高中物理重要方法典型模型突破13-模型專題(5)-傳送帶模型(解析版)

專題十三模型專題（5）傳送帶模型【重點模型解讀】傳送帶模型是高中既典型又基礎的物理模型，且容易結合生活實際來考察生活實際問題，傳送帶模型的考查分為兩方面，一方面是動力學問題考察(包括劃痕)，另一方面是能量轉化問題考查。一、模型認識項目圖示滑塊可能的運動情況滑塊受（摩擦）力分析情景1①可能一直加速受力f=μmg②可能先加速后勻速先受力f=μmg，后f=0情景2①v0>v時,可能一直減速,也可能先減速再勻速受力f=μmg先受力f=μmg，后f=0②v0<v時,可能一直加速,也可能先加速再勻速受力f=μmg先受力f=μmg，后f=情景3①傳送帶較短時,滑塊一直減速達到左端受力f=μmg②傳送帶較長時,滑塊還要被傳送帶傳回右端。其中,若v0>v,返回時速度為v;若v0<v,返回時速度為v0受力f=μmg（方向一直向右）減速和反向加速時受力f=μmg（方向一直向右），勻速運動f=0情景4①可能一直加速受摩擦力f=μmgcosθ②可能先加速后勻速先受摩擦力f=μmgcosθ，后f=mgsinθ（靜）情景5①可能一直以同一加速度a加速受摩擦力f=μmgcosθ②可能先加速后勻速先受摩擦力f=μmgcosθ，后f=mgsinθ（靜）③可能先以a1加速后以a2加速先受摩擦力f=μmgcosθ，后受反向的摩擦力f=μmgcosθ二、傳送帶模型問題的關鍵(1)對物體所受的摩擦力進行正確的分析判斷。(2)物體的速度與傳送帶速度相等的時刻就是物體所受摩擦力發(fā)生突變的時刻。三、解答傳送帶問題應注意的事項(1)比較物塊和傳送帶的初速度情況，分析物塊所受摩擦力的大小和方向，其主要目的是得到物塊的加速度。(2)關注速度相等這個特殊時刻，水平傳送帶中兩者一塊勻速運動，而傾斜傳送帶需判斷μ與tanθ的關系才能決定物塊以后的運動。（3）要注意摩擦力做功情況的分析，摩擦生熱的能量損失計算時要注意相對位移的分析。【典例講練突破】【例1】如圖所示，水平傳送帶始終以v勻速運動，現將一質量為m的物體輕放于A端，物體與傳送帶之間的動摩擦因數為μ，AB長為L，L足夠長，重力加速度為g。問：(1)物體從A到B做什么運動？(2)當物體的速度達到傳送帶速度v時，物體的位移多大？傳送帶的位移多大？(3)物體從A到B運動的時間為多少？(4)什么條件下物體從A到B所用時間最短？【解析】(1)物體先做勻加速直線運動，當速度與傳送帶速度相同時，做勻速直線運動。(2)由v＝at和a＝μg，解得t＝eq\f(v,μg)物體的位移x1＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(v2,2μg)傳送帶的位移x2＝vt＝eq\f(v2,μg)(3)物體從A到B運動的時間為t總＝eq\f(v,μg)＋eq\f(L－x1,v)＝eq\f(L,v)＋eq\f(v,2μg)(4)當物體從A到B一直做勻加速直線運動時，所用時間最短，所以要求傳送帶的速度滿足v≥eq\r(2μgL)。答案(1)先勻加速，后勻速(2)eq\f(v2,2μg)eq\f(v2,μg)(3)eq\f(L,v)＋eq\f(v,2μg)(4)v≥eq\r(2μgL)【練1】(多選)如圖所示,水平傳送帶AB的長度L=1.8m,皮帶輪的半徑R=0.4m,皮帶輪以角速度ω=5rad/s沿順時針勻速轉動(皮帶不打滑),現將一質量m=3kg的煤塊(視為質點)輕放在傳送帶上的A點,與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.25,g=10m/s2。