重難點07 三角形的6種模型（A字、8字、飛鏢、老鷹抓小雞、雙角平分線模型、三角形折疊）（6題型）

重難點07三角形的6種模型（A字、8字、飛鏢、老鷹抓小雞、雙角平分線模型、三角形折疊）目錄TOC\o"1-2"\h\u重難點題型突破 1題型01A字模型 1題型028字模型 3題型03飛鏢模型 8題型04老鷹抓小雞模型 12題型05雙角平分線模型 16題型06三角形折疊模型 20

重難點題型突破題型01A字模型【模型介紹】圖形像“A”字，故曰“A”字模型.已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）已知△ABC，延長AB至D，延長AC至E∠1+∠2=∠A+180°1．（2023·陜西西安·西安高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）將一把直尺與一塊直角三角板按如圖所示的方式放置，若∠1=125°，則∠2的度數(shù)為（

）A．35° B．40° C．45° D．55°2．（2020·四川廣安·中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，若去掉一個30°的角后得到一個六邊形BCDEMN，則∠l+∠2的度數(shù)為（）A．210° B．110° C．150° D．100°3．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考二模）如圖，將四邊形ABCD剪掉一個角得到五邊形．下列判斷正確的是（

）結(jié)論①：變成五邊形后外角和不發(fā)生變化；結(jié)論②：變成五邊形后內(nèi)角和增加了360°；結(jié)論③：通過圖中條件可以得到∠1+∠2=240°；

A．只有①對 B．①和③對C．①、②、③都對 D．①、②、③都不對4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得到的∠1與∠2的和總是一個定值．則∠1+∠2=_____________度．5．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形紙片中，∠D＝50°，若沿圖中虛線剪去∠D，則∠1

6．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，∠DAE的兩邊上各有一點B,C，連接BC，求證∠DBC+∠ECB=180°+∠A．題型028字模型【模型介紹】圖形像“8”字，故曰“8”字模型.已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）已知AD，BC相交于O∠A+∠B=∠C+∠D已知線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD∠P=127．（2023下·北京海淀·七年級北京市十一學(xué)校校考期中）如圖，AD、BC相交于點O，連接AB、CD．下列結(jié)論正確的是（

）A．∠BOD=∠B B．∠AOC<∠DC．∠BOD=∠C+∠D D．∠AOC=∠A+∠C8．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）如圖，∠CAD和∠CBD的平分線相交于點P，若∠C=28°，∠D=22°，則∠P的度數(shù)為（）

A．22° B．25° C．28° D．30°9．（2023·河北邢臺·邢臺三中校考一模）如圖，AD與BC交于點O，甲、乙兩人要證明∠A+∠B=∠D+∠C，做法如下：甲：∵∠BOD是△AOB和△DOC的外角，∴∠BOD=∠A+∠B=∠D+∠C，故得證．乙：作一圓通過A，B，C，D四點，∵∠A與∠C對同弧BD，∠B與∠D對同弧AC．∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=∠D+∠C．對于甲、乙兩人的做法，以下結(jié)論正確的是（

）A．甲、乙兩人的做法都是正確的 B．甲的做法正確，乙的做法錯誤C．乙的做法正確，甲的做法錯誤 D．甲、乙兩人的做法都是錯誤的10．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形”．例如，在圖1中，△AOB的內(nèi)角∠AOB與△COD的內(nèi)角∠COD互為對頂角，則△AOB與△COD為“對頂三角形”，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：∠A十∠B=∠C十∠D．(1)如圖1，在“對頂三角形”△AOB與△OOD中，∠AOB=70°，則∠C十∠D=_°．(2)如圖2，在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度數(shù)．11．（2020·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀材料：如圖1，AB、CD交于點O，我們把△AOD和△BOC叫做對頂三角形．結(jié)論：若△AOD和△BOC是對頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．結(jié)論應(yīng)用舉例：如圖2：求五角星的五個內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．解：連接CD，由對頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五個內(nèi)角之和為180°．解決問題：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；請你從圖③或圖④中任選一個，寫出你的計算過程．12．（2020·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六個角的和．13．（2020·全國·九年級專題練習(xí)）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．14．（2021下·江蘇蘇州·七年級蘇州市第十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：∠A+∠B=∠C+∠D．（2）如圖②，AP,CP分別平分∠BAD,∠BCD，若∠ABC=36°,∠ADC=16°，求∠P的度數(shù)．（3）如圖③，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=α,∠ADC=β，則∠P=________用α、β的代數(shù)式表示）15．（2019下·河南新鄉(xiāng)·七年級校聯(lián)考期末）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：____________；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：____個；（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．題型03飛鏢模型【模型介紹】圖形像“飛鏢”，故曰飛鏢模型.已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）已知四邊形ABCD∠C=∠A+∠B+∠D已知四邊形ABCD，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC∠O=1216．（2013·湖北鄂州·中考真題）一副三角板有兩個直角三角形，如圖疊放在一起，則∠α的度數(shù)是（

）A．165° B．120° C．150° D．135°17．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，點F是△ABC的內(nèi)心，連接BF，CF，若∠BFC=112°，則∠A=（

）A．44° B．45° C．50° D．55°18．（2023上·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）如圖，用鐵絲折成一個四邊形ABCD（點C在直線BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分線的夾角∠E的度數(shù)為100°，可保持∠A不變，將∠BCD______（填“增大”或“減小”）________°．19．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）嘉嘉在作業(yè)本上畫了一個四邊形，并標(biāo)出部分?jǐn)?shù)據(jù)（如圖），淇淇說，這四個數(shù)據(jù)中有一個是標(biāo)錯的；嘉嘉經(jīng)過認(rèn)真思考后，進(jìn)行如下修改：若∠A∠BCD保持不變，則將圖中∠D_____________（填“增大”或“減小”）_____________度，淇淇說，“改得不錯”．20．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）在社會實踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計了一個形狀如圖所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度數(shù)是（

