2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市長(zhǎng)清區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案1_第1頁
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2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市長(zhǎng)清區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.本試題共7頁,滿分150分,考試時(shí)間為120分鐘.答卷前請(qǐng)考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上,并同時(shí)將考點(diǎn)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)和座號(hào)填在試卷規(guī)定的位置.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.第I卷選擇題(共40分)一、選擇題(本題共10小題,滿分40分.在每小題列出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.如圖是《九章算術(shù)》中“塹堵”的立體圖形,它的左視圖為() B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)左視圖的意義和畫法可以得出答案.【詳解】解:∵該幾何體為放倒的三棱柱,∴根據(jù)左視圖的畫法,從左往右看,看到的是一個(gè)直角在左邊的直角三角形,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖,熟練掌握簡(jiǎn)單幾何體的三視圖是解答本題的關(guān)鍵.從正面、上面和左面三個(gè)不同的方向看一個(gè)物體,并描繪出所看到的三個(gè)圖形,即幾何體的三視圖.2.如圖,,直線AC、DF與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F,若AB=4,DE=3,EF=6,則AC的長(zhǎng)是()A.4 B.6 C.8 D.12【答案】D【解析】【分析】利用平行線分線段成比例定理求出BC,可得結(jié)論.【詳解】解:∵,∴,∴,∴BC=8,∴AC=AB+BC=4+8=12,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線段成比例,解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線段成比例的性質(zhì).3.隨機(jī)擲一枚均勻的硬幣兩次,兩次正面都朝上的概率是().A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】首先利用列舉法,列得所有等可能的結(jié)果,然后根據(jù)概率公式即可求得答案.【詳解】解:隨機(jī)擲一枚均勻的硬幣兩次,可能的結(jié)果有:正正,正反,反正,反反,∴兩次正面都朝上的概率是.故選:A.【點(diǎn)睛】此題考查了列舉法求概率的知識(shí).解題的關(guān)鍵是注意不重不漏的列舉出所有等可能的結(jié)果,用到的知識(shí)點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.4.近年來,由于新能源汽車的崛起,燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑,經(jīng)銷商紛紛開展降價(jià)促銷活動(dòng).某款燃油汽車今年3月份售價(jià)為23萬元,5月份售價(jià)為16萬元.設(shè)該款汽車這兩月售價(jià)的月均下降率是x,則所列方程正確的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)該款汽車這兩月售價(jià)的月均下降率是x,根據(jù)“今年3月份售價(jià)為23萬元,5月份售價(jià)為16萬元”即可列出方程.【詳解】解:設(shè)該款汽車這兩月售價(jià)的月均下降率是x,由題意可得,故選:B【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用,讀懂題意,找到等量關(guān)系,正確列出方程是解題的關(guān)鍵.5.關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根,則k可能是()A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)根的判別式的意義,然后分別把、、1、代入進(jìn)行計(jì)算,如果滿足就符合題意.【詳解】解:根據(jù)題意得△,即,只有滿足,而、1、都不滿足.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式:一元二次方程的根與有如下關(guān)系:當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)時(shí),方程無實(shí)數(shù)根.6.已知點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答即可.詳解】解:∵,∴圖象在一三象限,且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小,∵,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì),反比例函數(shù)(k是常數(shù),)的圖象是雙曲線,當(dāng),反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限,在每一象限內(nèi),y隨x的增大而減?。划?dāng),反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第二、四象限,在每一象限內(nèi),y隨x的增大而增大.7.設(shè)x1,x2是方程x2+5x-3=0的兩個(gè)根,則x1+x2的值為()A.5 B.-5 C.3 D.-3【答案】B【解析】【詳解】試題解析:試題解析:由韋達(dá)定理可得:故選B.點(diǎn)睛:一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系:8.一本書的寬與長(zhǎng)之比為黃金比,書的長(zhǎng)為14cm,則它的寬為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)黃金比例求解即可.【詳解】解:∵一本書的寬與長(zhǎng)之比為黃金比,書的長(zhǎng)為,∴它的寬,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割,掌握黃金比值是是解題的關(guān)鍵.9.如圖,B、C兩點(diǎn)分別在函數(shù)和()的圖象上,線段軸,點(diǎn)A在x軸上,則的面積為()A.9 B.6 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的意義,三角形等積求解;連接、,由等底同高的三角形面積相等得,再由反比例函數(shù)的意義得,即可求解;理解“過反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線,連接此點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn),所圍成的三角形面積為.”是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:如圖,連接、,軸,軸,,,;故選:C.10.如圖,將正方形紙片沿折疊,使點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)E落在邊上,點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F,為交于點(diǎn)G,連接交于點(diǎn)H,連接.下列四個(gè)結(jié)論中:①;②;③平分;④,正確的是()A.①③ B.①③④ C.