空間幾何體的表面積與體積練習(xí)題及答案

空間幾何體的表面積與體積專題一、選擇題1．棱長為2的正四面體的表面積是(C)．A.eq\r(3)B．4C．4eq\r(3)D．16解析每個(gè)面的面積為：eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).∴正四面體的表面積為：4eq\r(3).2．把球的表面積擴(kuò)大到原來的2倍，那么體積擴(kuò)大到原來的(B)．A．2倍B．2eq\r(2)倍C.eq\r(2)倍D.eq\r(3,2)倍解析由題意知球的半徑擴(kuò)大到原來的eq\r(2)倍，則體積V＝eq\f(4,3)πR3，知體積擴(kuò)大到原來的2eq\r(2)倍．3．如圖是一個(gè)長方體截去一個(gè)角后所得多面體的三視圖，則該多面體的體積為(B)．A.eq\f(142,3)B.eq\f(284,3)C.eq\f(280,3)D.eq\f(140,3)解析根據(jù)三視圖的知識及特點(diǎn)，可畫出多面體的形狀，如圖所示．這個(gè)多面體是由長方體截去一個(gè)正三棱錐而得到的，所以所求多面體的體積V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(284,3).4．某幾何體的三視圖如下，則它的體積是(A)A．8－eq\f(2π,3)B．8－eq\f(π,3)C．8－2π D.eq\f(2π,3)解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)邊長為2的正方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，所以V＝23－eq\f(1,3)×π×2＝8－eq\f(2π,3).5．已知某幾何體的三視圖如圖，其中正視圖中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為(A)A．24－eq\f(3,2)πB．24－eq\f(π,3)C．24－πD．24－eq\f(π,2)據(jù)三視圖可得幾何體為一長方體內(nèi)挖去一個(gè)半圓柱，其中長方體的棱長分別為：2,3,4，半圓柱的底面半徑為1，母線長為3，故其體積V＝2×3×4－eq\f(1,2)×π×12×3＝24－eq\f(3π,2).6．某品牌香水瓶的三視圖如圖(單位：cm)，則該幾何體的表面積為(C)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(95－\f(π,2)))cm2B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(94－\f(π,2)))cm2C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(94＋\f(π,2)))cm2D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(95＋\f(π,2)))cm2解析這個(gè)空間幾何體上面是一個(gè)四棱柱、中間部分是一個(gè)圓柱、下面是一個(gè)四棱柱．上面四棱柱的表面積為2×3×3＋12×1－eq\f(π,4)＝30－eq\f(π,4)；中間部分的表面積為2π×eq\f(1,2)×1＝π，下面部分的表面積為2×4×4＋16×2－eq\f(π,4)＝64－eq\f(π,4).故其表面積是94＋eq\f(π,2).7．已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB＝eq\r(3)，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S-ABC的體積為(C)．A．3eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)D．1解析由題可知AB一定在與直徑SC垂直的小圓面上，作過AB的小圓交直徑SC于D，設(shè)SD＝x，則DC＝4－x，此時(shí)所求棱錐即分割成兩個(gè)棱錐S-ABD和C-ABD，在△SAD和△SBD中，由已知條件可得AD＝BD＝eq\f(\r(3),3)x，又因?yàn)镾C為直徑，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中，BD＝eq\r(3)(4－x)，所以eq\f(\r(3),3)x＝eq\r(3)(4－x)，所以x＝3，AD＝BD＝eq\r(3)，所以三角形ABD為正三角形，所以V＝eq\f(1,3)S△ABD×4＝eq\r(3).二、填空題8．三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐PABC的體積等于__eq\r(3)______．解析依題意有，三棱錐PABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·|PA|＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22×3＝eq\r(3).9．一個(gè)圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個(gè)球的表面積相等，那么這個(gè)圓柱的體積與這個(gè)球的體積之比為_3∶2_______．解析設(shè)圓柱的底面半徑是r，則該圓柱的母線長是2r，圓柱的側(cè)面積是2πr·2r＝4πr2，設(shè)球的半徑是R，則球的表面積是4πR2，根據(jù)已知4πR2＝4πr2，所以R＝r.所以圓柱的體積是πr2·2r＝2πr3，球的體積是eq\f(4,3)πr3，所以圓柱的體積和球的體積的比是eq\f(2πr3,\f(4,3)πr3)＝3∶2.10．如圖所示，已知一個(gè)多面體的平面展開圖由一個(gè)邊長為1的正方形和4個(gè)邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是___eq\f(\r(2),6)_____．解析由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為1，側(cè)棱長為1，斜高為eq\f(\r(3),2)，連接頂點(diǎn)和底面中心即為高，可求得高為eq\f(\r(2),2)，所以體積V＝eq\f(1,3)×1×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6).11．如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是____2πR2____．解析由球的半徑為R，可知球的表面積為4πR2.設(shè)內(nèi)接圓柱底面半徑為r，高為2h，則h2＋r2＝R2.而圓柱的側(cè)面積為2πr·2h＝4πrh≤4πeq\f(r2＋h2,2)＝2πR2(當(dāng)且僅當(dāng)r＝h時(shí)等號成立)，即內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大值為2πR2，此時(shí)球的表面積與內(nèi)接圓柱的側(cè)面積之差為2πR2.12．