）．A．72° B．70° C．65° D．60°21．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，若∠EOC=115°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____________．22．（2019·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，ΔABC(1)若∠ABC、∠ACB的三等分線交于點O1、O2，請用∠A表示∠BO(2)若∠ABC、∠ACB的n等分線交于點O1、O2??????On?1（O1、O223．（2020下·七年級統(tǒng)考課時練習(xí)）如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、(2)請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A=50°，直接寫出②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°,∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點G1、G2、?24．（2021下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期中）模型規(guī)律：如圖1，延長CO交AB于點D，則∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因為凹四邊形ABOC形似箭頭，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，則∠BOC=__________°；②如圖3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°；（2）拓展應(yīng)用：①如圖4，∠ABO、∠ACO的2等分線（即角平分線）BO1、CO1交于點O1，已知∠BOC=120°，∠BAC=50°②如圖5，BO、CO分別為∠ABO、∠ACO的10等分線(i=1,2,3,…,8,9)．它們的交點從上到下依次為O1、O2、O3、…、O9．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，則③如圖6，∠ABO、∠BAC的角平分線BD、AD交于點D，已知∠BOC=120°,∠C=44°，則∠ADB=__________°；④如圖7，∠BAC、∠BOC的角平分線AD、OD交于點D，則∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為__________．題型04老鷹抓小雞模型圖示結(jié)論（性質(zhì)）∠A+∠O=∠1+∠2口訣：腋下兩角之和等于上下兩角之和∠A+∠O=∠2-∠125．（2019上·廣東珠?！ぐ四昙壷楹Ｊ形膱@中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°26．（2022上·湖北恩施·八年級期末）如圖，把△ABC沿EF對折，折疊后的圖形如圖所示，∠A=60°，∠1=96°，則∠2的度數(shù)為（

）A．30° B．24° C．25° D．26°27．（2020下·江蘇常州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點A的對應(yīng)點為A’，若∠B=60°，∠C=80°，則∠1+∠2等于(

)A．40° B．60° C．80° D．140°28．（2022下·河南南陽·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形紙片ABCD中，∠A=80°，∠B=75°，將紙片折疊，使點C，D落在AB邊上的點C'，D'處，折痕為EF，則∠1+∠2=（

A．40° B．50° C．60° D．70°29．（2023下·河南鄭州·八年級校考開學(xué)考試）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1?∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．

(1)如圖①，若∠A＝60°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_________．(2)如圖②，翻折后，點A落在點A'處，若∠1+∠2=110°，求∠B+∠C(3)如圖③，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，若∠1=80°，∠2=28°，則∠A的度數(shù)為___________30．（2022下·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_______．(2)如圖②，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點A落在BC上的點A’處，則∠1+∠2=_______．(3)如圖③，翻折后，點A落在點A’處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(shù)(4)如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A’處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．31．（2019下·江蘇宿遷·七年級校聯(lián)考期中）如圖1，將△ABC紙片沿DE折疊，使點C落在四邊形ABDE內(nèi)點C’的位置，（1）①若∠1=200,∠2=500②若∠C=420，則∠1+∠2=_③探索∠C、∠1與∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）直接按照所得結(jié)論，填空：①如圖中，將△ABC紙片再沿FG、MN折疊，使點A、B分別落在△ABC內(nèi)點A’、B’的位置，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=_；②如圖中，將四邊形ABCD按照上面方式折疊，則∠1+∠2+?+∠8=___________；③若將n邊形A1A2A3（3）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點C落在△ABC邊AC上方點C'的位置，探索∠C、∠1與∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.題型05雙角平分線模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）已知BD、DC分別平分∠ABC、∠ACB∠D=90°+12已知BD、DC分別平分∠EBC、∠FCB∠D=90°-12已知BE、EC分別平分∠ABC、∠ACD∠E=12∠32．（2023·青?！そy(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，CE是∠ACM的平分線，BE與CE相交于點E，若∠A=60°，則∠BEC的度數(shù)是______．33．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）【閱讀理解】三角形內(nèi)角和定理告訴我們：如圖①，三角形三個內(nèi)角的和等于180°．如圖②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°，點D是AB延長線上一點．由平角的定義可得∠ABC+∠CBD=180°，所以∠CBD=∠A+∠C．從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．【初步應(yīng)用】如圖③，點D，E分別是△ABC的邊AB，（1）若∠A=60°，∠CBD=110°，則∠ACB=______（2）若∠A=60°，∠CBD=110°，則∠CBD+∠BCE=______（3）若∠A=m°，則∠CBD+∠BCE=______°．【拓展延伸】如圖④，點D，E分別是△ABC的邊AB，（4）若∠A=60°，分別作∠CBD和∠BCE的平分線交于點O，則∠BOC=______°；（5）若∠A=60°，分別作∠CBD和∠BCE的三等分線交于點O，且∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13（6）若∠A=m°，分別作∠CBD和∠BCE的n等分線交于點O，且∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n34．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠B=58°，三角形兩外角的角平分線交于點E，則∠AEC=___________．35．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的平分線，CA2是∠A1CD的平分線，B36．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）（1）如圖所示，在△ABC中，BO,CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，證明：∠BOC=90°+1（2）如圖所示，△ABC的外角平分線BD和CD相交于點D，證明：∠BDC=90°?1（3）如圖所示，△ABC的內(nèi)角平分線BD和外角平分線CD相交于點D，證明：∠D=137．（2020·全國·九年級專題練習(xí)）（1）如圖（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.①當(dāng)∠A=60°時，求②猜想∠A與∠D有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.（2）如圖（b），BD平分外角∠CBP，CD平分外角∠BCQ，（1）中②的猜想還正確嗎？如果不正確，請你直接寫出正確的結(jié)論（不用寫出證明過程）.

