向量及其線性運(yùn)算

向量及其線性運(yùn)算一、向量的概念

在日常生活中，經(jīng)常接觸的量主要只有兩類.以天氣預(yù)報(bào)為例，所得到的信息是“今天氣溫10℃～20℃，西南風(fēng)2～3級(jí)”.其中氣溫是由按適當(dāng)?shù)膯挝欢攘康臄?shù)值所完全確定的，像這樣只有大小，沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量（也稱標(biāo)量），如溫度、質(zhì)量、體積、壓強(qiáng)等；而關(guān)于風(fēng)的信息則既包括風(fēng)的速率，也包括風(fēng)的方向，像這樣既有大小，又有方向的量稱為向量（也稱矢量），如力、速度、位移、電場(chǎng)等.一、向量的概念圖7-1

在數(shù)學(xué)上，用有方向的線段來(lái)表示向量，其起點(diǎn)和終點(diǎn)表示向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)，其長(zhǎng)度表示向量的大小，方向表示向量的方向.如圖7-1所示，以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記為AB.向量可用黑體字母表示,也可用字母上面加箭頭表示,如a，r，s，F(xiàn)或一、向量的概念

向量的大小稱為向量的模，向量

的模分別記為.其中，模為1的向量稱為單位向量，模為零的向量稱為零向量，記為0或.零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)是重合的，所以其方向可看作是任意的.不是零向量的向量就稱為非零向量.對(duì)于兩個(gè)非零向量a和b,若它們的方向相同或相反，則稱這兩個(gè)向量平行，記為a∥b.這里應(yīng)該注意到，由于零向量的方向是任意的，所以可認(rèn)為零向量與任何向量都平行.一、向量的概念

當(dāng)把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，對(duì)很多向量而言，其屬性可完整地由大小與方向表示出來(lái)，而與其起終點(diǎn)的空間位置無(wú)關(guān)，如前面提到的風(fēng)向，無(wú)論在哪個(gè)點(diǎn)觀測(cè)，其強(qiáng)度和方向都是一樣的.像這樣，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量，稱為自由向量.自由向量可以任意平行移動(dòng)，移動(dòng)后的向量仍然代表原來(lái)的向量.由于在數(shù)學(xué)上著重研究自由向量，所以今后自由向量簡(jiǎn)稱為向量，當(dāng)研究的向量與起點(diǎn)有關(guān)時(shí)，將做特別說(shuō)明.一、向量的概念

在自由向量的概念下，只要兩個(gè)向量大小相等，方向相同，就稱兩向量相等，記為a=b.從幾何角度來(lái)講，經(jīng)過(guò)平移后能完全重合的向量就是相等的.與之對(duì)應(yīng)，大小相等但方向相反的向量稱為負(fù)向量，記為－a.顯然，與互為負(fù)向量.將一組平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，其終點(diǎn)與公共起點(diǎn)在同一條直線上，稱其共線.將一組向量(向量的個(gè)數(shù)大于等于3）的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，其所有終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在同一個(gè)平面上，稱其共面.由向量平行定義可知，當(dāng)兩向量相等或互為負(fù)向量時(shí)，必平行，同時(shí)向量平行也可稱向量共線.二、向量線性運(yùn)算的幾何表達(dá)

為在向量之間建立聯(lián)系，規(guī)定了向量的線性運(yùn)算，包括向量間的加減法與數(shù)乘.二、向量線性運(yùn)算的幾何表達(dá)向量的加減法1.