則下列說法正確的是()。A.煤塊從A點運動到B點所用的時間為1.3sB.煤塊到達B點時對滑輪的壓力大小為mgC.煤塊在傳送帶上留下痕跡長度是0.8mD.若使煤塊從A運動到B所用的時間最短,則傳送帶的角速度ω至少為7.5rad/s【答案】ACD【解析】對煤塊進行受力分析知,初始時加速度a=μg=2.5m/s2,傳送帶的速度vc=Rω=2m/s,煤塊加速到與傳送帶速度相等時,所需時間t1==0.8s,位移x1=a=0.8m,后到達B點所需時間t2==0.5s,所需總時間t=t1+t2=1.3s,A項正確;傳送帶運動距離s=vct1=1.6m,煤塊留下痕跡長度d=s-x1=0.8m,C項正確;煤塊到達B點時,煤塊做圓周運動,對滑輪的壓力大于其重力,B項錯誤;要使煤塊到達B點時間最短,則要煤塊一直加速,由v2=2aL及v=Rω得ω=7.5rad/s,D項正確?！纠?】如圖所示,傳送帶傾角θ=37°,從A到B長度L=10.25m,傳送帶以v0=10m/s的速率逆時針轉動。在傳送帶上端A無初速度地放一個質量m=0.5kg的黑色煤塊,它與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.5。煤塊在傳送帶上經過會留下黑色痕跡。已知sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度大小g=10m/s2,求:(1)煤塊從A運動到B的時間。(2)煤塊從A運動到B的過程中傳送帶上形成痕跡的長度?！窘馕觥?1)煤塊剛放上時,受到向下的摩擦力,如圖乙所示其加速度a1=g(sinθ+μcosθ)=10m/s2t1==1s,x1=a1=5m<L即煤塊下滑5m與傳送帶速度相等達到v0后,受到向上的摩擦力,由于μ<tan37°,煤塊仍將加速下滑,如圖所示a2=g(sinθ-μcosθ)=2m/s2x2=L-x1=5.25mx2=v0t2+a2解得t2=0.5s則煤塊從A運動到B的時間t=t1+t2=1.5s。(2)第一過程痕跡長Δx1=v0t1-a1=5m第二過程痕跡長Δx2=x2-v0t2=0.25mΔx1與Δx2部分重合,故痕跡總長為5m?！敬鸢浮?1)1.5s(2)5m【練2】(多選)如圖所示,三角形傳送帶以1m/s的速度沿逆時針方向勻速轉動,兩邊傾斜的傳送帶長都是2m且與水平方向的夾角均為37°?，F有兩個小物塊A、B從傳送帶頂端都以1m/s的初速度沿傳送帶下滑,兩物塊與傳送帶間的動摩擦因數都是0.5,g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8。下列判斷正確的是()。A.物塊A先到達傳送帶底端B.物塊A、B同時到達傳送帶底端C.傳送帶對物塊A、B的摩擦力都沿傳送帶向上D.物塊A下滑過程中相對傳送帶的路程小于物塊B下滑過程中相對傳送帶的路程【答案】BCD【解析】物塊A、B都以1m/s的初速度沿傳送帶下滑,故傳送帶對兩物塊的滑動摩擦力均沿傳送帶向上,大小也相等,mgsin37°-μmgcos37°=ma,解得a=2m/s2>0,故兩物塊的加速度沿傳送帶向下且大小相同,滑到底端時位移大小相同,故時間相同,A項錯誤,B、C兩項正確;物塊A與傳送帶運動方向相同,相對路程較小,D項正確。