①④ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】①利用有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行判定即可;②過點(diǎn)C作于M,通過證明,進(jìn)而說明,可得,可得②不正確;③由折疊可得:,由可得,結(jié)論③成立;④連接,由,可知:,,所以,由于,則,由折疊可得:,則;利用勾股定理可得;由,得到,所以E,M,H,C四點(diǎn)共圓,所以,通過,可得,這樣,,因?yàn)?,易證,則得,從而說明④成立.【詳解】解:①∵四邊形是正方形,∴.由折疊可知:∴∵∴∴∵∴∵∴.故①正確;②過點(diǎn)C作于M,由折疊可得:,∵,∴,∴,在和中,,∴∴.∵,∴,∴,∴,∴②不正確;③由折疊可得:,∵,∴,∴,即平分.∴③正確;④連接,如圖,∵,∴∴,∵,∴.∴.由折疊可得:,∴.∴.由折疊可知:.∴.∵,∴,∴四點(diǎn)共圓,∴.在和中,,∴.∴,∵∴∵∴.∵,∴,∴,∴,∴.∴④正確;綜上可得,正確的結(jié)論有:①③④.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似形的綜合題,正方形的性質(zhì),翻折問題,勾股定理,三角形全等的判定與性質(zhì),三角形的相似的判定與性質(zhì),四點(diǎn)共圓,由翻折得到對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.第II卷非選擇題(共110分)二、填空題(本題共6小題,滿分24分)11.若,則的值為______.【答案】【解析】【分析】本題考查比例的性質(zhì),先根據(jù)題意得到,然后代入約分是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:∵,∴,∴,故答案為:.12.已知是一元二次方程的一個(gè)根,則方程的另一個(gè)根是______.【答案】【解析】【分析】將代入,解得,即得出原一元二次方程為,再根據(jù)因式分解法解方程即得出方程的另一個(gè)根.【詳解】將代入,得:,解得:,∴原一元二次方程為,,解得:,∴方程的另一個(gè)根是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解和解一元二次方程.掌握方程的解就是使方程成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵.13.在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共個(gè),這些球除顏色外都相同.小明通過多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),摸出紅球的頻率穩(wěn)定在左右,則袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能的是__________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)紅球出現(xiàn)的頻率和球的總數(shù),可以計(jì)算出紅球的個(gè)數(shù).【詳解】解:由題意可得,20×0.25=5(個(gè)),即袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是5個(gè),故答案是:5.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用概率公式計(jì)算出紅球的個(gè)數(shù).14.如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖,當(dāng)用力壓杠桿時(shí),杠桿繞著支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),另一端會(huì)向上撬起,石頭就被撬動(dòng)了.在圖②中,杠桿的D端被向上撬起的距離,動(dòng)力臂與阻力臂滿足(與相交于點(diǎn)O),要把這塊石頭撬起,至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓_____.【答案】【解析】【分析】本題考查了三角形相似判定及性質(zhì),由兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似得,由三角形相似的性質(zhì)得,即可求解;掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:,,,,,解得:,故答案:.15.如圖,是一個(gè)長(zhǎng)為30m,寬為20m的矩形花園,現(xiàn)要在花園中修建等寬的小道,剩余的地方種植花草.如圖所示,要使種植花草的面積為468m2,那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為___m.【答案】2【解析】【分析】設(shè)小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為xm,則剩余部分可合成長(zhǎng)為(30﹣2x)m,寬為(20﹣x)m的矩形,根據(jù)矩形的面積計(jì)算公式,結(jié)合種植花草的面積為468m2,即可得出關(guān)于x的一元二次方程,解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論.【詳解】解:設(shè)小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為xm,則剩余部分可合成長(zhǎng)為(30﹣2x)m,寬為(20﹣x)m的矩形,依題意得:(30﹣2x)(20﹣x)=468,整理得:x2﹣35x+300=0,解得:x1=2,x2=35.當(dāng)x=2時(shí),30﹣2x=26,符合題意;當(dāng)x=35時(shí),30﹣2x=﹣40<0,不合題意,舍去.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用,解題的關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系列出方程.16.如圖,矩形中,,,交于E、F,則的最小值是_____.【答案】10【解析】【分析】因與兩條線段不在同一條直線上,只需將兩條線段轉(zhuǎn)換在同一條直線上即可,作,且,連接,又因點(diǎn)在上是一動(dòng)點(diǎn),由邊與邊關(guān)系,只有當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)的和最小,由平行四邊形可知時(shí)可求的最小值.【詳解】解:設(shè),則;過點(diǎn)作,且連接,當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí),的最值小;如圖:,四邊形是平行四邊形:,∵點(diǎn)、、三點(diǎn)共線,.∵四邊形是矩形.四邊形是平行四邊形.又在中,由勾股定理得:解得∶,在中,由勾股定理得:又又故答案為:10.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),三角形相似的判定與性質(zhì),勾股定理和最短距離問題等知識(shí)點(diǎn),重點(diǎn)掌握相似三角形的判定與性質(zhì),求的長(zhǎng)時(shí)也可以用三角形的中位線求解,難點(diǎn)是作輔助線,三點(diǎn)共線時(shí)兩條線段的和最?。獯痤}(共10小題,共86分)17.解方程:x2﹣2x﹣3=0.【答案】x1=﹣1,x2=3【解析】【分析】用因式分解法解方程即可.【詳解】解:x2﹣2x﹣3=0,(x+1)(x﹣3)=0,x+1=0或x﹣3=0,x1=﹣1,x2=3.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法,解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用因式分解法解方程.18.如圖,,、相交于點(diǎn)O,若,,.求的長(zhǎng)度.【答案】6【解析】【分析】由AB∥CD得到∠A=∠D,∠B=∠C,根據(jù)相似三角形的判定方法得到△OAB∽△ODC,然后利用相似比可計(jì)算出CD.【詳解】解:∵AB∥CD,

