2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高三上學(xué)期教學(xué)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高三上學(xué)期教學(xué)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷一、單選題（每題5分，共40分）1.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.2.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線(xiàn)，若關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（）A. B. C. D.3.已知數(shù)列an滿(mǎn)足，若，則數(shù)列bn的前10項(xiàng)和為（）A. B. C. D.4.已知向量，，且與夾角不大于，則取值范圍為（）A. B. C. D.5.已知圓，直線(xiàn).則直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）A B. C. D.6.已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)關(guān)于漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A.2 B. C. D.7.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形沿對(duì)角線(xiàn)折疊，使，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.48.設(shè)實(shí)數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.二、多選題（每題6分，共18分）9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.為奇函數(shù) B.是以為周期的函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D.時(shí)，的最大值為10.如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為空間內(nèi)兩點(diǎn)，且，則（）A.若平面，則點(diǎn)與點(diǎn)重合B.設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為C.平面與平面的夾角的余弦值為D.若，則平面截正方體所得截面面積為11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿(mǎn)足，，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.當(dāng)時(shí)，的取值范圍為?1,0C.為奇函數(shù) D.方程僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解三、填空題（每題5分，共15分）12.已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，最小值與最大值之和為_(kāi)_______．13.已知件次品和件正品放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束，則恰好檢測(cè)四次停止的概率為_(kāi)____（用數(shù)字作答）．14.已知函數(shù)，若且，則的最大值為_(kāi)_________．四、解答題（共77分）15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求角；（2）射線(xiàn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)交線(xiàn)段于點(diǎn)，且，求的面積的最小值.16.已知函數(shù).（1）若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與軸垂直，求的極值.（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求.17.如圖，在正三棱柱中，底面的邊長(zhǎng)為1，P為棱上一點(diǎn)．（1）若，P為的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)與所成角的大?。唬?）若，設(shè)二面角、的平面角分別為、，求的最值及取到最值時(shí)點(diǎn)P的位置．18.定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，則稱(chēng)為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且橢圓過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)所在直線(xiàn)的方程；（3）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，（2）中的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，設(shè)四點(diǎn)在橢圓上逆時(shí)針排列.證明：四邊形的面積小于.19.無(wú)窮數(shù)列，，…，，…的定義如下：如果n是偶數(shù)，就對(duì)n盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是﹔如果n是奇數(shù)，就對(duì)盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是．（1）寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)；（2）如果且，求m，n的值；（3）記，，求一個(gè)正整數(shù)n，滿(mǎn)足．2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高三上學(xué)期教學(xué)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷一、單選題（每題5分，共40分）1.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合模長(zhǎng)公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意得，所以，故選：B.2.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線(xiàn)，若關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意可得曲線(xiàn)為，又關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，根據(jù)即可得解.【詳解】曲線(xiàn)為，又關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，解得，又，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：B3.已知數(shù)列an滿(mǎn)足，若，則數(shù)列bn的前10項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由遞推關(guān)系求出，再由裂項(xiàng)相消法求的前10項(xiàng)和即可.【詳解】因?yàn)?，所以，兩式相減可得，即，所以，所以.故選：D4.已知向量，，且與夾角不大于，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和向量夾角公式可表示出，根據(jù)夾角的范圍知，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，，，設(shè)與夾角為，則，，，即，，解得：，即的取值范圍為.故選.本題考查根據(jù)向量夾角的范圍求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量夾角公式；注意兩個(gè)向量所成角的范圍為.5.已知圓，直線(xiàn).則直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先求出直線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最小，再由垂徑定理得到最小值.