福建省南平市邵武第三中學高二數(shù)學文聯(lián)考試卷含解析

福建省南平市邵武第三中學高二數(shù)學文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在區(qū)間[﹣，]上隨機取一個數(shù)x，cosx的值介于0到之間的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】幾何概型．【分析】求出所有的基本事件構(gòu)成的區(qū)間長度；通過解三角不等式求出事件“cosx的值介于0到”構(gòu)成的區(qū)間長度，利用幾何概型概率公式求出事件的概率．【解答】解：所有的基本事件構(gòu)成的區(qū)間長度為∵解得或∴“cosx的值介于0到”包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)間長度為由幾何概型概率公式得cosx的值介于0到之間的概率為P=故選A．2.AB為圓O的直徑，C為圓O上異于A、B的一點，點P為線段OC的中點，則=（

）A.2

B.4

C.5

D.10參考答案：D略3.已知兩點,給出下列曲線方程：

①;

②;

③;

④.在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是A．①③

B．②④

C．①②③

D．②③④參考答案：D略4.函數(shù)的定義域為

（A）(0，8] （B）(2，8]

（C）(－2，8] （D）[8，＋∞)參考答案：C略5.某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生，將他們的測試成績分成6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以統(tǒng)計，得到如圖（圖3）所示的頻率分布直方圖．已知高一年級共有學生600名，據(jù)此估計，該測試成績不少于60分的學生人數(shù)為（

）A．588B．480C．450D．120

參考答案：B略6.若直線y=x+b與曲線有兩個交點，則實數(shù)b的取值范圍是（）A．（2，2） B．[2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2）參考答案：B考點：直線與圓的位置關(guān)系．專題：計算題；直線與圓．分析：曲線y=表示以原點為圓心，2為半徑的圓，在x軸上邊的部分，結(jié)合圖形，即可求出實數(shù)b的取值范圍．解答：解：曲線y=表示以原點為圓心，2為半徑的圓，在x軸上邊的部分，如圖所示，當直線與半圓相切時，b=2，∴直線y=x+b與曲線y=有兩個交點，實數(shù)b的取值范圍是[2，2）．故選：B．點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．7.已知三條不同直線，兩個不同平面，有下列命題：①，，∥，∥，則∥②，，，，則③，，，，則④∥，，則∥其中正確的命題是（

）A．①③B．②④C．③D．①②④參考答案：C略8.給出平面區(qū)域如下圖所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目標函數(shù)z=ax+y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則a的值是（

）A．

B．

C．2

D．參考答案：B9.閱讀圖2所示的流程圖，輸出的結(jié)果為A、24

B、12

C、4

D、6

參考答案：D10.一個口袋裝有2個白球和3個黑球，則先摸出1個白球后放回，再摸出一個球還是白球的概率是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等比數(shù)列的前和為，當公比時，數(shù)列的通項公式是

.參考答案：12.某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（

）

（A）（B）（C）(D)參考答案：D略13.如圖，A、B、C、D有四個區(qū)域，用紅黃藍三種色涂上，要求任意兩個相鄰區(qū)域的顏色各不相同，共有

種不同的涂法？參考答案：18略14.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結(jié)果s=．參考答案：9【考點】循環(huán)結(jié)構(gòu)．【專題】算法和程序框圖．【分析】用列舉法，通過循環(huán)過程直接得出S與n的值，得到n=3時退出循環(huán)，即可．【解答】解：循環(huán)前，S=1，a=3，第1次判斷后循環(huán)，n=2，s=4，a=5，第2次判斷并循環(huán)n=3，s=9，a=7，第3次判斷退出循環(huán)，輸出S=9．故答案為：9．【點評】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，判斷框中n=3退出循環(huán)是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．15.設(shè)曲線y=xn+1（n∈N+）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，則log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值為

．參考答案：﹣1【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；對數(shù)的運算性質(zhì)．【分析】要求log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014，需求x1?x2?…?x2014的值，只須求出切線與x軸的交點的橫坐標即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：對y=xn+1（n∈N*）求導，得y′=（n+1）xn，令x=1得在點（1，1）處的切線的斜率k=n+1，在點（1，1）處的切線方程為y﹣1=k（xn﹣1）=（n+1）（xn﹣1），不妨設(shè)y=0，，則x1?x2?x3…?xn=×…×=，從而log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014=log2015（x1?x2…x2014）=．故答案為：﹣1．16.化簡：

