2024-2025學(xué)年陜西省安康市高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年陜西省安康市高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.下列各式表述正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可判斷每個(gè)式子的正誤，從而找到正確選項(xiàng)．【詳解】表示集合中有一個(gè)元素是，，A錯(cuò)誤，表示集合中有一個(gè)元素為，，B錯(cuò)誤，表示自然數(shù)集，包含數(shù)，成立，C正確，表示集合一個(gè)元素也沒有，，D錯(cuò)誤.故選：C本題考查集合的含義，以及元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2.命題：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】B【分析】利用存在題詞命題的否定寫出結(jié)果即可.【詳解】命題：“，”是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以命題：“，”的否定是：，.故選：B3.設(shè)為實(shí)數(shù)，則““是”“的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】D【分析】分別舉出反例否定充分性和必要性，得到答案.【詳解】取，，則，但，不具有充分性；取，，則，但，不具有必要性；故選：D.4.若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（）A.3 B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念可得，然后結(jié)合單調(diào)性可得，進(jìn)而可以求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，則，解得或，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，因此，故選：B.5.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)的圖像如圖，那么不等式的解集是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)圖像和的奇偶性可得答案.【詳解】由圖可得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)所以不等式的解集是故選：C6.已知函數(shù)的定義域和值域分別為和，則函數(shù)的定義域和值域分別為．A.和 B.和 C.和 D.和【正確答案】C【詳解】∵函數(shù)定義域?yàn)?，∴，∴，∴的定義域?yàn)椋怯上蜃笃揭?個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，故值域不變，其值域?yàn)?，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查抽象函數(shù)的定義域和值域，要緊扣函數(shù)定義域的定義以及函數(shù)左右平移值域不變的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題；根據(jù)函數(shù)的定義域的定義，自變量的取值范圍為函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域?yàn)?，得到求解，函?shù)左右平移值域不變，從而得到正確選項(xiàng).7.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．根據(jù)以上推廣，則函數(shù)圖象的對稱中心是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】，根據(jù)定義域得到，根據(jù)得到，得到對稱中心.【詳解】，為奇函數(shù)，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，故，，，即，故，即對稱中心為.故選：A.8.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意，都有，則的值是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】分析可知存在唯一的，使得，由已知可得，即，解方程，求出的值，可得出函數(shù)的解析式，然后代值計(jì)算可得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則存在唯一的，使得，對于方程，則，可得，所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，由，可得，，因此，.故選：C二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）①與；②與；③與；④與.A.① B.② C.③ D.④【正確答案】CD【分析】求出函數(shù)的自變量的范圍并盡可能的化簡函數(shù)的解析式，再比較函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系和定義域是否都相同即可.【詳解】①，，對應(yīng)關(guān)系不同，故與不為同一函數(shù)；②的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域不同，故與不為同一函數(shù)；③，，對應(yīng)關(guān)系與定義域均相同，故為同一函數(shù)；④與，對應(yīng)關(guān)系和定義域均相同，故為同一函數(shù)．故選：CD.10.若函數(shù)同時(shí)滿足：①對于定義域上的任意，恒有；②對于定義域上的任意，當(dāng)時(shí)，恒，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．下列四個(gè)函數(shù)中能被稱為“理想函數(shù)”的是（）A. B. C. D.【正確答案】AB【分析】根據(jù)①②知“理想函數(shù)”是定義域上的奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】由①知：為定義域上的奇函數(shù)；由②知：在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；對于A，為上的奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，符合“理想函數(shù)”定義，A正確；對于B，為上奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，符合“理想函數(shù)”定義，B正確；對于C，為上的奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，不符合“理想函數(shù)”定義，C錯(cuò)誤；對于D，是上的非奇非偶函數(shù)，不符合“理想函數(shù)”定義，D錯(cuò)誤.故選：AB.11.若x∈A，則，稱A為“影子關(guān)系”集合．下列對集合的所有非空子集中是“影子關(guān)系”的集合敘述正確的是（）A.集合個(gè)數(shù)為7 B.集合個(gè)數(shù)為8C.含有1的集合個(gè)數(shù)為4 D.元素個(gè)數(shù)為2的集合有2個(gè)【正確答案】ACD【分析】利用“影子關(guān)系”集合的定義求解.【詳解】集合的所有非空子集中是“影子關(guān)系”的集合有：，共7個(gè)，含有1的集合個(gè)數(shù)為4，元素個(gè)數(shù)為2的集合有2個(gè)，故選：ACD12.已知，，，下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.的最小值為2B.若，則的最小值為C.若，則的最小值為10D.若，則的最小值為32【正確答案】AC【分析】利用基本不等式等號成立的條件判斷A；變形給定等式，再利用基本不等式求出最小值判斷B；變形所求最值的式子，再利用基本不等式求解判斷C；兩次利用基本不等式求解判斷D.【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，而無解，即上述等號不成立，A錯(cuò)誤；對于B，由，得，則，由，得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號，B正確；對于C，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，C錯(cuò)誤；對于D，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，D正確.