算符的運算規(guī)則電子教案

3.2算符的運算規(guī)則3.2.1算符的定義所謂算符，是指作用在一個函數上得出另一個函數的運算符號。若某種運算把函數變?yōu)椋涀鲃t表示這種運算的符號就稱為算符。如果算符作用于一個函數，結果等于乘上一個常數，記為則為的本征值，為的本征函數，上述方程稱為的本征方程。（3.2.1）3.2算符的運算規(guī)則其中、為任意函數，、為常數，則稱為線性算符。若算符滿足：（3.2.2）（3.2.3）若算符滿足：為任意函數，則稱為單位算符。3.2算符的運算規(guī)則3.2.2算符的運算規(guī)則為任意波函數。顯然，算符之和滿足交換率和結合律算符之和（3.2.4）顯然，線性算符之和仍為線性算符。算符之積注：一般情形（3.2.5）（3.2.6）比方，取則3.2算符的運算規(guī)則但因此（3.2.7）從（3.2.8）可見，由于是任意函數，從(3.2.7)式得（3.2.8）

3.2算符的運算規(guī)則最后一式稱為雅可比恒等式。（3.2.10）作為例子，我們討論角動量算符（3.2.11）上式中，，=1,2,3表示相應的分量，成為列維-斯維塔記號，滿足任意兩個下腳標相同，則為零。（3.2.14）

3.2算符的運算規(guī)則（3.2.12）它們和坐標算符的對易子是（3.2.12）式可表示為（3.2.13）

3.2算符的運算規(guī)則同理可得（3.2.16）（3.2.15）式中不為零的等式也可寫成（3.2.17）坐標和動量的對易子可寫為（3.2.18）其中（3.2.19）

3.2算符的運算規(guī)則（3.2.20）角動量算符的平方是：（3.2.21）則（3.2.22）在球坐標系下（3.2.23）則

3.2算符的運算規(guī)則（3.2.24）將r兩邊對x求偏導，得（3.2.25）將兩邊對x求偏導，得：（3.2.26）再將兩邊對x求偏導，得：利用這些關系式可求得：（3.2.27）

3.2算符的運算規(guī)則（3.2.28）同理可得：（3.2.29）（3.2.30）（3.2.31）（3.2.32）則角動量算符可表示為：

3.2算符的運算規(guī)則（3.2.34）（3.2.35）（3.2.33）由此可得：（3.2.36）所以

3.2算符的運算規(guī)則則的本征方程可寫為：（3.2.37）（3.2.39）（3.2.38）在數理方法中已討論過，必須有：可解得：為歸一化系數，為連帶勒讓得多項式。所以（3.2.40）因為表示角動量太小，所以稱為角動量量子數，稱為磁量子數。

3.2算符的運算規(guī)則對應于一個的值，可以取個值，因而對于的一個本征值，有個不同的本征函數。我們把對應于一個本征只有一個以上的本征函數的情況叫簡并，把對應于同一本征值的本征函數的數目稱為簡并度。的本征值是度簡并的。（3.2.41）同理：即在態(tài)中，體系的角動量在軸方向投影為一般稱的態(tài)為態(tài)，的態(tài)依次為態(tài)。

3.2算符的運算規(guī)則現在考慮角動量算符的物理意義。設體系繞軸滾動角并以算符變換表示：，（3.2.42）當，即在無窮小轉動下，對做泰勒展開，準確到一級項有

3.2算符的運算規(guī)則因此，狀態(tài)在空間轉動后變?yōu)榱硪粻顟B(tài)，它等于某個變換算符作用于原來態(tài)上的結果，而該變換算符，特別在無窮小轉動下，，角動量算符純粹反映空間轉動的特征，又稱角動量算符為空間轉動無窮小算符，從而角動量反映著空間轉動變化的特性。

3.2算符的運算規(guī)則算符的乘冪算符的次乘冪定義為（3.2.20）算符的函數（3.2.21）且能從上式唯一的解出來