向量的加法與物理學(xué)中求合力的方法一樣，其規(guī)則稱為平行四邊形法則：當(dāng)向量a與b不平行時(shí),平移向量使a與b的起點(diǎn)重合,以a,b為鄰邊作一平行四邊形,從公共起點(diǎn)到對(duì)角的向量c稱為向量a與b的和，記為a+b,即c=a+b（見(jiàn)圖7-2）.圖7-2二、向量線性運(yùn)算的幾何表達(dá)

由上述法則容易驗(yàn)證，向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：(1)交換律a+b=b+a.(2)結(jié)合律（a+b）+c=a+（b+c）.在自由向量的意義下，平行四邊形法則還可歸納為三角形法則：設(shè)有兩個(gè)向量a與b，平移向量使b的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合,此時(shí)從a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向量c稱為向量a與b的和（見(jiàn)圖7-3）.圖7-3二、向量線性運(yùn)算的幾何表達(dá)

由于向量的加法滿足交換律與結(jié)合律，所以無(wú)論它們的先后順序如何，它們的和總是相同的，從而n個(gè)向量a1，a2,…,an(n≥3)相加可按任意順序?qū)懗蒩1+a2+…+an,再由向量相加的三角形法則，可得n個(gè)向量相加的多邊形法則：使前一向量的終點(diǎn)作為下一向量的起點(diǎn),相繼作向量a1，a2,…,an，再以第一向量的起點(diǎn)為起點(diǎn),最后一向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作一向量,這個(gè)向量即為所求的和.如圖7-4所示，有s=a1+a2+a3+a4+a5.圖7-4二、向量線性運(yùn)算的幾何表達(dá)

結(jié)合負(fù)向量的概念，可以將向量的減法變?yōu)榧臃ㄟ\(yùn)算.差向量可以理解為把向量－b加到向量a上，即為a－b=a+－b（見(jiàn)圖7-5）.由此可以得到向量減法的運(yùn)算規(guī)則：設(shè)有兩個(gè)向量a與b,平移向量使b的起點(diǎn)與a的起點(diǎn)重合,此時(shí)連結(jié)兩向量終點(diǎn)且指向被減向量的有向線段就是差向量，記為a－b（見(jiàn)圖7-6），特別地,當(dāng)b=a時(shí),有a－a=a+－a=0.圖7-5圖7-6二、向量線性運(yùn)算的幾何表達(dá)

此外還要指出，由三角形兩邊之和大于第三邊的原理,有a+b≤a+b，a－b≤a+b.其中等號(hào)在b與a同向或反向時(shí)成立.二、向量線性運(yùn)算的幾何表達(dá)向量與數(shù)的乘法2.

已知物理公式s=vt，其中v表示速度，是向量；t表示時(shí)間，是數(shù)量；而s表示位移，是向量，是向量與數(shù)量之間的結(jié)合，這種結(jié)合稱為向量與數(shù)的乘法，也稱向量的數(shù)乘.定義如下.向量a與實(shí)數(shù)λ的乘積記為λa,規(guī)定λa是一個(gè)向量,它的模λa=λa,它的方向當(dāng)λ>0時(shí)與a相同,當(dāng)λ<0時(shí)與a相反.當(dāng)λ=0時(shí),λa=0,即λa為零向量,這時(shí)它的方向可以是任意的.當(dāng)λ=1時(shí),有1a=a；當(dāng)λ=－1時(shí),有－1a=－a，所得即前面所提到的負(fù)向量.二、向量線性運(yùn)算的幾何表達(dá)

向量與數(shù)的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律λμa=μλa=λμa.（2）第一分配律λ+μa=λa+μa；

第二分配律λa+b=λa+λb.向量相加及數(shù)乘向量統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.設(shè)a≠0,則向量

是與a同方向的單位向量,一般記為ea，于是有

二、向量線性運(yùn)算的幾何表達(dá)

設(shè)u=2a－b+2c,v=a+4b－c，試求4u－3v.

解【例1】二、向量線性運(yùn)算的幾何表達(dá)

如果平面上一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相平分,試用向量證明這是平行四邊形(見(jiàn)圖7-7).【例2】圖7-7二、向量線性運(yùn)算的幾何表達(dá)證明所以

這說(shuō)明四邊形ABCD的對(duì)邊AB=CD且AB∥CD,從而四邊形ABCD是平行四邊形.三、空間直角坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)分解數(shù)軸1.

