2024-2025學(xué)年陜西省西安市高二上冊第二次月考數(shù)學(xué)檢測試卷(附解析)_第1頁
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文檔簡介

2024-2025學(xué)年陜西省西安市高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題(本大題共8小題)1.已知兩點所在直線的傾斜角為,則實數(shù)的值為(

)A.-7 B.-5 C.-2 D.22.下列命題中,真命題是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則3.設(shè)為雙曲線上一點,、為雙曲線的左右焦點,若,則()A.1 B.9 C.3或7 D.1或94.已知向量,,若,則()A. B. C.0 D.15.若點P到點的距離比它到直線的距離大1,則點P的軌跡方程為(

)A. B. C. D.6.鱉臑是指四個面都是直角三角形的三棱錐.如圖,在鱉臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=PA=2,D,E分別是棱AB,PC的中點,點F是線段DE的中點,則點F到直線AC的距離是()A.eq\f(3,8)B.eq\f(\r(6),4)C.eq\f(11,8)D.eq\f(\r(22),4)7.與橢圓共焦點,且與雙曲線共漸近線的雙曲線的方程為()A. B. C. D.8.我國在2022年完成了天宮空間站的建設(shè),根據(jù)開普勒第一定律,天宮空間站的運行軌道可以近似為橢圓,地球處于該橢圓的一個焦點上.已知某次變軌任務(wù)前后,天宮空間站的近地距離(天宮空間站與地球距離的最小值)不變,遠地距離(天宮空間站與地球距離的最大值)擴大為變軌前的3倍,橢圓軌道的離心率擴大為變軌前的2倍,則此次變軌任務(wù)前的橢圓軌道的離心率為()A.13 B.2?12 C.3二、多選題(本大題共3小題)9.已知空間向量,,則下列說法正確的是()A.與,共面 B.在上的投影向量的模是C. D.與夾角的余弦值是10.已知空間中不共面的四點,,,,則(

)A.直線與所成角的余弦值是 B.二面角的正弦值是C.點D到平面的距離是 D.四面體的體積是11.已知點是拋物線的焦點,,是經(jīng)過點的弦且,直線的斜率,,兩點在軸上方,為坐標原點,則下列結(jié)論中正確的是()A. B.四邊形面積的最小值為C. D.若,則直線的斜率為三、填空題(本大題共3小題)12.祖暅,祖沖之之子,是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家.他提出了體積計算原理(祖暅原理):“冪勢既同,則積不容異”.意思是:如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等.已知雙曲線C的焦點在y軸上,離心率為eq\f(2\r(3),3),且過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3),2\r(3)),則雙曲線的方程為____________;若直線x=0,x=1在第一象限內(nèi)與C及其漸近線圍成如圖陰影部分所示的圖形,則陰影圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為________.13.已知直線與曲線有兩個不同的交點,則實數(shù)的取值范圍是.14.若拋物線上的一點的橫坐標為,且點到拋物線的焦點的距離為,則點的一個縱坐標為四、解答題(本大題共5小題)15.求滿足下列條件的雙曲線的標準方程:(1)已知雙曲線的焦點在x軸上,離心率為eq\f(5,3),且經(jīng)過點M(-3,2eq\r(3));(2)漸近線方程為y=±eq\f(1,2)x,且經(jīng)過點A(2,-3).16.已知點是拋物線C:上的點,F(xiàn)為拋物線的焦點,且,過焦點F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點A,B.(1)求拋物線C的方程;(2)若,求直線l的斜率.17.如圖所示,的頂點A?2,0,直角頂點,頂點C在x軸上,點P為線段OA的中點.(1)求邊BC所在直線的方程;(2)M為外接圓的圓心,求圓M的方程;(3)若動圓N過點P且與圓M內(nèi)切,求動圓N的圓心N的軌跡方程.18.如圖,在三棱錐中,為等邊三角形,,平面底面,,為的中點.(1)證明:平面(2)若點在棱上,,且二面角為,求的值.19.已知橢圓的左、右焦點分別為、,已知點在直線上運動,且,當時,點在橢圓上(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)是橢圓外,過點的直線與橢圓交于、兩點,且直線、與直線分別交于、,求的值.

