人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中試題帶答案

2021年數(shù)學(xué)期中考試八年級(jí)數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)共4頁(yè)2021年八年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試題滿(mǎn)分：120分時(shí)間：120分鐘親愛(ài)的同學(xué)：沉著應(yīng)試，認(rèn)真書(shū)寫(xiě)，祝你取得滿(mǎn)意成績(jī)！一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1．下列微信表情圖標(biāo)屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．2．點(diǎn)（3，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（）A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）3．下列圖形中，△ABC的高畫(huà)法錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．4．△ABC的三邊分別為a，b，c，若a＝4，b＝2，c的長(zhǎng)為偶數(shù)，則c＝（）A．2 B．4 C．6 D．85．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE是角平分線，則圖中的等腰三角形共有（）A．8個(gè) B．7個(gè) C．6個(gè) D．5個(gè)6．根據(jù)下列已知條件，能唯一畫(huà)出△ABC的是（）A．AB＝5，BC＝3，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠C＝90°，AB＝6 D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝47．元旦聯(lián)歡會(huì)上，同學(xué)們玩搶凳子游戲，在與A、B、C三名同學(xué)距離相等的位置放一個(gè)凳子，誰(shuí)先搶到凳子誰(shuí)獲勝．如果將A、B、C三名同學(xué)所在位置看作△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，那么凳子應(yīng)該放在△ABC的（）A．三邊中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn) C．三邊上高的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)8．如圖，在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，則MH長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．69．如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，CD，BE相交于點(diǎn)F，現(xiàn)給出下面兩個(gè)結(jié)論，①當(dāng)CD，BE是△ABC的中線時(shí)，S△BFC＝S四邊形ADFE；②當(dāng)CD，BE是△ABC的角平分線時(shí)，∠BFC＝90°+∠A．下列說(shuō)法正確的是（）A．只有①正確 B．只有②正確 C．①②都正確 D．①②都不正確10．如圖，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)△ACP與△BPQ全等時(shí)，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為（）cm/s．A．0.5 B．1 C．0.5或1.5 D．1或1.5二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分11．如圖，自行車(chē)的車(chē)架做成三角形的形狀，該設(shè)計(jì)是利用三角形的．12．我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫作等腰三角形的“特征值”，記作k．若k＝2，則該等腰三角形的頂角為度．13．如圖，在五邊形ABCDE中，∠EDC與∠BCD的平分線交于點(diǎn)P，∠A+∠B+∠E＝280°，則∠P的度數(shù)是．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CE＝2，邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么AE的長(zhǎng)為．15．如圖是一個(gè)等邊三角形木框，甲蟲(chóng)P在邊框AC上爬行（A，C端點(diǎn)除外），設(shè)甲蟲(chóng)P到另外兩邊的距離之和為d，等邊三角形ABC的高為h，則d與h的大小關(guān)系為dh．三、解答題本大題共7題，共55分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演過(guò)程16．如圖，已知∠A＝20°，∠B＝27°，AC⊥DE，求∠1，∠D的度數(shù)．17．如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的長(zhǎng)方形中，點(diǎn)A，B，C在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）在圖中畫(huà)出與△ABC關(guān)于直線l成軸對(duì)稱(chēng)的△AB′C′；（2）計(jì)算△ABC的面積；（3）在直線l上找一點(diǎn)P，使PB+PC的長(zhǎng)最短．18．如圖，AD與BC相交于點(diǎn)O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求證：BF＝DF．19．如圖，CE＝DE，AE＝BE，∠1＝∠2，點(diǎn)D在AC邊上，AE和BD相交于點(diǎn)O．（1）求證：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝42°，求∠3的度數(shù)．20．已知：如圖，線段AB和射線BM交于點(diǎn)B．（1）利用尺規(guī)完成以下作圖，并保留作圖痕跡（不寫(xiě)作法）．①在射線BM上作一點(diǎn)C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分線交AC于D點(diǎn)；③在射線CM上作一點(diǎn)E，使CE＝CD，連接DE．（2）在（1）所作的圖形中，猜想線段BD與DE的數(shù)量關(guān)系，并證明．21．