2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語1.2命題及其關(guān)系充分條件與必要條件講義文蘇教

§1.2

命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.四種命題及相互關(guān)系知識(shí)梳理若q則p若非p則非q若非q則非p2.四種命題的真假關(guān)系(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有

的真假性；(2)兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.3.充分條件與必要條件(1)如果p?q，則p是q的

條件，同時(shí)q是p的

條件；(2)如果p?q，且q?p，則p是q的

條件；(3)如果p?q，且q?p，則p是q的

條件；(4)如果q?p，且p?q，則p是q的

條件；(5)如果p?q，且q?p，則p是q的既不充分又不必要條件.相同充分必要充分不必要充要必要不充分知識(shí)拓展從集合角度理解充分條件與必要條件若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則關(guān)于充分條件、必要條件又可以敘述為(1)若A?B，則p是q的充分條件；(2)若A?B，則p是q的必要條件；(3)若A＝B，則p是q的充要條件；(4)若A

B，則p是q的充分不必要條件；(5)若A

B，則p是q的必要不充分條件；(6)若AB且A?B，則p是q的既不充分又不必要條件.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命題.(

)(2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”.(

)(3)若一個(gè)命題是真命題，則其逆否命題也是真命題.(

)(4)當(dāng)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件.(

)(5)當(dāng)p是q的充要條件時(shí)，也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立.(

)(6)若p是q的充分不必要條件，則綈p是綈q的必要不充分條件.(

)××√√√√考點(diǎn)自測(cè)1.下列命題為真命題的是_____.(填序號(hào))①答案2.(教材改編)命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是________________.根據(jù)原命題和其逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系，得命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是“若x≤y，則x2≤y2”.答案解析若x≤y，則x2≤y23.(教材改編)給出下列命題：①命題“若b2－4ac<0，則方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)無實(shí)根”的否命題；②命題“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC為等邊三角形”的

逆命題；③命題“若a>b>0，則>0”的逆否命題；④命題“若m>1，則不等式mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集為R”的逆

命題.其中真命題的序號(hào)為________.答案解析①②③①命題“若b2－4ac<0，則方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)無實(shí)根”的否命題為：“若b2－4ac≥0，則方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實(shí)根”，根據(jù)一元二次方程根的判定知其為真命題.②命題“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC為等邊三角形”的逆命題為：“如果△ABC為等邊三角形，那么AB＝BC＝CA”，由等邊三角形的定義可知其為真命題.③原命題“若a>b>0，則>0”為真命題，由原命題與其逆否命題有相同的真假性可知其逆否命題為真命題.④原命題的逆命題為：“若不等式mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集為R，則m>1”，不妨取m＝2驗(yàn)證，當(dāng)m＝2時(shí)，有2x2－6x－1>0，Δ＝(－6)2－4×2×(－1)>0，其解集不為R，故為假命題.4.(2016·北京改編)設(shè)a，b是向量，則“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的_________________條件.若|a|＝|b|成立，則以a，b為鄰邊構(gòu)成的四邊形為菱形，a＋b，a－b表示該菱形的對(duì)角線，而菱形的對(duì)角線不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，則以a，b為鄰邊構(gòu)成的四邊形為矩形，而矩形的鄰邊不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分又不必要條件.答案解析既不充分又不必要5.(教材改編)下列命題：①“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的必要不充分條件；②“圓心到直線的距離等于半徑”是“這條直線為圓的切線”的充分必要條件；③“sinα＝sinβ”是“α＝β”的充要條件；④“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要條件.其中為真命題的是______.(填序號(hào))答案②④題型分類深度剖析題型一命題及其關(guān)系例1

(2016·徐州一模)有下列四個(gè)命題：①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；②“面積相等的三角形是全等三角形”的否命題；③“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實(shí)數(shù)解”的逆否命題；④“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題.其中真命題為_______.(填序號(hào))答案解析①②③①的逆命題：“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”是真命題；②的否命題：“面積不相等的三角形不是全等三角形”是真命題；③的逆否命題：“若x2－2x＋m＝0沒有實(shí)數(shù)解，則m>1”是真命題；④中原命題是假命題，所以它的逆否命題也是假命題.(1)寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)，需注意：①對(duì)于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；②若命題有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提.(2)判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例.(3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假.思維升華跟蹤訓(xùn)練1(1)命題“若x>0，則x2>0”的否命題是________________.答案若x≤0，則x2≤0(2)(2016·徐州模擬)已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是____________________________.由于一個(gè)命題的否命題既否定題設(shè)又否定結(jié)論，因此原命題的否命題為“若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3”.答案解析若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3題型二充分必要條件的判定例2

