備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪數(shù)學(人教A版理)-第四章-§4-5-三角函數(shù)的圖象與性質

§4.5三角函數(shù)的圖

象與性質第四章

三角函數(shù)與解三角形1.能畫出三角函數(shù)的圖象.2.了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上，正切函數(shù)在

上的性質.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.用“五點(畫圖)法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,0)，

，_______，_________，(2π，0).(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,1)，

，_________，_______，(2π，1).(π，0)(π，－1)2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象

定義域RR____________值域________________周期性___________奇偶性______________奇函數(shù)單調遞增區(qū)間單調遞減區(qū)間

[－1,1][－1,1]R2π2ππ奇函數(shù)偶函數(shù)[2kπ，2kπ＋π]_____________________________________________________________________________對稱中心___________________對稱軸方程__________________(kπ，0)x＝kπ1.對稱性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是

個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是

個周期.(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是

個周期.2.奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝

＋kπ(k∈Z).(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z).判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)y＝cosx在第一、二象限內(nèi)單調遞減.(

)(2)若非零常數(shù)T是函數(shù)f(x)的周期，則kT(k是非零整數(shù))也是函數(shù)f(x)的周期.(

)(3)函數(shù)y＝sinx圖象的對稱軸方程為x＝2kπ＋

(k∈Z).(

)(4)函數(shù)y＝tanx在整個定義域上是增函數(shù).(

)×√××1.若函數(shù)y＝2sin2x－1的最小正周期為T，最大值為A，則A.T＝π，A＝1 B.T＝2π，A＝1C.T＝π，A＝2 D.T＝2π，A＝2√2.函數(shù)y＝－tan的單調遞減區(qū)間為_____________________.3.函數(shù)y＝3－2cos的最大值為____，此時x＝______________.5第二部分探究核心題型例1

題型一三角函數(shù)的定義域和值域√－4(3)函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域為_______________.設t＝sinx－cosx，則t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，∴sinxcosx＝

，當t＝1時，ymax＝1；三角函數(shù)值域的不同求法(1)把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域.(2)把sinx或cosx看作一個整體，轉換成二次函數(shù)求值域.(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的關系轉換成二次函數(shù)求值域.思維升華跟蹤訓練1

(1)(2021·北京)函數(shù)f(x)＝cosx－cos2x，試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值A.奇函數(shù)，最大值為2B.偶函數(shù)，最大值為2C.奇函數(shù)，最大值為D.偶函數(shù)，最大值為√由題意，f(－x)＝cos(－x)－cos(－2x)＝cosx－cos2x＝f(x)，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，例2

題型二三角函數(shù)的周期性與對稱性√對于A，f(x)的最小正周期為

＝π，故A錯誤；故B錯誤；(2)函數(shù)f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)為偶函數(shù)，則φ＝_____，f(x)圖象的對稱中心為_________________.又∵φ∈(0，π)，(1)奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx的形式.(2)周期的計算方法：利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期為

，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期為

求解.√跟蹤訓練2

(2)(2020·全國Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋

，則A.f(x)的最小值為2B.f(x)的圖象關于y軸對稱C.f(x)的圖象關于直線x＝π對稱D.f(x)的圖象關于直線x＝

對稱√∴f(x)min<0，故A錯誤；∴f(x)為奇函數(shù)，關于原點對稱，故B錯誤；∴f(π－x)≠f(π＋x)，∴f(x)的圖象不關于直線x＝π對稱，故C錯誤；命題點1求三角函數(shù)的單調區(qū)間例3

函數(shù)f(x)＝sin的單調遞減區(qū)間為_______________________.題型三三角函數(shù)的單調性延伸探究

若函數(shù)不變，求在[0，π]上的單調遞減區(qū)間.B＝[0，π]，命題點2根據(jù)單調性求參數(shù)例4

√當k≥2，k∈Z時，ω∈?，(1)已知三角函數(shù)解析式求單調區(qū)間求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的單調區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解.但如果ω<0，可先借助誘導公式將ω化為正數(shù)，防止把單調性弄錯.(2)已知三角函數(shù)的單調區(qū)間求參數(shù)先求出函數(shù)的單調區(qū)間，然后利用集合間的關系求解.跟蹤訓練3

(1)(2022·北京)已知函數(shù)f(x)＝cos2x－sin2x，則√依題意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.(2)已知函數(shù)f(x)＝sin