題型06三角形折疊模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點C落在線段AC上時∠2=2∠C將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點C落在四邊形ABFE內(nèi)部時2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠2將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點C落在四邊形ABFE外部時2∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠238．（2023·江蘇無錫·江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，∠A=20°，D為AB的中點，E為AC邊上一點，將△ADE沿著DE翻折，得到△A'DE，連接A'B．當(dāng)A'B=39．（2023·江西·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，點P是邊AB上一點，點D是邊AC上一點，將△ABC沿PD折疊，使點A落在邊BC上的A'處，若A'P∥AC，則40．（2023上·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，有一個三角形紙片ABC，∠A=65°，∠B=75°，將紙片一角折疊，使點C落在△ABC外．若∠2=20°，則∠1的大小為__________．

41．（2020上·湖南常德·九年級?？计谥校┤鐖D，在ΔABC中，∠C=90°，BC=6，D，E分別在AB、AC上，將ΔADE沿DE折疊，使點A落在點A'處，若A'為CE的中點，則折痕DE的長為_____．42．（2020·山西·校聯(lián)考二模）綜合與實踐：直角三角形折疊中的數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)活動：在綜合實踐活動課上，老師讓同學(xué)們以“直角三角形紙片的折疊”為主題展開數(shù)學(xué)活動，探究折痕長度的有關(guān)問題．在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=3,BC=4．（1）①如圖1，勤學(xué)組將點A沿DE折疊，使得點A與點B重合，折痕交AB于點D,交AC于點E,則DE的長為_______．②如圖2，樂學(xué)組將點A沿BE折疊，使得點A的對應(yīng)點A'落在AC邊上，折痕交AC于點E,則BE的長為________（2）①如圖3，博學(xué)組將點C沿EF折疊，使得點C與點A重合，折痕交AC于點E,交BC于點F,求線段EF的長度；②如圖4，善思組在博學(xué)組的基礎(chǔ)上，將點B沿FC折疊，使得點B的對應(yīng)點B'落在AF上，則GF的長度為____________．（3）①如圖5，奮進(jìn)組將點A沿BE折疊，使得點A的對應(yīng)點A'落在BC邊上，求BE的長度；②如圖6，創(chuàng)新組在奮進(jìn)組的基礎(chǔ)上，將點C沿A'F折疊，使得點C的對應(yīng)點C'落在AC上，折痕交AC于點F,再把△A'FC'展開，將點C沿FG折疊，使得點C的對應(yīng)點C″落在FA'的延長線上，折痕交A'C于點G,得到如圖7所示的圖形，請直接寫出FG的長．____________ 43．（2021上·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在三角形紙片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC外，若∠2＝18°，則∠1的度數(shù)為（）A．50° B．118° C．100° D．90°

重難點突破07三角形的6種模型（A字、8字、飛鏢、老鷹抓小雞、雙角平分線模型、三角形折疊）重難點題型突破題型01A字模型1．（2023·陜西西安·西安高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）將一把直尺與一塊直角三角板按如圖所示的方式放置，若∠1=125°，則∠2的度數(shù)為（

）A．35° B．40° C．45° D．55°【答案】A【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠3=∠1?∠4，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2=∠3．【詳解】解：如圖，由題意知∠4=90°，AB∥∵∠1=∠4+∠3，∠1=125°，∴∠3=∠1?∠4=125°?90°=35°，∵AB∥∴∠2=∠3=35°．故選A．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形外角的定義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；兩直線平行，同位角相等．2．（2020·四川廣安·中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，若去掉一個30°的角后得到一個六邊形BCDEMN，則∠l+∠2的度數(shù)為（）A．210° B．110° C．150° D．100°【答案】A【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根據(jù)平角的定義可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵∠A=30°，∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°故選A．【點睛】此題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．3．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考二模）如圖，將四邊形ABCD剪掉一個角得到五邊形．下列判斷正確的是（

）結(jié)論①：變成五邊形后外角和不發(fā)生變化；結(jié)論②：變成五邊形后內(nèi)角和增加了360°；結(jié)論③：通過圖中條件可以得到∠1+∠2=240°；

A．只有①對 B．①和③對 C．①、②、③都對 D．①、②、③都不對【答案】B【分析】根據(jù)多邊形的外角和是360°，判斷①，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式即可判斷②，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：①任意多邊形的外角和是360°，故①正確；根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理5?2×180°?四邊形ABCD剪掉一個角得到五邊形內(nèi)角和增加了180°，故②錯誤，如圖所示，

∵∠1=∠4+∠A,∠2=∠3+∠A∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠A+∠A=180°+∠A=180°+60°=240°，故③正確，故選：B．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得到的∠1與∠2的和總是一個定值．則∠1+∠2=_____________度．【答案】240【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得∠A=60°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，∵∠1=∠A+∠AED，∠2=∠A+∠ADE，∴∠1+∠2=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∵∠AED+∠A+∠ADE=180°，∴∠1+∠2=∠A+180°=60°+180°=240°，故答案為：240．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．5．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形紙片中，∠D＝50°，若沿圖中虛線剪去∠D，則∠1

【答案】230【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系可求解.【詳解】解：三角形的內(nèi)角和等于180°，∠D＝∴∠1=∠D+∠DFE，∠2=∠D+∠DEF.∵∠DEF+∠DFE+∠D=180°，∴∠1+∠2=∠DEF+∠DFE+∠D+∠D=180°+50°=230°.故答案為：230.