初中階段的代數(shù)學(xué)中，規(guī)定：給定一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)方向及單位長(zhǎng)度，就確定了一條數(shù)軸．在向量的概念下，一個(gè)單位向量既確定了方向，又確定了單位長(zhǎng)度，所以只需給定一個(gè)點(diǎn)及一個(gè)單位向量就確定了一條數(shù)軸.例如，設(shè)點(diǎn)O及單位向量e確定了數(shù)軸Ou（見(jiàn)圖7-8）.建立數(shù)軸的理論依據(jù)就是如下定理.圖7-8三、空間直角坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)分解

設(shè)有非零向量a,則向量b∥a的充分必要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使b=λa.定理三、空間直角坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)分解證明定理的充分性顯然成立,下面證明定理的必要性.由b∥a，取，當(dāng)b與a同向時(shí)取λ正值，當(dāng)b與a反向時(shí)λ取負(fù)值，于是b與λa同向，即有b=λa.且再證數(shù)λ的唯一性.設(shè)b=λa，又設(shè)b=μa，兩式相減，得三、空間直角坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)分解λ－μa=0,即λ－μa=0,因|a|≠0，故λ－μ=0，即λ=μ.因此條件的必要性得證.如圖7-8所示的數(shù)軸Ou上，任取一點(diǎn)P,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，由于,由定理可知，必有唯一的實(shí)數(shù)x，使=xe，并知向量與實(shí)數(shù)x一一對(duì)應(yīng).于是

從而軸上的點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.據(jù)此，定義實(shí)數(shù)x為軸上―點(diǎn)P的坐標(biāo)．三、空間直角坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)分解空間直角坐標(biāo)系2.

在空間任意取定一點(diǎn)O，并從點(diǎn)O引出三個(gè)兩兩垂直的單位向量i,j,k,由此就確定了三條數(shù)軸，顯然它們都以O(shè)為原點(diǎn)，且兩兩垂直.把這三條數(shù)軸依次記為x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸)，并統(tǒng)稱坐標(biāo)軸，O稱為坐標(biāo)原點(diǎn)，它們構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系,稱為Oxyz坐標(biāo)系或O;i,j,k坐標(biāo)系（見(jiàn)圖7-9).通常還有如下規(guī)定：圖7-9三、空間直角坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)分解

（1）三個(gè)數(shù)軸的長(zhǎng)度單位相同.（2）把x軸和y軸配置在水平面上,而z軸取垂線，正向向上.（3）數(shù)軸的正向通常符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當(dāng)右手四指從x軸正向以π2角度轉(zhuǎn)向y軸正向時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向，如圖7-10所示圖7-10三、空間直角坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)分解

三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個(gè)平面，這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)面．按照坐標(biāo)面所包含的坐標(biāo)軸，分別稱為xOy面，yOz面及zOx面.三個(gè)坐標(biāo)面將空間劃分成八個(gè)區(qū)域，稱為八個(gè)卦限.含有x軸、y軸與z軸正半軸的那個(gè)卦限稱為第Ⅰ卦限，位于xOy面的上方.此外，在xOy面的上方,按逆時(shí)針?lè)较蚺帕兄冖蜇韵?、第Ⅲ卦限和第Ⅳ卦?在xOy面的下方,與第Ⅰ卦限對(duì)應(yīng)的是第Ⅴ卦限,按逆時(shí)針?lè)较蜻€排列著第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限和第Ⅷ卦限，如圖7-11所示．圖7-11三、空間直角坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)分解空間向量的坐標(biāo)分解3.利用空間坐標(biāo)系，可以定量地表現(xiàn)空間向量.首先建立一個(gè)Oxyz坐標(biāo)系，則對(duì)任意給定的自由向量r,可以在坐標(biāo)系中找到唯一的點(diǎn)M，使=r，即的方向和大小都與r相同.以O(shè)M為對(duì)角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長(zhǎng)方體RHMK-OPNQ，如圖7-12所示，由自由向量的特性與向量的加法運(yùn)算，有又由于都在坐標(biāo)軸上，由本節(jié)定理知，它們都可以唯一地表示為于是有三、空間直角坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)分解圖7-12三、空間直角坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)分解

此式稱為向量r的坐標(biāo)分解式,xi,yj,zk稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的坐標(biāo)分向量.有序數(shù)x,y,z稱為向量r(在坐標(biāo)系Oxyz中)的坐標(biāo),記為r=x,y,z.

