2025年仁愛科普版高三數(shù)學(xué)上冊階段測試試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年仁愛科普版高三數(shù)學(xué)上冊階段測試試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共5題，共10分)1、已知雙曲線的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為（1，2），則此雙曲線方程為（）A.B.C.D.2、已知函數(shù)f（x）=，若f（x0）＞4，則x0的取值范圍（）A.（-2，2）B.（-∞，-2）∪（2，+∞）C.（-，2）D.（-∞，-）∪（2，+∞）3、用數(shù)學(xué)歸納法證明1++（n∈N且n＞1），第二步證明中從“k到k+1”時，左端增加的項數(shù)是（）A.2k+1B.2k-1C.2kD.2k-14、不論a為何值時，函數(shù)恒過一定點，這個定點坐標(biāo)是（）A.（1，）B.（1，）C.（-1，）D.（-1，）5、【題文】設(shè)是橢圓上的點．若是橢圓的兩個焦點，則等于（）A.4B.5C.8D.10評卷人得分二、填空題(共8題，共16分)6、實數(shù)x，y滿足條件，則2x+5y的最大值是____．7、與圓C：（x-2）2+（y+1）2=4相切于點（4，-1）且半徑為1的圓的方程是____．8、已知點P（x，y）的坐標(biāo)滿足條件則x2+y2的最大值為____．9、函數(shù)f（x）=，則f（x+3）=____．10、若，則=____．11、下列命題：

①“全等三角形的面積相等”的逆命題；

②“若ab=0；則a=0”的否命題；

③“正三角形的三個角均為60°”的逆否命題．

其中真命題的序號是____（把所有真命題的序號填在橫線上）．12、已知向量的夾角為且則向量在向量方向上的投影是________．13、【題文】命題“x∈R，”的否定是____評卷人得分三、判斷題(共8題，共16分)14、判斷集合A是否為集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．15、已知函數(shù)f（x）=4+ax-1的圖象恒過定點p，則點p的坐標(biāo)是（1，5）____．（判斷對錯）16、判斷集合A是否為集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．17、函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數(shù)．____（判斷對錯）18、已知函數(shù)f（x）=4+ax-1的圖象恒過定點p，則點p的坐標(biāo)是（1，5）____．（判斷對錯）19、空集沒有子集．____．20、任一集合必有兩個或兩個以上子集．____．21、若b=0，則函數(shù)f（x）=（2k+1）x+b在R上必為奇函數(shù)____．評卷人得分四、簡答題(共1題，共9分)22、如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，當(dāng)E、F分別在線段AD、BC上，且AD=4，CB=6，AE=2，現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折疊，使平面ABFE與平面EFCD垂直。1.判斷直線AD與BC是否共面，并證明你的結(jié)論；2.當(dāng)直線AC與平面EFCD所成角為多少時，二面角A—DC—E的大小是60°。評卷人得分五、證明題(共2題，共10分)23、如圖；在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=4，將三角形ABD沿BD翻折，使面ABD⊥面BCD．

（Ⅰ）求線段AC的長度；

（Ⅱ）求證：AD⊥平面ABC．24、如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D是B的中點，E是AB上一點，且AE=2EB，求證：AD⊥CE．評卷人得分六、綜合題(共4題，共40分)25、已知△ABC的三邊長分別為AB=5；BC=4，AC=3，M是AB邊上的點，P是平面ABC外一點，給出下列四個命題：

①若PA⊥平面ABC；則三棱錐P-ABC的四個面都是直角三角形；

②若PM⊥平面ABC；且M是AB邊的中點，則有PA=PB=PC；

③若PC=5，PC⊥平面ABC，則△PCM面積的最小值為；

④若PB=5，PB⊥平面ABC，則三棱錐P-ABC的外接球體積為；

其中正確命題是____．26、如圖所示的圖形為一隧道的截面，其中ABCD是矩形，CED是拋物線的一段，在工程的設(shè)計中，要注意開鑿隧道所需挖掘的土石方量，這就需要計算這個截面的面積，試根據(jù)圖中所給出的數(shù)據(jù)計算這個截面的面積．27、如圖1；在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿對角線AC折起到△PAC的位置，如圖2所示，使得點P在平面ABC上的正投影H恰好落在線段AC上，連接PB，點E，F(xiàn)分別為線段PA，PB的中點．

（Ⅰ）求證：平面EFH∥平面PBC；

（Ⅱ）求直線HE與平面PHB所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱PA上是否存在一點M，使得M到P，H，A，F(xiàn)四點的距離相等？請說明理由．28、已知函數(shù)f（x）=x+