【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解題的關(guān)鍵是明確三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系和三角形的內(nèi)角和等于180°的知識點.6．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，∠DAE的兩邊上各有一點B,C，連接BC，求證∠DBC+∠ECB=180°+∠A．【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和證明即可．【詳解】解：∵∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC．又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．題型028字模型7．（2023下·北京海淀·七年級北京市十一學(xué)校?？计谥校┤鐖D，AD、BC相交于點O，連接AB、CD．下列結(jié)論正確的是（

）A．∠BOD=∠B B．∠AOC<∠DC．∠BOD=∠C+∠D D．∠AOC=∠A+∠C【答案】C【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由三角形外角的性質(zhì)可知，∠BOD=∠B+∠A=∠C+∠D，∠AOC=∠D+∠C=∠A+∠B，∴∠AOC>∠D，∴四個選項中只有C選項結(jié)論正確，故選C．【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形一個外角的度數(shù)等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的度數(shù)之和是解題的關(guān)鍵．8．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）如圖，∠CAD和∠CBD的平分線相交于點P，若∠C=28°，∠D=22°，則∠P的度數(shù)為（）

A．22° B．25° C．28° D．30°【答案】B【分析】設(shè)∠CAD=a，∠CBD=b，根據(jù)角平分線的定義可知，∠DAP=∠PAC=12∠CAD=12a，∠DBP=∠PBC=1【詳解】解：如圖，設(shè)∠CAD=a，∠CBD=b，∵AP平分∠CAD，BP平分∠CBD，∴∠DAP=∠PAC=12∠CAD=∵∠BFA=∠FAP+∠P，∠BFA=∠CBP+∠C，∴∠FAP+∠P=∠CBP+∠C，∴12a+∠P=1又∵∠AEB=∠DAP+∠D，∠AEB=∠DBP+∠P，∴∠DAP+∠D=∠DBP+∠P，∴12a+22°=1∴28°?∠P=∠P?22°，即2∠P=50°,∴∠P=25°，故選：B．

【點睛】本題考查角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·河北邢臺·邢臺三中?？家荒＃┤鐖D，AD與BC交于點O，甲、乙兩人要證明∠A+∠B=∠D+∠C，做法如下：甲：∵∠BOD是△AOB和△DOC的外角，∴∠BOD=∠A+∠B=∠D+∠C，故得證．乙：作一圓通過A，B，C，D四點，∵∠A與∠C對同弧BD，∠B與∠D對同弧AC．∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=∠D+∠C．對于甲、乙兩人的做法，以下結(jié)論正確的是（

）A．甲、乙兩人的做法都是正確的 B．甲的做法正確，乙的做法錯誤C．乙的做法正確，甲的做法錯誤 D．甲、乙兩人的做法都是錯誤的【答案】B【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)可判斷甲的做法正確，由于不能確定點A、B、C、D在同一個圓上，于是可判斷乙的做法不正確．【詳解】解：∵∠BOD是△AOB和△DOC的外角，∴∠BOD=∠A+∠B=∠D+∠C，即∠A+∠B=∠D+∠C，所以甲的做法正確；∵點A、B、C、D不一定在同一個圓上，∴乙的做法不正確．故選：B【點睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，圓周角定理以及確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是確定A、B、C、D四個點不一定在同一個圓上．10．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形”．例如，在圖1中，△AOB的內(nèi)角∠AOB與△COD的內(nèi)角∠COD互為對頂角，則△AOB與△COD為“對頂三角形”，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：∠A十∠B=∠C十∠D．(1)如圖1，在“對頂三角形”△AOB與△OOD中，∠AOB=70°，則∠C十∠D=_°．(2)如圖2，在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度數(shù)．【答案】(1)110(2)27°【分析】（1）由對頂三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠1=∠2，∠3=∠4，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得到∠BAC+∠ABC=180°?∠C=180°?60°=120°，進(jìn)而得到∠1+∠3=60°，由圖知△ABF與△DEF為對頂三角形得出∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°，由題意知∠ADE比∠BED大6°，聯(lián)立方程組即可解得答案．【詳解】（1）解：由對頂三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，在△AOB中，∠A+∠B=180°?∠AOB=180°?70°=110°，∴∠C+∠D=110°；（2）∵AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵∠C=60°，∴∠BAC+∠ABC=180°?∠C=180°?60°=120°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°，∴2∠1+2∠3=120°，∴∠1+∠3=60°，由圖知△ABF與△DEF為對頂三角形，∴∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°①，又∵∠ADE比∠BED大6°，∴∠ADE?∠BED=6°②，聯(lián)立①②得∠ADE+∠BED=60°∠ADE?∠BED=6°解得：∠ADE=33°∠BED=27°∴∠BED=27°．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，利用對頂三角形的性質(zhì)解答是解此題的關(guān)鍵．11．（2020·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀材料：如圖1，AB、CD交于點O，我們把△AOD和△BOC叫做對頂三角形．結(jié)論：若△AOD和△BOC是對頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．結(jié)論應(yīng)用舉例：如圖2：求五角星的五個內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．解：連接CD，由對頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五個內(nèi)角之和為180°．解決問題：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；請你從圖③或圖④中任選一個，寫出你的計算過程．【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；過程見解析【分析】（1）連接CD，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（2）連接ED，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（3）連接BH、DE，由對頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（4）連接ND、NE，由對頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論．【詳解】解：（1）連接CD，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；（2）連接ED，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；（3）連接BH、DE，∵由對頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五邊形CDEFG的內(nèi)角和＋△ABH的內(nèi)角和＝540°＋180°＝720°；（4）連接ND、NE，∵由對頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六邊形BCFGHM的內(nèi)角和＋△AND的內(nèi)角和＋△NDE的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案為：360°；540°；720°；1080°．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用△AOD和△BOC叫做對頂三角形的性質(zhì)及多邊形的內(nèi)角和定理解答是解答此題的關(guān)鍵．12．（2020·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六個角的和．【答案】360°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和外角的性質(zhì)可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，∴∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2，∵∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°，∴∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°．【點睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．13．（2020·全國·九年級專題練習(xí)）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°【分析】（1）連接AD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求四邊形ADEF的內(nèi)角和，（2）與（1）方法相同轉(zhuǎn)化為求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，（3）使用上述方法，轉(zhuǎn)化為求五邊形ABCDE的內(nèi)角和．【詳解】解：（1）如圖①，連接AD，由三角形的內(nèi)角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F即四邊形ADEF的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和為360°，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，（2）如圖②，由（1）方法可得：∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度數(shù)等于六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，（3）如圖③，根據(jù)（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度數(shù)等于五邊形ABCDE的內(nèi)角和，∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和、多邊形的內(nèi)角和的計算方法，適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵．14．（2021下·江蘇蘇州·七年級蘇州市第十六中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：∠A+∠B=∠C+∠D．（2）如圖②，AP,CP分別平分∠BAD,∠BCD，若∠ABC=36°,∠ADC=16°，求∠P的度數(shù)．（3）如圖③，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=α,∠ADC=β，則∠P=________用α、β的代數(shù)式表示）【答案】（1）證明見解析；（2）∠P=26°；（3）∠P=1【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得證；（2）設(shè)∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中結(jié)論，構(gòu)建方程組即可解決問題；（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根據(jù)（1）的結(jié)論列出等式并整理即可得解．【詳解】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）∵AP,CP分別平分∠BAD,∠BCD，設(shè)∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，則有x+∠ABC=y+∠Px+∠P=y+∠ADC∴∠ABC-∠P=∠P-∠ADC，∴∠P=1（3）如圖，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2=180°-∠1，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3），∠P+∠1=∠ABC+∠4，∴2∠P=∠ABC+∠ADC，∵∠ABC=α,∠ADC=β，∴∠P=1【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，準(zhǔn)確識圖并運用好“8字形”的結(jié)論，然后列出兩個等式是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀．15．（2019下·河南新鄉(xiāng)·七年級校聯(lián)考期末）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：__；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：__個；（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）6；（3）∠P＝45°；（4）2∠P＝∠D+∠B．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根據(jù)“8字形”的定義，仔細(xì)觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；（3）先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，將①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，進(jìn)而求出∠P的度數(shù)；（4）同（3），根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【詳解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；故“8字形”共有6個，故答案為：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）關(guān)系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【點睛】此題也是屬于規(guī)律的題型，但也涉及到已經(jīng)學(xué)過的知識，讀懂題目是關(guān)鍵，融合已學(xué)知識，進(jìn)行運用.題型03飛鏢模型16．（2013·湖北鄂州·中考真題）一副三角板有兩個直角三角形，如圖疊放在一起，則∠α的度數(shù)是（