∴∠A=∠D,∠B=∠C,

∴△OAB∽△ODC,∴,即,∴CD=6.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì):有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等.19.如圖,平面直角坐標(biāo)系中,三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,.(1)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的圖形,并直接寫出點(diǎn)坐標(biāo);(2)以原點(diǎn)為位似中心,位似比為,在軸的左側(cè),畫出放大后的圖形,并直接寫出點(diǎn)坐標(biāo);【答案】(1)作圖見解析,點(diǎn)的坐標(biāo)為;(2)作圖見解析,點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解析】【分析】()根據(jù)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征:縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù),得到對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,順次連接點(diǎn),得到,即為所求;()根據(jù)位似圖形的性質(zhì),分別找到點(diǎn)的位置,順次連接,得到,即為所求,由圖可得到點(diǎn)的坐標(biāo);本題考查了作軸對(duì)稱圖形和位似圖形,掌握軸對(duì)稱圖形和位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【小問1詳解】解:如圖,即為所求,由圖可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問2詳解】解:如圖,即為所求,由圖可得,點(diǎn)坐標(biāo)為.20.某網(wǎng)店銷售臺(tái)燈,成本為每盞30元.銷售大數(shù)據(jù)分析表明:當(dāng)每盞臺(tái)燈售價(jià)為40元時(shí),平均每月售出600盞,若售價(jià)每下降1元,其月銷售量就增加200盞.為迎接“雙十一”,該網(wǎng)店決定降價(jià)促銷,在庫存為1210盞臺(tái)燈的情況下,若預(yù)計(jì)月獲利恰好為8400元,求每盞臺(tái)燈的售價(jià).【答案】每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià)為37元.【解析】【分析】根據(jù)已知條件列出一元二次方程求解即可;【詳解】解:方法一:設(shè)每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià)為x元.根據(jù)題意,得(x-30)[(40-x)×200+600]=8400,解得x1=36(舍),x2=37.當(dāng)x=36時(shí),(40-36)×200+600=1400>1210;當(dāng)x=37時(shí),(40-37)×200+600=1200<1210;答:每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià)為37元.方法二:設(shè)每個(gè)臺(tái)燈降價(jià)x元.根據(jù)題意,得(40-x-30)(200x+600)=8400,解得x1=3,x2=4(舍).當(dāng)x=3時(shí),40-3=37,(40-37)×200+600=1200<1210;當(dāng)x=4時(shí),40-3=36,(40-36)×200+600=1400>1210;答:每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià)為37元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用,準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.21.小紅想利用陽光下的影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度.如圖,他在某一時(shí)刻在地面上豎直立一個(gè)2米長(zhǎng)的標(biāo)桿CD,測(cè)得其影長(zhǎng)DE=0.4米.(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出此時(shí)旗桿AB在陽光下的投影BF.(2)如果BF=1.6,求旗桿AB的高.【答案】(1)見解析(2)8m【解析】【分析】(1)利用太陽光線為平行光線作圖:連接CE,過A點(diǎn)作AF∥CE交BD于F,則BF為所求;(2)證明△ABF∽△CDE,然后利用相似比計(jì)算AB的長(zhǎng).【詳解】(1)連接CE,過A點(diǎn)作AF∥CE交BD于F,則BF為所求,如圖;(2)∵AF∥CE,∴∠AFB=∠CED,而∠ABF=∠CDE=90°,∴△ABF∽△CDE,∴,即,∴AB=8(m),答:旗桿AB的高為8m.22.某校項(xiàng)目式學(xué)習(xí)小組開展項(xiàng)目活動(dòng),過程如下:項(xiàng)目主題:測(cè)量旗桿高度問題驅(qū)動(dòng):能利用哪些科學(xué)原理來測(cè)量旗桿的高度?組內(nèi)探究:由于旗桿較高,需要借助一些工具來測(cè)量,比如自制的直角三角形硬紙板,標(biāo)桿,鏡子,甚至還可以利用無人機(jī)…確定方法后,先畫出測(cè)量示意圖,然后實(shí)地進(jìn)行測(cè)量,并得到具體數(shù)據(jù),從而計(jì)算旗桿的高度.成果展示:下面是同學(xué)們進(jìn)行交流展示時(shí)的部分測(cè)量方案:

方案一方案二…測(cè)量工具標(biāo)桿,皮尺自制直角三角板硬紙板,皮尺…測(cè)量示意圖?說明:線段表示學(xué)校旗桿,小明的眼睛到地面的距離,測(cè)點(diǎn)與,在同一水平直線上,,,之間的距離都可以直接測(cè)得,且,,,,,都在同一豎直平面內(nèi),點(diǎn),,三點(diǎn)在同一直線上.?說明:線段表示旗桿,小明的身高,測(cè)點(diǎn)與在同一水平直線上,,之間的距離可以直接測(cè)得,且,,,,,,都在同一豎直平面內(nèi),點(diǎn),,三點(diǎn)在同一直線上,點(diǎn),,三點(diǎn)在同一直線上.

測(cè)量數(shù)據(jù),之間的距離,之間的距離…,之間的距離的長(zhǎng)度…的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度………

?根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù),請(qǐng)你選擇一個(gè)方案,求出學(xué)校旗桿的高度.(結(jié)果精確到).【答案】學(xué)校旗桿的高度為【解析】【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì),解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例.方案一中過作交于,交于,構(gòu)造矩形和矩形,易得,再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解;方案二中易得,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解.【詳解】解:方案一:過作交于,交于,則四邊形,四邊形都是矩形,,,,,,,,即:,解得:.方案二:(1),,,,即:,解得:.23.如圖,在和中,,.(1)求證:;(2)若,,求的長(zhǎng).【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定.(1)先根據(jù)得到,再根據(jù)即可證明;(2)根據(jù)得到,進(jìn)而得到,根據(jù),即可求出.【小問1詳解】解:∵,∴,即,∵,∴;【小問2詳解】解:∵,∴,∴,∵,∴,∴.24.菜學(xué)校課后服務(wù),為學(xué)生們提供了手工烹飪,文學(xué)賞析,體育鍛煉,編導(dǎo)表演四種課程(依次用A,B,C,D表示),為了解學(xué)生對(duì)這四種課程的喜好情況,校學(xué)生會(huì)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了“你最喜歡哪一種課外活動(dòng)(必選且只選一種)”的問卷調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果,小明同學(xué)繪制了如圖所示的不完整的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖.(1)請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖將下面的信息補(bǔ)充完整:①參加問卷調(diào)查的學(xué)生共有________人;②腐形統(tǒng)計(jì)圖中“D”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為________.(2)若該校共有學(xué)生2000名,請(qǐng)你估計(jì)該校全體學(xué)生中最喜歡C課程的學(xué)生有多少人?(3)現(xiàn)從喜歡編導(dǎo)表演課程的甲、乙、丙、丁四名學(xué)生中任選兩人搭檔表演雙人相聲,請(qǐng)用樹狀圖或列表法求“恰好甲和丁同學(xué)被選到”的概率.【答案】(1)①240,②36(2)600(3)【解析】【分析】本題主要考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖與條形統(tǒng)計(jì)圖信息相關(guān)聯(lián),樹狀圖法或列表法求解概率,用樣本估計(jì)總體等等.(1)用最喜歡B的人數(shù)除以其人數(shù)占比求出參與調(diào)查的總?cè)藬?shù),再用360度乘以最喜歡D的人數(shù)占比即可求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“D”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的大??;(2)先求出樣本中最喜歡A的人數(shù),進(jìn)而求出樣本中最喜歡C的人數(shù),再用2000乘以樣本中最喜歡C的人數(shù)占比即可得到答案;(3)先列出表格得到所有等可能性的結(jié)果數(shù),再找到恰好甲和丁同學(xué)被選到的結(jié)果數(shù),最后依據(jù)概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】解:人,∴參加問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是240人,∴扇形統(tǒng)計(jì)圖中“D”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的大小為,故答案為:240,36;【小問2詳解】解:人,∴樣本中最喜歡A課程的人數(shù)為60人,∴樣本中最喜歡C課程的人數(shù)為人,∴估計(jì)該校全體學(xué)生中最喜歡C課程的學(xué)生有人;【小問3詳解】解:用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四人,列表如下:

ABCDA

(B,A)(C,A)(D,A)B(A,B)

(C,B)(D,B)C(A,C)(B,C)

(D,C)D(A,D)(B,D)(C,D)

