2024-2025學(xué)年福建省泉州市高一上冊1月期末數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省泉州市高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測試題一、單選題（本大題共6小題）1．已知集合，，則（

）A． B．, C． D．2．已知角終邊上有一點，則（

）A． B． C． D．3．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．4．若函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的大致圖象是（

）A． B．C． D．5．已知，則（

）A． B． C． D．6．若函數(shù)存在最大值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）7．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．8．生物研究小組觀察發(fā)現(xiàn)，某地區(qū)一昆蟲種群數(shù)量在8月份隨時間（單位：日，）的變化近似地滿足函數(shù)，且在8月1日達到最低數(shù)量700，此后逐日增長并在8月7日達到最高數(shù)量900，則（

）A．B．C．8月17日至23日，該地區(qū)此昆蟲種群數(shù)量逐日減少D．8月份中，該地區(qū)此昆蟲種群數(shù)量不少于850的天數(shù)為13天9．定義在上的奇函數(shù)滿足，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．2是的一個周期C．是的一個對稱中心 D．為偶函數(shù)10．已知，則（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為三、填空題（本大題共4小題）11．已知，則.（結(jié)果用表示）12．函數(shù)的零點個數(shù)為.13．對于任意且，函數(shù)的圖象恒過定點.若的圖象也過點，則.14．將函數(shù)圖象所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.若對于任意，總存在唯一的.使得，則的取值范圍為.四、解答題（本大題共6小題）15．集合.(1)若，求(2)若是的充分條件，求的取值范圍.16．已知二次函數(shù)的圖象過原點，且滿足.(1)求的解析式；(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，并寫出其單調(diào)遞增區(qū)間；(3)對于任意，函數(shù)在上都存在一個最大值，寫出關(guān)于的函數(shù)解析式.17．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.(1)求的最小正周期和對稱軸方程：(2)已知,求.18．已知.(1)證明是奇函數(shù)，并說出在其定義域上的單調(diào)性；(2)若存在實數(shù)和，使得，且，求的取值范圍.19．某物品上的特殊污漬需用一種特定的洗滌溶液直接漂洗，表示用個單位量的洗滌溶液漂洗一次以后，殘留污漬量與原污漬量之比.已知用1個單位量的洗滌溶液漂洗一次，可洗掉該物品原污漬量.(1)寫出的值，并對的值給出一個合理的解釋；(2)已知，①求；②“用個單位量的洗滌溶液漂洗一次”與“用個單位量的洗滌溶液漂洗兩次”，哪種方案去污效果更好？20．給定函數(shù)與，若為減函數(shù)且值域為（為常數(shù)），則稱對于具有“確界保持性”.(1)證明：函數(shù)對于不具有“確界保持性”；(2)判斷函數(shù)對于是否具有“確界保持性”；(3)若函數(shù)對于具有“確界保持性”，求實數(shù)的值.