（1）判斷函數(shù)的奇偶性；并加以證明；

（2）用定義證明f（x）在（0，1）是減函數(shù)．參考答案一、選擇題(共5題，共10分)1、C【分析】【分析】由題意知c==，點（1，2）在y=x上，由此能求出雙曲線的方程．【解析】【解答】解：∵雙曲線的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2；

以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為（1；2）；

∴由題意知c==；

∴a2+b2=5；①

又點（1，2）在y=x上，∴；②

由①②解得a=1，b=2；

∴雙曲線的方程為=1．

故選：C．2、B【分析】【分析】根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=，分類討論滿足f（x0）＞4的x0的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．【解析】【解答】解：∵函數(shù)f（x）=；

當(dāng)x0＞0時，f（x0）＞4可化為：x02＞4，解得x0∈（2；+∞）；

當(dāng)x0≤0時，f（x0）＞4可化為：＞4=，解得x0∈（（-∞；-2）；

綜上所述，若f（x0）＞4，則x0的取值范圍為（-∞；-2）∪（2，+∞）；

故選：B3、C【分析】【分析】當(dāng)n=k時，寫出左端，并當(dāng)n=k+1時，寫出左端，兩者比較，關(guān)鍵是最后一項和增加的第一項的關(guān)系．【解析】【解答】解：當(dāng)n=k時，左端=1++；

那么當(dāng)n=k+1時左端=1+++++=1+++++；

∴左端增加的項為+++，所以項數(shù)為：2k．

故選：C．4、C【分析】【分析】由已知中，不論a為何值時，函數(shù)恒過一定點，我們可將函數(shù)的解析式變形為（）a-（2x+y）=0的形式，則根據(jù)=0，2x-y=0，構(gòu)造一個關(guān)于x，y的方程，解方程即可求出定點坐標(biāo)．【解析】【解答】解：函數(shù)的解析式可化為。

（）a-（2x+y）=0

若不論a為何值時，函數(shù)恒過一定點；

即不論a為何值時，（）a-（2x+y）=0恒成立。

則=0，2x+y=0

解得x=-1，y=-，即恒過的定點坐標(biāo)是（-1，）

故選C．5、D【分析】【解析】由橢圓的第一定義知【解析】【答案】D二、填空題(共8題，共16分)6、略

【分析】【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義進行求解即可．【解析】【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

由z=2x+5y，得y=x+表示；

平移直線y=x+，當(dāng)直線y=x+經(jīng)過點B時，直線y=x+的截距最大；此時z最大；

由，即；即B（2，3）；

此時zmax=2×2+5×3=19．

故答案為：19．7、略

【分析】【分析】設(shè)所求的圓的圓心為A（a，b），則由題意可得A、C（2，-1）和點B（4，-1）在同一條直線上，根據(jù)它們的斜率相等以及AB=1，求得a和b的值，從而求得圓的方程．【解析】【解答】解：設(shè)所求的圓的圓心為A（a，b）；由于C（2，-1）；

則由題意可得A；C（2；-1）和點B（4，-1）在同一條直線上；

故有=，求得b=-1．

再結(jié)合AB=1；可得a=5或a=3，即圓心A（5，-1），或A（3，-1）；

故所求圓的方程為（x-5）2+（y+1）2=1，或（x-3）2+（y+1）2=1；

故答案為：（x-5）2+（y+1）2=1，或（x-3）2+（y+1）2=1．8、略

【分析】【分析】先畫出滿足約束條件件的平面區(qū)域，z=x2+y2表示動點到原點的距離的平方，只需求出可行域內(nèi)的動點到原點的距離最大值即可．【解析】【解答】解：滿足約束條件件的平面區(qū)域如下圖所示：

因為目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義是動點到原點的距離的平方；

由圖得當(dāng)為A點時取得目標(biāo)函數(shù)的最大值；

可知A點的坐標(biāo)為（1；3）；

代入目標(biāo)函數(shù)中，可得zmax=32+12=10．

故答案為：10．9、略

【分析】【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)求解．【解析】【解答】解：∵f（x）=；

∴f（x+3）=．

故答案為：．10、略

【分析】【分析】利用二倍角的余弦公式、正切公式化簡，再利用條件，即可得出結(jié)論．【解析】【解答】解：∵；

∴=+tan2α====．

故答案為：．11、略

【分析】

①“全等三角形的面積相等”的逆命題是“面積相等的三角形是全等三角形”；因為三角形的面積相等，但三角形的形狀不一定相同，所以①錯誤．

②“若ab=0，則a=0”的否命題是“若ab≠0，則a≠0”，當(dāng)ab≠0時，則a≠0且b≠0；所以②正確．

③因為正三角形的三個角均為60°；所以原命題正確．因為原命題和逆否命題互為等價命題，所以原命題的逆否命題也正確．所以③正確．

故答案為：②③．

【解析】【答案】①寫出逆命題；進行判斷．②寫出否命題進行判斷．③寫出逆否命題或者利用等價命題進行判斷．

12、略

【分析】試題分析：：向量在向量方向上的投影：故答案為：0．考點：平面向量數(shù)量積的運算．【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