由表格可知一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù),其中恰好甲和丁同學(xué)被選到的結(jié)果數(shù)有2種,∴恰好甲和丁同學(xué)被選到的概率為.25.如圖,在中,,,點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)C以的速度勻速移動(dòng)(運(yùn)動(dòng)到C即停止),同時(shí)另一點(diǎn)Q由C點(diǎn)開始以的速度沿著勻速移動(dòng)(運(yùn)動(dòng)到B即停止),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)t為何值時(shí),?(2)當(dāng)t為何值時(shí),?(3)幾秒后,與相似?求出t的值.【答案】(1)當(dāng)時(shí),(2)當(dāng),時(shí),(3)當(dāng)時(shí)間為秒時(shí),與相似【解析】【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì):(1)用t表示出線段和建立方程,解答即可;(2)根據(jù)勾股定理可得關(guān)于t的方程,解答即可;(3)設(shè)x秒后,與相似,根據(jù)題意設(shè)出,分兩種情況考慮:當(dāng),時(shí),;當(dāng),時(shí),;分別由相似得比例,求出x的值,即可得到結(jié)果.【小問1詳解】解:根據(jù)題意得,,,解得,當(dāng)時(shí),;【小問2詳解】解:,在中,,解得,當(dāng)時(shí),;【小問3詳解】解:t秒后,與相似,根據(jù)題意得:,,分兩種情況考慮:當(dāng)時(shí),,此時(shí)有,即,解得:,當(dāng)時(shí),,此時(shí),即,解得:,∵當(dāng)時(shí),,應(yīng)舍去,∴秒時(shí),與相似.26.如圖1,點(diǎn)G在正方形的對(duì)角線上,于E,于F.(1)證明與推斷:①求證:四邊形是正方形;②推斷:___________;(2)探究與證明:將正方形繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角(),如圖2,試探究線段與之間數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(3)拓展與運(yùn)用:正方形在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)B、E、F三點(diǎn)在一條直線上時(shí),如圖3,延長(zhǎng)交于點(diǎn)H,若,,求的長(zhǎng).【答案】(1)①正方形;②(2),理由見解析(3)【解析】【分析】(1)①由,,結(jié)合可得四邊形是矩形,再由,即可得證;②由正方形性質(zhì)知、,據(jù)此可得,,利用平行線分線段成比例定理可得;(2)連接,只需證即可得;(3)證得,設(shè),知,由得、、,由可得a的值,即可求得的值.【小問1詳解】①證明∵四邊形是正方形,,,,,,∴四邊形是矩形,,,∴四邊形是正方形;②解:,理由如下:由①知四邊形正方形,,,,,,故答案為:;【小問2詳解】解:,理由如下:如圖,連接,