(1)(2016·江蘇南京學(xué)情調(diào)研)已知直線l，m，平面α，m?α，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)⊥α”的____________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)根據(jù)直線與平面垂直的定義：若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱這條直線與這個(gè)平面垂直.現(xiàn)在是直線與平面內(nèi)給定的一條直線垂直，而不是任意一條，故由“l(fā)⊥m”推不出“l(fā)⊥α”，但是由定義知“l(fā)⊥α”可推出“l(fā)⊥m”，故填必要不充分.答案解析必要不充分(2)(2016·泰州模擬)給出下列三個(gè)命題：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要條件；②“α>β”是“cos

α<cos

β”的必要不充分條件；③“a＝0”是“函數(shù)f(x)＝x3＋ax2(x∈R)為奇函數(shù)”的充要條件.其中正確命題的序號(hào)為_____.答案解析③因?yàn)楹瘮?shù)y＝3x在R上為增函數(shù)，所以“a>b”是“3a>3b”的充要條件，故①錯(cuò)；由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知“α>β”是“cos

α<cos

β”的既不充分又不必要條件，故②錯(cuò)；當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x3是奇函數(shù)，當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，由f(－1)＝－f(1)得a＝0，所以③正確.充分條件、必要條件的三種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.(2)集合法：根據(jù)p，q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于命題中涉及字母的范圍的推斷問題.(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題.思維升華答案解析跟蹤訓(xùn)練2(1)(2016·江蘇揚(yáng)州中學(xué)調(diào)研)函數(shù)f(x)＝

＋a(x≠0)，則“f(1)＝1”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)”的_______條件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填寫)則f(－x)＋f(x)＝0，充要(2)(2017·鎮(zhèn)江質(zhì)檢)已知p：關(guān)于x的不等式x2＋2ax－a≤0有解，q：a>0或a<－1，則p是q的___________條件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填寫)關(guān)于x的不等式x2＋2ax－a≤0有解，則4a2＋4a≥0?a≤－1或a≥0，從而q?p，反之不成立，故p是q的必要不充分條件.答案解析必要不充分題型三充分必要條件的應(yīng)用例3已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍.由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.∴當(dāng)0≤m≤3時(shí)，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0，3].∴P＝{x|－2≤x≤10}，解答引申探究1.若本例條件不變，問是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件.若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S，∴方程組無解，即不存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件.解答2.本例條件不變，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.由例題知P＝{x|－2≤x≤10}，∵綈P是綈S的必要不充分條件，∴P?S且S?P.∴[－2，10]

[1－m，1＋m].∴m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞).解答充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時(shí)需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).思維升華跟蹤訓(xùn)練3(1)(2016·鹽城期中)設(shè)集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，集合B＝{x||x＋a|<1}.(1)若a＝3，求A∪B；解不等式x2＋2x－3<0，得－3<x<1，故A＝(－3，1).當(dāng)a＝3時(shí)，由|x＋3|<1，得－4<x<－2，故B＝(－4，－2)，所以A∪B＝(－4，1).解答(2)設(shè)p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.因?yàn)閜是q成立的必要不充分條件，所以集合B是集合A的真子集.又集合A＝(－3，1)，B＝(－a－1，－a＋1)，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是0≤a≤2.解答解得0≤a≤2，典例(1)已知p，q是兩個(gè)命題，那么“p∧q是真命題”是“綈p是假命題”的___________條件.(2)已知條件p：x2＋2x－3>0；條件q：x>a，且綈q的一個(gè)充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是__________.