將紙片△ABC沿DE折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處【感知】如圖①，點(diǎn)A落在四邊形BCDE的邊BE上，則∠A與∠1之間的數(shù)量關(guān)系是；【探究】如圖②，若點(diǎn)A落在四邊形BCDE的內(nèi)部，則∠A與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【拓展】如圖③，點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，則∠A的大小為．22．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE＝BD+CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀并說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1．下列微信表情圖標(biāo)屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【分析】結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解即可．解：A、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，本選項(xiàng)不合題意；B、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，本選項(xiàng)不合題意；C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，本選項(xiàng)符合題意；D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，本選項(xiàng)不合題意．故選：C．2．點(diǎn)（3，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（）A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可直接寫(xiě)出答案．解：點(diǎn)（3，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（3，﹣2），故選：A．3．下列圖形中，△ABC的高畫(huà)法錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．解：A、圖中所畫(huà)是△ABC的邊BC上的高，畫(huà)法正確，不符合題意；B、圖中所畫(huà)不是△ABC的高，畫(huà)法錯(cuò)誤，符合題意；C、圖中所畫(huà)是△ABC的邊AC上的高，畫(huà)法正確，不符合題意；D、圖中所畫(huà)是△ABC的邊AB上的高，畫(huà)法正確，不符合題意；故選：B．4．△ABC的三邊分別為a，b，c，若a＝4，b＝2，c的長(zhǎng)為偶數(shù)，則c＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊解答即可．解：由三角形三邊關(guān)系可得：4﹣2＜c＜4+2，即2＜c＜6，故選：B．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE是角平分線，則圖中的等腰三角形共有（）A．8個(gè) B．7個(gè) C．6個(gè) D．5個(gè)【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝72°，根據(jù)角平分線求出∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠ECB＝36°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BDC、∠BEC、∠EOB、∠DOC，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，∵BD，CE是角平分線，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∠ACE＝∠ECB＝36°，∴∠A＝∠ABD＝∠ACE，∠DBC＝∠ECB，∴∠BDC＝180°﹣∠ACB﹣∠DBC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，同理∠BEC＝72°，∴∠BDC＝∠ACB，∠BEC＝∠EBC，∴∠EOB＝180°﹣∠BEC﹣∠EBD＝180°﹣72°﹣36°＝72°，同理∠DOC＝72°，∴∠BEO＝∠BOE，∠CDO＝∠COD，即等腰三角形有△OBC，△ADB，△AEC，△BEC，△BDC，△ABC，△EBO，△DCO，共8個(gè)，故選：A．6．根據(jù)下列已知條件，能唯一畫(huà)出△ABC的是（）A．AB＝5，BC＝3，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠C＝90°，AB＝6 D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法可知只有D能畫(huà)出三角形．解：（1）∵AB+BC＝5+3＝8＝AC，∴不能畫(huà)出△ABC；（2）已知AB、BC和BC的對(duì)角，不能畫(huà)出△ABC；（3）已知一個(gè)角和一條邊，不能畫(huà)出△ABC；（4）已知兩角和夾邊，能畫(huà)出△ABC；故選：D．7．元旦聯(lián)歡會(huì)上，同學(xué)們玩搶凳子游戲，在與A、B、C三名同學(xué)距離相等的位置放一個(gè)凳子，誰(shuí)先搶到凳子誰(shuí)獲勝．如果將A、B、C三名同學(xué)所在位置看作△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，那么凳子應(yīng)該放在△ABC的（）A．三邊中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn) C．三邊上高的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個(gè)人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊垂直平分線的交點(diǎn)上．解：∵三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∴凳子應(yīng)放在△ABC的三條垂直平分線的交點(diǎn)最合適．故選：D．8．如圖，在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ＝NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，則MH長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】證明△MQP≌△NQH，由全等三角形的性質(zhì)可得PQ＝QH＝5，根據(jù)MQ＝NQ＝9，即可解決問(wèn)題．