2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市高三上冊12月階段性考試數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市高三上學(xué)期12月階段性考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．3．已知橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，，成等差數(shù)列，若，則（

）A．或15 B．15 C．或 D．5．已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．6．已知圓：上兩動點，滿足為等腰直角三角形，為坐標原點，則最大值為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，，則函數(shù)的極大值之和為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．以下命題正確的命題有（

）A．已知是空間中的一組基底，則也能構(gòu)成一組基底B．將函數(shù)的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)C．正四面體的外接球、內(nèi)切球、棱切球的半徑之比為D．若平面內(nèi)一動點到定點的距離等于它到定直線的距離，則該動點的軌跡是一條拋物線10．雙曲線的焦點分別為，，點在雙曲線上，下列結(jié)論正確的是（

）A．該雙曲線的離心率為 B．該雙曲線的漸近線方程為C．點到兩漸近線的距離的乘積為 D．若，則的面積為3211．在正三棱柱中，的重心為，以為球心的球與平切．若點在該球面上，則下列說法正確的有（

）A．存在點和實數(shù)，使得B．三棱錐體積的最大值為C．若直線與平面所成的角為，則的最大值為D．若，則所有滿足條件的點形成的軌跡的長度為三、填空題（本大題共3小題）12．圓心在直線y＝－2x上，并且經(jīng)過點，與直線x＋y＝1相切的圓C的方程是.13．與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球，若圓臺的上下底面半徑為，，且，則它的內(nèi)切球的表面積為．14．有一直角轉(zhuǎn)彎的走廊（兩側(cè)與頂部封閉），已知兩側(cè)走廊的高度都是6米，左側(cè)走廊的寬度為米，右側(cè)走廊的寬度為1米，現(xiàn)有不能彎折的硬管需要通過走廊．設(shè)可通過的最大極限長度為米（不計硬管粗細）．為了方便搬運，規(guī)定允許通過此走廊的硬管的最大實際長度為米，則的值是．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角所對的邊分別為，已知，且．(1)求的值；(2)若的面積，求的值．16．設(shè)正項數(shù)列的前項和為，若．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若不等式對任意正整數(shù)均成立，求的取值范圍．17．如圖，已知四邊形為平行四邊形，為的中點，，．將沿折起，使點到達點的位置．

(1)若平面平面，求證：；(2)若點A到直線的距離為，求二面角的平面角的余弦值．18．已知橢圓：的左、右頂點分別為，，點在橢圓上，且．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的右焦點為，過點斜率不為0的直線交橢圓于，兩點，記直線與直線的斜率分別為，，當時，求的面積．19．已知，函數(shù)，.(1)當與都存在極小值，且極小值之和為時，求實數(shù)a的值；(2)若，求證.

