2024-2025學(xué)年福建省廈門市海滄區(qū)高三上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省廈門市海滄區(qū)高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．若，則（

）A． B． C． D．3．已知數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，則（）A． B． C． D．4．已知，，，則（

）A． B． C． D．5．將5名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)當(dāng)村官.每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同分配方案有（

）A．240種 B．150種 C．60種 D．180種6．已知點(diǎn)是焦點(diǎn)為的拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，若是的平分線，則的面積為(

).A． B． C． D．7．已知，為單位向量，且，向量滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．8．“長(zhǎng)太息掩涕兮，哀民生之多艱”，端陽(yáng)初夏，粽葉飄香，端午是一大中華傳統(tǒng)節(jié)日.小瑋同學(xué)在當(dāng)天包了一個(gè)具有藝術(shù)感的肉粽作紀(jì)念，將粽子整體視為一個(gè)三棱錐，肉餡可近似看作它的內(nèi)切球（與其四個(gè)面均相切的球，圖中作為球）.如圖：已知粽子三棱錐中，，，，分別為所在棱中點(diǎn)，，分別為所在棱靠近端的三等分點(diǎn)，小瑋同學(xué)切開后發(fā)現(xiàn)，沿平面或平面切開后，截面中均恰好看不見(jiàn)肉餡.則肉餡與整個(gè)粽子體積的比為（

）.

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．一個(gè)樣本的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于60B．若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，的標(biāo)準(zhǔn)差為16C．?dāng)?shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是23D．若一個(gè)樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)樣本容量為9，平均數(shù)不變，方差變小10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的有（）A． B．直線QB與也相切C． D．若，則11．已知函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是周期函數(shù) B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C． D．是偶函數(shù)三、填空題（本大題共3小題）12．已知一組數(shù)據(jù)（）大致呈線性分布，其回歸直線方程為，則的最小值為＝.13．已知函數(shù)的最大值是3，的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，其相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為2，則14．?dāng)?shù)學(xué)家斐波那契有段時(shí)間癡迷于研究有趣的數(shù)列問(wèn)題，意外發(fā)現(xiàn)了一個(gè)特殊的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)之和，即，，后人把這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”．若，則．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若，如圖，是上的動(dòng)點(diǎn)，且始終等于，記.當(dāng)為何值時(shí)，的面積取到最小值，并求出最小值.16．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和記為，，，其中為常數(shù)且.(1)若數(shù)列為等差數(shù)列，求；(2)若，求數(shù)列通項(xiàng)公式及.17．如圖，在直角梯形中，，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將沿對(duì)折至，使得，點(diǎn)F是的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求二面角的正弦值.18．著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的面積公式（a，b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)），為后續(xù)微積分的開拓奠定了基礎(chǔ)．已知橢圓（）的離心率為，且右頂點(diǎn)A與上頂點(diǎn)B的距離．(1)求橢圓C的面積；(2)若直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，（?。┣蟮拿娣e的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（ⅱ）若以P，Q為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，，D為垂足．是否存在定點(diǎn)T，使得為定值？若存在，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．19．定義在上的函數(shù)y=fx，若對(duì)任意不同的兩點(diǎn)，，都存在，使得函數(shù)y=fx在處的切線與直線平行，則稱函數(shù)y=fx在上處處相依，其中稱為直線的相依切線，為函數(shù)y=fx在的相依區(qū)間．已知．(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上處處相依，證明：導(dǎo)函數(shù)在0,1上有零點(diǎn)；(2)若函數(shù)在0,+∞上處處相依，且對(duì)任意實(shí)數(shù)、，，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(3)當(dāng)時(shí)，，為函數(shù)在的相依區(qū)間，證明：．

答案1．【正確答案】B【詳解】時(shí)，不等式的解集為，即，不等式，解得，即，故．故選：B．2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以．故選B．3．【正確答案】A【詳解】由題意得，即，則．故選：A．4．【正確答案】B【詳解】因?yàn)椋?故選：B5．【正確答案】B【詳解】依題意，要使每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，可以有“”或“”兩種分配方案.按照“”分配時(shí)，有種方法；按照“”分配時(shí)，有種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理，可得不同分配方案有種.故選：B.6．【正確答案】B【詳解】因?yàn)椋?，因此，易知直線是的準(zhǔn)線，則，如圖，又，，所以，得，四邊形為正方形，故的面積為.故選：B.