解：∵M(jìn)Q⊥PN，NR⊥PM，∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，∵∠RHM＝∠QHN，∴∠PMH＝∠HNQ，在△MQP和△NQH中，，∴△MQP≌△NQH（ASA），∴PQ＝QH＝5，∵NQ＝MQ＝9，∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，故選：B．9．如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，CD，BE相交于點(diǎn)F，現(xiàn)給出下面兩個(gè)結(jié)論，①當(dāng)CD，BE是△ABC的中線時(shí)，S△BFC＝S四邊形ADFE；②當(dāng)CD，BE是△ABC的角平分線時(shí)，∠BFC＝90°+∠A．下列說(shuō)法正確的是（）A．只有①正確 B．只有②正確 C．①②都正確 D．①②都不正確【分析】由CD，BE為中線，可知F為三角形ABC的重心，由重心的性質(zhì)及三角形面積可判定①；根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理可判定②．解：解：∵CD，BE是△ABC的中線，∴F為△ABC的重心，BF＝2EF，∴S△BEC＝S△BDC＝S△ABC，∴S△CEF＝S△BDF，設(shè)S△CEF＝S△BDF＝a，則S△BFC＝2a，∴S△BEC＝3a，S△ABC＝6a，∴S四邊形ADFE＝6a﹣a﹣a﹣2a＝2a，∴S△BFC＝S四邊形ADFE，故①正確；當(dāng)CD，BE是△ABC的角平分線時(shí)，∴∠DCB＝，∠EBC＝，∴∠BFC＝180°﹣（∠DCB+∠EBC）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+．故②正確．綜上，①②都正確，故選：C．10．如圖，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)△ACP與△BPQ全等時(shí)，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為（）cm/s．A．0.5 B．1 C．0.5或1.5 D．1或1.5【分析】設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是xcm/s，有兩種情況：①AP＝BP，AC＝BQ，②AP＝BQ，AC＝BP，列出方程，求出方程的解即可．解：設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是xcm/s，∵∠CAB＝∠DBA，∴△ACP與△BPQ全等，有兩種情況：①AP＝BP，AC＝BQ，則1×t＝4﹣1×t，解得：t＝2，則3＝2x，解得：x＝1.5；②AP＝BQ，AC＝BP，則1×t＝tx，4﹣1×t＝3，解得：t＝1，x＝1，故選：D．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分11．如圖，自行車(chē)的車(chē)架做成三角形的形狀，該設(shè)計(jì)是利用三角形的穩(wěn)定性．【分析】利用三角形的穩(wěn)定性解答即可．解：自行車(chē)的車(chē)架做成三角形，這是應(yīng)用了三角形的穩(wěn)定性；故答案為：穩(wěn)定性．12．我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫作等腰三角形的“特征值”，記作k．若k＝2，則該等腰三角形的頂角為90度．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．解：∵k＝2，∴設(shè)頂角＝2α，則底角＝α，∴α+α+2α＝180°，∴α＝45°，∴該等腰三角形的頂角為90°，故答案為：90．13．如圖，在五邊形ABCDE中，∠EDC與∠BCD的平分線交于點(diǎn)P，∠A+∠B+∠E＝280°，則∠P的度數(shù)是50°．【分析】先根據(jù)五邊形內(nèi)角和求得∠EDC+∠BCD，再根據(jù)角平分線求得∠PDC+∠PCD，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求得∠P的度數(shù)．解：∵在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝280°，∴∠EDC+∠BCD＝（5﹣2）?180°﹣280°＝260°，又∵DP、CP分別平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD＝130°，∴△CDP中，∠P＝180°﹣（∠PDC+∠PCD）＝180°﹣130°＝50°．故答案為：50°．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CE＝2，邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么AE的長(zhǎng)為4．【分析】連接BE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BE＝AE，得到∠EBA＝∠A＝30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CBE，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)解答．解：連接BE，∵DE是邊AB的垂直平分線，∴BE＝AE，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴∠CBE＝180°﹣90°﹣30°﹣30°＝30°，∴BE＝2CE＝4，∴AE＝BE＝4，故答案為：4．15．如圖是一個(gè)等邊三角形木框，甲蟲(chóng)P在邊框AC上爬行（A，C端點(diǎn)除外），設(shè)甲蟲(chóng)P到另外兩邊的距離之和為d，等邊三角形ABC的高為h，則d與h的大小關(guān)系為d＝h．【分析】△ABC是等邊三角形，在Rt△APF與Rt△APG中，可求PF＝AG，進(jìn)一步確定d與h之間的關(guān)系．解：如圖所示，由題意得：在Rt△APF與Rt△APG中，∴△APF≌△APG（AAS），∴AG＝PF，又GE＝DP，所以AG+GE＝PF+DP，即d＝h．三、解答題本大題共7題，共55分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演過(guò)程16．如圖，已知∠A＝20°，∠B＝27°，AC⊥DE，求∠1，∠D的度數(shù)．【分析】利用三角形外角性質(zhì)，得∠1＝∠A+∠APE，只需求∠APE，由AC⊥DE，得∠APE＝90°；由三角形內(nèi)角和定理得出∠D的度數(shù)．解：∵AC⊥DE，∴∠APE＝90°．∵∠1是△AEP的外角，∴∠1＝∠A+∠APE．∵∠A＝20°，∴∠1＝20°+90°＝110°．在△BDE中，∠1+∠D+∠B＝180°，∵∠B＝27°，∴∠D＝180°﹣110°﹣27°＝43°．