北京市房山區(qū)4中2024屆高三下學(xué)期第二次線上月考數(shù)學(xué)試題

北京市房山區(qū)4中2023屆高三下學(xué)期第二次線上月考數(shù)學(xué)試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)滿足：，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．2．對于正在培育的一顆種子，它可能1天后發(fā)芽，也可能2天后發(fā)芽，….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數(shù)統(tǒng)計(jì)表，則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是()發(fā)芽所需天數(shù)1234567種子數(shù)43352210A．2 B．3 C．3.5 D．43．已知的垂心為，且是的中點(diǎn)，則（）A．14 B．12 C．10 D．84．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A． B．i C．–1 D．15．已知等邊△ABC內(nèi)接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點(diǎn)，則的最大值是（）A． B．1 C． D．26．一個(gè)正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側(cè)面積是（）A．16 B．12 C．8 D．67．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過右頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M點(diǎn)，MF的中點(diǎn)恰好在雙曲線C上，則C的離心率為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的焦距為，過左焦點(diǎn)作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在圓上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．己知函數(shù)若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有2對，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．設(shè)，均為非零的平面向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件11．定義兩種運(yùn)算“★”與“◆”，對任意，滿足下列運(yùn)算性質(zhì)：①★，◆；②（）★★，◆◆，則（◆2020）（2020★2018）的值為()A． B． C． D．12．已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，與平行的直線與圓交于，兩點(diǎn)，且與的面積相等，給出下列直線：①，②，③，④.其中滿足條件的所有直線的編號(hào)有（）A．①② B．①④ C．②③ D．①②④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知全集，集合則_____．14．已知雙曲線()的左右焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率的取值范圍為_____.15．已知數(shù)列滿足，且恒成立，則的值為____________.16．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有1，2，3，4，5的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎(jiǎng)金．若隨機(jī)變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎(jiǎng)金，則D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合，.（1）若，則；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，且成等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的值.19．（12分）已知橢圓C:（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（－，0）、F2（，0）.點(diǎn)M（1，0）與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.（1）求橢圓C的方程；（2）已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）（m≠3）.過點(diǎn)M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，試求m，n滿足的關(guān)系式.20．（12分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為，，為其右焦點(diǎn)，，且該橢圓的離心率為；（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于軸上方的點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與直線交于點(diǎn)．若，求取值范圍．21．（12分）在中，為邊上一點(diǎn)，，.（1）求；（2）若，，求.22．（10分）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，，，，是棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

轉(zhuǎn)化，為，利用復(fù)數(shù)的除法化簡，即得解【詳解】復(fù)數(shù)滿足：所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可容易求得中位數(shù).【詳解】由圖表可知，種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.3．A【解析】

由垂心的性質(zhì)，得到，可轉(zhuǎn)化，又即得解.【詳解】因?yàn)闉榈拇剐?，所以，所以，而，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.4．C【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得，即可得答案.【詳解】∵，∴，∴，∴復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、虛部概念，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5．D【解析】

如圖所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則.當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算，建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.6．B【解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖，以及長度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長，然后根據(jù)矩形的面積公式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個(gè)側(cè)面均為邊長為2的正方形，所以該正三棱柱的側(cè)面積為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查正三棱柱側(cè)面積的計(jì)算以及三視圖的認(rèn)識(shí)，關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長，掌握一些常見的幾何體的三視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎(chǔ)題.7．A【解析】

設(shè)，則MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入雙曲線的方程可得的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程，求出的值，即可得答案.【詳解】雙曲線的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，M所在直線為，不妨設(shè)，∴MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為.代入方程可得，∴，∴，∴（負(fù)值舍去）.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意構(gòu)造的齊次方程.8．C【解析】

設(shè)線段的中點(diǎn)為，判斷出點(diǎn)的位置，結(jié)合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，由于直線的斜率是，而圓，所以.由于是線段的中點(diǎn)，所以，而，根據(jù)雙曲線的定義可知，即，即.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.9．B【解析】

考慮當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)榈膱D象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有2對，所以時(shí)，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令，則在有兩個(gè)不同的零點(diǎn).又，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上至多一個(gè)零點(diǎn)，舍.當(dāng)時(shí)，若，則，在上為增函數(shù)；若，則，在上為減函數(shù)；故，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，所以，解得.又當(dāng)時(shí)，且，故在上存在一個(gè)零點(diǎn).又，其中.令，則，當(dāng)時(shí)，，故為減函數(shù)，所以即.因?yàn)椋栽谏弦泊嬖谝粋€(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，一般地，較為復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)，必須先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理說明零點(diǎn)的存在性，本題屬于難題.10．B【解析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析、判斷后可得結(jié)論．【詳解】因?yàn)?，均為非零的平面向量，存在?fù)數(shù)，使得，所以向量，共線且方向相反，所以，即充分性成立；反之，當(dāng)向量，的夾角為鈍角時(shí)，滿足，但此時(shí)，不共線且反向，所以必要性不成立．所以“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件．故選B．【點(diǎn)睛】判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p，定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時(shí)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確．11．B【解析】

