條件的必要性得證.如圖7-8所示的數(shù)軸Ou上，任取一點P,對應一個向量，由于,由定理可知，必有唯一的實數(shù)x，使=xe，并知向量與實數(shù)x一一對應.于是

從而軸上的點P與實數(shù)x有一一對應的關系.據(jù)此，定義實數(shù)x為軸上―點P的坐標．三、空間直角坐標系與向量的坐標分解空間直角坐標系2.

在空間任意取定一點O，并從點O引出三個兩兩垂直的單位向量i,j,k,由此就確定了三條數(shù)軸，顯然它們都以O為原點，且兩兩垂直.把這三條數(shù)軸依次記為x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸)，并統(tǒng)稱坐標軸，O稱為坐標原點，它們構成一個空間直角坐標系,稱為Oxyz坐標系或O;i,j,k坐標系（見圖7-9).通常還有如下規(guī)定：圖7-9三、空間直角坐標系與向量的坐標分解

（1）三個數(shù)軸的長度單位相同.（2）把x軸和y軸配置在水平面上,而z軸取垂線，正向向上.（3）數(shù)軸的正向通常符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當右手四指從x軸正向以π2角度轉向y軸正向時，大拇指的指向就是z軸的正向，如圖7-10所示圖7-10三、空間直角坐標系與向量的坐標分解

三條坐標軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱為坐標面．按照坐標面所包含的坐標軸，分別稱為xOy面，yOz面及zOx面.三個坐標面將空間劃分成八個區(qū)域，稱為八個卦限.含有x軸、y軸與z軸正半軸的那個卦限稱為第Ⅰ卦限，位于xOy面的上方.此外，在xOy面的上方,按逆時針方向排列著第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限和第Ⅳ卦限.在xOy面的下方,與第Ⅰ卦限對應的是第Ⅴ卦限,按逆時針方向還排列著第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限和第Ⅷ卦限，如圖7-11所示．圖7-11三、空間直角坐標系與向量的坐標分解空間向量的坐標分解3.利用空間坐標系，可以定量地表現(xiàn)空間向量.首先建立一個Oxyz坐標系，則對任意給定的自由向量r,可以在坐標系中找到唯一的點M，使=r，即的方向和大小都與r相同.以OM為對角線、三條坐標軸為棱作長方體RHMK-OPNQ，如圖7-12所示，由自由向量的特性與向量的加法運算，有又由于都在坐標軸上，由本節(jié)定理知，它們都可以唯一地表示為于是有三、空間直角坐標系與向量的坐標分解圖7-12三、空間直角坐標系與向量的坐標分解

此式稱為向量r的坐標分解式,xi,yj,zk稱為向量r沿三個坐標軸方向的坐標分向量.有序數(shù)x,y,z稱為向量r(在坐標系Oxyz中)的坐標,記為r=x,y,z.

這里，向量稱為點M關于原點O的向徑.由上面的內(nèi)容可知，一個點與該點的向徑有相同的坐標，于是用坐標x,y,z既表示點M，又表示向量.于是，點M、向量r與三個有序x,y,z之間有一一對應的關系三、空間直角坐標系與向量的坐標分解

由于點M與向量

有相同的坐標，因此,求點M的坐標，就是求

的坐標.但同時，由于記號x,y,z既可表示點M,又可表示向量

，而幾何中點與向量是兩個不同的概念,因此在看到記號x,y,z時,須從上下文去認清它究竟表示點還是表示向量.當x,y,z表示向量時，可對它進行運算；當x,y,z表示點時，就不能進行運算.注意三、空間直角坐標系與向量的坐標分解

坐標面上和坐標軸上的點，其坐標各有一定的特征.位于坐標面上的點必有一個坐標為0，如點M在yOz面上，則x=0,坐標形式為M0,y,z；位于坐標軸上的點必有兩個坐標為0，如點M在x軸上，則y=z=0，坐標形式為Mx,0,0.在實際應用中，除了空間直角坐標系，為滿足不同研究的需求，還引入了許多特殊類型的坐標系：角形坐標系，雙極坐標系，拋物線坐標系，測地坐標系等.結合不同的幾何體，本章會陸續(xù)再介紹兩類比較常用的空間坐標系：柱面坐標系和球面坐標系，但無論哪種坐標系都必須有三個有序數(shù)才能確定空間中一個點的位置.四、向量線性運算的坐標表示

前面已經(jīng)學習過向量的線性運算，但主要是應用幾何方法.現(xiàn)在，結合向量的坐標表示，可以重新定義向量的線性運算，將其轉化為代數(shù)問題.任取兩個向量a和b，設其坐標為其坐標分解式為