答案1．【正確答案】B【詳解】，，則.故選：B．2．【正確答案】A【詳解】，所以的共軛復(fù)數(shù)是.故選：A3．【正確答案】C【詳解】橢圓的離心率，則，由題意得，故.對于雙曲線，知其，故離心率.故選：C.4．【正確答案】B【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由數(shù)列為正項數(shù)列，則，由，，為等差數(shù)列，則，即，即，解得或（舍去），又，所以.故選：B5．【正確答案】A【詳解】因為，所以，因為，，所以，又，因為，，由基本不等式就可得，當且僅當，時等號成立，所以，當且僅當，時等號成立，所以的最小值為.故選：A6．【正確答案】C【詳解】由題可知圓：上兩動點，滿足為等腰直角三角形，不妨設(shè)，即，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以的最大值為．故選：C．7．【正確答案】D【詳解】由，可得，令即，可得，當時，f′x>0，單調(diào)遞增，當時，f′x<0，單調(diào)遞減，所以當時，取得極大值，因為，所以，可得，所以函數(shù)的極大值之和為.故選：D8．【正確答案】A【詳解】，令，顯然該函數(shù)單調(diào)遞增，，則有兩個根，當時，等式為，不符合題意；故，等式轉(zhuǎn)化為有兩個根，即和有兩個交點，設(shè)，求導(dǎo)得，故當時，，故在上單調(diào)遞減；x∈1,+∞時，，單調(diào)遞增；且當時，gx<0，，故如圖所示由圖可得，的取值范圍是故選：A.9．【正確答案】BC【詳解】對于A，因為是空間中的一組基底，所以向量不共面，因為，所以向量共面，所以不能構(gòu)成空間向量的一組基底，故A錯誤；對于B，將函數(shù)的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)，故B正確；對于C，如圖，正四面體，放置在正方體中，不妨設(shè)正方體的邊長為，則正四面體的外接球半徑為正方體體對角線的一半即，棱切球半徑為正方體棱長的一半即，設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為，由，又，所以，解得，所以正四面體的外接球、內(nèi)切球、棱切球的半徑之比為，C正確；對于D，根據(jù)拋物線的定義可知：該定點不能在定直線上，否則軌跡不能是拋物線，D錯誤.故選：BC10．【正確答案】AC【詳解】由雙曲線方程得，，，雙曲線的離心率為，漸近線方程為，A正確，B錯誤；設(shè)，則，即，漸近線方程為，點到兩漸近線的距離乘積為，C正確；由雙曲線的定義知，，又，則，所以，所以的面積為，D錯誤.故選：AC11．【正確答案】BC【分析】對于A，由球與平面的位置關(guān)系，判斷結(jié)論；對于B，面積為定值，由到平面的最大距離求三棱錐體積的最大值；對于C，求出當最大時的位置，由兩角和的正弦公式求的最大值；對于D，根據(jù)軌跡形狀求長度.【詳解】方法一：對于A，取中點，中點，連接，，正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，平面，，而為的重心，，到平面的距離為，而到平面的距離為，球與平離，則不存在這樣的和實數(shù)，使，A錯．對于B，到平面的距離為，球半徑，則到平面的最大距離為，，B正確．對于C，設(shè)為球的的上頂點，平面于點，與球相切且與平面共面，，，設(shè)，則有，得，，C正確．對于，過且與垂直的平面為平面，到平面的距離等于倍的到平面的距離，即，而球半徑，則平面截球的截面圓半徑，所以截面圓周長即的軌跡長度為，D錯.故選BC．方法二：對于A，如圖：左圖中為中點，為在平面上的投影．右圖為俯視圖下看的球，由于為重心，在俯視圖看來就是正三角形的中心，所以球?qū)嶋H上與三個側(cè)面均相切，則易得半徑．而，因此球與底面不相交，因此錯誤；對于B，有，正確；對于C，作出平面的截面如下圖：當最大時的位置如上圖所示，不難計算出，所以，那么此時，所以C正確；對于D，軌跡即過B且垂直于的平面與球的交線圓，而，此式右邊是球面上的大圓的周長，所以是不可能的，所以D錯誤．故選BC．12．【正確答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，利用兩點間的距離公式可得，再利用點到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系可得圓心到直線x＋y＝1的距離，由此得到關(guān)于的方程，解方程即可求出圓心C的坐標，進而求出半徑，代入圓的標準方程即可求解.【詳解】因為所求圓的圓心在直線y＝－2x上，所以可設(shè)圓心為，半徑為，由題意知，，又圓C與直線x＋y＝1相切，由點到直線的距離公式可得，，所以，解得，，所以所求圓C的方程為.故本題考查利用直線與圓的位置關(guān)系和點與圓的位置關(guān)系求圓的標準方程、點到直線的距離公式；考查運算求解能力和分析問題、解決問題的能力；熟練掌握點與圓、直線與圓的位置關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.13．【正確答案】/【詳解】由題意，畫出圓臺的直觀圖，其中為圓臺的母線長，，分別為上、下底面的圓心，點為內(nèi)切球的球心，點為球與圓臺側(cè)切的一個切點.則由題意可得：，.因此可得：內(nèi)切球半徑，即得內(nèi)切球的體積為.故14．【正確答案】8【詳解】如圖，鐵管不傾斜時，令，，，，，.令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，此時通過最大長度，所以，所以傾斜后能通過的最大長度，所以.故8.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，將代入，，即，所以．故.（2）由于，又為銳角，即.，.所以，結(jié)合解得.故.16．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）應(yīng)用得出等差數(shù)列再求數(shù)列通項公式即可;（2）應(yīng)用裂項相消法求和，結(jié)合不等式恒成立求解.【詳解】（1）當時，，；當時，且，兩式相減并整理可得．為正項數(shù)列，，．（2）有（1）可知，，，故，可化為，恒成立，．17．【正確答案】(1)證明見解析(2)或【詳解】（1）因為四邊形為平行四邊形，且為等邊三角形，所以．又因為為的中點，則，所以為等腰三角形，可得，，即，因為平面平面，平面平面，平面，則平面，且平面，所以．（2）取的中點，連接，因為為等邊三角形，所以，取的中點，則，由（1）得，所以，所以即為二面角的平面角，記為．以點為坐標原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

則，，因為，則，可得；，則點A到直線的距離為，由題意可得，解得，或，所以二面角的平面角的余弦值為或．18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，又，則，所以，解得（負值舍去），由在橢圓上及得，解得，所以橢圓的方程為；（2）由（1）知，右焦點為F1,0據(jù)題意設(shè)直線的方程為，則，于是由得，化簡得（*）由消去整理得，，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，代入（*）式得：，解得，直線的方程為，則，由求根公式與弦長公式得：，設(shè)點到直線的距離為，則，.19．【正確答案】(1)1(2)證明見解析【詳解】（1），定義域均為，，

當時，則，