2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)高考專題突破四高考中的立體幾何問題講義理蘇教版

高考專題突破四

高考中的立體幾何問題考點自測課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引考點自測1.正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為BC中點，E為A1C1中點，則DE與平面A1B1BA的位置關(guān)系為______.答案解析如圖取B1C1的中點為F，連結(jié)EF，DF，DE，則EF∥A1B1，DF∥B1B，∴平面EFD∥平面A1B1BA，∴DE∥平面A1B1BA.平行2.設(shè)x、y、z是空間不同的直線或平面，對下列四種情形：①x、y、z均為直線；②x、y是直線，z是平面；③z是直線，x、y是平面；④x、y、z均為平面.其中使“x⊥z且y⊥z?x∥y”為真命題的是______.答案解析②③由正方體模型可知①④為假命題；由線面垂直的性質(zhì)定理可知②③為真命題.3.(2016·無錫模擬)如圖，在棱長為6的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在C1D1與C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，連結(jié)EF，F(xiàn)B，DE，BD，則幾何體EFC1－DBC的體積為_____.答案解析66如圖，連結(jié)DF，DC1，那么幾何體EFC1－DBC被分割成三棱錐D－EFC1及四棱錐D－CBFC1，那么幾何體EFC1－DBC的體積為V＝

××3×4×6＋

××(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.故所求幾何體EFC1－DBC的體積為66.4.(2016·鎮(zhèn)江模擬)設(shè)α，β，γ是三個平面，a，b是兩條不同直線，有下列三個條件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命題“α∩β＝a，b?γ，且______，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是_______.(把所有正確的序號填上)答案解析①或③由線面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)b∥β，a?γ時，a和b在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，所以平行，③正確.故應(yīng)填入的條件為①或③.5.如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點.若PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.則直線PA與平面DEF的位置關(guān)系是______；平面BDE與平面ABC的位置關(guān)系是_______.(填“平行”或“垂直”)答案解析平行垂直①因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DE∥PA.又因為PA?平面DEF，DE?平面DEF，所以直線PA∥平面DEF.②因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝

PA＝3，EF＝

BC＝4.又因為DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因為AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC，所以DE⊥平面ABC，又DE?平面BDE，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.所以平面BDE⊥平面ABC.題型分類深度剖析題型一求空間幾何體的表面積與體積例1

(2016·全國甲卷)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置.(1)證明：AC⊥HD′；證明由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得

，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF與HD保持垂直關(guān)系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝

，OD′＝

，求五棱錐D′-ABCFE的體積.解答由EF∥AC得.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝

＝4，所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝()2＋12＝9＝D′H2，由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面DHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以O(shè)D′⊥平面ABC.故OD′⊥OH.又由

得EF＝.五邊形ABCFE的面積所以五棱錐D′-ABCFE的體積(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進行求解.其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來求三棱錐的體積.(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練1正三棱錐的高為1，底面邊長為

，內(nèi)有一個球與它的四個面都相切(如圖).求：(1)這個正三棱錐的表面積；解答底面正三角形中心到一邊的距離為則正棱錐側(cè)面的斜高為(2)這個正三棱錐內(nèi)切球的表面積與體積.解答設(shè)正三棱錐P－ABC的內(nèi)切球的球心為O，連結(jié)OP，OA，OB，OC，而O點到三棱錐的四個面的距離都為球的半徑r.∴VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PAC＋VO－ABC∴S內(nèi)切球＝4π(－2)2＝(40－16)π.題型二空間點、線、面的位置關(guān)系例2

(2016·揚州模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點.(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；證明在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.因為AB?平面ABC，所以BB1⊥AB.又因為AB⊥BC，BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)求證：C1F∥平面ABE；證明方法一如圖1，取AB中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G.因為E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點，所以FG∥AC，且FG＝

