第16講-導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題(高階拓展)(學(xué)生版)

第16講導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年全國(guó)甲卷理，第21題,12分導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問(wèn)題恒成立問(wèn)題、零點(diǎn)問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)證明不等式2021年新I卷，第22題,12分導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的基本問(wèn)題2能理解并掌握極值點(diǎn)偏移的含義3能結(jié)合極值點(diǎn)偏移的形式綜合證明及求解【命題預(yù)測(cè)】極值點(diǎn)偏移問(wèn)題在高考中很常見(jiàn)，此類問(wèn)題以導(dǎo)數(shù)為背景考察學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)換的思想解決函數(shù)問(wèn)題的能力，層次性強(qiáng)，能力要求較高，需要綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解極值點(diǎn)偏移的含義眾所周知，函數(shù)滿足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；可以理解為函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點(diǎn).如二次函數(shù)的頂點(diǎn)就是極值點(diǎn)，若的兩根的中點(diǎn)為，則剛好有，即極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒(méi)有偏移.若相等變?yōu)椴坏龋瑒t為極值點(diǎn)偏移：若單峰函數(shù)的極值點(diǎn)為，且函數(shù)滿足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點(diǎn)左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)滿足，則與極值點(diǎn)必有確定的大小關(guān)系：若，則稱為極值點(diǎn)左偏；若，則稱為極值點(diǎn)右偏.如函數(shù)的極值點(diǎn)剛好在方程的兩根中點(diǎn)的左邊，我們稱之為極值點(diǎn)左偏.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般題設(shè)形式1.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.極值點(diǎn)偏移的判定定理對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c(diǎn)右（左）偏；（2）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c(diǎn)右（左）偏.證明：（1）因?yàn)閷?duì)于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為，單調(diào)遞減（增）區(qū)間為，由于，有，且，又，故，所以，即函數(shù)極（?。┐笾迭c(diǎn)右（左）偏；（2）證明略.左快右慢（極值點(diǎn)左偏）左慢右快（極值點(diǎn)右偏）左快右慢（極值點(diǎn)左偏）左慢右快（極值點(diǎn)右偏）對(duì)數(shù)平均不等式兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均?幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．只證：當(dāng)時(shí)，．不失一般性，可設(shè)．證明如下：（I）先證：……①不等式①（其中）構(gòu)造函數(shù)，則．因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式①成立；（II）再證：……②不等式②（其中）構(gòu)造函數(shù)，則．因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式成立；綜合（I）（II）知，對(duì)，都有對(duì)數(shù)平均不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．運(yùn)用判定定理判定極值點(diǎn)偏移的方法1、方法概述：（1）求出函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）構(gòu)造一元差函數(shù)；（3）確定函數(shù)的單調(diào)性；（4）結(jié)合，判斷的符號(hào)，從而確定、的大小關(guān)系.極值點(diǎn)偏移高考真題鑒賞1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.考點(diǎn)一、含對(duì)數(shù)型極值點(diǎn)偏移1．（2023·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：．2．（2023春·湖北十堰·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若且，證明：．1．（2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)是否有極值，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：．2．（2023·寧夏吳忠·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．考點(diǎn)二、含指數(shù)型極值點(diǎn)偏移1．（2023·河南鄭州·鄭州一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若方程有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）如果，且，求證：.2．（2022秋·湖南邵陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.1．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k∈R)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，證明：．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若，為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍并證明.考點(diǎn)三、加法型極值點(diǎn)偏移1．（2023·貴州·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在的最小值；（2）設(shè)，證明：；（3）若存在實(shí)數(shù)，使方程有兩個(gè)實(shí)根，，且，證明：.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：．1．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)．（1）求a的取值范圍．（2）求證：．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，是常數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程，并證明對(duì)任意，切線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；(2)證明：時(shí)，設(shè)、是的兩個(gè)正零點(diǎn)，且．考點(diǎn)四、減法型極值點(diǎn)偏移1．（2022秋·河南南陽(yáng)·高三南陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證.2．（2022秋·廣東深圳·高三福田外國(guó)語(yǔ)高中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），證明：.1．（2022秋·福建莆田·高三莆田第二十五中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，為函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，求證：.2．（2022·江蘇蘇州·高三常熟中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，其中.(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)，且，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).①證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)；②設(shè)如為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明：.考點(diǎn)五、平方型極值點(diǎn)偏移1．（2022秋·山東·高三階段練習(xí)）已知，，（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：.2．（2023春·青海西寧·高三校考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，對(duì)于任意，證明：.1．（福建省泉州市2022屆高三8月份質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題（一））已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：．2．（2022春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)校考期中）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，，函數(shù)的唯一極小值點(diǎn)為，點(diǎn)和是曲線上不同兩點(diǎn)，且，求證：.考點(diǎn)六、乘積型極值點(diǎn)偏移1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)判斷的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，求證：.2．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)有最小值M，且.（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）當(dāng)取得最大值時(shí)，設(shè)，有兩個(gè)零點(diǎn)為，證明：.1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在處的切線與軸平行，求的值；(2)若存在，，使不等式對(duì)于，恒成立，求的取值范圍；(3)若方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根、，試證明.2．（2022屆河北省張家口市高三下學(xué)期第二次模擬數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)（自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，證明：.考點(diǎn)七、商式型極值點(diǎn)偏移1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)?，且，求證：.2．（福建省寧德市2022屆高三三模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性：（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的最大值.1．（2023春·湖北武漢·高二武漢中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)（）.（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），且，求的最大值.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，，為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求的最大值.【能力提升】1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．（1）求的取值范圍；（2）設(shè)，是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．2．（2022秋·江蘇淮安·高三淮陰中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，其中.（1）證明：恰有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明.3．（2023四川攀枝花·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)有最小值M，且.（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）當(dāng)取得最大值時(shí)，設(shè)，有兩個(gè)零點(diǎn)為，證明：.4．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)（1）若，(為的導(dǎo)函數(shù))，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：5．（2023·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）若是方程的兩個(gè)不同的正實(shí)根，證明：.6．（2022秋·福建泉州·高三福建省德化第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：.7．（2023秋·河南駐馬店·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).（1）求a的取值范圍；（2）設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2，證明：.8．（2022秋·江西撫州·高三金溪一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：.9．（2023江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）已知，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍.10．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若方程有兩個(gè)不同實(shí)根、證明：．11．（2023秋·山西長(zhǎng)治·高三山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）已知函數(shù)的圖象與直線相交于，兩點(diǎn)（），證明：．12．（2023全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式在上的解；（2）設(shè)，關(guān)于直線對(duì)稱的函數(shù)為，求證：當(dāng)時(shí)，；（3）若函數(shù)恰好在和兩處取得極值，求證：.13．（2023春·福建·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.14．（第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（能力提升）-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)單元測(cè)試定心卷（人教版選修1-1））設(shè)函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在三個(gè)極值點(diǎn)，，，且，求k的取值范圍，并證明：.15．（2022秋·湖南邵陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.16．（2023春·天津和平·高二統(tǒng)考期末）設(shè)()，，（1）求的單調(diào)區(qū)間：（2）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，（i）求的取值范圍；（ii）證明：隨著的減小而增大.17．（2023浙江金華·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).（1）求在點(diǎn)處的切線方程；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)根，且，證明；時(shí)，.(注∶e為自然對(duì)數(shù)的底