第三節(jié) 極限計算方法

第三節(jié)極限的計算方法設(shè)limf(x)=A,limg(x)=B,則lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x)(=A±B)設(shè)limf(x)=A,limg(x)=B,則定理1定理2lim(f(x)g(x))=(limf(x))(limg(x))(=AB)．設(shè)limf(x)=A,limg(x)=B,且B≠0，定理3則一.極限的運算法則注：(1)以上的定理中，符號“l(fā)im”下方?jīng)]有標(biāo)明自變量的變化過程，意思是指以上定理對自變量的任何一種變化過程都成立．對每個定理,“l(fā)im”表示自變量的同一個變化過程．(2)以上定理都要求f(x),g(x)的極限存在,商的法則還要求分母的極限不為零．定理1和定理2可以推廣到有限個函數(shù)的情形.如果limf(x)存在，c為常數(shù)，則推論1lim(cf(x))=climf(x)．如果limf(x)存在，n∈N,則推論2lim[f(x)]n

=[limf(x)]n．例1

設(shè)Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a１x+a0，.任意x0∈R，證明例2

求表示x的n次、

m次多項式,Pm(x0)≠0,證明例3

設(shè),其中Pn(x)、Pm(x)分別例4

求解

:因為2·2３-22+1=13≠0，由例3,例5

求解

:x→1時，x2-1→0，x2+x-2→0.因此不能用商的極限的運算法則.通常記為“存在,也可能不存在,因此這種極限通常稱為不定式，它可以通過約去使分子和分母同時為零的因式來求解．例如以上這種兩個非零無窮小的比的極限，”.由于這種形式的極限可能

x→∞時，分子、分母都是無窮大,所以不能直接用商的極限的運算法則.例6

求這種兩個無窮大的比的極限也是不定式，解通常記為“”．因為分子、分母關(guān)于x的最高次冪是x4,所以這時可用x4同時去除分子、分母，然后取極限,得例7

求解

x→1時，x2-1→0，但x2+x→2(≠0),不能直接用商的極限的運算法則，由于因此由第四節(jié)定理4，例8

求解因為所以不能用差的極限的運算法則,這種兩個無窮大的差的極限也是不定式,通常記為“∞-∞”．這時可以恒等變形成“”或“”的極限求解．證因為x0≠kπ+例9

x０∈R，x0≠kπ+(k∈Z)，證明：(k∈Z)，由商的極限運算法則，有由前面例題，,13二.兩個重要極限14(一)證明因為函數(shù)是偶函數(shù),只要證明設(shè)此時有不等式sinx<x<tanx.從而由于由極限的性質(zhì)4(夾逼準(zhǔn)則)有所以15公式1在極限計算中有重要應(yīng)用,它在形式上有以下特點:(1)它是“”型;(代表同樣的變量或同樣的表達(dá)式).(2)公式1的形式可寫成16例1

計算解例2

計算解17例3

求解例4

求解18例5

求解令arcsinx=t,則x=sint,且x→0時,t→0.極限定理存在,記為e,即:(二)19{xn}的變化趨勢如下表:記12310100100010000…22.2502.3702.5942.7052.7172.718…e是一個無理數(shù),是自然對數(shù)的底,e=2.718281828459…,進(jìn)一步得到以下公式x→∞時t→0

令20極限,(2)公式的一般形式可以寫成(1)它們是底的極限為1、指數(shù)為無窮大的變量上述公式具有以下特點:(代表同樣的變量或同樣的表達(dá)式).或通常記為“1∞”.21例6

求解此題屬“1∞”,例7

計算解此題屬“1∞”,22例8

計算解則x→0時u→e

令例9

計算解令ex

-1=u,則x=ln(1+u),且x→0時,u→0,于是23例9

計算解此題屬“1∞”,24練習(xí):三.無窮小階的比較但是無窮小趨于0的速度是不同的.都是無窮小,引例時,當(dāng)25設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小.設(shè)(常數(shù)),定義1記作α

~β.(3)若c=1,則稱β與α是等價無窮小.(2)若c≠0,則稱β與α是同階無窮小;(1)若c=0,則稱β是α的高階無窮小

(也稱α是β的低階無窮小),記作β=o(α);26例如:x2是3x的高階無窮小,即sinx與3x是同階無窮小;tanx與x是等價無窮小(tanx~x).時,由前面內(nèi)容知,當(dāng)ln(1+x)~x,tanx~x,sinx~x,arcsinx~x,e

x-

1~x,27定義2若x→0時,無窮小α與xk(k是常數(shù))是同階的,則稱α為x的k階無窮小.例1

證明x→0時,(1+x)n-1~nx(n∈N).5sin3

x是x的3階無窮小.如:證明因為所以x→0時,(1+x)n

-1～nx.28等價無窮小在型的極限計算中的應(yīng)用:定理設(shè)α~α',β~β';則證明因為由以上定理,在求型的極限時,分母或它們的乘積因子換成形式簡單的等價無窮小.可將其分子,29例2

求解因為x→0時,ex-1~x,ln(1+x2)~x2,所以sin2x~2x,1-cosx~30例3

計算解先作變量代換,令當(dāng)時,于是31例4

用等價無窮小的代換,求解因為t