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在充要條件中的應(yīng)用思想與方法系列1答案解析思想方法指導(dǎo)等價(jià)轉(zhuǎn)化是將一些復(fù)雜的、生疏的問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的、熟悉的問題，在解題中經(jīng)常用到.本題可將題目中條件間的關(guān)系和集合間的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.充分不必要[1，＋∞)(1)因?yàn)椤皃∧q是真命題”等價(jià)于“p，q都為真命題”，且“綈p是假命題”等價(jià)于“p是真命題”，所以“p∧q是真命題”是“綈p是假命題”的充分不必要條件.(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一個(gè)充分不必要條件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件.所以{x|x>a}

{x|x<－3或x>1}，所以a≥1.課時(shí)作業(yè)1234567891011121314151.命題“若α＝

，則tanα＝1”的否命題是___________________.答案2.(教材改編)命題“若a>b，則2a>2b－1”的否命題為____________________.∵“a>b”的否定是“a≤b”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”，∴原命題的否命題是“若a≤b，則2a≤2b－1”.答案解析若a≤b，則2a≤2b－11234567891011121314153.已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則q是p_____命題.(填“逆”“否”“逆否”)命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”寫成“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題.答案解析否1234567891011121314154.(2015·重慶改編)“x＞1”是“(x＋2)＜0”的___________條件.由x＞1?x＋2＞3?

(x＋2)＜0，

(x＋2)＜0?x＋2＞1?x＞－1，故“x＞1”是“(x＋2)＜0”的充分不必要條件.答案解析充分不必要1234567891011121314155.(2016·山東改編)已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的___________條件.若直線a和直線b相交，則平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交.答案解析充分不必要1234567891011121314156.已知集合A＝{x∈R|<2x<8}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一個(gè)充分不必要條件是x∈A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.A＝{x∈R|<2x<8}＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立的一個(gè)充分不必要條件是x∈A，∴A

B，∴m＋1>3，即m>2.答案解析(2，＋∞)1234567891011121314157.設(shè)U為全集，A，B是集合，則“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的______條件.由Venn圖易知充分性成立.反之，A∩B＝?時(shí)，由Venn圖(如圖)可知，存在A＝C，同時(shí)滿足A?C，B??UC.故“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的充要條件.答案解析充要123456789101112131415①123456789101112131415答案解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)過點(diǎn)(1,0)，所以函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)?函數(shù)y＝－2x＋a(x≤0)沒有零點(diǎn)?函數(shù)y＝2x(x≤0)與直線y＝a無公共點(diǎn).由數(shù)形結(jié)合，可得a≤0或a>1.觀察所給條件，根據(jù)集合間關(guān)系得{a|a<0}

{a|a≤0或a>1}.9.(2016·無錫模擬)設(shè)a，b∈R，則“a>b”是“a|a|>b|b|”的_____條件.所以f(x)是R上的增函數(shù)，所以“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要條件.答案解析充要12345678910111213141510.有三個(gè)命題：①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；②“若a>b，則a2>b2”的逆否命題；③“若x≤－3，則x2＋x－6>0”的否命題.其中真命題的序號(hào)為_____.答案解析①123456789101112131415命題①為“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”是真命題；因?yàn)槊}“若a>b，則a2>b2”是假命題，故命題②是假命題；命題③為“若x>－3，則x2＋x－6≤0”，因?yàn)閤2＋x－6≤0?－3≤x≤2，故命題③是假命題.綜上知只有命題①是真命題.12345678910111213141511.給定兩個(gè)命題p、q，若綈p是q的必要不充分條件，則p是綈q的___________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案解析充分不必要123456789101112131415∵綈p是q的必要不充分條件，∴q?綈p但綈p?q，其逆否命題為p?綈q但綈q?p，∴p是綈q的充分不必要條件.12.若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______.由已知易得{x|x2－2x－3>0}

{x|x<m－1或x>m＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，答案解析[0，2]12345678910111213141513.若“數(shù)列an＝n2－2λn(n∈N*)是遞增數(shù)列”為假命題，則λ的取值范圍是___________.若數(shù)列an＝n2－2λn(n∈N*)是遞增數(shù)列，則有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ對(duì)任意的n∈N*都成立，于是可得3>2λ，即λ<.故所求λ的取值范圍是[，＋∞).答案解析123456789101112131415*14.(2016·江蘇揚(yáng)州期中聯(lián)考)以下四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是______.①“若a＋b≥2，則a，b中至少有一個(gè)不小于1”的逆命題；②存在正實(shí)數(shù)a，b，使得lg(a＋b)＝lg

a＋lg

b；③“所有奇數(shù)