答案1．【正確答案】A【分析】根據(jù)集合的交集運算，即可求得答案.【詳解】由題意集合，，則，故選：A2．【正確答案】B【分析】根據(jù)角終邊上一點的坐標(biāo)，結(jié)合正切函數(shù)的定義，即可得答案.【詳解】由題意知角終邊上有一點，故，故選：B3．【正確答案】C【分析】直接由作差法逐一判斷即可.【詳解】對于A，由題意，即，故A錯誤；對于B，由題意，即，故B錯誤；對于C，由題意，即，故C正確；對于D，由題意，即，故D錯誤.故選：C.4．【正確答案】A【分析】由題意首先得，根據(jù)它的定義域、單調(diào)性以及它所過定點即可得解.【詳解】由題意函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，所以，解得，它在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且過定點，對比選項可知A符合題意.故選：A.5．【正確答案】B【分析】直接由平方關(guān)系以及商數(shù)關(guān)系化簡求解即可.【詳解】由題意，所以，化簡得，因為，所以，所以，解得.故選：B.6．【正確答案】B【分析】判斷時，，無最大值，由判斷在時的單調(diào)性，可得單調(diào)性，確定最大值，結(jié)合題意列出不等式，即可求得答案.【詳解】當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，此時，無最大值；又因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，結(jié)合題意可得，解得，即實數(shù)的取值范圍為，故選：B7．【正確答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義以及函數(shù)的單調(diào)性,一一判斷各選項中的函數(shù)性質(zhì)，即可得答案.【詳解】對于A，為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對于B，的定義域為R，且為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，正確；對于C，設(shè)，定義域為R，滿足，故函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且，故在R上單調(diào)遞增，C正確；對于D，設(shè)，定義域為R，且滿足，故為奇函數(shù)；又在R上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞減，故在R上單調(diào)遞增，D正確，故選：BCD8．【正確答案】AD【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)最小正周期，即可求得，判斷A；結(jié)合函數(shù)的最值可確定的值，判斷B；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及周期，可判斷C；根據(jù)函數(shù)最小值求出，可得函數(shù)解析式，由題意列出不等式，求得t的范圍，結(jié)合k的取值，即可判斷D.【詳解】不妨設(shè)8月1日時為，則設(shè)T為最小正周期，則，即，A正確；又，B錯誤；因為函數(shù)的最小正周期為12，所以種群數(shù)量從8月13日至19日逐漸增加，從8月19日至25日逐漸減少，C錯誤；由以上分析可知，當(dāng)時，y取到最小值100，即，故，則，令，則，則，即，故或或，共13天，D正確，故選：AD9．【正確答案】ACD【分析】對于A，直接由奇函數(shù)性質(zhì)得；對于B，首先得，進一步有以及，由此即可判斷；對于C，由對稱軸、對稱中心即可得解.【詳解】定義在上的奇函數(shù)滿足，所以，故A正確；且，所以，即的周期是4，不是2，故B錯誤；因為，所以的對稱軸為，又為的一個對稱中心，所以是的一個對稱中心，故C正確；因為，所以，即為偶函數(shù)，故D正確.故選：ACD.10．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)指數(shù)運算，結(jié)合基本不等式即可判斷A；結(jié)合對數(shù)運算，利用基本不等式可判斷B；將化為關(guān)于x的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可判斷是C；通過變量代換，令，得到，根據(jù)“1”的巧用，將變形后，利用基本不等式，即可判斷D..【詳解】對于A，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時，等號成立，即的最小值為，A正確；對于B，由于，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，即的最大值為，B正確；對于C，又，得，故由于，而對稱軸為，則在上單調(diào)遞減，在上無最值，C錯誤；對于D，令，則，故，由于，故，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時，等號成立，所以，即的最小值為，D正確，故選：ABD難點點睛：本題考查了基本不等式的應(yīng)用，主要是求最值問題，難點是選項D的判斷，解答時要通過變量代換，令，得到，根據(jù)“1”的巧用，將變形后，利用基本不等式，即可求解.11．【正確答案】【分析】直接由換底公式即可得解.【詳解】由題意.故答案為.12．【正確答案】1【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，分類討論k的取值范圍，結(jié)合零點存在定理，即可求得答案.【詳解】由題意知在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)有1個零點；當(dāng)時，，，此時函數(shù)在上有唯一零點，當(dāng)時，，，此時函數(shù)在上有唯一零點，綜合可得函數(shù)的零點個數(shù)為1，故113．