2024年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)零點(diǎn)定理試卷版

3.6零點(diǎn)定理（精練）1．（2023云南）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由，即，所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：D.2．（2022江西）用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，初始區(qū)間大致可選在（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)，可得為單調(diào)遞增函數(shù)，又由，即，所以函數(shù)零點(diǎn)的初始區(qū)間大致為.故選：B.3．（2023·北京）已知二次函數(shù)，若，則在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)情況是（

）A．有兩個(gè)零點(diǎn) B．有唯一零點(diǎn) C．沒有零點(diǎn) D．不確定【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)開口向下，又，所以在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn).故選：C4．（2023·河南平頂山）已知等差數(shù)列中，，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【解析】由已知，函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，即方程的兩根，，∴，∵數(shù)列為等差數(shù)列，∴，∴.故選：B.5．（2023·貴州黔東南）函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由，得，由，得或或，則或或所以在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.故選：C.6．（2023山西）已知函數(shù)，若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，得成立，因?yàn)楹瘮?shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以時(shí)，有1個(gè)實(shí)數(shù)根，顯然a小于等于0，不合要求，當(dāng)時(shí)，只需滿足，解得：.故選：C7．（2023·遼寧鞍山）已知函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，則正整數(shù)（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上是減函數(shù)；易得，，∴，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性，可得函數(shù)的唯一零點(diǎn)所在區(qū)間為，∴．故選：C．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過計(jì)算得，，則其中一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間和第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】因?yàn)?，由零點(diǎn)存在性知：零點(diǎn)，根據(jù)二分法，第二次應(yīng)計(jì)算，即，故選：D.9．（2023·上海金山）下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)近似值的是（

）A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx【答案】C【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，f(x)＝3x－1在R上是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于B，f(x)＝x3在R上是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于C，f(x)＝|x|，雖然也有唯一的零點(diǎn)，但函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)都是正號(hào)，故不能用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于D，f(x)＝lnx在(0,+∞)上是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，可用二分法求零點(diǎn)；故選：C．10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用二分法求如圖所示的函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，不可能求出的零點(diǎn)是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由二分法的思想可知，零點(diǎn)x1，x2，x4左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反，即存在區(qū)間(a，b)，使得x1，x2，x4∈(a，b)，f(a)·f(b)<0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈(a，b)時(shí)均有f(a)·f(b)>0，故不可以用二分法求該零點(diǎn)．故選：C11．（2022秋·湖北）已知，且是方程的兩實(shí)數(shù)根，則，，m，n的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，為方程的兩實(shí)數(shù)根，∴，為函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，令，∴m，n為函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，易知函數(shù)的圖像可由的圖像向上平移2022個(gè)單位長(zhǎng)度得到，所以.故選：C.12．（2023·四川南充）設(shè)正實(shí)數(shù)分別滿足，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知可得，，，作出的圖像如圖所示：它們與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，由圖像可得，故選：B13．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知方程有兩個(gè)不同的解，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】

由于，即，在同一坐標(biāo)系下做出函數(shù)及的圖像，如圖所示：由圖知在上是減函數(shù)，故，由圖知，所以，即，化簡(jiǎn)得，即，故選：D.14．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若方程恰有四個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，綜上，的圖象如圖所示，

因?yàn)?，所以或，又因?yàn)榍∮?個(gè)不等的實(shí)根，且，所以恰有3個(gè)不等的實(shí)根，即恰有3個(gè)不同的交點(diǎn)，所以由圖象可知，.故選：A.15．（2023·河北）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是1，則它的另一個(gè)零點(diǎn)是__________．【答案】3【解析】由，所以令或，故另一個(gè)零點(diǎn)為3故答案為：316．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的零點(diǎn)是_______________【答案】【解析】令，則，解得，故答案為：.17．（2023春·四川雅安）已知函數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為__________．【答案】8【解析】，則等價(jià)于若顯然上面方程不成立；當(dāng)，則可化為易知和都關(guān)于中心對(duì)稱，如下圖所示，在上有8個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)其橫坐標(biāo)依次為，則，即所有零點(diǎn)之和為8.故答案為：818．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】由得，，所以若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程有三個(gè)根，設(shè)，則，令得，或，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，又，作出函數(shù)的大致圖像，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).