.參考答案：-117.幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的體積是

，表面積是

．參考答案：試題分析：由三視圖可知：該幾何體是如圖所示的三棱錐，其中側(cè)面PAC⊥面ABC，△PAC是邊長為2的正三角形，△ABC是邊AC=2，邊AC上的高OB=1，PO=為底面上的高．據(jù)此可計算出表面積和體積．解：由三視圖可知：該幾何體是如圖所示的三棱錐，其中側(cè)面PAC⊥面ABC，△PAC是邊長為2的正三角形，△ABC是邊AC=2，邊AC上的高OB=1，PO=為底面上的高．于是此幾何體的體積V=S△ABC?PO=×2×1×=，幾何體的表面積S=S△PAC+S△ABC+2S△PAB=××2+×2×1+2×××=+1+．故答案為：，+1+．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面積等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面積．參考答案：【考點】解三角形；三角形中的幾何計算．【分析】（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出關(guān)于a與b的關(guān)系式a2+b2﹣ab=4，再由已知三角形的面積及sinC的值，利用三角形的面積公式得出ab的值，與a2+b2﹣ab=4聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解即可求出a與b的值；（2）利用正弦定理化簡sinB=2sinA，得到b=2a，與（1）得出的a2+b2﹣ab=4聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解得到a與b的值，再由sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【解答】解：（1）∵c=2，cosC=，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，又△ABC的面積等于，sinC=，∴，整理得：ab=4，聯(lián)立方程組，解得a=2，b=2；（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化為b=2a，聯(lián)立方程組，解得：，，又sinC=，則△ABC的面積．19.已知，求證：參考答案：證明：要證＞，只需證＞∵＞0∴兩邊均大于0

∴只需證＞，即證，即證即證顯然成立

∴原不等式成立略20.已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx；g（x）=．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）求證：若a=e（e是自然常數(shù)），當x∈[1，e]時，f（x）≥e﹣g（x）恒成立；（3）若h（x）=x2[1+g（x）]，當a＞1時，對于?x1∈[1，e]，?x0∈[1，e]，使f（x1）=h（x0），求a的取值范圍．參考答案：【考點】6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）推導出，由此利用導數(shù)性質(zhì)能討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．（2）當a=e時，f（x）=ex﹣lnx，，由此利用構(gòu)造法和導數(shù)性質(zhì)能證明a=e（e是自然常數(shù)），當x∈[1，e]時，f（x）≥e﹣g（x）恒成立．（3）由，a＞1時，求出f（x）的值域是[a，ae﹣1]，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）=ax﹣lnx，∴x＞0，，∵x＞0，∴當a≤0時，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，當a＞0時，若x＞，則f′（x）＞0，∴f（x）在（，+∞）上是增函數(shù)，若0＜x＜，則f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上是減函數(shù)．綜上所述，當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，當a＞0時，f（x）在（，+∞）上是增函數(shù)，在（0，）上是減函數(shù)．證明：（2）當a=e時，f（x）=ex﹣lnx，∴，∴x∈[1，e]時，f′（x）＞0恒成立．f（x）=ex﹣lnx在[1，e]上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴f（x）min=f（1）=e，令H（x）=e﹣g（x）=e﹣，則H′（x）=，x∈[1，e]時，H′（x）≤0，∴H（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，H（x）max=H（1）=e，∴f（x）≥H（x），即f（x）≥e﹣g（x）．故a=e（e是自然常數(shù)），當x∈[1，e]時，f（x）≥e﹣g（x）恒成立．解：（3）∵，a＞1時，由x∈[1，e]，得f′（x）＞0，∴f（x）=ax﹣lnx在[1，e]上單調(diào)遞增，f（x）min=f（1）=a，f（x）max=f（e）=ae﹣1，即f（x）的值域是[a，ae﹣1]，由h（x）=x2+1﹣lnx，得，∴x∈[1，e]時，h′（x）＞0，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，∴h（x）min=h（1）=2，h（x）max=h（e）=e2，即h（x）的值域是[2，e2]，?x1∈[1，e]，?x0∈[1，e]，有f（x1）=h（x0），∴f（x）的值域是h（x）的值域的子集，∴，∴．∴a的取值范圍是[2，e+]．21.已知函數(shù).（1）求f(x)的最小正周期；（2）當時，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.參考答案：（1）π；（2）.【分析】（1）利用三角恒等變換，把函數(shù)化成的形式，再求周期；（2）先求在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間，再把單調(diào)區(qū)間與區(qū)間取交集?！驹斀狻浚?）因，所以的最小正周期.

（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，則，即，因為時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【點睛】本題考查三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)，在求單調(diào)區(qū)間時，不能把定義域忽視，導致求出的單調(diào)區(qū)間在定義域之外。22.（本題滿分16分）已知橢圓過點，右頂點為點B．（1）若直線與橢圓C相交于點M，N兩點（M，N不是左、右頂點），且，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標；（2）E，F(xiàn)是橢圓C的兩個動點，若直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，試判斷直線EF的斜率是否為定值？如果是，求出定值；反之，請說明理由．參考答案：（1）設(shè)點M，N坐標分別為，點B坐標為(2,0)，因為，則，又，代入整理得，（*）

..................3分由得，當時，方程兩根為，則有，代入（*）得，

所以或，

.................6分當時，直線方程為，恒過點，不符合題意，舍去；當時，直線方程為，恒過點，該點在橢圓內(nèi)，則恒成立，所以，直線過定點.

.................8分（2）設(shè)點坐標分別為，直線、EF的斜率顯然存在，所以，設(shè)直線EF的方程為，同（1）由得，（#）當時，方程兩根為，則有，①因為直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，則，又，代入整理得，②

................