如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2cm，高為5cm，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長為___13解析根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個(gè)相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所示的實(shí)線部分，則可知所求最短路線的長為eq\r(52＋122)＝13(cm)．三、解答題13．某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識墩如圖1所示，墩的上半部分是正四棱錐PEFGH，下半部分是長方體ABCDEFGH.圖2、圖3分別是該標(biāo)識墩的正視圖和俯視圖．(1)請畫出該安全標(biāo)識墩的側(cè)視圖；(2)求該安全標(biāo)識墩的體積．解析(1)側(cè)視圖同正視圖，如圖所示：(2)該安全標(biāo)識墩的體積為V＝VPEFGH＋VABCDEFGH＝eq\f(1,3)×402×60＋402×20＝64000(cm3)．14.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個(gè)長為eq\r(3)，寬為1的矩形，俯視圖為兩個(gè)邊長為1的正方形拼成的矩形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的表面積S.解析(1)由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)平行六面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為eq\r(3)，所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形，S＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).15．已知某幾何體的俯視圖是如右圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長為6、高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.解析由題設(shè)可知，幾何體是一個(gè)高為4的四棱錐，其底面是長、寬分別為8和6的矩形，正側(cè)面及其相對側(cè)面均為底邊長為8，高為h1的等腰三角形，左、右側(cè)面均為底邊長為6，高為h2的等腰三角形，如右圖所示．(1)幾何體的體積為：V＝eq\f(1,3)·S矩形·h＝eq\f(1,3)×6×8×4＝64.(2)正側(cè)面及相對側(cè)面底邊上的高為：h1＝eq\r(42＋32)＝5.左、右側(cè)面的底邊上的高為：h2＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).故幾何體的側(cè)面面積為：S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×8×5＋\f(1,2)×6×4\r(2)))＝40＋24eq\r(2).1.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（）..解：設(shè)展開圖的正方形邊長為a，圓柱的底面半徑為r，則2πr=a，，底面圓的面積是，于是全面積與側(cè)面積的比是，2．在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體，則截去與8個(gè)頂點(diǎn)相關(guān)的8個(gè)三棱錐后，剩下的幾何體的體積是（）.2．解：正方體的體積為1，過共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體截得的三棱錐的體積是，于是8個(gè)三棱錐的體積是，剩余部分的體積是，3．一個(gè)直棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，對角線長分別是6cm和8cm，高是5cm，則這個(gè)直棱柱的全3．答案：148解：底面菱形中，對角線長分別是6cm和8cm，所以底面邊長是側(cè)面面積是4×5×5=100cm2，兩個(gè)底面面積是48cm所以棱柱的全面積是148cm24．已知兩個(gè)母線長相等的圓錐的側(cè)面展開圖恰能拼成一個(gè)圓，且它們的側(cè)面積之比為1：2，則它們的高之比為。4．答案：2：解：設(shè)圓柱的母線長為l，因?yàn)閮蓚€(gè)圓錐的側(cè)面展開圖恰能拼成一個(gè)圓，且它們的側(cè)面積之比為1：2，所以它們的展開圖即扇形的圓心角分別是和，由圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角的計(jì)算公式，得，，所以它們的高的比是.5．已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且長度分別為1cm，2cm，35．答案：1cm解：轉(zhuǎn)換一個(gè)角度來認(rèn)識這個(gè)三棱錐，即把它的兩條側(cè)棱(如長度為1cm，2則它的體積是×1×3=1cm3.6．矩形兩鄰邊的長為a、b，當(dāng)它分別繞邊a、b旋轉(zhuǎn)一周時(shí),所形成的幾何體的體積之比為6．答案：解：矩形繞a邊旋轉(zhuǎn)，所得幾何體的體積是V1=πb2a，矩形繞b邊旋轉(zhuǎn)，所得幾何體的體積是V2=πa2b，所以兩個(gè)幾何體的體積的比是16．四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a.(1)求該四面體的體積的最大值；(2)當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，求其表面積．解析(1)如圖，在四面體ABCD中，設(shè)AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中點(diǎn)為P，BC的中點(diǎn)為E，連接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，∴VA-BCD＝VA-BPC＋VD-BPC＝eq\f(1,3)·S△BPC·AP＋eq\f(1,3)S△BPC·PD＝eq\f(1,3)·S△BPC·AD＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·aeq\r(a2－\f(x2,4)－\f(a2,4))·x＝eq\f(a,12)eq\r(3a2－x2x2)≤eq\f(a,12)·eq\f(3a2,2)＝eq\f(1,8)a3(當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(\r(6),2)a時(shí)取等號)．∴該四面體的體積的最大值為eq\f(1,8)a3.(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是邊長為a的正三角形，△A