故選：AC選項(xiàng)D解題關(guān)鍵是兩次利用基本不等式，只需檢驗(yàn)兩次不等式等號成立的條件能否同時(shí)成立即可.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分將答案填在題中橫線上）13.函數(shù)的定義域?yàn)開_________【正確答案】【分析】由具體函數(shù)的定義域求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，解得：?故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為.14.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為__________.【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)減函數(shù)的定義，可得，解不等式即可得出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且，所以，解得.故15.已知函數(shù)對任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意可知在上為增函數(shù)，令，那么問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上為增函數(shù)，且在上恒成立，討論是否為零，列出不等式求解即可.【詳解】因?yàn)閷θ我鈨蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有不等式成立，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，令，則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵跁r(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，則，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故16.若不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則這兩個(gè)整數(shù)解之和為______，實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【正確答案】①.3②.分析】計(jì)算該不等式，然后辨別兩個(gè)端點(diǎn)的大小并確定之間的整數(shù)，最后計(jì)算即可.【詳解】令可得由，所以所以不等式的解集為依題可知：不等式有且只有兩個(gè)整數(shù)解所以這兩個(gè)整數(shù)解為：1，2所以這兩個(gè)整數(shù)解之和為3滿足，又，所以故3，.四、解答題（本大題共6小題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡計(jì)算即可；（2）把平方，結(jié)合即可求得，利用可得的值，代入所求的式子即可得答案．【詳解】（1）（2），所以，，．18.已知函數(shù)f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．（1）討論f(x)的奇偶性；（2）求a的取值范圍，使f(x)＞0在定義域上恒成立．【正確答案】（1）函數(shù)f(x)是偶函數(shù)（2）∈(1，＋∞)【分析】（1）先求函數(shù)f(x)的定義域，再判斷f(－x)與f(x)是否相等即可得到結(jié)果；（2）由f(x)是偶函數(shù)可知只需討論x＞0時(shí)的情況，則有x3＞0，從而求得結(jié)果.【詳解】（1）由于ax－1≠0，則ax≠1，得x≠0，∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}．對于定義域內(nèi)任意x，有f(－x)＝(－x)3＝(－x)3＝(－x)3＝x3＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．（2）由（1）知f(x)為偶函數(shù)，∴只需討論x＞0時(shí)的情況，當(dāng)x＞0時(shí)，要使f(x)＞0，則x3＞0，即＋＞0，即＞0，則ax＞1.又∵x＞0，∴a＞1.∴當(dāng)a∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＞0.本題考查判斷函數(shù)奇偶性的方法和恒成立問題，判斷函數(shù)的奇偶性先求定義域，再判斷f(－x)與f(x)是否相等或者互為相反數(shù)，相等即為偶函數(shù)，互為相反數(shù)則為奇函數(shù)，屬中檔題.19.設(shè)函數(shù)，函數(shù)，（1）求函數(shù)的值域；（2）若對于任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（）把函數(shù)化簡為，利用基本不等式，即可得到函數(shù)的值域；（）由題意，求得函數(shù)的值域，使得，列出不等式組，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】，，當(dāng)時(shí)：有，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，取等號；當(dāng)時(shí)：有，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，取等號，又因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，綜上：，所以的值域?yàn)?【小問2詳解】∵，，，∵，∴在上單調(diào)遞增，∵，∴，要使題設(shè)成立，則成立，∴，解得：，∴.20.某公司生產(chǎn)某種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收入R（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：臺(tái)）滿足函數(shù)（1）將利潤P（單位：元）表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收入=總成本+利潤）【正確答案】（1）（2）當(dāng)月產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)，利潤最大，最大值為.【分析】（1）分和兩種情況，求出函數(shù)解析式；（2）在（1）基礎(chǔ)上，分和，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出最大值，得到結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，綜上，當(dāng)月產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)，利潤最大，最大值為.21.若非零函數(shù)對任意實(shí)數(shù)均有，且當(dāng)時(shí)（1）求證：；（2）求證：為R上的減函數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，對時(shí)恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）通過賦值法求得，然后令，利用“時(shí)，”這一條件，可證得.（2）令，通過賦值法得，根據(jù)（1）的結(jié)論可得，由此證得函數(shù)為減函數(shù).（3）通過賦值法求得，將題目所給不等式右邊變形為后，利用函數(shù)的單調(diào)性可區(qū)間函數(shù)符號，變?yōu)橐辉尾坏仁皆趨^(qū)間上恒成立的問題來解決.【詳解】(1)證明：證法1：令y＝0得f(0)·f(x)＝f(x)即f(x)[f(0)－1]＝0，又f(x)≠0，∴f(0)＝1.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>1，－x>0.f(x)·f(－x)＝f(0)＝1，則．故對于x∈R恒有f(x)>0.證法2:.∵f(x)為非零函數(shù)，∴f(x)>0.(2)證明：令x1>x2且x1，x2∈R，有f(x1)·f(x2－x1)＝f(x2)，又x2－x1<0，則f(x2－x1)>1，故，又f(x)>0.∴f(x2)>f(x1)．故f(x)為R上的減函數(shù)．(3)f(4)＝＝f(2＋2)＝f2(2)?f(2)＝，則原不等式可變形為f(x2－2ax＋2)≤f(2)，依題意有x2－2ax≥0對a∈[－1,1]恒成立．∴∴x≥2或x≤－2或x＝0.故實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．本小題主要考查抽象函數(shù)單調(diào)的證明，考查利用抽象函數(shù)單調(diào)性解決不等式恒成立問題.屬于中檔題.22.已知函數(shù)，．（1）討論