∵四邊形是正方形,四邊形是正方形,,,,,,,,;【小問3詳解】解:,點(diǎn)B、E、F三點(diǎn)共線,,,,,,,,設(shè),則,則由,得,,則,,∴由得,解得:,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似形的綜合題,正方形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理,解題的關(guān)鍵是掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市長(zhǎng)清區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.本試題共7頁,滿分150分,考試時(shí)間為120分鐘.答卷前請(qǐng)考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上,并同時(shí)將考點(diǎn)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)和座號(hào)填在試卷規(guī)定的位置.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.第I卷選擇題(共40分)一、選擇題(本題共10小題,滿分40分.在每小題列出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.如圖是《九章算術(shù)》中“塹堵”的立體圖形,它的左視圖為() B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)左視圖的意義和畫法可以得出答案.【詳解】解:∵該幾何體為放倒的三棱柱,∴根據(jù)左視圖的畫法,從左往右看,看到的是一個(gè)直角在左邊的直角三角形,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖,熟練掌握簡(jiǎn)單幾何體的三視圖是解答本題的關(guān)鍵.從正面、上面和左面三個(gè)不同的方向看一個(gè)物體,并描繪出所看到的三個(gè)圖形,即幾何體的三視圖.2.如圖,,直線AC、DF與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F,若AB=4,DE=3,EF=6,則AC的長(zhǎng)是()A.4 B.6 C.8 D.12【答案】D【解析】【分析】利用平行線分線段成比例定理求出BC,可得結(jié)論.【詳解】解:∵,∴,∴,∴BC=8,∴AC=AB+BC=4+8=12,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線段成比例,解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線段成比例的性質(zhì).3.隨機(jī)擲一枚均勻的硬幣兩次,兩次正面都朝上的概率是().A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】首先利用列舉法,列得所有等可能的結(jié)果,然后根據(jù)概率公式即可求得答案.【詳解】解:隨機(jī)擲一枚均勻的硬幣兩次,可能的結(jié)果有:正正,正反,反正,反反,∴兩次正面都朝上的概率是.故選:A.【點(diǎn)睛】此題考查了列舉法求概率的知識(shí).解題的關(guān)鍵是注意不重不漏的列舉出所有等可能的結(jié)果,用到的知識(shí)點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.4.近年來,由于新能源汽車的崛起,燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑,經(jīng)銷商紛紛開展降價(jià)促銷活動(dòng).某款燃油汽車今年3月份售價(jià)為23萬元,5月份售價(jià)為16萬元.設(shè)該款汽車這兩月售價(jià)的月均下降率是x,則所列方程正確的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)該款汽車這兩月售價(jià)的月均下降率是x,根據(jù)“今年3月份售價(jià)為23萬元,5月份售價(jià)為16萬元”即可列出方程.【詳解】解:設(shè)該款汽車這兩月售價(jià)的月均下降率是x,由題意可得,故選:B【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用,讀懂題意,找到等量關(guān)系,正確列出方程是解題的關(guān)鍵.5.關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根,則k可能是()A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)根的判別式的意義,然后分別把、、1、代入進(jìn)行計(jì)算,如果滿足就符合題意.【詳解】解:根據(jù)題意得△,即,只有滿足,而、1、都不滿足.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式:一元二次方程的根與有如下關(guān)系:當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)時(shí),方程無實(shí)數(shù)根.6.已知點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答即可.詳解】解:∵,∴圖象在一三象限,且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小,∵,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì),反比例函數(shù)(k是常數(shù),)的圖象是雙曲線,當(dāng),反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限,在每一象限內(nèi),y隨x的增大而減小;當(dāng),反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在第二、四象限,在每一象限內(nèi),y隨x的增大而增大.7.設(shè)x1,x2是方程x2+5x-3=0的兩個(gè)根,則x1+x2的值為()A.5 B.-5 C.3 D.-3【答案】B【解析】【詳解】試題解析:試題解析:由韋達(dá)定理可得:故選B.點(diǎn)睛:一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系:8.一本書的寬與長(zhǎng)之比為黃金比,書的長(zhǎng)為14cm,則它的寬為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)黃金比例求解即可.【詳解】解:∵一本書的寬與長(zhǎng)之比為黃金比,書的長(zhǎng)為,∴它的寬,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割,掌握黃金比值是是解題的關(guān)鍵.9.如圖,B、C兩點(diǎn)分別在函數(shù)和()的圖象上,線段軸,點(diǎn)A在x軸上,則的面積為()A.9 B.6 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的意義,三角形等積求解;連接、,由等底同高的三角形面積相等得,再由反比例函數(shù)的意義得,即可求解;理解“過反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線,連接此點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn),所圍成的三角形面積為.”是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:如圖,連接、,軸,軸,,,;故選:C.10.如圖,將正方形紙片沿折疊,使點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)E落在邊上,點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F,為交于點(diǎn)G,連接交于點(diǎn)H,連接.下列四個(gè)結(jié)論中:①;②;③平分;④,正確的是()A.