【詳解】直線(xiàn)，令，解得，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為，且，即在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離最大為，此時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最小，最小值為.故選：A.6.已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)關(guān)于漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A.2 B. C. D.【正確答案】D【分析】設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，求出漸近線(xiàn)方程，設(shè)F關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線(xiàn)垂直的條件列出方程，化簡(jiǎn)整理即可求解．【詳解】雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，漸近線(xiàn)方程為：，設(shè)F關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，由題意可得，解得，又點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)上，則，整理得：，得離心率，故選：D7.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形沿對(duì)角線(xiàn)折疊，使，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.4【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的數(shù)量積求出，再利用三棱錐體積公式計(jì)算即得.【詳解】取中點(diǎn)，連接，則，而平面，于是平面，，，又，則，解得，，而，則，，所以三棱錐的體積為.故選：C8.設(shè)實(shí)數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，先判斷得出恒成立，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可得恒成立，進(jìn)而求解即可.【詳解】，即，因?yàn)?，所以，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)椋裕魰r(shí)，不等式恒成立，則恒成立，若時(shí)，，恒成立，則也成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，所以得，即，設(shè)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以，即正實(shí)數(shù)的最小值為.故選：C關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：運(yùn)用同構(gòu)的基本思想將原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)，先得出恒成立，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)討論恒成立進(jìn)而求出結(jié)果.二、多選題（每題6分，共18分）9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.為奇函數(shù) B.是以為周期的函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D.時(shí)，的最大值為【正確答案】AD【分析】對(duì)于A，由正弦函數(shù)的奇偶性即可判斷；對(duì)于B，判斷是否成立即可；對(duì)于C，判斷是否成立即可；對(duì)于D，可得時(shí)，單調(diào)遞增，由此即可得解.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)），且，對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，但，即的圖象不關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，時(shí)，均單調(diào)遞增，所以此時(shí)也單調(diào)遞增，所以時(shí)，單調(diào)遞增，其最大值為.故選：AD.10.如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為空間內(nèi)兩點(diǎn)，且，則（）A.若平面，則點(diǎn)與點(diǎn)重合B.設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.平面與平面的夾角的余弦值為D.若，則平面截正方體所得截面的面積為【正確答案】ABD【分析】假設(shè)點(diǎn)不與重合，根據(jù)平面，平面，可得，而，故假設(shè)不成立，A正確；根據(jù)已知判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的，，進(jìn)而判斷選項(xiàng)B；建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解面面夾角余弦值即可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)已知條件做出圖形，即可求出面積判斷選項(xiàng)D.【詳解】由正方體的性質(zhì)知，平面，若點(diǎn)不與重合，因?yàn)槠矫?，則，與矛盾，故當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)與重合，故A正確；因，所以點(diǎn)在平面上，因?yàn)?，所以，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓的，故其長(zhǎng)度為，故B正確；對(duì)于C，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=平面的一個(gè)法向量為，則得，令，，所以，同理結(jié)合得，因?yàn)?，所以平面與平面的夾角的余弦值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過(guò)的直線(xiàn)分別交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，然后再分別連接，交側(cè)棱于點(diǎn)，交側(cè)棱于點(diǎn)，連接和，如圖所示：則得截面為五邊形，易求，，故，所以，，所以五邊形的面積，故D正確.故選：ABD11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M(mǎn)足，，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.當(dāng)時(shí)，的取值范圍為?1,0C.為奇函數(shù) D.方程僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解【正確答案】BC【分析】根據(jù)和可得的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且周期為8，并得到在一個(gè)周期所有解析式，作出圖象逐一判斷即可.【詳解】由可得：的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，又因?yàn)椋?，故，所以的周期?，令，則，所以，令，則，所以令，則，所以所以得到在一個(gè)周期內(nèi)所有解析式，作出在圖象并根據(jù)周期補(bǔ)充在的圖象如下所示：對(duì)于A，，故A不正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由圖可知，故B正確；對(duì)于C，的圖象可以由的圖像向左平移三個(gè)單位，從而得到圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故為奇函數(shù)，即C正確；對(duì)于D，在同一坐標(biāo)系作出的圖象如下圖：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由圖可知有5個(gè)交點(diǎn)，所以D不正確.