答案1.【正確答案】A【分析】根據(jù)兩點坐標,列出斜率表達式,然后根據(jù)傾斜角得到斜率,列出方程求解即可.【詳解】因為兩點所在直線的傾斜角為,則,即故選:A.2.【正確答案】C【詳解】

對于A,如圖正方形中,若,則,但,故A錯誤;對于B,因向量既有大小,又有方向,故不能比較大小,故B錯誤;對于C,因兩向量相等包括長度相等,方向相同,故C正確;對于D,如上圖中,,但,故D錯誤.故選:C.3.【正確答案】B【詳解】根據(jù)雙曲線定義可知,所以或;又因為雙曲線上的點到焦點距離的最小值為,所以舍去;可得.故選:B4.【正確答案】D【詳解】由可得:,解得.故選:D.5.【正確答案】D【詳解】∵點到點的距離比它到直線的距離大1,∴點到點的距離等于它到直線的距離,∴點的軌跡是以為焦點,為準線的拋物線,則點的軌跡方程是.故選:D.6.【正確答案】B因為AB=BC,且△ABC是直角三角形,所以AB⊥BC.以B為原點,分別以eq\o(BC,\s\up6(→),eq\o(BA,\s\up6(→)的方向為x,y軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系.因為AB=BC=PA=2,所以A(0,2,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0,2,2),E(1,1,1),F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1,\f(1,2)),則eq\o(AC,\s\up6(→)=(2,-2,0),eq\o(AF,\s\up6(→)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),-1,\f(1,2)).故點F到直線AC的距離d=eq\r(|\o(AF,\s\up6(→)|2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AF,\s\up6(→)·\o(AC,\s\up6(→),|\o(AC,\s\up6(→)|))2)=eq\r(\f(1,4)+1+\f(1,4)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2\r(2))2)=eq\f(\r(6),4).7.【正確答案】A【詳解】因為橢圓,焦點在y軸上,且,又因為所為雙曲線與雙曲線共漸近線,所以設(shè)所求雙曲線,即則,解得.所以所求雙曲線為.故選:A8.【正確答案】C設(shè)變軌前橢圓的長半軸長和離心率分別為a,e,則半焦距為ea,設(shè)變軌后橢圓的長半軸長為a',顯然變軌后橢圓的離心率為2e,半焦距為2ea依題意得a整理得1+2e1而0<e<1,解得9.【正確答案】ABD【詳解】對于A,因為空間向量,,,所以,因此與,共面,即A正確;對于B,在上的投影向量的模是,即B正確;對于C,易知,易知,因此不成立,即C錯誤;對于D,與夾角的余弦值,即D正確.故選:ABD10.【正確答案】ACD【詳解】依題意,,,,所以直線與所成角的余弦值是,A正確;,令是平面的一個法向量,則,令,得,令是平面的一個法向量,則,令,得,則,二面角的正弦值是,B錯誤;由選項B知,點D到平面的距離,C正確;,則,于是得的面積,所以四面體的體積,D正確.故選:ACD11.【正確答案】ACD【詳解】如下圖所示:易知,設(shè)Ax1則直線的方程為,其中,聯(lián)立,整理可得,可得,對于A,設(shè),易知直線的斜率為,方程為;同理可得所以,可知A正確;對于B,由焦點弦公式計算可得,因為,可得四邊形面積為,所以四邊形面積的最小值為,即B錯誤;對于C,由B可知,即C正確;對于D,若,可得,即可得,解得,即或(舍);因此直線的傾斜角為,所以直線的傾斜角為,即直線的斜率為,即D正確.故選:ACD12.【正確答案】eq\f(y2,3)-x2=13π【詳解】∵雙曲線C的離心率e=eq\f(c,a)=eq\f(2\r(3),3),∴c=eq\f(2\r(3),3)a,∴c2=a2+b2=eq\f(4,3)a2,∴b2=eq\f(1,3)a2,∵雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,\f(1,3)a2)=1過點(eq\r(3),2eq\r(3)),即eq\f(12,a2)-eq\f(9,a2)=1,a2=3,b2=1,∴雙曲線方程為eq\f(y2,3)-x2=1,則漸近線方程為y=±eq\r(3)x,取直線x=m(0≤m≤1),代入eq\f(y2,3)-x2=1,得y=eq\r(3+3m2),代入y=eq\r(3)x,得y=eq\r(3)m,∴直線x=m與陰影部分旋轉(zhuǎn)一周所得圓環(huán)的面積S=(3+3m2)π-3m2π=3π.