7．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，為單位向量，且，所以，則，所以，因?yàn)椋瑒t，則不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)的軌跡為圓，且圓心為，半徑為，又，設(shè)點(diǎn)，則，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得，故的最小值為.故選：A.8．【正確答案】B【詳解】

如圖所示，取中點(diǎn)為，，為方便計(jì)算，不妨設(shè)，由，可知，又因?yàn)?，分別為所在棱靠近端的三等分點(diǎn)，則，且，，，，平面，即平面，又因?yàn)槠矫?，則平面平面，設(shè)肉餡球半徑為，，由于，，分別為所在棱中點(diǎn)，且沿平面切開后，截面中均恰好看不見(jiàn)肉餡，則到的距離，，，又因?yàn)椋獾?，故，又因?yàn)?，解得，，所以，解得，，由以上?jì)算可知：為正三棱錐，故，所以比值為.故選B.9．【正確答案】ABD【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)闃颖镜姆讲钏赃@個(gè)樣本有20個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)是這組樣本數(shù)據(jù)的總和為A正確；對(duì)于B，已知樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則，數(shù)據(jù)的方差為，其標(biāo)準(zhǔn)差為，故B正確；對(duì)于C，數(shù)據(jù)共10個(gè)數(shù)，從小到大排列為，由于，故選擇第7和第8個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即，所以第70百分位數(shù)是23.5，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，某8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，設(shè)此時(shí)這9個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則，故D正確.故選：ABD.10．【正確答案】ACD【詳解】依題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，且，如圖，因?yàn)椋裕瑒t有點(diǎn)處的切線方程為：，即，令，于是，則，選項(xiàng)A正確；同理有點(diǎn)B處的切線方程為：，交軸于，當(dāng)時(shí)直線才是拋物線的切線，否則直線不是拋物線C的切線，故B錯(cuò)誤；點(diǎn)B處的切線方程為：，設(shè)直線的方程為：，由x=ty+1y2=4x可得，所以，點(diǎn)B處的切線方程為：，該切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，同理，所以直線也是拋物線C的切線，所以，所以，故C正確；由A可知，為等腰三角形，且，于是，則，又，解得，則，選項(xiàng)D正確，故選：ACD11．【正確答案】AD【分析】先根據(jù)函數(shù)，的奇偶性及，結(jié)合賦值法得到函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，即可得到是周期函數(shù)，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A；由即可得到的圖象的對(duì)稱中心，進(jìn)而判斷選項(xiàng)B；利用倒序相加法及即可判斷選項(xiàng)C；對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】選項(xiàng)A：在中取為，得，所以，取為，得，因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，取為，得，所以，所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，所以也是周期函數(shù)，所以A正確；選項(xiàng)B：由得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：設(shè)，則，兩式相加，得2022，所以，即，所以C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：對(duì)于，兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)得，所以是偶函數(shù)，所以D正確.故選AD.12．【正確答案】【詳解】回歸直線經(jīng)過(guò)，且，代入回歸方程得：，即，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為.13．【正確答案】4048【詳解】函數(shù)的最大值是3，故，得，則由于函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故即函數(shù)圖象其相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為2，故，所以；當(dāng)，2，3，時(shí)，的值依次為1，0，，0，成周期變化；且周期為4，相鄰4個(gè)之和為0，由于，所以．故4048．14．【正確答案】2024【詳解】由從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，，由,得,所以，，，...，將這個(gè)式子左右兩邊分別相加可得:所以.所以,所以.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)，最小值為【詳解】（1）在中，由正弦定理可得，所以，所以，即得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?；?）因?yàn)?，由?）知，所以，在中，由正弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，即，所以當(dāng)時(shí)，的面積取到最小值，最小值為.16．【正確答案】(1)；(2)；.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，而，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，由數(shù)列為等差數(shù)列，得，則，解得，則，公差為2，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，而，則，當(dāng)時(shí)，，解得，因此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，；偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，，所以數(shù)列通項(xiàng)公式是；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，又，，所以四邊形是正方形，所以，且，所以，且，即，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)镕是的中點(diǎn)，，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋?所以.又，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，作平面為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，A2,0,0，，，.因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以.所以，，，由（1）知，，又，面所以平面，所以為平面的法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則，所以，取，則，，所以，所以，設(shè)二面角的平面角為，所以，所以二面角的正弦值為.18．【正確答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）存在定點(diǎn)，使得為定值【詳解】（1）由題意，，解得，所以橢圓C的方程為，則橢圓C的面積為.（2）（?。┊?dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為（，且），則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的面積的最大值為1；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，聯(lián)立，得，則，，則，又點(diǎn)到直線l的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)的面積的最大值為1.綜上所述，的面積的最大值為1.

（ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在以P，Q為直徑的圓上，所以，因?yàn)?，，所以，則，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由（i）知，，所以，整理得，，即，即或，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，過(guò)點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，恒過(guò)點(diǎn).當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，，，由（i）知，，則，由，得，解得或（舍去），所以直線l的方程為，過(guò)點(diǎn).綜上所述，直線l恒過(guò)點(diǎn).因?yàn)?，D為垂足，為定值，所以點(diǎn)D在以A，M為直徑的圓上，取的中點(diǎn)，則，所以存在定點(diǎn)，使得為定值.

19．【正確答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)(3)證明見(jiàn)