高中數(shù)學(xué)《必修第二冊(cè)》課后習(xí)題8.6.3　平面與平面垂直

第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.3平面與平面垂直課后篇鞏固提升必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,則二面角B-PA-C的大小為()A.90° B.60° C.45° D.30°答案A解析∵PA⊥平面ABC,BA,CA?平面ABC,∴BA⊥PA,CA⊥PA,因此∠BAC即為二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=90°,故選A.2.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如圖),圖中互相垂直的平面有()A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.5對(duì)答案D解析∵DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,∴DA⊥平面PAB,同樣BC⊥平面PAB,又易知AB⊥平面PAD,∴DC⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面PAD,共5對(duì).3.設(shè)α,β為不重合的平面,m,n為不重合的直線,則下列命題正確的是()A.若m⊥β,α⊥β,則m∥αB.若m?α,n?β,m⊥n,則n⊥αC.若α⊥β,m⊥α,n∥β,則m⊥nD.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,則m⊥α答案D解析當(dāng)m?α?xí)r,m⊥β,α⊥β也可以成立,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤;若α∩β=n,顯然n?α,這時(shí)m?α,n?β,m⊥n也可以成立,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)m∥n時(shí),顯然α⊥β,m⊥α,n∥β成立,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤;因?yàn)閚⊥β,m⊥β,所以m∥n.又因?yàn)閚⊥α,所以m⊥α,所以D選項(xiàng)正確.故選D.4.如圖所示,A,B,C,D為空間四點(diǎn),在△ABC中,AB=2,AC=BC=2,等邊三角形ADB以AB為軸運(yùn)動(dòng),當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),CD=.

答案2解析取AB的中點(diǎn)E,連接DE,CE.因?yàn)椤鰽DB是等邊三角形,所以DE⊥AB.當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),因?yàn)槠矫鍭DB∩平面ABC=AB,且DE⊥AB,所以DE⊥平面ABC,故DE⊥CE.由已知可得DE=3,EC=1,在Rt△DEC中,CD=DE2+5.如圖,在空間四邊形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,則AD與平面BCD所成的角是.

答案45°解析過A作AO⊥BD于點(diǎn)O,∵平面ABD⊥平面BCD,∴AO⊥平面BCD,則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角.∵∠BAD=90°,AB=AD,∴∠ADO=45°.6.在四面體ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,二面角A-BD-C為直二面角,E是CD的中點(diǎn),則∠AED的大小為.

答案90°解析取BD中點(diǎn)O,連接AO,CO,由AB=BC=CD=AD,∴AO⊥BD,CO⊥BD,∴∠AOC為二面角A-BD-C的平面角.∴∠AOC=90°.又∠BAD=∠BCD=90°,∴△BAD與△BCD均為直角三角形.∴OC=OD,∴△AOD≌△AOC,∴AD=AC,∴△ACD為等邊三角形.∵E為CD中點(diǎn),∴AE⊥CD,∴∠AED=90°.7.三棱錐V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC且AC=BC=2,O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).(1)求證:VB∥平面MOC;(2)求證:平面MOC⊥平面VAB;(3)求點(diǎn)B到平面MOC的距離.(1)證明∵O,M分別為AB,VA的中點(diǎn),∴OM∥VB.又VB?平面MOC,OM?平面MOC,∴VB∥平面MOC.(2)證明∵AC=BC,O為AB的中點(diǎn),∴OC⊥AB.又平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,且OC?平面ABC,∴OC⊥平面VAB,又OC?平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB.(3)解連接MB,VO,過M作MD⊥AB,垂足為D,圖略,設(shè)h'為點(diǎn)B到平面MOC的距離,h為點(diǎn)M到平面BOC的距離.∵VM-BOC=VB-MOC,∴13S△BOC×h=13S△MOC×∵平面VAB⊥平面ABC,VO⊥AB,∴VO⊥平面ABC.又△VAB為等邊三角形,AC⊥BC且AC=BC=2,O為AB中點(diǎn),∴VO=3.又MD⊥AB,M為VA中點(diǎn),∴MD=12VO=h=3∵S△BOC=12×1×1=12,S△MOC=12×1×1∴h'=32,即點(diǎn)B到平面MOC的距離為38.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點(diǎn),PA⊥底面ABCD,PA=3.(1)求證:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A-BE-P的大小.(1)證明如圖所示,連接BD,由底面ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn),所以BE⊥CD.又因?yàn)锳B∥CD,所以BE⊥AB.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又因?yàn)锽E?平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解由(1)知,BE⊥平面PAB,PB?平面PAB,所以PB⊥BE.又因?yàn)锳B⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA=PAAB=3,∠PBA=60°,故二面角A-BE-P的大小是關(guān)鍵能力提升練9.如圖所示,三棱錐P-ABC的底面在平面α內(nèi),且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,點(diǎn)P,A,B是定點(diǎn),則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是()A.一條線段B.一條直線C.一個(gè)圓D.一個(gè)圓,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)答案D解析∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC?平面PAC,∴AC⊥平面PBC.又BC?平面PBC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90°.∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓,除去A和B兩點(diǎn).10.如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則過點(diǎn)C1作C1H⊥平面ABC,垂足為H,則H必在()A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.△ABC的內(nèi)部答案A解析因?yàn)锽C1⊥AC,AB⊥AC,BC1∩AB=B,所以AC⊥平面ABC1.因?yàn)锳C?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC1.又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ABC1=AB,所以過點(diǎn)C1再作C1H⊥平面ABC,則H∈AB,即H在直線AB上.11.(多選題)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠DAB=60°,側(cè)面PAD為正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,則下列說法正確的是()A.在棱AD上存在點(diǎn)M,使AD⊥平面PMBB.異面直線AD與PB所成的角為90°C.二面角P-BC-A的大小為45°D.BD⊥平面PAC答案ABC解析如圖,對(duì)于A,取AD的中點(diǎn)M,連接PM,BM,∵側(cè)面PAD為正三角形,∴PM⊥AD,又底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,∴△ABD是等邊三角形,∴AD⊥BM,又PM∩BM=M,PM,BM?平面PMB,∴AD⊥平面PMB,故A正確;對(duì)于B,∵AD⊥平面PBM,∴AD⊥PB,即異面直線AD與PB所成的角為90°,故B正確;對(duì)于C,∵平面PBC∩平面ABCD=BC,BC∥AD,∴BC⊥平面PBM,∴BC⊥PB,BC⊥BM,∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角,設(shè)AB=1,則BM=32,PM=3在Rt△PBM中,tan∠PBM=PMBM=1,即∠PBM=45°,故二面角P-BC-A的大小為45°,故C正確對(duì)于D,因?yàn)锽D與PA不垂直,所以BD與平面PAC不垂直,故D錯(cuò)誤.12.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足時(shí),平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)