）A．165° B．120° C．150° D．135°【答案】A【分析】先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠1，再由鄰補角的定義求得∠2的度數(shù)，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和即可求得∠α的度數(shù)．【詳解】∵圖中是一副三角板，∴∠1=45°，∴∠2=180°-∠1=180°-45°=135°，∴∠α=∠2+30°=135°+30°=165°．故選A．【點睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，點F是△ABC的內(nèi)心，連接BF，CF，若∠BFC=112°，則∠A=（

）A．44° B．45° C．50° D．55°【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)心的定義得到BF、CF分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可得到∠A的度數(shù)．【詳解】解：∵點F是△ABC的內(nèi)心，∴BF、CF分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，∴∠FBC=12∠ABC∵∠BFC=112°，∴∠FBC+∠FCB=180°?∠BFC=180°?112°=68°，∴12∴∠ABC+∠ACB=136°，∴∠A=180°?∠ABC+∠ACB故選：A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)心的定義，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角定理，掌握三角形內(nèi)心的定義是解題的關(guān)鍵．18．（2023上·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期末）如圖，用鐵絲折成一個四邊形ABCD（點C在直線BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分線的夾角∠E的度數(shù)為100°，可保持∠A不變，將∠BCD______（填“增大”或“減小”）________°．【答案】增大10【分析】利用三角形的外角性質(zhì)先求得∠ABE+∠ADE=30°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABC+∠ADC=60°，再利用三角形的外角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，連接AE并延長，連接AC并延長，∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，∵∠BAD＝70°，∴∠ABE+∠ADE=30°，∵BE，DE分別是∠ABC、∠ADC平分線，∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°，同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，∴∠BCD增大了10°．故答案為：增大，10．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識，熟練運用題目中所給的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．19．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）嘉嘉在作業(yè)本上畫了一個四邊形，并標(biāo)出部分?jǐn)?shù)據(jù)（如圖），淇淇說，這四個數(shù)據(jù)中有一個是標(biāo)錯的；嘉嘉經(jīng)過認(rèn)真思考后，進(jìn)行如下修改：若∠A，∠B，∠BCD保持不變，則將圖中∠D【答案】增大5【分析】連接BD，利用三角形的內(nèi)角和計算即可．【詳解】解：連接BD，∵∠CDB+∠CBD=180°?∠A?∠ABC?∠ADC∠CDB+∠CBD=180°?∠BCD∴∠A+∠ABC+∠ADC=∠BCD∵∠A=90°∴∠ADC=145°?25°?90°=30°∴30°?25°=5°故答案為：增大，5【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和，添加輔助線利用三角形內(nèi)角和計算是解決本題的關(guān)鍵．20．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）在社會實踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計了一個形狀如圖所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度數(shù)是（