這里，向量稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑.由上面的內(nèi)容可知，一個(gè)點(diǎn)與該點(diǎn)的向徑有相同的坐標(biāo)，于是用坐標(biāo)x,y,z既表示點(diǎn)M，又表示向量.于是，點(diǎn)M、向量r與三個(gè)有序x,y,z之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系三、空間直角坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)分解

由于點(diǎn)M與向量

有相同的坐標(biāo)，因此,求點(diǎn)M的坐標(biāo)，就是求

的坐標(biāo).但同時(shí)，由于記號(hào)x,y,z既可表示點(diǎn)M,又可表示向量

，而幾何中點(diǎn)與向量是兩個(gè)不同的概念,因此在看到記號(hào)x,y,z時(shí),須從上下文去認(rèn)清它究竟表示點(diǎn)還是表示向量.當(dāng)x,y,z表示向量時(shí)，可對(duì)它進(jìn)行運(yùn)算；當(dāng)x,y,z表示點(diǎn)時(shí)，就不能進(jìn)行運(yùn)算.注意三、空間直角坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)分解

坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，其坐標(biāo)各有一定的特征.位于坐標(biāo)面上的點(diǎn)必有一個(gè)坐標(biāo)為0，如點(diǎn)M在yOz面上，則x=0,坐標(biāo)形式為M0,y,z；位于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)必有兩個(gè)坐標(biāo)為0，如點(diǎn)M在x軸上，則y=z=0，坐標(biāo)形式為Mx,0,0.在實(shí)際應(yīng)用中，除了空間直角坐標(biāo)系，為滿足不同研究的需求，還引入了許多特殊類型的坐標(biāo)系：角形坐標(biāo)系，雙極坐標(biāo)系，拋物線坐標(biāo)系，測(cè)地坐標(biāo)系等.結(jié)合不同的幾何體，本章會(huì)陸續(xù)再介紹兩類比較常用的空間坐標(biāo)系：柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系，但無(wú)論哪種坐標(biāo)系都必須有三個(gè)有序數(shù)才能確定空間中一個(gè)點(diǎn)的位置.四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)向量的線性運(yùn)算，但主要是應(yīng)用幾何方法.現(xiàn)在，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，可以重新定義向量的線性運(yùn)算，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.任取兩個(gè)向量a和b，設(shè)其坐標(biāo)為其坐標(biāo)分解式為

于是可得向量的加減法與數(shù)乘的坐標(biāo)表示式.四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示（1）向量加法的坐標(biāo)表示式.（2）向量減法的坐標(biāo)表示式.四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示（3）向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示式.由此可見(jiàn)，對(duì)向量進(jìn)行加、減及與數(shù)相乘，只需對(duì)向量的各個(gè)坐標(biāo)分別進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)量運(yùn)算即可.事實(shí)上，本節(jié)定理還可表達(dá)為如下形式.設(shè)，若a≠0，則其中

，相當(dāng)于向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，即四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

已知兩點(diǎn)Ax1，y1,z1和Bx2,y2,z2以及實(shí)數(shù)λ≠-1,在直線AB上求一點(diǎn)M,使

解如圖7-13所示.由于【例3】圖7-13四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示因此從而以的坐標(biāo)（即點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)）代入，得這就是點(diǎn)M的坐標(biāo).點(diǎn)M稱為有向線段AB的定比分點(diǎn).特別地，當(dāng)λ=1時(shí),點(diǎn)M稱為有向線段AB的中點(diǎn),其坐標(biāo)為→→四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為Ax1,y1,z1，Bx2,y2,z2，Cx3,y3,z3，求重心的坐標(biāo).