答案DM⊥PC(或:BM⊥PC,答案不唯一)解析連接AC,則AC⊥BD.∵PA⊥底面ABCD,BD?平面ABCD,∴PA⊥BD.∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí),即有PC⊥平面MBD,而PC?平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.13.如圖,A,B,C,D為空間四點(diǎn),在△ABC中,AB=2,AC=BC=2,等邊三角形ADB以AB為軸運(yùn)動(dòng),當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),CD=.

答案2解析取AB的中點(diǎn)E,連接DE,CE,因?yàn)椤鰽DB是等邊三角形,所以DE⊥AB.當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),因?yàn)槠矫鍭DB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.可知DE⊥CE.由已知可得DE=3,EC=1,在Rt△DEC中,CD=DE2+14.圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.(1)證明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG確定一個(gè)平面,從而A,C,G,D四點(diǎn)共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因?yàn)锳B?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解取CG的中點(diǎn)M,連接EM,DM.因?yàn)锳B∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由已知,四邊形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四邊形ACGD的面積為4.15.如圖,在三棱錐P-ABC中,PB⊥平面ABC,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,D,E,F分別為AC,AB,BC的中點(diǎn).(1)求證:EF⊥PD;(2)求直線PF與平面PBD所成的角的正弦值;(3)求二面角E-PF-B的平面角的正切值.(1)證明連接BD,在△ABC中,∠B=90°.∵AB=BC,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),∴BD⊥AC.又∵PB⊥平面ABC,AC?平面ABC,∴AC⊥PB.∵BD∩PB=B,∴AC⊥平面PBD.∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF∥AC,∴EF⊥平面PBD,∵PD?平面PBD,∴EF⊥PD.(2)解連接BD交EF于點(diǎn)O,由(1)知EF⊥平面PBD,∴∠FPO為直線PF與平面PBD所成的角,且PO?平面PBD,∴EF⊥PO.∵PB⊥平面ABC,BC,AB?平面ABC,∴PB⊥AB,PB⊥BC.∵∠PAB=45°,∴PB=AB=2.∵OF=14AC=22,∴PF=在Rt△FPO中,sin∠FPO=OFPF∴直線PF與平面PBD所成的角的正弦值為1010(3)解過點(diǎn)B作BM⊥PF于點(diǎn)M,連接EM.∵AB⊥PB,AB⊥BC,PB∩BC=B,∴AB⊥平面PBC,∴BE⊥BM,BE⊥平面PBC.∵PF?平面PBC,∴PF⊥BE.又PF⊥BM,BE∩BM=B,∴PF⊥平面BME,∵EM?平面BME,∴PF⊥EM,∴∠BME為二面角E-PF-B的平面角.在Rt△PBF中,BM=BF·∴tan∠BME=BEBM∴二面角E-PF-B的平面角的正切值為52學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2,四邊形ABCD滿足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,F為側(cè)棱PC上的任意一點(diǎn).(1)求證:平面AFD⊥平面PAB;(2)是否存在點(diǎn)F,使得直線AF與平面PCD垂直?若存在,寫出證明過程并求出線段PF的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.(1)證明∵平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,且PA⊥AC,PA?平面PAC,∴PA⊥平面ABCD.又AD?平面ABCD,∴PA⊥AD.又AB⊥AD,PA∩AB=A,∴AD⊥平面P