）．A．72° B．70° C．65° D．60°【答案】B【分析】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC,再利用鄰補角的性質(zhì)求出∠DEO，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出∠DFO，根據(jù)鄰補角的性質(zhì)即可求出∠DFC的度數(shù)．【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，∵∠OAB+∠B+∠AOB=180°,∴∠AOB=180°?∠B?∠OAB,同理得∠AOC=180°?∠OAC?∠C,∵∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°,∴∠BOC=360°?∠AOB?∠AOC=360°?(180°?∠B?∠OAB)?(180°?∠OAC?∠C)=∠B+∠C+∠BAC=107°,∵∠BED=72°,∴∠DEO=180°?∠BED=108°,∴∠DFO=360°?∠D?∠DEO?∠EOF=360°?35°?108°?107°=110°,∴∠DFC=180°?∠DFO=180°?110°=70°,故選：B．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，鄰補角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是會添加輔助線，將已知條件聯(lián)系起來進(jìn)行求解．三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；鄰補角性質(zhì)：鄰補角互補；多邊形內(nèi)角和：180°(n?2)．21．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，若∠EOC=115°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____________．【答案】230°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形外角性質(zhì)．22．（2019·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，ΔABC(1)若∠ABC、∠ACB的三等分線交于點O1、O2，請用∠A表示∠BO(2)若∠ABC、∠ACB的n等分線交于點O1、O2??????On?1（O1、O2【答案】(1)∠BO1C=120°+(2)∠BO1【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°?∠A，再由∠ABC、∠ACB的三等分線交于點O1、O2，可得∠O（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°?∠A，再由∠ABC、∠ACB的n等分線交于點O1、O2??????On?1【詳解】（1）解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A，∵∠ABC、∠ACB的三等分線交于點O1、O∴∠O1∴∠BO∠BO（2）解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A，∵∠ABC、∠ACB的n等分線交于點O1、O∴∠O1∴∠BO∠BO【點睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線三角形的內(nèi)角和問題，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理，并利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．23．（2020下·七年級統(tǒng)考課時練習(xí)）如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、(2)請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A=50°，直接寫出②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°,∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點G1、G2、?【答案】(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C，見解析(2)①40°；②90°；③70°【分析】（1）首先連接AD并延長，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后根據(jù)∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的值；②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據(jù)∠DAE=50°,∠DBE=130°，求出∠ADB+∠AEB的值；然后根據(jù)∠DCE=12∠ADB+∠AEB+∠DAE，即可求出∠DCE的度數(shù)；③設(shè)∠ABG1=x°，∠ACG1=y°，結(jié)合已知可得【詳解】（1）解：∠BDC=∠A+∠B+∠C，理由如下：如圖，連接AD并延長．根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C，故答案為：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，∵∠A=50°，∠BXC=90°，∴∠ABX+∠ACX=90°?50°=40°；②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB=∠DBE?∠DAE=130°?50°=80°，∴12∴∠DCE=1③設(shè)∠ABG1=x°則∠ABD=10x°，∠ACD=10y°，則∠A+x°+y°=77°，∠A+10x°+10y°=140°，解得x+y=7°，所以∠A=77°?7°=70°，即∠A的度數(shù)為70°．【點睛】此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．24．（2021下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期中）模型規(guī)律：如圖1，延長CO交AB于點D，則∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因為凹四邊形ABOC形似箭頭，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，則∠BOC=__________°；②如圖3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°；（2）拓展應(yīng)用：①如圖4，∠ABO、∠ACO的2等分線（即角平分線）BO1、CO1交于點O1，已知∠BOC=120°，∠BAC=50°②如圖5，BO、CO分別為∠ABO、∠ACO的10等分線(i=1,2,3,…,8,9)．它們的交點從上到下依次為O1、O2、O3、…、O9．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，則③如圖6，∠ABO、∠BAC的角平分線BD、AD交于點D，已知∠BOC=120°,∠C=44°，則∠ADB=__________°；④如圖7，∠BAC、∠BOC的角平分線AD、OD交于點D，則∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為__________．【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0【分析】（1）①根據(jù)題干中的等式直接計算即可；②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入計算即可；（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入計算可得；②同理可得∠BO7C=∠BOC-17（∠BOC-∠A③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-12（∠BOC-∠C④根據(jù)兩個凹四邊形ABOD和ABOC得到兩個等式，聯(lián)立可得結(jié)論．【詳解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-12（∠ABO+∠ACO=∠BOC-12（∠BOC-∠A=∠BOC-12=120°-35°=85°；②∠BO7C=∠BOC-310（∠BOC-∠A=120°-310=120°-21°=99°；③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-310（∠BOC-∠C=180°-12=142°；④∠BOD=12∠BOC=∠B+∠D+12∠∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，聯(lián)立得：∠B-∠C+2∠D=0．【點睛】本題主要考查了新定義—箭頭四角形，利用了三角形外角的性質(zhì)，還考查了角平分線的定義，圖形類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是理解箭頭四角形，并能熟練運用其性質(zhì)．題型04老鷹抓小雞模型25．（2019上·廣東珠海·八年級珠海市文園中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE,再利用平角的定義可求出∠BED+∠BDE的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和可求∠B的度數(shù).【詳解】由折疊的性質(zhì)可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE∵∠1+∠BED+∠B'ED=180°,∠2+∠BDE+∠B'DE=180°∴∠BED+∠BDE=∴∠B=180°?(∠BED+∠BDE)=180°?140°=40°故選C【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，掌握折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.26．（2022上·湖北恩施·八年級期末）如圖，把△ABC沿EF對折，折疊后的圖形如圖所示，∠A=60°，∠1=96°，則∠2的度數(shù)為（