根據(jù)新運(yùn)算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值，可得選項(xiàng).【詳解】由（）★★，得（+2）★★，又★，所以★，★，★，，以此類推，2020★2018★2018，又◆◆，◆，所以◆，◆，◆，，以此類推，◆2020，所以（◆2020）（2020★2018），故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算，關(guān)鍵在于理解，運(yùn)用新定義進(jìn)行求值，屬于中檔題.12．D【解析】

求出圓心到直線的距離為：，得出，根據(jù)條件得出到直線的距離或時(shí)滿足條件，即可得出答案.【詳解】解：由已知可得：圓：的圓心為（0,0），半徑為2，則圓心到直線的距離為：，∴，而，與的面積相等，∴或，即到直線的距離或時(shí)滿足條件，根據(jù)點(diǎn)到直線距離可知，①②④滿足條件.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及點(diǎn)到直線的距離公式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】解：．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了補(bǔ)集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

法一:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得，，,又由雙曲線的定義得,將離心率表示成關(guān)于的式子,再令，則，令對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)在上單調(diào)性，可求得離心率的范圍.法二：令，，，，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得，將離心率表示成關(guān)于角的三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的恒等變化轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，可求得離心率的范圍.【詳解】法一:，，，,，,設(shè)，則，令，所以時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，，.法二：，，令，，，，，，，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問題，關(guān)鍵在于將已知條件轉(zhuǎn)化為與雙曲線的有關(guān)，從而將離心率表示關(guān)于某個(gè)量的函數(shù)，屬于中檔題.15．【解析】

易得，所以是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，，因，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，故，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由遞推數(shù)列求數(shù)列中的某項(xiàng)，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力，是一道容易題.16．20.2【解析】

分別求出隨機(jī)變量ξ1和ξ2的分布列，根據(jù)期望和方差公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)a，b∈{1，2，1，4，5}，則p（ξ1＝a），其ξ1分布列為：ξ112145PE（ξ1）（1+2+1+4+5）＝1．D（ξ1）[（1﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2+（4﹣1）2+（5﹣1）2]＝2．ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分別為：1.4，2.3，4.2，5.6，P（ξ2＝1.4），P（ξ2＝2.3），P（ξ2＝4.2），P（ξ2＝5.6），可得分布列．ξ21.42.34.25.6PE（ξ2）＝1.42.34.25.62.3．∴E（ξ1）﹣E（ξ2）＝0.2．故答案為：2，0.2．【點(diǎn)睛】此題考查隨機(jī)變量及其分布，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出隨機(jī)變量取值的概率，根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算期望和方差.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）將代入可得集合B，解對數(shù)不等式可得集合A，由并集運(yùn)算即可得解.（2）由可知B為A的子集，即；當(dāng)符合題意，當(dāng)B不為空集時(shí)，由不等式關(guān)系即可求得的取值范圍.【詳解】（1）若，則，依題意，故；（2）因?yàn)椋?；若，即時(shí)，，符合題意；若，即時(shí)，，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的并集運(yùn)算，由集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，注意討論集合是否為空集的情況，屬于基礎(chǔ)題.18．（1）（2）【解析】

（1）由公比表示出，由成等差數(shù)列可求得，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求（1）得，然后對和式兩兩并項(xiàng)后利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求解．【詳解】（1）∵是等比數(shù)列，且成等差數(shù)列∴，即∴，解得：或∵，∴∵∴（2）∵∴【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查并項(xiàng)求和法及等差數(shù)列的項(xiàng)和公式．本題求數(shù)列通項(xiàng)公式所用方法為基本量法，求和是用并項(xiàng)求和法．?dāng)?shù)列的求和除公式法外，還有錯(cuò)位相關(guān)法、裂項(xiàng)相消法、分組（并項(xiàng)）求和法等等．19．（1）；（2）m－n－1＝0【解析】試題分析：（1）利用M與短軸端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，可求得b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)出過M的直線l的方程，將l與橢圓C聯(lián)立，得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，然后將k1＋k3表示為直線l斜率的關(guān)系式，化簡后得k1＋k3＝2，于是可得m，n的關(guān)系式.試題解析：（1）由題意，c＝，b＝1，所以a＝故橢圓C的方程為（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為x＝1，代入橢圓得，y＝±不妨設(shè)A（1，），B（1，－）因?yàn)閗1＋k3＝＝2又k1＋k3＝2k2，所以k2＝1所以m，n的關(guān)系式為＝1，即m－n－1＝0②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k（x－1）將y＝k（x－1）代入，整理得：（3k2＋1）x2－6k2x＋3k2－3＝0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則又y1＝k（x1－1），y2＝k（x2－1）所以k1＋k3＝＝＝＝＝＝2所以2k2＝2，所以k2＝＝1所以m，n的關(guān)系式為m－n－1＝0綜上所述，m，n的關(guān)系式為m－n－1＝0.考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓位置關(guān)系，20．（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】

（Ⅰ）由題意可得，的坐標(biāo)，結(jié)合橢圓離心率，及隱含條件列式求得，的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設(shè)直線，求得的坐標(biāo)，再設(shè)直線，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出的方程，聯(lián)立與，可求出的坐標(biāo)，由，可得關(guān)于的函數(shù)式，由單調(diào)性可得取值范圍．