AC.因為AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四邊形FGEC1為平行四邊形，所以C1F∥EG.又因為EG?平面ABE，C1F?平面ABE，所以C1F∥平面ABE.方法二如圖2，取AC的中點H，連結(jié)C1H，F(xiàn)H.因為H，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，所以HF∥AB，又因為E，H分別是A1C1，AC的中點，所以EC1綊AH，所以四邊形EAHC1為平行四邊形，所以C1H∥AE，又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，所以平面ABE∥平面C1HF，又C1F?平面C1HF，所以C1F∥平面ABE.(3)求三棱錐E－ABC的體積.解答因為AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝所以三棱錐E－ABC的體積(1)①證明面面垂直，將“面面垂直”問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”問題，再將“線面垂直”問題轉(zhuǎn)化為“線線垂直”問題.②證明C1F∥平面ABE：(ⅰ)利用判定定理，關(guān)鍵是在平面ABE中找(作)出直線EG，且滿足C1F∥EG.(ⅱ)利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行，則先要確定一個平面C1HF滿足面面平行，實施線面平行與面面平行的轉(zhuǎn)化.(2)計算幾何體的體積時，能直接用公式時，關(guān)鍵是確定幾何體的高，不能直接用公式時，注意進行體積的轉(zhuǎn)化.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2016·南京模擬)如圖，在三棱錐S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點.求證：(1)平面EFG∥平面ABC；證明由AS＝AB，AF⊥SB知F為SB中點，則EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，又EF∩FG＝F，AB∩BC＝B，因此平面EFG∥平面ABC.(2)BC⊥SA.證明由平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF?平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC，則AF⊥BC.又BC⊥AB，AF∩AB＝A，則BC⊥平面SAB，又SA?平面SAB，因此BC⊥SA.題型三平面圖形的翻折問題例3

(2015·陜西)如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝

，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如圖2.(1)證明：CD⊥平面A1OC；證明幾何畫板展示在題圖1中，連結(jié)EC，因為AB＝BC＝1，AD＝2，∠BAD＝

，AD∥BC，E為AD中點，所以BC綊ED，BC綊AE，所以四邊形BCDE為平行四邊形，故有CD∥BE，所以四邊形ABCE為正方形，所以BE⊥AC.即在題圖2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，且A1O∩OC＝O，從而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.解答由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，所以∠A1OC為二面角A1-BE-C的平面角，所以∠A1OC＝.如圖，以O(shè)為原點，以O(shè)B，OC，OA所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為A1B＝A1E＝BC＝ED＝1，BC∥ED，又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，設(shè)平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1BC與平面A1CD夾角為θ，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，從而cos

θ＝|cos

n1，n2

|＝即平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為.平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.一般地，翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(2016·蘇州模擬)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如圖(2)折疊，折痕EF∥DC.其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后，點P疊在線段AD上的點記為M，并且MF⊥CF.(1)證明：CF⊥平面MDF；證明幾何畫板展示因為PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PD⊥AD.又因為ABCD是矩形，CD⊥AD，PD與CD交于點D，所以AD⊥平面PCD.又CF?平面PCD，所以AD⊥CF，即MD⊥CF.又MF⊥CF，MD∩MF＝M，所以CF⊥平面MDF.(2)求三棱錐M－CDE的體積.解答因為PD⊥DC，PC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°，所以PD＝

，由(1)知FD⊥CF，在直角三角形DCF中，CF＝

CD＝.如圖，過點F作FG⊥CD交CD于點G，得FG＝FCsin60°所以DE＝FG＝

，故ME＝PE＝所以MD＝題型四立體幾何中的存在性問題例4

(2016·邯鄲第一中學(xué)研究性考試)在直棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F(xiàn)分別是CC1，BC的中點，AE⊥A1B1，D為棱A1B1上的點.(1)證明：DF⊥AE.證明∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，又∵AA1⊥AB，AA1∩AE＝A，又∵AC?平面A1ACC1，∴AB⊥AC.以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，則有A(0,0,0)，E(0,1，)，F(xiàn)(，0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1).∴AE⊥AB.設(shè)D(x，y，z)，

，且λ∈(0,1)，即(x，y，z－1)＝λ(1,0,0)，則D(λ，0,1)，∴AB⊥平面A1ACC1.∴DF⊥AE.(2)是否存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為

？若存在，說明點D的位置；若不存在，說明理由.解答結(jié)論：存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為.理由如下：由題意知平面ABC的法向量為m＝(0,0,1).設(shè)平面DEF的法向量為n＝(x，y，z)，則令z＝2(1－λ)，則n＝(3,1＋2λ，2(1－λ)).∵平面DEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為