試題分析：因為，存在性命題的否定是全稱命題，所以，命題“x∈R，”的否定是

考點：全稱命題與存在性命題的關(guān)系。

點評：簡單題，存在性命題的否定是全稱命題，全稱命題的否定是存在性命題?！窘馕觥俊敬鸢浮咳⑴袛囝}(共8題，共16分)14、√【分析】【分析】根據(jù)子集的概念，判斷A的所有元素是否為B的元素，是便說明A是B的子集，否則A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5?B，∴A不是B的子集；

（3）B=?；∴A不是B的子集；

（4）A；B兩集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案為：√，×，×，√．15、√【分析】【分析】已知函數(shù)f（x）=ax-1+4，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出其過的定點．【解析】【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴點P的坐標(biāo)為（1；5）；

故答案為：√16、√【分析】【分析】根據(jù)子集的概念，判斷A的所有元素是否為B的元素，是便說明A是B的子集，否則A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5?B，∴A不是B的子集；

（3）B=?；∴A不是B的子集；

（4）A；B兩集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案為：√，×，×，√．17、×【分析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義進行判斷即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定義域不關(guān)于原點對稱；

故函數(shù)y=sinx不是奇函數(shù)；

故答案為：×18、√【分析】【分析】已知函數(shù)f（x）=ax-1+4，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出其過的定點．【解析】【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴點P的坐標(biāo)為（1；5）；

故答案為：√19、×【分析】【分析】根據(jù)空集的性質(zhì)，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根據(jù)題意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；則原命題錯誤；

故答案為：×．20、×【分析】【分析】特殊集合?只有一個子集，故任一集合必有兩個或兩個以上子集錯誤．【解析】【解答】解：?表示不含任何元素；?只有本身一個子集，故錯誤．

故答案為：×．21、√【分析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可作出判斷．【解析】【解答】解：當(dāng)b=0時；f（x）=（2k+1）x；

定義域為R關(guān)于原點對稱；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)．

故答案為：√．四、簡答題(共1題，共9分)22、略

【分析】

1.是異面直線，（1分）法一（反證法）假設(shè)共面為．．又．這與為梯形矛盾．故假設(shè)不成立．即是異面直線．（5分）法二：在取一點M，使又是平行四邊形．則確定平面與是異面直線．2.法一:延長相交于N，AE=2，AD=4，BC=6，設(shè)則△NDE中，平面平面平面．過E作于H，連結(jié)AH，則．是二面角的平面角，則．（8分）此時在△EFC中，．（10分）又平面是直線與平面所成的角,．（12分）即當(dāng)直線與平面所成角為時，二面角的大小為法二：面面平面．又．故可以以E為原點，為x軸，為軸，為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可求設(shè)．則得平面的法向量則有可取．平面的法向量．．（8分）此時，．設(shè)與平面所成角為則．即當(dāng)直線AC與平面EFCD所成角的大小為時，二面角的大小為．（12分）【解析】略【解析】【答案】五、證明題(共2題，共10分)23、略

【分析】【分析】法一：

（Ⅰ）取CD中點E；連接BE，推導(dǎo)出四邊形ABDE為正方形，BD⊥BC，從而BC⊥面ABD，由此能求出線段AC的長度．

（Ⅱ）由BC⊥面ABD；得BC⊥AD，又AB⊥AD，由此能證明AD⊥平面ABC．

法二：

（Ⅰ）取CD中點E；連接BE，推導(dǎo)出四邊形ABDE為正方形，BD⊥BC，取BD中點F，連接AF，CF，則AF⊥面BCD，由此能求出線段AC的長度．

（Ⅱ）由勾股定理得AD⊥AC，又AB⊥AD，由此能證明AD⊥平面ABC．【解析】【解答】解法一：

解：（Ⅰ）在梯形ABCD中；

取CD中點E；連接BE，因為AB⊥AD，AB=AD=2；

所以，又，

所以四邊形ABDE為正方形；即有BE=2，BE⊥CD；

所以（2分）

在△BCD中，；所以BD⊥BC；

翻折之后；仍有BD⊥BC（3分）

又面ABD⊥面BCD；面ABD∩面BCD=BD，BC?面BCD，所以BC⊥面ABD（6分）

又AB?面ABD；所以BC⊥AB（7分）

所以（8分）

證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥面ABD；又AD?面ABD，所以BC⊥AD，（10分）