(ω>0)，則“函數(shù)f(x)在

上單調遞增”是“0<ω<2”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√故k只能取0，即0<ω≤1，課時精練第三部分12345678910111213141516基礎保分練√2.(2023·成都模擬)已知f(x)＝

，則f(x)是A.奇函數(shù)且最小正周期為πB.偶函數(shù)且最小正周期為πC.奇函數(shù)且最小正周期為2πD.偶函數(shù)且最小正周期為2π√1234567891011121314151612345678910111213141516A.1

B.2

C.3

D.4√123456789101112131415164.(2023·廣州模擬)如果函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象關于點

對稱，則|φ|的最小值是√12345678910111213141516123456789101112131415165.(2023·攀枝花模擬)已知函數(shù)f(x)＝sinx－cosx，則下列結論中正確的是A.f(x)的最大值為2B.f(x)在區(qū)間

上單調遞增C.f(x)的圖象關于點

對稱D.f(x)的最小正周期為π√12345678910111213141516對于D，f(x)的最小正周期T＝2π，D錯誤.123456789101112131415166.(2023·銀川模擬)對于函數(shù)f(x)＝|sinx|＋cos2x，下列結論錯誤的是A.f(x)的值域為B.f(x)在

上單調遞增C.f(x)的圖象不關于直線x＝

對稱D.π是f(x)的一個周期√12345678910111213141516f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋cos2(x＋π)＝|sinx|＋cos2x＝f(x)，所以π是函數(shù)f(x)的一個周期，故D正確；對于A，因為f(x)的一個周期為π，令x∈[0，π]，此時sinx≥0，所以f(x)＝sinx＋1－2sin2x，令t＝sinx，則g(t)＝－2t2＋t＋112345678910111213141516因為t＝sinx，t∈[0,1]，7.(2023·汕頭模擬)請寫出一個最小正周期為π，且在(0,1)上單調遞增的函數(shù)f(x)＝__________________.12345678910111213141516tanx(答案不唯一)根據(jù)函數(shù)最小正周期為π，可構造正弦型、余弦型或者正切型函數(shù)，再結合在(0,1)上單調遞增，構造即可，如f(x)＝tanx滿足題意.12345678910111213141516123456789101112131415169.已知函數(shù)f(x)＝

cosxsinx＋sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調遞增區(qū)間；12345678910111213141516(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間

上的最大值和最小值.1234567891011121314151610.(2022·北京模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，再從條件①，條件②，條件③這三個條件中選擇兩個作為一組已知條件，使f(x)的解析式唯一確定.(1)求f(x)的解析式；12345678910111213141516條件①：f(x)的最小正周期為π；條件②：f(x)為奇函數(shù)；條件③：f(x)圖象的一條對稱軸為直線x＝

.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.12345678910111213141516選擇條件①②：由條件①及已知得T＝

＝π，所以ω＝2.由條件②f(0)＝0，即sinφ＝0，解得φ＝kπ(k∈Z).因為|φ|<，所以φ＝0，所以f(x)＝sin2x.經(jīng)檢驗φ＝0符合題意.選擇條件①③：由條件①及已知得T＝

＝π，所以ω＝2.因為|φ|<，所以φ＝0.所以f(x)＝sin2x.123456789101112131415161234567891011121314151611.函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)

，在區(qū)間(0,1)上不可能A.單調遞增

B.單調遞減C.有最大值

D.有最小值12345678910111213141516√綜合提升練12345678910111213141516當x∈(0,1)時，因為ω>0，所以0<ωx<ω，故f(x)在(0,1)上不可能單調遞減.12345678910111213141516√12345678910111213141516∵

f(x＋3π)故3π為函數(shù)f(x)的一個周期；12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.觀察可知，3π為函數(shù)f(x)的最小正周期，故A正確；123456789101112131415161234567891011121314151613.(2023·福州模擬)已知三角函數(shù)f(x)滿足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函數(shù)f(x)在

上單調遞減.寫出一個同時具有上述性質①②③的函數(shù)f(x)＝_________________________.1234567891011121314151612345678910111213141516對于①，若f(3－x)＝－f(x)，則f(x)的圖象關于點

中心對稱；對于②，若f(x)＝f(1－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝

對稱；14.(2023·唐山模擬)已知sinx