，∴|cos〈m，n〉|＝

，解得λ＝

或λ＝(舍去)，∴存在滿足條件的點D，此時D為A1B1的中點.(1)對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在這假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè).(2)對于探索性問題用向量法比較容易入手.一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.思維升華跟蹤訓(xùn)練4

(2016·蘇州模擬)如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點.(1)證明：B1C1⊥CE；證明如圖，以點A為原點，分別以AD，AA1，AB所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0).易得

＝(1,0，－1)，

＝(－1,1，－1)，于是

＝0，所以B1C1⊥CE.(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；解答

＝(1，－2，－1).設(shè)平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一個法向量為m＝(－3，－2,1).由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，CC1∩CE＝C，可得B1C1⊥平面CEC1，故

＝(1,0，－1)為平面CEC1的一個法向量.從而sin〈m，

〉＝

，所以二面角B1－CE－C1的正弦值為.(3)設(shè)點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為

，求線段AM的長.解答

＝(0,1,0)，

＝(1,1,1)，設(shè)

＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有

＝(λ，λ＋1，λ).可取

＝(0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量.設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則于是

，解得λ＝(負(fù)值舍去)，所以AM＝.課時作業(yè)1.(2016·連云港模擬)如圖所示，已知平面α∩平面β＝l，α⊥β.A，B是直線l上的兩點，C，D是平面β內(nèi)的兩點，且AD⊥l，CB⊥l，DA＝4，AB＝6，CB＝8.P是平面α上的一動點，且有∠APD＝∠BPC，則四棱錐P－ABCD體積的最大值是______.答案解析123456789由題意知，△PAD，△PBC是直角三角形，又∠APD＝∠BPC，所以△PAD∽△PBC.因為DA＝4，CB＝8，所以PB＝2PA.作PM⊥AB于點M，由題意知，PM⊥β.令A(yù)M＝t(0<t<6)，則PA2－t2＝4PA2－(6－t)2，所以PA2＝12－4t.所以PM＝

，即為四棱錐P－ABCD的高，又底面ABCD為直角梯形，S＝

×(4＋8)×6＝36.1234567892.(2016·南京模擬)已知α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，l⊥α，m?β.給出下列命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③m∥α?l⊥β；④l⊥β?m∥α.其中正確的命題是______.(填寫所有正確命題的序號)答案解析①④若l⊥α，α∥β，則l⊥β，又m?β，則l⊥m，故①正確；若l⊥α，α⊥β，則l∥β或l?β，又m?β，則l與m可能平行、相交或異面，故②錯誤；若l⊥α，m∥α，則l⊥m，又m?β，則l與β可能平行、相交或l?β，故③錯誤；若l⊥α，l⊥β，則α∥β，又m?β，則m∥α，故④正確.綜上，正確的命題是①④.1234567893.已知三棱錐D－ABC的三個側(cè)面與底面全等，且AB＝AC＝

，BC＝2，則二面角D－BC－A的大小為_____.答案解析90°如圖，取BC的中點E，連結(jié)AE，DE，又三棱錐D－ABC的三個側(cè)面與底面全等，∴BD＝CD，∴DE⊥BC，則∠AED是二面角D－BC－A的平面角.∵AB＝AC，∴AE⊥BC.在△AED中，AE＝DE＝

由AE2＋DE2＝AD2，知∠AED＝90°.故二面角D－BC－A的大小為90°.1234567894.(2016·泰州二模)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E、F分別是AB、CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，給出四個結(jié)論：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折過程中，可能成立的結(jié)論是______.(填寫結(jié)論序號)答案解析②③123456789因為BC∥AD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，則①錯誤；設(shè)點D在平面BCF上的射影為點P，當(dāng)BP⊥CF時就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，可使條件滿足，所以②正確；當(dāng)點P落在BF上時，DP?平面BDF，從而平面BDF⊥平面BCF，所以③正確；因為點D的射影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④錯誤.故答案為②③.1234567895.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點，當(dāng)