）A．30° B．24° C．25° D．26°【答案】B【分析】由三角形的內(nèi)角和，得∠AEF+∠AFE=120°，由鄰補角的性質(zhì)得∠FEB+∠EFC=240°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠B'EF+∠C'FE=240°，即∠1+∠AEF+∠2+∠AFE=240°，所以，∠2=24°．【詳解】解：∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°?∠A=180°?60°=120°，∴∠FEB+∠EFC=360°?120°=240°，由折疊的性質(zhì)可得：∠B'EF+∠C'FE=∠FEB+∠EFC=240°，∴∠1+∠AEF+∠2+∠AFE=240°，∵∠1=96°，∴96°+120°+∠2=240°，即∠2=240°?120°?96°=24°．故選B．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、鄰補角的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，熟悉掌握三角形的內(nèi)角和為180°，互為鄰補角的兩個角之和為180°以及折疊的性質(zhì)是本題的解題關(guān)鍵．27．（2020下·江蘇常州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點A的對應(yīng)點為A’，若∠B=60°，∠C=80°，則∠1+∠2等于(

)A．40° B．60° C．80° D．140°【答案】C【分析】根據(jù)平角定義和折疊的性質(zhì)，得∠1+∠2=360°?2(∠3+∠4)，再利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得∠3+∠4=∠B+∠C=140°從而解題．【詳解】解：根據(jù)平角的定義和折疊的性質(zhì)，得∠1+∠2=360°?2(∠3+∠4)．又∵∠A+∠3+∠4=180°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠3+∠4=∠B+∠C=60°+80°=140°，∴∠1+∠2=360°?2(∠3+∠4)=360°?2×140°=80°，故選：C【點睛】此題綜合運用了平角的定義、折疊的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理．28．（2022下·河南南陽·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形紙片ABCD中，∠A=80°，∠B=75°，將紙片折疊，使點C，D落在AB邊上的點C'，D'處，折痕為EF，則∠1+∠2=（

A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得到∠C+∠D=205°，進(jìn)而由折疊的性質(zhì)得到∠FC'D【詳解】解：∵四邊形ABCD中，∠A=80°，∴∠C+∠D=360°?∠A?∠B=205°，由折疊的性質(zhì)可得∠FC∴∠FC∵∠FC∴∠FC∴∠BC∵∠B+∠BC∴∠B+∠BC∴155°+155°+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=50°，故選B．【點睛】本題主要考查了四邊形內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，正確求出∠BC29．（2023下·河南鄭州·八年級校考開學(xué)考試）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1?∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．

(1)如圖①，若∠A＝60°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝________．(2)如圖②，翻折后，點A落在點A'處，若∠1+∠2=110°，求∠B+∠C(3)如圖③，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，若∠1=80°，∠2=28°，則∠A的度數(shù)為______【答案】(1)240°(2)125°(3)26°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ADE+∠AED=180°?60°=120°，再由平角進(jìn)行求解即可；（2）連接AA'，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出（3）設(shè)AB與DA'交于點F，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠1=【詳解】（1）解：∵∠A=60°∴∠ADE+∠AED=180°?60°=120°，∴∠1+∠2=360°?∠ADE?∠AED=240°，故答案為：240°．（2）解：連接AA

∵∠1=∴∠1+∵∠EAD=∠EA∴∠1+∠2=2∠EAD=∴∠EAD=55°，∴∠B+∠C=180°?55°=125°．（3）解：如圖，設(shè)AB與DA'交于點

，∵∠1=由折疊可得，∠A=∠A∴∠1=∠A+∠A又∵∠1=80°，∴80°=∴∠A故答案為：26°【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，平角的定義等，理解題意作出相應(yīng)輔助線求解是解題的關(guān)鍵．30．（2022下·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_______．(2)如圖②，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點A落在BC上的點A’處，則∠1+∠2=_______．(3)如圖③，翻折后，點A落在點A’處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(shù)(4)如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A’處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)260°(2)160°(3)∠B+∠C=140°(4)∠A=28°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠B+∠C＝180°-80°=100°，再由平角進(jìn)行求解即可；（2）利用翻折的性質(zhì)得出∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ADE+∠AED＝100°，結(jié)合圖形，由平角及各角之間的關(guān)系進(jìn)行計算即可‘（3）連接AA'．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，然后利用各角之間的數(shù)量關(guān)系得出（4）設(shè)AB與DA'交于點F，根據(jù)三角形外角得出∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A【詳解】（1）解：∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∴∠1+∠2=360°?∠ADE?∠AED=260°，故答案為：260°；（2）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∵翻折，∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°，∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°，故答案為：160°；（3）解：連接AA∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D，∵∠EAD=∠EA∴∠1+∠2=2∠EAD=80°，∴∠EAD=40°，∴∠B+∠C=180°?40°=140°．（4）解：如圖，設(shè)AB與DA'交于點∵∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A由折疊可得，∠A=∠A∴∠1=∠A+∠A又∵∠1=80°，∠2=24°，∴80°=2∠A+24°，∴∠A=28°．【點睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，平角的定義等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線求解是解題關(guān)鍵．31．（2019下·江蘇宿遷·七年級校聯(lián)考期中）如圖1，將△ABC紙片沿DE折疊，使點C落在四邊形ABDE內(nèi)點C’的位置，（1）①若∠1=200,∠2=50②若∠C=420，則∠1+∠2=③探索∠C、∠1與∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）直接按照所得結(jié)論，填空：①如圖中，將△ABC紙片再沿FG、MN折疊，使點A、B分別落在△ABC內(nèi)點A’、B’的位置，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=_；②如圖中，將四邊形ABCD按照上面方式折疊，則∠1+∠2+?+∠8=_；③若將n邊形A1A2A（3）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點C落在△ABC邊AC上方點C'的位置，探索∠C、∠1與∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）①35°；②84°；③2∠C=∠1+∠2；（2）①360°；②720°；【分析】（1）①由鄰補角的定義可知∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可求出∠CED=80°，∠CDE=65°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；②由三角形內(nèi)角和可求出∠CED+∠CDE=138°,再由折疊的性質(zhì)可知∠CEC′+∠CDC′=276°，然后根據(jù)鄰補角的定義可求出∠1+∠2=84°；③由鄰補角定義可知∠1+∠CEC'=180°，從而∠2+∠CDC'=180°，所以，∠1+∠CEC′+（2）①由（1）得∠1+∠2=2∠C，∠3+∠4=2∠B，∠5+∠6=2∠A，從而∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2(∠A+∠

