2024-2025學(xué)年山東省青島市高二上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省青島市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（）A．+=4 B． C． D．4．已知橢圓，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線段為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．5．橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線的方程為（）A． B． C． D．6．設(shè)是等比數(shù)列，且，則（）A．12 B．24 C．30 D．327．已知橢圓為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn).若為直角三角形，則的離心率為（）A． B． C． D．8．如圖，某顆人工智能衛(wèi)星的運(yùn)行軌道近似可看作以地心為一個(gè)焦點(diǎn)且離心率為的橢圓，地球可看作半徑為的球體，近地點(diǎn)離地面的距離為，則遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線與，則（）A．若，則兩直線垂直 B．直線恒過定點(diǎn)C．直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等 D．若兩直線平行，則與的距離是10．已知橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)（與不重合），，則下列命題中，正確的命題是（）A． B．的最大面積為C．存在點(diǎn)，使得 D．的周長(zhǎng)最大值是11．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”．記斐波那契數(shù)列為，其前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為.13．圓與圓的公共弦長(zhǎng)為．14．已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，（1）若，則的面積為；（2）的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線和的交點(diǎn)為，(1)求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸截距互為相反數(shù)的直線的一般式方程；(2)求過點(diǎn)且垂直于直線的直線的一般式方程.16．已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．17．已知圓.(1)過點(diǎn)作圓的切線，求的方程；(2)若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的面積.18．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，線段的垂直平分線交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)若為點(diǎn)軌跡上任一點(diǎn)，求到直線距離最小值(3)設(shè)直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.19．已知點(diǎn)，是平面內(nèi)不同的兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足(，且)，則點(diǎn)的軌跡是以有序點(diǎn)對(duì)為“穩(wěn)點(diǎn)”的—阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)滿足()，則點(diǎn)的軌跡是以為“穩(wěn)點(diǎn)”的—卡西尼卵形線.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，(）.(1)當(dāng)，時(shí)，若點(diǎn)的軌跡是以為“穩(wěn)點(diǎn)”的-阿波羅尼斯圓，求點(diǎn)的軌跡方程；(2)在(1)的條件下，若點(diǎn)在以為“穩(wěn)點(diǎn)”的5—卡西尼卵形線上，求(為原點(diǎn)）的取值范圍；(3)卡西尼卵形線是中心對(duì)稱圖形，且只有1個(gè)對(duì)稱中心，若，，試判斷是否存在實(shí)數(shù)，，使得以為“穩(wěn)點(diǎn)”的—阿波羅尼斯圓與—卡西尼卵形線都關(guān)于同一個(gè)點(diǎn)對(duì)稱，若存在，求出實(shí)數(shù)，的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

答案1．【正確答案】A【詳解】的斜率為，故傾斜角為，故選：A2．【正確答案】C【詳解】由題意，在中，橢圓的焦點(diǎn)在軸上,且,∴，∴橢圓焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.3．【正確答案】C【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，設(shè)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得．所以，則圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為．故選：C．4．【正確答案】C【詳解】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)公式可得，代入橢圓方程得，其中.故選：C5．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，可知點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，設(shè)該弦與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，則，且點(diǎn)為中點(diǎn)，則，因?yàn)?，兩式作差可得，則，即，可得，所以直線的方程為，即.故選：A.6．【正確答案】D【詳解】由題意，，在等比數(shù)列中，設(shè)公比為，，解得：，∴，故選：D.7．【正確答案】B【詳解】由橢圓的對(duì)稱性可得，則，則不妨取，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，所以，所以的離心率.故選：B.8．【正確答案】A【詳解】由題意，不妨以橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，

則橢圓方程為，則，且，解得，，故該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為，又，所以.故選：A.9．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，斜率為，又直線的的斜率為，所以，故兩直線垂直，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，由，得到，由，得到，所以直線過定點(diǎn)，故選B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，令，得到，令，得到，所以直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不相等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，得到，此時(shí)，所以兩平行線間的距離為，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.10．【正確答案】AD【詳解】對(duì)A，由題知，，則，設(shè)，，則，A正確；對(duì)B，易知當(dāng)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大值為，B錯(cuò)誤；對(duì)C，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)D，由橢圓定義可知，，所以，又，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線，且在線段上時(shí)，等號(hào)成立，D正確.故選：AD11．【正確答案】ACD【分析】利用給定定義逐個(gè)選項(xiàng)分析數(shù)列性質(zhì)求解即可.【詳解】依題意可得，A正確；由，B錯(cuò)誤；，C正確；，累加得，D正確．故選ACD.12．【正確答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以?故答案為.13．【正確答案】【分析】?jī)蓤A方程相減，得公共弦所在直線的方程，計(jì)算圓的圓心到公共弦所在直線的距離，再利用圓的弦長(zhǎng)公式即可得出答案.【詳解】解：由圓與圓，兩圓方程相減，得公共弦所在直線的方程為，圓的圓心，半徑，則圓心到直線的距離，所以公共弦長(zhǎng)為.故答案為.14．【正確答案】/5【詳解】空1：由已知得，，所以，從而，在中，，即①，由橢圓的定義得，即②，由①②得，所以.空2：設(shè)，，且，而，則，，所以，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故；5.15．【正確答案】(1)或(2)【詳解】（1）由題意，直線和的交點(diǎn)為，∴，解得：，∴,在直線中，直線過點(diǎn)且兩坐標(biāo)軸截距互為相反數(shù)，∴當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)直線斜率為，直線的方程為：，即.當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)直線斜率為，直線的方程為：，∴直線的方程為：或.（2）由題意及（1）得，，在直線中，直線過點(diǎn)且垂直于直線（即），∴直線斜率為，∴直線的方程為：，即.16．【正確答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1）根據(jù)題意由易知，即可得為定值，由此可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，可得；即數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）知，，所以，所以，所以，所以17．【正確答案】(1)或(2)【詳解】（1）由題意，在圓中，，圓心,半徑,由,可得點(diǎn)在圓外,當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即,則圓心到直線的距離為,解得：,∴的方程為,即,當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí),的方程為,此時(shí)與圓相切,∴的方程為或；綜上，的方程為：或（2）由題意及（1）得，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，中點(diǎn)為，，在中，，由幾何知識(shí)得，,，由勾股定理得，，∴，∴18．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由已知圓，則，又線段的垂直平分線交于點(diǎn)，所以，則，所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之和為定值，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，，即，，橢圓方程為.（2）設(shè)與直線平行的直線方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得，即，即，當(dāng)該直線與橢圓相切時(shí)，則，解得，顯然當(dāng)時(shí)，到直線距離最小，即求兩平行線之間距離，則距離最小值.（3）設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，，聯(lián)立直線與橢圓，得，即，且，，則，又點(diǎn)到直線的距離，則的面積，設(shè)，則，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，即當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為，此時(shí)取得最大值為.19．【正確答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析【詳解】（1）由已知，且，設(shè)：，則：，∴，