①③ B.①③④ C.①④ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】①利用有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行判定即可;②過點(diǎn)C作于M,通過證明,進(jìn)而說明,可得,可得②不正確;③由折疊可得:,由可得,結(jié)論③成立;④連接,由,可知:,,所以,由于,則,由折疊可得:,則;利用勾股定理可得;由,得到,所以E,M,H,C四點(diǎn)共圓,所以,通過,可得,這樣,,因?yàn)椋鬃C,則得,從而說明④成立.【詳解】解:①∵四邊形是正方形,∴.由折疊可知:∴∵∴∴∵∴∵∴.故①正確;②過點(diǎn)C作于M,由折疊可得:,∵,∴,∴,在和中,,∴∴.∵,∴,∴,∴,∴②不正確;③由折疊可得:,∵,∴,∴,即平分.∴③正確;④連接,如圖,∵,∴∴,∵,∴.∴.由折疊可得:,∴.∴.由折疊可知:.∴.∵,∴,∴四點(diǎn)共圓,∴.在和中,,∴.∴,∵∴∵∴.∵,∴,∴,∴,∴.∴④正確;綜上可得,正確的結(jié)論有:①③④.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似形的綜合題,正方形的性質(zhì),翻折問題,勾股定理,三角形全等的判定與性質(zhì),三角形的相似的判定與性質(zhì),四點(diǎn)共圓,由翻折得到對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.第II卷非選擇題(共110分)二、填空題(本題共6小題,滿分24分)11.若,則的值為______.【答案】【解析】【分析】本題考查比例的性質(zhì),先根據(jù)題意得到,然后代入約分是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:∵,∴,∴,故答案為:.12.已知是一元二次方程的一個(gè)根,則方程的另一個(gè)根是______.【答案】【解析】【分析】將代入,解得,即得出原一元二次方程為,再根據(jù)因式分解法解方程即得出方程的另一個(gè)根.【詳解】將代入,得:,解得:,∴原一元二次方程為,,解得:,∴方程的另一個(gè)根是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解和解一元二次方程.掌握方程的解就是使方程成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵.13.在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共個(gè),這些球除顏色外都相同.小明通過多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),摸出紅球的頻率穩(wěn)定在左右,則袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能的是__________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)紅球出現(xiàn)的頻率和球的總數(shù),可以計(jì)算出紅球的個(gè)數(shù).【詳解】解:由題意可得,20×0.25=5(個(gè)),即袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是5個(gè),故答案是:5.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用概率公式計(jì)算出紅球的個(gè)數(shù).14.如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖,當(dāng)用力壓杠桿時(shí),杠桿繞著支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),另一端會(huì)向上撬起,石頭就被撬動(dòng)了.在圖②中,杠桿的D端被向上撬起的距離,動(dòng)力臂與阻力臂滿足(與相交于點(diǎn)O),要把這塊石頭撬起,至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓_____.【答案】【解析】【分析】本題考查了三角形相似判定及性質(zhì),由兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似得,由三角形相似的性質(zhì)得,即可求解;掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:,,,,,解得:,故答案:.15.如圖,是一個(gè)長(zhǎng)為30m,寬為20m的矩形花園,現(xiàn)要在花園中修建等寬的小道,剩余的地方種植花草.如圖所示,要使種植花草的面積為468m2,那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為___m.【答案】2【解析】【分析】設(shè)小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為xm,則剩余部分可合成長(zhǎng)為(30﹣2x)m,寬為(20﹣x)m的矩形,根據(jù)矩形的面積計(jì)算公式,結(jié)合種植花草的面積為468m2,即可得出關(guān)于x的一元二次方程,解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論.【詳解】解:設(shè)小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為xm,則剩余部分可合成長(zhǎng)為(30﹣2x)m,寬為(20﹣x)m的矩形,依題意得:(30﹣2x)(20﹣x)=468,整理得:x2﹣35x+300=0,解得:x1=2,x2=35.當(dāng)x=2時(shí),30﹣2x=26,符合題意;當(dāng)x=35時(shí),30﹣2x=﹣40<0,不合題意,舍去.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用,解題的關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系列出方程.16.如圖,矩形中,,,交于E、F,則的最小值是_____.【答案】10【解析】【分析】因與兩條線段不在同一條直線上,只需將兩條線段轉(zhuǎn)換在同一條直線上即可,作,且,連接,又因點(diǎn)在上是一動(dòng)點(diǎn),由邊與邊關(guān)系,只有當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)的和最小,由平行四邊形可知時(shí)可求的最小值.【詳解】解:設(shè),則;過點(diǎn)作,且連接,當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí),的最值?。蝗鐖D:,四邊形是平行四邊形:,∵點(diǎn)、、三點(diǎn)共線,.∵四邊形是矩形.四邊形是平行四邊形.又在中,由勾股定理得:解得∶,在中,由勾股定理得:又又故答案為:10.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),三角形相似的判定與性質(zhì),勾股定理和最短距離問題等知識(shí)點(diǎn),重點(diǎn)掌握相似三角形的判定與性質(zhì),求的長(zhǎng)時(shí)也可以用三角形的中位線求解,難點(diǎn)是作輔助線,三點(diǎn)共線時(shí)兩條線段的和最?。獯痤}(共10小題,共86分)17.解方程:x2﹣2x﹣3=0.【答案】x1=﹣1,x2=3【解析】【分析】用因式分解法解方程即可.【詳解】解:x2﹣2x﹣3=0,(x+1)(x﹣3)=0,x+1=0或x﹣3=0,x1=﹣1,x2=3.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法,解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用因式分解法解方程.18.如圖,,、相交于點(diǎn)O,若,,.求的長(zhǎng)度.【答案】6【解析】【分析】由AB∥CD得到∠A=∠D,∠B=∠C,根據(jù)相似三角形的判定方法得到△OAB∽△ODC,然后利用相似比可計(jì)算出CD.【詳解】解:∵AB∥CD,