故答案為：.19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于______.【答案】8【解析】由，則，即關(guān)于對(duì)稱；由在上遞增且值域?yàn)椤⑸线f增且值域?yàn)?，且關(guān)于對(duì)稱；又，根據(jù)對(duì)稱性知：，所以、且的圖象如下，所以，在的兩側(cè)各有4個(gè)交點(diǎn)，且4對(duì)交點(diǎn)分別關(guān)于對(duì)稱，故任意兩個(gè)對(duì)稱的交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為2，所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為8.故答案為：820．（2023春·江蘇揚(yáng)州）若是方程的解，則在區(qū)間________內(nèi)(填序號(hào)).①；②；③；④.【答案】③【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，，顯然函數(shù)f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，且連續(xù)不間斷，故其有且只有一個(gè)零點(diǎn)，，，則函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上，所以的解在區(qū)間上．故答案為：③．21．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）方程在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．【答案】【解析】考查，因?yàn)?，且開口向上，故在區(qū)間上最多有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得，若方程在區(qū)間上有解，則，即，解得.故答案為：22．（2023春·湖北）設(shè)函數(shù)在區(qū)間[上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】令，則，函數(shù)在區(qū)間[，3]上有零點(diǎn)等價(jià)于直線與曲線在上有交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，顯然，，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有零點(diǎn)；故答案為：.23．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最大值為__________.【答案】【解析】設(shè)，則，此時(shí)，則，令，當(dāng)時(shí)，，記，則，所以在上遞增，在上遞減，故,所以，所以的最大值為.故答案為：.24．（2023·廣西北海·）若函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____.【答案】【解析】由函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，則.即，解之得，故答案為：25．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】因?yàn)椋?，令，則有3個(gè)根，令，則有3個(gè)根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.26．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，其中有兩個(gè)正零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____.【答案】【解析】由，得，因?yàn)椴皇堑牧泓c(diǎn)，等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，即，令，，則，所以為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極大值，即，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以可得的圖象如下所示，

又因?yàn)橛袃蓚€(gè)正實(shí)根，所以.故答案為：27．（2023秋·寧夏銀川·高三?？计谀┮阎瘮?shù)滿足，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，；故時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即.，即，，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：

當(dāng)時(shí)，最多有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，則，即，.綜上所述：.故答案為：.28．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.綜上可得，.函數(shù)的定義域?yàn)椋蓮?fù)合函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)單調(diào)遞增.又，作出的圖象如圖所示

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，曲線與恒有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，所以的取值范圍是.故答案為：.29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則有零點(diǎn)的充要條件是______.【答案】【解析】函數(shù)有零點(diǎn)方程有解.當(dāng)時(shí)，方程有一解；當(dāng)時(shí)，方程有解，綜上知：有零點(diǎn)的充要條件是.故答案為：.30．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足.當(dāng)時(shí)，，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________.【答案】160【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以，所以的最小正周期為3，當(dāng)時(shí)，令，解得或，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：160.1．（2023·陜西西安）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．3 D．2【答案】A【解析】因?yàn)椋庵没?，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，，的圖象如圖：由圖可知使得或的點(diǎn)有4個(gè).故選：A.2．（2023春·安徽）已知函數(shù)與的零點(diǎn)分別為a，b，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，，所以且，，所以且，對(duì)比和可知，結(jié)合和只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，故，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，易知在單調(diào)遞增，若，則，與a是的零點(diǎn)矛盾，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若成立，則有，即有，即有，故矛盾，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)D正確．故選：D．3．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和為（

）A．－32 B．32 C．16 D．8【答案】D【解析】函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),.又函數(shù),函數(shù)是偶函數(shù),函數(shù)的零點(diǎn)都是以相反數(shù)的形式成對(duì)出現(xiàn)的.函數(shù)在上所有的零點(diǎn)的和為,函數(shù)在上所有的零點(diǎn)的和,即函數(shù)在上所有的零點(diǎn)之和.即方程在上的所有實(shí)數(shù)解之和.由時(shí),,故有函數(shù)在上的值域?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),.又當(dāng)時(shí),,如圖：函數(shù)在上的值域?yàn)?；函?shù)在上的值域?yàn)?；函?shù)在上的值域?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,即方程在上的又一個(gè)實(shí)數(shù)解.即有一個(gè)零點(diǎn)；函數(shù)在上的值域?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,故在上恒成立,在上無(wú)零點(diǎn),同理在上無(wú)零點(diǎn),依此類推,函數(shù)在無(wú)零點(diǎn).綜上函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和為8,故選：D.4．（2023·北京）若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過0.25，則函數(shù)可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)A，的零點(diǎn)為；對(duì)B，的零點(diǎn)為；對(duì)C，的零點(diǎn)為；對(duì)D，的零點(diǎn)為；，，，故零點(diǎn)在之間，再用二分法，取，，，故的零點(diǎn)，由題的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過0.25，則只有的零點(diǎn)符合；故選：B5．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對(duì)于非線性可導(dǎo)函數(shù)在附近一點(diǎn)的函數(shù)值可用代替，該函數(shù)零點(diǎn)更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個(gè)方法，解方程，選取初始值，在下面四個(gè)選項(xiàng)中最佳近似解為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，令，即，可得，迭代關(guān)系為，取，則，，故選：D.6．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，對(duì)于下述四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的零點(diǎn)有三個(gè)；②函數(shù)關(guān)于對(duì)稱；③函數(shù)的最大值為2；④函數(shù)的最小值為0．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】由，令，所以或，又，故或或或，所以的零點(diǎn)有四個(gè)，①錯(cuò)；，關(guān)于對(duì)稱，②對(duì)；由，而，且含cosx的二次函數(shù)開口向上，又，故的最大值：時(shí)有，③對(duì)；的最小值：時(shí)有，④錯(cuò)；故選：B7．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）若函數(shù)在區(qū)間上的三個(gè)零點(diǎn)為，，，且，且，則下列結(jié)論：（