②由①可知，∠1+∠2+?+∠8=2(∠A+∠B+∠C+∠D)，結(jié)合四邊形內(nèi)角和求解即可;

③由①可知，∠1+∠2+?+∠2n=2×180°×n?2（3）由外角的性質(zhì)可知∠2=∠3+∠C，∠3=∠1+∠C，整理可得2∠C=【詳解】解：（1）①∵∠1=20∴∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，∵∠CED=80°，∠CDE=65°,∴∠C=180°-80°-65°=35°；

②∵∠C=42∴∠CED+∠CDE=180°-42°=138°,∴∠CEC′+∠CDC′=276°，∴∠1+∠2=360°-276°=84°；

③2∠C=∠1因為∠1+∠CEC'=180所以∠1+∠CEC'因為在四邊形CEC'D中，∠C+所以∠1+∠2因為∠C=所以2∠C=∠1（2）①由①得∠1+∠2=2∠C，∠3+∠4=2∠B，∠5+∠6=∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2(∠A+∠B+∠C)=360°;

②∵∠1+∠2=2∠C，∠3+∠4=2∠B，∠5+∠6=2∠A，∠7+∠8=∴∠1+∠2+?+∠8=2(∠A+∠B+∠C+∠D)=2×360°=720°;

③∵n邊形內(nèi)角和是180°×(n?2)，∴∠1+∠2+?+∠2n=2×180°×n?2=360°×(n?2)（3）2∠C=∵∠2=∠3+∠C，∠3=∠1+∠C'=∠1+∠C，∴∠2=∠1+∠C+∠C=∠1+2∠C，∴2∠C=【點睛】本題考查了折疊性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)及圖形類的規(guī)律與探究.熟練掌握折疊的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解（1）的關(guān)鍵，利用（1）中規(guī)律是解（2）的關(guān)鍵，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解（3）的關(guān)鍵.題型05雙角平分線模型32．（2023·青?！そy(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，CE是∠ACM的平分線，BE與CE相交于點E，若∠A=60°，則∠BEC的度數(shù)是______．【答案】30°【分析】如圖所示，BE是∠ABC的平分線，CE是∠ACM的平分線，∠1=∠2，∠4=∠5，∠ACM是△ABC的外角，∠ECM是△BCE的外角，可算出∠A+2∠2=2∠5，∠E=∠5?∠2，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵BE是∠ABC的平分線，CE是∠ACM的平分線，∴∠1=∠2，∠4=∠5，∵∠ACM是△ABC的外角，∠ECM是△BCE的外角，∴∠A+∠1+∠2=∠4+∠5，∠2+∠E=∠5，∴∠A+2∠2=2∠5，∠E=∠5?∠2，∴∠A=2(∠2?∠5)，∠2?∠5=1∴∠E=30°，∴∠BEC的度數(shù)是30°．【點睛】本題主要考查三角形的外角、角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．33．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）【閱讀理解】三角形內(nèi)角和定理告訴我們：如圖①，三角形三個內(nèi)角的和等于180°．如圖②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°，點D是AB延長線上一點．由平角的定義可得∠ABC+∠CBD=180°，所以∠CBD=∠A+∠C．從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．【初步應(yīng)用】如圖③，點D，E分別是△ABC的邊AB，（1）若∠A=60°，∠CBD=110°，則∠ACB=______（2）若∠A=60°，∠CBD=110°，則∠CBD+∠BCE=______（3）若∠A=m°，則∠CBD+∠BCE=______°．【拓展延伸】如圖④，點D，E分別是△ABC的邊AB，（4）若∠A=60°，分別作∠CBD和∠BCE的平分線交于點O，則∠BOC=______°；（5）若∠A=60°，分別作∠CBD和∠BCE的三等分線交于點O，且∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13（6）若∠A=m°，分別作∠CBD和∠BCE的n等分線交于點O，且∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n【答案】（1）50；（2）240；（3）m+180；（4）60；（5）100；（6）180?m【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可；（3）由（2）同理求解即可；（4）根據(jù)角平分線的定義可得出∠CBO=12∠CBD，∠BCO=12（5）由∠CBO=13∠CBD，∠BCO=13（6）由∠CBO=1n∠CBD，∠BCO=1n【詳解】（1）由三角形外角的性質(zhì)可得出∠ACB=∠CBD?∠A=110°?60°=50°．故答案為：50；（2）∵∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠CBD+∠BCE=∠A+∠ABC+∠A+∠ACB．∵∠A=60°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°，∴∠CBD+∠BCE=240°．故答案為：240；（3）由（2）同理可得∠CBD+∠BCE=∠A+∠ABC+∠A+∠ACB．∵∠A=m°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°，∴∠CBD+∠BCE=m°+180°=故答案為：m+180；（4）∵∠CBD和∠BCE的平分線交于點O，∴∠CBO=12∠CBD∴∠CBO+