＝_____時，D1E⊥平面AB1F.答案解析1123456789如圖，連結(jié)A1B，則A1B是D1E在平面ABB1A1內(nèi)的射影.∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，又∵D1E⊥平面AB1F?D1E⊥AF.連結(jié)DE，則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影，∴D1E⊥AF?DE⊥AF.∵ABCD是正方形，E是BC的中點，∴當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點時，DE⊥AF，即當(dāng)點F是CD的中點時，D1E⊥平面AB1F，∴＝1時，D1E⊥平面AB1F.1234567896.如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC，M，N分別是棱CC1，AB中點.(1)求證：CN⊥平面ABB1A1；證明因為直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且CN?平面ABC，所以AA1⊥CN.因為AC＝BC，N是AB的中點，所以CN⊥AB.又因為AA1∩AB＝A，所以CN⊥平面ABB1A1.123456789(2)求證：CN∥平面AMB1.證明123456789取AB1的中點G，分別連結(jié)MG，NG，因為N，G分別是AB，AB1的中點，所以NG∥BB1，NG＝

BB1.又因為CM∥BB1，CM＝

BB1，所以CM∥NG，CM＝NG，所以四邊形CNGM是平行四邊形，所以CN∥MG.因為CN?平面AMB1，MG?平面AMB1，所以CN∥平面AMB1.1234567897.(2016·南通、揚州、泰州聯(lián)考)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD＝2AB＝2BC，M，N分別是棱PA，CD的中點.(1)求證：PC∥平面BMN；證明123456789設(shè)AC∩BN＝O，連結(jié)MO，AN，因為AB＝

CD，AB∥CD，N為CD的中點，所以AB＝CN，且AB∥CN，所以四邊形ABCN為平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點，又M為PA的中點，所以MO∥PC.又因為MO?平面BMN，PC?平面BMN，所以PC∥平面BMN.123456789(2)求證：平面BMN⊥平面PAC.證明123456789方法一因為PC⊥平面PDA，AD?平面PDA，所以PC⊥AD.由(1)同理可得，四邊形ABND為平行四邊形，所以AD∥BN，所以BN⊥PC，因為BC＝AB，所以平行四邊形ABCN為菱形，所以BN⊥AC.因為PC∩AC＝C，所以BN⊥平面PAC.因為BN?平面BMN，所以平面BMN⊥平面PAC.123456789方法二連結(jié)PN，因為PC⊥平面PDA，PA?平面PDA，因為PC∥MO，所以PA⊥MO.又PC⊥PD.因為N為CD的中點，所以PN＝

CD，由(1)得AN＝BC＝

CD，所以AN＝PN，又因為M為PA的中點，所以PA⊥MN，因為MN∩MO＝M，所以PA⊥平面BMN.因為PA?平面PAC，所以平面PAC⊥平面BMN.所以PC⊥PA.1234567898.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面直角梯形ABCD，∠DAB為直角，AD＝CD＝2，AB＝1，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點.(1)求證：CD⊥平面BEF；證明123456789如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，F(xiàn)(1,2,0)，從而

＝(2,0,0)，

＝(0,2,0)，所以

＝0，故

，即DC⊥BF.設(shè)PA＝b，則P(0,0，b).因為E為PC的中點，所以E(1,1，)，從而

＝(0,1，)，所以

＝0，故

，即DC⊥BE.又BE∩BF＝B，所以CD⊥平面BEF.123456789(2)設(shè)PA＝k，且二面角E－BD－C的平面角大于30°，求k的取值范圍.解答123456789設(shè)E在xOy平面上的射影為G，過點G作GH⊥BD，垂足為點H，連結(jié)EH，由

?BD⊥平面EGH，又EH?平面EGH，∴EH⊥BD，從而∠EHG即為二面角E－BD－C的平面角.由PA＝k，得P(0,0，k)，E(1,1，)，G(1,1,0).設(shè)H(x，y,0)，則

＝(x－1，y－1,0)，

＝(－1,2,0).由

＝0，得－(x－1)＋2(y－1)＝0，即x－2y＝－1. ①123456789又

＝(x－1，y,0)，且

與

的方向相同，故

，即2x＋y＝2. ②由①②解得x＝

，y＝

，從而

＝(－

，－

，0)，從而tan∠EHG＝.由k>0知∠EHG是銳角，由∠EHG>30°，得tan∠EHG>tan30°，故k的取值范圍為k>