解如圖7-14所示，設(shè)F,E,D分別為AB,AC,BC邊的中點(diǎn)，則AD,BE,CF的交點(diǎn)O為重心.因?yàn)镕是AB的中點(diǎn)，所以F的坐標(biāo)為【例4】圖7-14四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

又由重心定義可知因此，由例3中定比分點(diǎn)公式可得，三角形重心點(diǎn)O的坐標(biāo)為即點(diǎn)O的坐標(biāo)為五、向量的模、方向余弦與投影

目前探討的自由向量的特征只取決于它的大小和方向，這里考慮如何能夠應(yīng)用坐標(biāo)形式定量地研究它們，并使其可以參與到運(yùn)算當(dāng)中.五、向量的模、方向余弦與投影向量模的坐標(biāo)表示1.首先考慮向徑，在空間中任取一點(diǎn)Mx,y,z,設(shè)，如圖7-12所示，則可得分解式,由勾股定理可得令，即于是得向徑模的坐標(biāo)表示式五、向量的模、方向余弦與投影圖7-15五、向量的模、方向余弦與投影再考慮任意自由向量.設(shè)點(diǎn)，如圖7-15所示，則向量有這組坐標(biāo)所示位置相當(dāng)于將點(diǎn)M1平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，其終點(diǎn)M2所在的位置對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，即與相等的向徑r的坐標(biāo)，由向徑模的坐標(biāo)表示式可得向量模的坐標(biāo)表示式這個(gè)表示式顯然也可表示點(diǎn)M1與點(diǎn)M2間的距離，所以也稱為空間中兩點(diǎn)間距離公式.五、向量的模、方向余弦與投影

已知兩點(diǎn)A(2,1,5)和B(1,2,3)，求與方向相同的單位向量e.

解因?yàn)?所以于是【例5】五、向量的模、方向余弦與投影

在yOz面上，求與三點(diǎn)A(3,1,2)，B(4,－2,－2)，C(0,5,1)等距離的點(diǎn)．

解所求點(diǎn)在yOz面上，不妨設(shè)為P(0,y,z),點(diǎn)P與三點(diǎn)A，B，C等距離.因?yàn)椤纠?】五、向量的模、方向余弦與投影所以即解得故所求點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1,－2)．五、向量的模、方向余弦與投影方向角與方向余弦2.

為表達(dá)向量的方向，首先了解一下向量間的夾角.將兩個(gè)非零向量a與b的起點(diǎn)平移至同一點(diǎn),則兩個(gè)向量之間的不超過(guò)π的夾角稱為向量a與b的夾角,記為特別當(dāng)向量a與b中至少有一個(gè)是零向量時(shí),規(guī)定它們的夾角可取0與π之間的任意值.由此可以進(jìn)一步定義向量與坐標(biāo)軸的夾角，即將非零向量起點(diǎn)平移至坐標(biāo)原點(diǎn)后，與坐標(biāo)軸正向所形成的夾角.五、向量的模、方向余弦與投影設(shè)非零向量與三坐標(biāo)軸正向的夾角分別為α，β，γ，則稱為向量r的方向角,如圖7-15所示.由此可知，若設(shè)r=x,y,z，則其坐標(biāo)與方向角有如下關(guān)系其中cosα,cosβ,cosγ稱為向量r的方向余弦.由向量非零，即，可得五、向量的模、方向余弦與投影

從而可以看出這表明以向量r的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與r同向的單位向量er,因此五、向量的模、方向余弦與投影這個(gè)表達(dá)式還表明，只要已知向量的兩個(gè)方向角，第三個(gè)方向角也將被確定下來(lái)，但不唯一，請(qǐng)讀者從幾何的角度進(jìn)一步理解這個(gè)問(wèn)題.五、向量的模、方向余弦與投影

已知兩點(diǎn)A(2,2,2)和B(1,3,0)，計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角以及與AB同向的單位向量.

解

因?yàn)?/p>

所以的模的方向余弦【例7】五、向量的模、方向余弦與投影

的方向角設(shè)e為與同向的單位向量，由于e=(cosα,cosβ,cosγ)，即得五、向量的模、方向余弦與投影

設(shè)有向量,已知,它與x軸和y軸的夾角分別為,如果P1的坐標(biāo)為(1,0,3),求P2的坐標(biāo).

解

設(shè)向量