于是可得向量的加減法與數(shù)乘的坐標表示式.四、向量線性運算的坐標表示（1）向量加法的坐標表示式.（2）向量減法的坐標表示式.四、向量線性運算的坐標表示（3）向量數(shù)乘的坐標表示式.由此可見，對向量進行加、減及與數(shù)相乘，只需對向量的各個坐標分別進行相應的數(shù)量運算即可.事實上，本節(jié)定理還可表達為如下形式.設，若a≠0，則其中

，相當于向量的對應坐標成比例，即四、向量線性運算的坐標表示

已知兩點Ax1，y1,z1和Bx2,y2,z2以及實數(shù)λ≠-1,在直線AB上求一點M,使

解如圖7-13所示.由于【例3】圖7-13四、向量線性運算的坐標表示因此從而以的坐標（即點A、點B的坐標）代入，得這就是點M的坐標.點M稱為有向線段AB的定比分點.特別地，當λ=1時,點M稱為有向線段AB的中點,其坐標為→→四、向量線性運算的坐標表示

已知三角形ABC的三個頂點分別為Ax1,y1,z1，Bx2,y2,z2，Cx3,y3,z3，求重心的坐標.

解如圖7-14所示，設F,E,D分別為AB,AC,BC邊的中點，則AD,BE,CF的交點O為重心.因為F是AB的中點，所以F的坐標為【例4】圖7-14四、向量線性運算的坐標表示

又由重心定義可知因此，由例3中定比分點公式可得，三角形重心點O的坐標為即點O的坐標為五、向量的模、方向余弦與投影

目前探討的自由向量的特征只取決于它的大小和方向，這里考慮如何能夠應用坐標形式定量地研究它們，并使其可以參與到運算當中.五、向量的模、方向余弦與投影向量模的坐標表示1.首先考慮向徑，在空間中任取一點Mx,y,z,設，如圖7-12所示，則可得分解式,由勾股定理可得令，即于是得向徑模的坐標表示式五、向量的模、方向余弦與投影圖7-15五、向量的模、方向余弦與投影再考慮任意自由向量.設點，如圖7-15所示，則向量有這組坐標所示位置相當于將點M1平移至坐標原點，其終點M2所在的位置對應的坐標，即與相等的向徑r的坐標，由向徑模的坐標表示式可得向量模的坐標表示式這個表示式顯然也可表示點M1與點M2間的距離，所以也稱為空間中兩點間距離公式.五、向量的模、方向余弦與投影

已知兩點A(2,1,5)和B(1,2,3)，求與方向相同的單位向量e.

解因為,所以于是【例5】五、向量的模、方向余弦與投影

在yOz面上，求與三點A(3,1,2)，B(4,－2,－2)，C(0,5,1)等距離的點．

解所求點在yOz面上，不妨設為P(0,y,z),點P與三點A，B，C等距離.因為【例6】五、向量的模、方向余弦與投影所以即解得故所求點坐標為(0,1,－2)．五、向量的模、方向余弦與投影方向角與方向余弦2.

為表達向量的方向，首先了解一下向量間的夾角.將兩個非零向量a與b的起點平移至同一點,則兩個向量之間的不超過π的夾角稱為向量a與b的夾角,記為特別當向量a與b中至少有一個是零向量時,規(guī)定它們的夾角可取0與π之間的任意值.由此可以進一步定義向量與坐標軸的夾角，即將非零向量起點平移至坐標原點后，與坐標軸正向所形成的夾角.五、向量的模、方向余弦與投影設非零向量與三坐標軸正向的夾角分別為α，β，γ，則稱為向量r的方向角,如圖7-15所示.由此可知，若設r=x,y,z，則其坐標與方向角有如下關系其中cosα,cosβ,cosγ稱為向量r的方向余弦.由向量非零，即，可得五、向量的模、方向余弦與投影

從而可以看出這表明以向量r的方向余弦為坐標的向量就是與r同向的單位向量er,因此五、向量的模、方向余弦與投影這個表達式還表明，只要已知向量的兩個方向角，第三個方向角也將被確定下來，但不唯一，請讀者從幾何的角度進一步理解這個問題.五、向量的模、方向余弦與投影

已知兩點A(2,2,2)和B(1,3,0)，計算向量的模、方向余弦和方向角以及與AB同向的單位向量.

解

因為

所以的模的方向余弦【例7】五、向量的模、方向余弦與投影

的方向角設e為與同向的單位向量，由于e=(cosα,cosβ,cosγ)，即得五、向量的模、方向余弦與投影

設有向量,已知,它與x軸和y軸的夾角分別為,如果P1的坐標為(1,0,3),求P2的坐標.

解

設向量