又高度為1,故根據(jù)祖暅原理,該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體與底面半徑為eq\r(3),高為1的圓柱“冪勢相同”,故它繞x軸旋轉(zhuǎn)一圈所得幾何體的體積為3π.13.【正確答案】【詳解】由題意,將已知轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個不同的交點,直線過定點,曲線表示圓心為原點,半徑為2的圓的上半部分(包括與軸的交點),畫出圖形如下圖所示.當直線,即直線與圓相切時,則有,解得,.結(jié)合圖形可得當直線與圓有兩個不同的交點時,則有,∴實數(shù)的取值范圍是.故.14.【正確答案】(答案不唯一)【詳解】因點到拋物線的焦點的距離等于其到準線的距離,故有,解得:,(舍去),此時拋物線方程為:,將代入可得.故(答案不唯一)15.【正確答案】(1)eq\f(x2,\f(9,4)-eq\f(y2,4)=1(2)eq\f(y2,8)-eq\f(x2,32)=1【詳解】(1)設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0).∵e=eq\f(5,3),∴e2=eq\f(c2,a2)=eq\f(a2+b2,a2)=1+eq\f(b2,a2)=eq\f(25,9),∴eq\f(b,a)=eq\f(4,3).由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)=\f(4,3),,\f(9,a2)-\f(12,b2)=1,)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2=\f(9,4),,b2=4.)∴所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,\f(9,4)-eq\f(y2,4)=1.(2)方法一∵雙曲線的漸近線方程為y=±eq\f(1,2)x.當焦點在x軸上時,設(shè)所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0),則eq\f(b,a)=eq\f(1,2).①∵點A(2,-3)在雙曲線上,∴eq\f(4,a2)-eq\f(9,b2)=1.②①②聯(lián)立,無解.當焦點在y軸上時,設(shè)所求雙曲線的標準方程為eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,b2)=1(a>0,b>0),則eq\f(a,b)=eq\f(1,2).③∵點A(2,-3)在雙曲線上,∴eq\f(9,a2)-eq\f(4,b2)=1.④聯(lián)立③④,解得a2=8,b2=32.∴所求雙曲線的標準方程為eq\f(y2,8)-eq\f(x2,32)=1.方法二由雙曲線的漸近線方程為y=±eq\f(1,2)x,可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,22)-y2=λ(λ≠0),∵A(2,-3)在雙曲線上,∴eq\f(22,22)-(-3)2=λ,即λ=-8.∴所求雙曲線的標準方程為eq\f(y2,8)-eq\f(x2,32)=1.16.【正確答案】(1);(2)1或.(1)由焦半徑公式求得,得拋物線方程;(2)設(shè),直線方程為,代入拋物線方程后由韋達定理得,然后由焦點弦長公式可求得.【詳解】(1)由題意,,∴拋物線方程為;(2)由(1)知焦點為,若直線斜率不存在,則,不合題意,因此設(shè)直線方程為,由得,設(shè),則,,解得或.本題考查拋物線的焦半徑公式,焦點弦長,掌握拋物線的定義是解題關(guān)鍵.17.【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】(1)因為點,點,則,又,所以,所以邊BC所在直線的方程為,即.(2)因為邊BC所在直線的方程為,令,得,所以圓心,又因為,∴圓M的方程為.(3)因為點P為線段OA的中點所以,又,且圓N過點,所以是該圓的半徑,因為動圓N與圓M內(nèi)切,所以,即,所以點N的軌跡是以M,P為焦點的橢圓,且,所以,,,所以圓心N的軌跡方程為.18.【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】(1)因為為等邊三角形,為的中點所以,又平面底面,平面,且平面底面,所以平面.(2)由(1)知,平面,.因為,為的中點,所以,所以以為坐標原點,建立空間直角

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