【練3】如圖所示，傳送帶與水平面之間的夾角為37°，其上A、B兩點間的距離為5.6m，傳送帶在電動機的帶動下以的速度勻速運轉，現將一質量為的小物體（可視為質點）輕放在傳送帶上A點，已知小物體從A到B的時間一共為8s，則在傳送帶將小物塊從A傳送到B的過程中，求：（1）小物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為多少？（2）小物塊對傳送帶的摩擦力對傳送帶做了多少功？（3）若每隔輕放一個同樣的物體，當物體穩(wěn)定運行時，相鄰勻速運動的兩物體之間的距離為多大？（4）若每隔輕放一個同樣的物體，不計傳送帶與輪軸處的摩擦損耗，求帶動傳送帶的電動機在相當長一段時間內的平均輸出功率為多大？（）【解析】（1）設物塊勻速運動時間為，有解得∴（2）小物塊在前2秒是滑動摩擦力做功，后6秒為靜摩擦力做功（3）物塊間距離等于物塊速度與時間差的乘積△（4）電機對傳送帶做的正功等于物塊對傳送帶做的功，每傳送一個物塊，相當于電動機需做功，或者?！敬鸢浮?.2.-195.2J3.1.6s4.97.6W【例3】

如圖所示，足夠長的傳送帶以恒定速率逆時針運行，將一物體輕輕放在傳送帶頂端，第一階段物體被加速到與傳送帶具有相同的速度，第二階段物體與傳送帶相對靜止，勻速運動到達傳送帶底端．下列說法正確的是A．第一階段摩擦力對物體做正功，第二階段摩擦力對物體做負功B．第一階段摩擦力對物體做的功大于第一階段物體動能的增加量C．第一階段物體和傳送帶間的摩擦生熱等于第一階段物體機械能的增加量D．全過程物體與傳送帶間的摩擦生熱等于物體從頂端到底端全過程機械能的增加量答案：AC【例4】如圖所示,AB是固定于豎直平面內的光滑圓弧軌道,末端B處的切線方向水平。一物體P(可視為質點)從圓弧最高點A處由靜止釋放,滑到B端飛出,落到地面上的C點。測得C點和B點的水平距離OC=L,B點距地面的高度OB=h?，F在軌道下方緊貼B端安裝一個水平傳送帶,傳送帶的右端與B點的距離為。當傳送帶靜止時,讓物體P從A處由靜止釋放,物體P沿軌道滑過B點后又在傳送帶上滑行并從傳送帶右端水平飛出,仍落在地面上的C點。(1)求物體P與傳送帶間的動摩擦因數。(2)若在A處給P一個豎直向下的初速度v0,物體P從傳送帶右端水平飛出,落在地面上的D點,求OD的大小。(3)若傳送帶驅動輪順時針轉動,帶動傳送帶以速度v勻速運動,再把物體P從A處由靜止釋放,物體P落在地面上。設著地點與O點的距離為x,求出x可能的范圍?！窘馕觥?1)無傳送帶時,物體由B運動到C,做平拋運動,設物體在B點的速度為vB,則L=vBth=gt2聯立解得vB=L有傳送帶時,設物體離開傳送帶時的速度為v1,則有=v1t-=m-m聯立解得v1=,μ=。(2)設物體離開傳送帶時的速度為v2,則由動能定理有mgR-μmg=m-mmgR=mOD=+v2t聯立解得OD=+。(3)設物體在傳送帶上全程減速時,離開傳送帶的末速度為v3,則有-μmg=m-m解得v3=,則xmin=L設物體在傳送帶上全程加速時,離開傳送帶的末速度為v4,則有μmg=m-m解得v4==則xmax=+v4t=L故L≤x≤L?！敬鸢浮?1)(2)+(3)L≤x≤L【練4】如圖所示，半徑R＝1.6m的光滑半圓形軌道固定于豎直平面內，下端與傳送帶相切于B點，水平傳送帶上A、B兩端點間距L＝16m，傳送帶以v0＝10m/s的速度順時針運動，將質量m＝1kg的小滑塊(可視為質點)放到傳送帶上，滑塊與傳送帶間的動摩擦因數μ＝0.4，取g＝10m/s2.