∴∠A=∠D,∠B=∠C,

∴△OAB∽△ODC,∴,即,∴CD=6.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì):有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等.19.如圖,平面直角坐標(biāo)系中,三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,.(1)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的圖形,并直接寫出點(diǎn)坐標(biāo);(2)以原點(diǎn)為位似中心,位似比為,在軸的左側(cè),畫出放大后的圖形,并直接寫出點(diǎn)坐標(biāo);【答案】(1)作圖見解析,點(diǎn)的坐標(biāo)為;(2)作圖見解析,點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解析】【分析】()根據(jù)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征:縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù),得到對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,順次連接點(diǎn),得到,即為所求;()根據(jù)位似圖形的性質(zhì),分別找到點(diǎn)的位置,順次連接,得到,即為所求,由圖可得到點(diǎn)的坐標(biāo);本題考查了作軸對(duì)稱圖形和位似圖形,掌握軸對(duì)稱圖形和位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【小問1詳解】解:如圖,即為所求,由圖可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問2詳解】解:如圖,即為所求,由圖可得,點(diǎn)坐標(biāo)為.20.某網(wǎng)店銷售臺(tái)燈,成本為每盞30元.銷售大數(shù)據(jù)分析表明:當(dāng)每盞臺(tái)燈售價(jià)為40元時(shí),平均每月售出600盞,若售價(jià)每下降1元,其月銷售量就增加200盞.為迎接“雙十一”,該網(wǎng)店決定降價(jià)促銷,在庫存為1210盞臺(tái)燈的情況下,若預(yù)計(jì)月獲利恰好為8400元,求每盞臺(tái)燈的售價(jià).【答案】每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià)為37元.【解析】【分析】根據(jù)已知條件列出一元二次方程求解即可;【詳解】解:方法一:設(shè)每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià)為x元.根據(jù)題意,得(x-30)[(40-x)×200+600]=8400,解得x1=36(舍),x2=37.當(dāng)x=36時(shí),(40-36)×200+600=1400>1210;當(dāng)x=37時(shí),(40-37)×200+600=1200<1210;答:每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià)為37元.方法二:設(shè)每個(gè)臺(tái)燈降價(jià)x元.根據(jù)題意,得(40-x-30)(200x+600)=8400,解得x1=3,x2=4(舍).當(dāng)x=3時(shí),40-3=37,(40-37)×200+600=1200<1210;當(dāng)x=4時(shí),40-3=36,(40-36)×200+600=1400>1210;答:每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià)為37元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用,準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.21.小紅想利用陽光下的影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度.如圖,他在某一時(shí)刻在地面上豎直立一個(gè)2米長(zhǎng)的標(biāo)桿CD,測(cè)得其影長(zhǎng)DE=0.4米.(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出此時(shí)旗桿AB在陽光下的投影BF.(2)如果BF=1.6,求旗桿AB的高.【答案】(1)見解析(2)8m【解析】【分析】(1)利用太陽光線為平行光線作圖:連接CE,過A點(diǎn)作AF∥CE交BD于F,則BF為所求;(2)證明△ABF∽△CDE,然后利用相似比計(jì)算AB的長(zhǎng).【詳解】(1)連接CE,過A點(diǎn)作AF∥CE交BD于F,則BF為所求,如圖;(2)∵AF∥CE,∴∠AFB=∠CED,而∠ABF=∠CDE=90°,∴△ABF∽△CDE,∴,即,∴AB=8(m),答:旗桿AB的高為8m.22.某校項(xiàng)目式學(xué)習(xí)小組開展項(xiàng)目活動(dòng),過程如下:項(xiàng)目主題:測(cè)量旗桿高度問題驅(qū)動(dòng):能利用哪些科學(xué)原理來測(cè)量旗桿的高度?組內(nèi)探究:由于旗桿較高,需要借助一些工具來測(cè)量,比如自制的直角三角形硬紙板,標(biāo)桿,鏡子,甚至還可以利用無人機(jī)…確定方法后,先畫出測(cè)量示意圖,然后實(shí)地進(jìn)行測(cè)量,并得到具體數(shù)據(jù),從而計(jì)算旗桿的高度.成果展示:下面是同學(xué)們進(jìn)行交流展示時(shí)的部分測(cè)量方案:

方案一方案二…測(cè)量工具標(biāo)桿,皮尺自制直角三角板硬紙板,皮尺…測(cè)量示意圖?說明:線段表示學(xué)校旗桿,小明的眼睛到地面的距離,測(cè)點(diǎn)與,在同一水平直線上,,,之間的距離都可以直接測(cè)得,且,,,,,都在同一豎直平面內(nèi),點(diǎn),,三點(diǎn)在同一直線上.?說明:線段表示旗桿,小明的身高,測(cè)點(diǎn)與在同一水平直線上,,之間的距離可以直接測(cè)得,且,,,,,,都在同一豎直平面內(nèi),點(diǎn),,三點(diǎn)在同一直線上,點(diǎn),,三點(diǎn)在同一直線上.

測(cè)量數(shù)據(jù),之間的距離,之間的距離…,之間的距離的長(zhǎng)度…的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度………

?根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù),請(qǐng)你選擇一個(gè)方案,求出學(xué)校旗桿的高度.(結(jié)果精確到).【答案】學(xué)校旗桿的高度為【解析】【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì),解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例.方案一中過作交于,交于,構(gòu)造矩形和矩形,易得,再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解;方案二中易得,根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解.【詳解】解:方案一:過作交于,交于,則四邊形,四邊形都是矩形,,,,,,,,即:,解得:.方案二:(1),,,,即:,解得:.23.如圖,在和中,,.(1)求證:;(2)若,,求的長(zhǎng).【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定.(1)先根據(jù)得到,再根據(jù)即可證明;(2)根據(jù)得到,進(jìn)而得到,根據(jù),即可求出.【小問1詳解】解:∵,∴,即,∵,∴;【小問2詳解】解:∵,∴,∴,∵,∴,∴.24.菜學(xué)校課后服務(wù),為學(xué)生們提供了手工烹飪,文學(xué)賞析,體育鍛煉,編導(dǎo)表演四種課程(依次用A,B,C,D表示),為了解學(xué)生對(duì)這四種課程的喜好情況,校學(xué)生會(huì)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了“你最喜歡哪一種課外活動(dòng)(必選且只選一種)”的問卷調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果,小明同學(xué)繪制了如圖所示的不完整的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖.(1)請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖將下面的信息補(bǔ)充完整:①參加問卷調(diào)查的學(xué)生共有________人;②腐形統(tǒng)計(jì)

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