17．如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的長(zhǎng)方形中，點(diǎn)A，B，C在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）在圖中畫(huà)出與△ABC關(guān)于直線l成軸對(duì)稱(chēng)的△AB′C′；（2）計(jì)算△ABC的面積；（3）在直線l上找一點(diǎn)P，使PB+PC的長(zhǎng)最短．【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)B、C關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′、C′的位置，然后與點(diǎn)A順次連接即可；（2）利用△ABC所在的矩形的面積減去四周三個(gè)小直角三角形的面積，列式計(jì)算即可得解；（3）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線問(wèn)題，連接B′C與直線l的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P．解：（1）△AB′C′如圖所示；（2）△ABC的面積＝3×4﹣×2×3﹣×1×4﹣×1×3，＝12﹣3﹣2﹣1.5，＝12﹣6.5，＝5.5；（3）點(diǎn)P如圖所示．18．如圖，AD與BC相交于點(diǎn)O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求證：BF＝DF．【分析】先由“ASA”可證△AOB≌△COD，得OB＝OD，再由BE＝DE，得OE垂直平分BD，即可得出結(jié)論．【解答】證明：在△AOB與△COD中，，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB＝OD，∴點(diǎn)O在線段BD的垂直平分線上，∵BE＝DE，∴點(diǎn)E在線段BD的垂直平分線上，∴OE垂直平分BD，∴BF＝DF．19．如圖，CE＝DE，AE＝BE，∠1＝∠2，點(diǎn)D在AC邊上，AE和BD相交于點(diǎn)O．（1）求證：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝42°，求∠3的度數(shù)．【分析】（1）由全等三角形的判定方法SAS判定△AEC≌△BED即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠C＝∠BDE，再由三角形的外角性質(zhì)得∠3+∠BDE＝∠1+∠C，則∠3＝∠1＝42°．【解答】（1）證明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠AED＝∠2+∠AED，即∠AEC＝∠BED，在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（SAS）；（2）解：∵△AEC≌△BED，∴∠C＝∠BDE，∵∠3+∠BDE＝∠1+∠C，∴∠3＝∠1＝42°．20．已知：如圖，線段AB和射線BM交于點(diǎn)B．（1）利用尺規(guī)完成以下作圖，并保留作圖痕跡（不寫(xiě)作法）．①在射線BM上作一點(diǎn)C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分線交AC于D點(diǎn)；③在射線CM上作一點(diǎn)E，使CE＝CD，連接DE．（2）在（1）所作的圖形中，猜想線段BD與DE的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）①以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BM于C；②根據(jù)角平分線的作法作∠ABM的角平分線；③以C為圓心CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交CM于E，再連接ED即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠1＝∠ABC，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ABC＝∠4，∠2＝∠3，然后再證明∠1＝∠3，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BD＝DE．解：（1）如圖所示：（2）BD＝DE，證明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠ABC．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠4．∴∠1＝∠4．∵CE＝CD，∴∠2＝∠3．∵∠4＝∠2+∠3，∴∠3＝∠4．∴∠1＝∠3．∴BD＝DE．21．將紙片△ABC沿DE折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處【感知】如圖①，點(diǎn)A落在四邊形BCDE的邊BE上，則∠A與∠1之間的數(shù)量關(guān)系是∠1＝2∠A；【探究】如圖②，若點(diǎn)A落在四邊形BCDE的內(nèi)部，則∠A與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【拓展】如圖③，點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，則∠A的大小為28°．【分析】（1）運(yùn)用折疊原理及三角形的外角性質(zhì)即可解決問(wèn)題．（2）運(yùn)用折疊原理及四邊形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題（3）運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)即可解決問(wèn)題．解：（1）如圖①，∠1＝2∠A．理由如下：由折疊知識(shí)可得：∠EA′D＝∠A；∵∠1＝∠A+∠EA′D，∴∠1＝2∠A．（2）如圖②，2∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，由折疊知識(shí)可得：∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2．（3）如圖③，∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A′+∠2，∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，∴2∠A＝∠1﹣∠2＝56°，解得∠A＝28°．故答案為：∠1＝2∠A；28°．22．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE＝BD+CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給