(1)將滑塊在傳送帶A端由靜止釋放，求滑塊由釋放到第一次經過B端時所需時間；(2)若滑塊仍由靜止釋放，要想滑塊能通過圓軌道的最高點C，求滑塊在傳送帶上釋放的位置范圍；(3)若將滑塊在傳送帶中點處釋放，同時沿水平方向給滑塊一初速度，使滑塊能通過圓軌道的最高點C，求此初速度滿足的條件．【解析】(1)設滑塊加速運動的時間為t1，加速度大小為a，對滑塊受力分析，有μmg＝mav0＝at1解得：t1＝2.5s，a＝4m/s2設滑塊速度達到v0時經過的位移為x1x1＝eq\f(1,2)at12＝12.5m設滑塊勻速運動的位移為x2，則x2＝L－x1＝3.5m則滑塊勻速運動的時間為t2＝eq\f(x2,v0)＝0.35s所需時間為t＝t1＋t2＝2.85s.(2)滑塊能通過C點的臨界條件是在C點軌道對滑塊壓力為0，則在C點由牛頓第二定律得mg＝meq\f(vC2,R)B點到C點由動能定理得－mg·2R＝eq\f(1,2)mvC2－eq\f(1,2)mvB2滑塊通過B點的速度至少為vB＝4eq\r(5)m/svB2＝2ax解得：x＝10m滑塊在A端與距A端6m的范圍內任何一個位置釋放均可到達半圓軌道的最高點C處．(3)若給滑塊一水平向右的初速度v1，vB2－v12＝2a·eq\f(L,2)解得：v1＝4m/s所以v1≥4m/s若給滑塊一水平向左的初速度v2，只需讓滑塊向左減速滑行的距離在2～8m的范圍即可由運動學公式可得v22－0＝2ax′，2≤x′≤8解得4m/s≤v2≤8m/s，所以當初速度方向水平向左時滿足于4m/s≤v2≤8m/s.【總結】在水平方向的傳送帶問題中物塊的受力主要是討論滑動摩擦力，在存在相對運動時就會存在摩擦力，因此分析問題時以滑塊是否與傳送帶共速為臨界進行分析討論。在斜面方向上的傳送帶問題中物塊的受力就要復雜些了，物體相對傳送帶滑動或者有滑動的趨勢是判斷摩擦力方向的關鍵，比如滑塊受到沿斜面向下的滑動摩擦力作用，這樣物體在沿斜面方向上所受的合力為重力的下滑分力和向下的滑動摩擦力，物體要做勻加速運動。當物體加速到與傳送帶有相同速度時，摩擦力情況要發(fā)生變化，同速的瞬間可以看成二者間相對靜止，無滑動摩擦力，但物體此時還受到重力的下滑分力作用，因此相對于傳送帶有向下的運動趨勢。若重力的下滑分力大于物體和傳送帶之間的最大靜摩擦力，此時有μ＜tanθ，則物體將向下加速，所受摩擦力為沿斜面向上的滑動摩擦力；若重力的下滑分力小于或等于物體和傳送帶之間的最大靜摩擦力，此時有μ≥tanθ，則物體將和傳送帶相對靜止一起向下勻速運動，所受靜摩擦力沿斜面向上，大小等于重力的下滑分力。也可能出現的情況是傳送帶比較短，物體還沒有加速到與傳送帶同速就已經滑到了底端，這樣物體全過程都是受沿斜面向上的滑動摩擦力作用?！驹诰€測試練習】1.(多選)如圖甲所示，一傾角為37°的傳送帶以恒定速度運行．現將一質量m＝1kg的物體拋上傳送帶，物體相對地面的速度隨時間變化的關系如圖乙所示，取沿傳送帶向上為正方向，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.則下列說法正確的是()A．0～8s內物體位移的大小是18mB．0～8s內物體機械能增量是90JC．0～8s內物體機械能增量是84JD．0～8s內物體與傳送帶因摩擦產生的熱量是126J【答案】：BD【解析】：從題圖乙求出0～8s內物體位移的大小s＝14m，A錯誤；0～8s內，物體上升的高度h＝ssinθ＝8.4m，物體機械能增量ΔE＝ΔEp＋ΔEk＝90J，B正確，C錯誤；0～6s內物體的加速度a＝μgcosθ－gsinθ＝1m/s2，得μ＝eq\f(7,8)，傳送帶速度大小為4m/s，Δs＝18m,0～8s內物體與傳送帶摩擦產生的熱量Q＝μmgcosθ·Δs＝126J，D正確．