）①的最小正周期為；

②在區(qū)間有3個(gè)極值點(diǎn)；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；

④為函數(shù)離原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】令，則由，得，所以，由，得到如圖，由的圖像與性質(zhì)知，，，即化簡(jiǎn)得，將代入得，所以，故①正確；對(duì)于②，因?yàn)?，由的圖像與性質(zhì)知，函數(shù)的極值點(diǎn)，即函數(shù)的最值點(diǎn)，所以由，得到，又因?yàn)?，所以或，所以在區(qū)間上有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由，，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，得到，由，得到，所以在區(qū)間在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，令，解得，當(dāng)時(shí)，為最小，所以函數(shù)離原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心為，故④錯(cuò)誤．故選：B．8．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，則，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故選：B.9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，的零點(diǎn)分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)與圖象的交點(diǎn)為A，與圖象的交點(diǎn)為，則與關(guān)于直線對(duì)稱，則，．因?yàn)?，所以，則，即，因?yàn)榈膱D象與直線的交點(diǎn)為，所以，，，則．故選：ABD.10．（2023秋·河北石家莊·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知函數(shù)，若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】如圖示，作出和的圖像.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)榇嬖谑沟茫?由圖示可知關(guān)于對(duì)稱，所以，所以.故A正確；令，即，解得：或.所以由圖示可知：.故B正確.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，所以時(shí)，有，即的圖像關(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，所以，所以，即，所以.因?yàn)椋?故C錯(cuò)誤；因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以，所以.又因?yàn)椋?故D正確.故選：ABD11．（2022秋·四川成都）（多選）已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)即函數(shù)與的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如下圖：則，，即，，故D錯(cuò)誤；由圖可知，且，，則，由，，則，即，可得，即，故A、C正確，B錯(cuò)誤.故選：AC.12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知，分別是函數(shù)和的零點(diǎn)，則（

）A． B． C．D．【答案】BCD【解析】令，得，即，，令，得，即，即，，記函數(shù)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，故A錯(cuò)誤；又，所以，，所以，故B正確；所以，故C正確；又，所以，結(jié)合，得，因?yàn)?，所以，且，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，故D正確；故選：BCD13．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的最小值為_________.【答案】/【解析】設(shè)為在上的零點(diǎn)，可得，所以，即點(diǎn)在直線，又表示點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，則有解，即有解，令，可得，因?yàn)椋?，所以恒成立，可得在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即的最小值為．故答案為：.14．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，此時(shí)成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時(shí)，，此時(shí)成立．（2）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，顯然不成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時(shí)，，顯然不成立；綜上，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為．所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且．故答案為：．15．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】依題意，方程，即有三個(gè)不等實(shí)根，設(shè)兩個(gè)函數(shù)圖象的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即方程的三個(gè)根為，于是，整理得，因此，則，即有，解得或，所以的取值范圍是..故答案為：16（2023·上海徐匯·上海市南洋模范中學(xué)校考三模）設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是______．【答案】【解析】最多有2個(gè)根，所以至少有4個(gè)根由，可得，由可得.時(shí)，當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，即；當(dāng)，有5個(gè)零點(diǎn)，即；當(dāng)，有6個(gè)零點(diǎn)，即；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，有1個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí)，令，則，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；所以若時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn).綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)滿足或或，則可解得的取值范圍是：.故答案為：.17．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】由得，，所以若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程有三個(gè)根，設(shè)，則，令得，或，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，又，作出函數(shù)的大致圖像，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).

故答案為：.18．（2023·上?！とA師大二附中校考模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)__________.【答案】【解析】

如圖，顯然.當(dāng)時(shí)，由單調(diào)性得，方程有且僅有一解.因此當(dāng)時(shí)，方程也恰有一解.即為函數(shù)的切線，，令得，故當(dāng)時(shí)，，得，即從而.故答案為：19．（2023·上海虹口·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)校考三模）若存在實(shí)數(shù)及正整數(shù)，使得在區(qū)間內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)，則所有滿足條件的正整數(shù)的值共有_________個(gè)．