又AB⊥AD；AB∩BC=B，所以AD⊥平面ABC．（12分）

解法二：

解：（Ⅰ）在梯形ABCD中；取CD中點E，連接BE；

因為AB⊥AD，AB=AD=2，所以

又；所以四邊形ABDE為正方形；

即有BE=2，BE⊥CD，所以（2分）

在△BCD中，；所以BD⊥BC；

翻折之后；仍有BD⊥BC（3分）

取BD中點F，連接AF，CF，則有BD⊥AF，

因為面ABD⊥面BCD；面ABD∩面BCD=BD，BD⊥AF，AF?面ABD；

所以AF⊥面BCD（6分）

又CF?面BCD；AF⊥CF（7分）

因為，；

所以．（8分）

證明：（Ⅱ）在△ACD中，；CD=4，AD=2；

AD2+AC2=CD2；

所以AD⊥AC（10分）

又AB⊥AD；AB∩AC=A；

所以AD⊥平面ABC．（12分）24、略

【分析】【分析】由題意，表示出，，再由數(shù)量積可得?=（-）?（+）=2-?+?-2；從而判斷垂直．【解析】【解答】證明：∵在等腰直角三角形ABC中；∠C=90°；

∴|AC|=|BC|=|AB|；

=-=-；

=+

=+

=+（-）

=+；

故?=（-）?（+）

=2-?+?-2；

∵CB⊥CA；

∴?=0；

故2-?+?-2

=2-2

=0；

故AD⊥CE．六、綜合題(共4題，共40分)25、略

【分析】【分析】①根據(jù)空間中的垂直關(guān)系；推出三棱錐P-ABC的四個面都是直角三角形；

②根據(jù)空間中的垂直關(guān)系與三角形全等；證出PA=PB=PC；

③根據(jù)圖形求出△PCM面積的最小值為6；

④利用直三棱錐P-ABC的外接球是以AC、BC、PB為棱長的長方體的外接球，求出球的半徑即可．【解析】【解答】解：對于①，如圖0所示；

PA⊥平面ABC；

AC?平面ABC；∴PA⊥AC，∴△PAC是直角三角形；

同理；△PAB是直角三角形；

又△ABC的三邊長分別為AB=5；BC=4，AC=3；

∴AB2=AC2+BC2；

∴AC⊥BC，△ABC是直角三角形；

又PA⊥BC；PA∩AC=A；

∴BC⊥平面PAC；

∴BC⊥PC；∴△PBC是直角三角形；

即三棱錐P-ABC的四個面都是直角三角形；

①正確；

對于②；如圖1所示；

∵△ABC是直角三角形；且M是AB的中點；

∴MA=MB=MC；

又PM丄平面ABC；

∴Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC；

∴PA=PB=PC；②正確；

對于③，如圖2所示，

當(dāng)PC⊥面ABC時，△PCM的面積為×PC×CM=×5×CM；

又∵CM作為垂線段時最短．為=；

∴△PCM面積的最小值為×5×=6；③不正確；

對于④，如圖3所示，

當(dāng)PB=5；PB⊥平面ABC時；

AB=5；BC=4，AC=3；

∴直三棱錐P-ABC的外接球可以看做是。

AC=3；BC=4，PB=5為棱長的長方體的外接球；

∴2R=PA=5；

∴R=；

其體積為?=；④正確．

綜上；正確的命題為①②④．

故答案為：①②④．26、略

【分析】【分析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出拋物線的方程，利用定積分求面積，即可得出結(jié)論．【解析】【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則C（4，-2），代入x2=-2py；

可得16=4p，∴p=4，∴y=-x2；

∴截面的面積為8×6-2（x2）dx=48-x3=．27、略

【分析】【分析】（Ⅰ）依題意；可證得△ADC（即△PDC）是等邊三角形?H是AC的中點，從而可知HE∥PC，可知同理EF∥PB，利用面面平行的判斷定理即可證得結(jié)論；

（Ⅱ）在平面ABC內(nèi)過H作AC的垂線，以H為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，繼而可求得A，P，B，E的坐標(biāo)，設(shè)平面PHB的法向量=（x，y，z），由可求得，通過對x賦值，可求得=（，-3，0），利用向量的數(shù)量積即