2.如圖所示，甲、乙傳送帶傾斜放置，并以相同的恒定速率v逆時針運動，兩傳送帶粗糙程度不同，但長度、傾角均相同．將一小物體分別從兩傳送帶頂端的A點無初速度釋放，甲傳送帶上小物體到達底端B點時恰好達到速度v；乙傳送帶上小物體到達傳送帶中部的C點時恰好達到速度v，接著以速度v運動到底端B點．則小物體從A運動到B的過程()A．小物體在甲傳送帶上的運動時間比在乙上的大B．小物體與甲傳送帶之間的動摩擦因數比與乙之間的大C．兩傳送帶對小物體做功相等D．兩傳送帶因與小物體摩擦產生的熱量相等【答案】AC.【解析】：設傳送帶的長度為L，小物體在甲傳送帶上做勻加速直線運動，運動時間t甲＝eq\f(L,\f(v,2))＝eq\f(2L,v)，小物體在乙傳送帶上先做勻加速運動后做勻速運動，運動時間t乙＝t加＋t勻＝eq\f(\f(L,2),\f(v,2))＋eq\f(\f(L,2),v)＝eq\f(3L,2v)，所以t甲＞t乙，A對；由v2＝2a甲L得a甲＝eq\f(v2,2L)，同理得a乙＝eq\f(v2,L)，則a甲＜a乙，由牛頓第二定律得a甲＝gsinθ＋μ甲gcosθ，a乙＝gsinθ＋μ乙gcosθ，所以μ甲＜μ乙，B錯；由動能定理得W重＋W傳＝eq\f(1,2)mv2，所以傳送帶對小物體做功相等，C對；小物體與傳送帶之間的相對位移Δx甲＝x傳－x甲＝vt甲－L＝L，Δx乙＝x′傳－x乙＝vt加－eq\f(L,2)＝eq\f(L,2)，摩擦產生的熱量Q甲＝μ甲mgcosθΔx甲＝eq\f(1,2)mv2－mgLsinθ，Q乙＝μ乙mgcosθΔx乙＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mgLsinθ，所以Q甲＜Q乙，D錯．3.如圖所示為地鐵站用于安全檢查的裝置，主要由水平傳送帶和X光透視系統(tǒng)兩部分組成，傳送過程傳送帶速度不變．假設乘客把物品輕放在傳送帶上之后，物品總會先、后經歷兩個階段的運動，用v表示傳送帶速率，用μ表示物品與傳送帶間的動摩擦因數，則()A．前階段，物品可能向傳送方向的相反方向運動B．后階段，物品受到摩擦力的方向跟傳送方向相同C．v相同時，μ不同的等質量物品與傳送帶摩擦產生的熱量相同D．μ相同時，v增大為原來的2倍，前階段物品的位移也增大為原來的2倍【答案】C.【解析】：物品輕放在傳送帶上，前階段，物品受到向前的滑動摩擦力，所以物品的運動方向一定與傳送帶的運動方向相同，故A錯誤；后階段，物品與傳送帶一起做勻速運動，不受摩擦力，故B錯誤；設物品勻加速運動的加速度為a，由牛頓第二定律得Ff＝μmg＝ma，物品的加速度大小為a＝μg，勻加速的時間為t＝eq\f(v,a)＝eq\f(v,μg)，位移為x＝eq\f(v,2)t，傳送帶勻速的位移為x′＝vt，物品相對傳送帶滑行的距離為Δx＝x′－x＝eq\f(vt,2)＝eq\f(v2,2μg)，物品與傳送帶摩擦產生的熱量為Q＝μmgΔx＝eq\f(1,2)mv2，則知v相同時，μ不同的等質量物品與傳送帶摩擦產生的熱量相同，故C正確；前階段物品的位移為x＝eq\f(vt,2)＝eq\f(v2,2μg)，則知μ相同時，v增大為原來的2倍，前階段物品的位移增大為原來的4倍，故D錯誤．4.將一質量為1kg的滑塊輕輕放置于傳