故選：BC三、填空題（每題5分，共15分）12.已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，最小值與最大值之和為_(kāi)_______．【正確答案】【分析】先利用三角函數(shù)恒等變換將函數(shù)化為的形式，再由可得的兩個(gè)零點(diǎn)為，再結(jié)合可求出函數(shù)的最小正周期，從而可求出，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】，由，得，得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，所以的最小正周期為，所以，得，所以，由，得，則，所以，得，所以，所以最小值與最大值之和為，故答案為.13.已知件次品和件正品放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束，則恰好檢測(cè)四次停止的概率為_(kāi)____（用數(shù)字作答）．【正確答案】【詳解】由題意可知，2次檢測(cè)結(jié)束的概率為，3次檢測(cè)結(jié)束的概率為，則恰好檢測(cè)四次停止的概率為.14.已知函數(shù)，若且，則的最大值為_(kāi)_________．【正確答案】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)分析的圖象性質(zhì)，結(jié)合圖象可知，從而將轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，f′x<0，當(dāng)時(shí)，f′x>0，所以，且當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，是一次函數(shù)，所以的大致圖象如下：因?yàn)?，為使取得最大值，必然異?hào)，不妨設(shè)，同時(shí)結(jié)合圖象可知，其中滿(mǎn)足，由于，所以，所以，即，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；由于，所以，則的最大值為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)即可得解.四、解答題（共77分）15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求角；（2）射線(xiàn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)交線(xiàn)段于點(diǎn)，且，求的面積的最小值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）借助正弦定理將邊化角后，利用三角形內(nèi)角和公式及兩角和的正弦公式計(jì)算即可得；（2）借助等面積法計(jì)算可得，利用基本不等式可得，利用面積公式計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】，由正弦定理得，則，即則，且，，；【小問(wèn)2詳解】由和，可知，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即，又，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，所以的面積的最小值為.16.已知函數(shù).（1）若曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與軸垂直，求的極值.（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求.【正確答案】（1）極小值，無(wú)極大值；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合幾何意義求出，再分析單調(diào)性求出極值.（2）由函數(shù)零點(diǎn)的意義，等價(jià)變形得在只有一解，轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)求解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，，依題意，，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于在只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，則函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)在只有一解，即在只有一解，于是曲線(xiàn)與直線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在取得極小值同時(shí)也是最小值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，畫(huà)山大致的圖象，如圖，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，所以在只有一個(gè)零點(diǎn)吋，.17.如圖，在正三棱柱中，底面的邊長(zhǎng)為1，P為棱上一點(diǎn)．（1）若，P為的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)與所成角的大?。唬?）若，設(shè)二面角、的平面角分別為、，求的最值及取到最值時(shí)點(diǎn)P的位置．【正確答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，易知，則為異面直線(xiàn)與所成的角求解；（2）分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，根據(jù)正三棱柱，易證為二面角的平面角，為二面角的平面角求解.【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，，易知，則為異面直線(xiàn)與所成的角，又，，，由余弦定理得；【小問(wèn)2詳解】如圖所示：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，在正三棱柱中，易知，，又，所以平面，又平面，所以，則為二面角的平面角，同理為二面角的平面角，設(shè)，則，所以，，則，，當(dāng)時(shí)，即P為的中點(diǎn)時(shí)，取得最大值，18.定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足，則稱(chēng)為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且橢圓過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)所在直線(xiàn)的方程；（3）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，（2）中的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，設(shè)四點(diǎn)在橢圓上逆時(shí)針排列.證明：四邊形的面積小于.【正確答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義求出長(zhǎng)軸長(zhǎng)即可作答.（2）設(shè)，根據(jù)“共軛點(diǎn)對(duì)”的定義列出方程，化簡(jiǎn)作答.（3）求出的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，，利用點(diǎn)差法得，再求出點(diǎn)P到直線(xiàn)l距離的范圍即可推理作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，橢圓的另一焦點(diǎn)為，因此，于是，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)B的坐標(biāo)為，由（1）知，點(diǎn)在橢圓C：上，依題意，直線(xiàn)l的方程為，整理得，所以直線(xiàn)的方程為.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，直線(xiàn)：，由，解得或，則，，設(shè)點(diǎn)，，則，兩式相減得，又，于是，則，有，線(xiàn)段PQ被直線(xiàn)l平分，設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為d，則四邊形的面積，