【正確答案】【分析】由題意首先得，然后代入得，由此即可得解.【詳解】因為函數(shù)的圖象恒過定點，所以，所以，所以，又的圖象也過點，所以，又，解得，所以.故答案為.14．【正確答案】【分析】由三角函數(shù)圖象變換以及三角函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得，當(dāng)時，有，此時，令，則，因為時，所以，因為對于的任意取值，在上有唯一解，即在上有唯一解，如圖所示：由圖可知，，所以.故答案為.關(guān)鍵點睛：關(guān)鍵是得到在上有唯一解，畫出圖形，由數(shù)形結(jié)合即可順利得解.15．【正確答案】(1)或；(2)【分析】（1）解不等式求出集合A，根據(jù)集合補集以及并集運算，即可求得答案；（2）根據(jù)是的充分條件，可得，列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.【詳解】（1）由，解得，則，時，，故或，；（2）因為，，而是的充分條件，故，故，解得.16．【正確答案】(1)(2)圖象見解析，(3)【分析】（1）設(shè)，利用待定系數(shù)法，求出，即得答案；（2）化簡為分段函數(shù)形式，即可作出其圖象，根據(jù)圖象可得單調(diào)遞增區(qū)間；（3）結(jié)合圖象求出時，時，，分段討論t的取值范圍，即可得M的表達式.【詳解】（1）設(shè)，由于二次函數(shù)的圖象過原點，故，由，得，即，故，故；（2），作出其圖象如圖：單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）由的圖象可知，當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，故.17．【正確答案】(1)；(2)【分析】（1）利用二倍角公式化簡的表達式，結(jié)合其圖象關(guān)于點對稱，求出a的值，可得的解析式，即可求得最小正周期，結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性即可求得其對稱軸方程；（2）由得出，利用二倍角公式可求出的值，再利用誘導(dǎo)公式即可求得，即得答案.【詳解】（1）由題意得，該函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，則，即，解得，故，則的最小正周期為；令，則，即的對稱軸方程為；（2）因為，故，則，故.18．【正確答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）直接由奇函數(shù)的定義證明即可，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性證明即可.（2）首先得在有解，等價轉(zhuǎn)換為在上有解，分類討論即可得解.【詳解】（1）因為的定義域為關(guān)于原點對稱，且，所以是奇函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞減.（2）因為，是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以，由題意得在有解，，令，則，令，則，由得，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時，，或時，，所以，在有解，等價于在上有解.當(dāng)時，，因為，所以滿足題意；當(dāng)時，因為，所以滿足題意；當(dāng)時，，令，解得，所以在上有解，所以的取值范圍為.19．【正確答案】(1)；解釋見解析(2)①1，2；②答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意即可確定的值，并得出的值的一個合理的解釋；（2）①根據(jù)，結(jié)合函數(shù)解析式，即可求得答案；②求出兩種方案下的殘留污漬量，作差比較大小，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，的值表示的含義為沒有用洗滌溶液漂洗，殘留污漬沒有變化；（2）①，由，，得；又，則，②，設(shè)清洗前物品上污漬殘留量為單位1，“用個單位量的洗滌溶液漂洗一次”后殘留污漬量為，“用個單位量的洗滌溶液漂洗兩次”后殘留污漬量為，，當(dāng)時，，即“用個單位量的洗滌溶液漂洗兩次”效果好；當(dāng)時，，兩種方案效果相同；當(dāng)時，，即“用個單位量的洗滌溶液漂洗一次”效果好.20．【正確答案】(1)證明見解析(2)具有(3)3【分析】（1）令，以特殊值說明函數(shù)不滿足值域為，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)對于具有“確界保持性”的定義，說明滿足定義中的條件，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)的結(jié)構(gòu)特點，先確定時，函數(shù)符合題意，再分別說明和時，函數(shù)值域不符合題意，即可確定答案.【詳解】（1）證明：令，因為，不滿足函數(shù)值域為，故函數(shù)對于不具有“確界保持性”；（2）函數(shù)對于具有“確界保持性”；理由如下：令，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，故函數(shù)對于具有“確界保持性”；（3）令，根據(jù)“確界保持性”定義可知在上單調(diào)遞減，故，即的值域為；由于，可以看到，若當(dāng)，即時，則可化簡為，且在上均單調(diào)遞減，故先證明符合題意；當(dāng)時，，先證明在上單調(diào)遞減，設(shè)，則當(dāng)時，，故，，，則，即，故，即，所以在上單調(diào)遞減；故，又因為，當(dāng)x趨向于無限大時，均無限接近于0