重難點(diǎn)03 平行四邊形與特殊平行四邊形

重難點(diǎn)03平行四邊形與特殊平行四邊形命題趨勢中考數(shù)學(xué)中《平行四邊形、矩形、菱形》部分主要考向分為五類：一、多邊形內(nèi)角和（每年1道，3~4分）二、平行四邊形的性質(zhì)與判定（每年1道，3~8分）三、矩形的性質(zhì)與判定（每年1~2題，3~12分）四、菱形的性質(zhì)與判定（每年1~2題，3~12分）五、正方形的性質(zhì)（每年1道，3~12分）平行四邊形和特殊平行四邊形在中考數(shù)學(xué)中是占比比較大的一塊考點(diǎn)，考察內(nèi)容主要有各個(gè)特殊四邊形的性質(zhì)、判定、以及其應(yīng)用；考察題型上從選擇到填空再都解答題都有，題型變化也比較多樣；并且考察難度也都是中等和中等偏上，難度較大，綜合性比較強(qiáng)。所以需要考生在復(fù)習(xí)這塊內(nèi)容的時(shí)候一定要準(zhǔn)確掌握其性質(zhì)與判定，并且會(huì)在不同的結(jié)合問題上注意和其他考點(diǎn)的融合。

考向一：多邊形內(nèi)角和【題型1多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算】滿分技巧多邊形內(nèi)角和公式：任意多邊形的外角和為360°正多邊形的一個(gè)內(nèi)角：1．（2023?北京）正十二邊形的外角和為（）A．30° B．150° C．360° D．1800°2．（2023?襄陽）五邊形的外角和等于（）A．180° B．360° C．540° D．720°3．（2023?重慶）如圖，正五邊形ABCDE中，連接AC，那么∠BAC的度數(shù)為．4．（2023?濟(jì)寧）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°，則這個(gè)多邊形是邊形．考向二：平行四邊形的性質(zhì)與判定【題型2平行四邊形的性質(zhì)】滿分技巧1.平行四邊形的性質(zhì)可以從三個(gè)方面記，①邊：對邊平行且相等；②角：對角相等，鄰角互補(bǔ)；③對角線：對角線互相平分；2.平行四邊形的問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為全等三角形的判定與性質(zhì)類問題來解決。1．（2023?益陽）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列結(jié)論一定成立的是（）A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC2．（2023?海南）如圖，在?ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交邊AD于點(diǎn)E，連接CE，若AE＝2ED，則CE的長為（）A．6 B．4 C． D．3．（2023?瀘州）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ADC的平分線與邊AB相交于點(diǎn)P，E是PD中點(diǎn)，若AD＝4，CD＝6，則EO的長為（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023?福建）如圖，在?ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，EF過點(diǎn)O且分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．若AE＝10，則CF的長為．5．（2023?聊城）如圖，在?ABCD中，BC的垂直平分線EO交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)O，連接BE，CE，過點(diǎn)C作CF∥BE，交EO的延長線于點(diǎn)F，連接BF．若AD＝8，CE＝5，則四邊形BFCE的面積為．6．（2023?哈爾濱）已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在對角線BD上，點(diǎn)F在邊BC上，連接AE，EF，DE＝BF，BE＝BC．（1）如圖①，求證△AED≌△EFB；（2）如圖②，若AB＝AD，AE≠ED，過點(diǎn)C作CH∥AE交BE于點(diǎn)H，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖②中四個(gè)角（∠BAE除外），使寫出的每個(gè)角都與∠BAE相等．【題型3平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合】滿分技巧1、平行四邊形的判定也可以從三個(gè)方面記，①邊：兩組對邊分別平行；兩組對邊分別相等；一組對邊平行且相等；②角：兩組對角分別相等；③對角線：對角線互相平分；2、平行四邊形的判定和性質(zhì)經(jīng)常綜合在一起考，即先考判定一個(gè)四邊形是平行四邊，然后再利用平行四邊形的性質(zhì)去解剩余的問題。做題時(shí)，不要太輕率，要綜合考慮用到的考點(diǎn)。1．（2023?邵陽）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，若添加一個(gè)條件，使四邊形ABCD為平行四邊形，則下列正確的是（）A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C2．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，B是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E在AC同側(cè)，AE＝BD，BE＝CD．（1）求證：△ABE≌△BCD；（2）連接DE，求證：四邊形BCDE為平行四邊形．3．（2023?杭州）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE＝EF＝FD，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．（2）若△ABE的面積等于2，求△CFO的面積．4．（2023?貴州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延長CB至D，使得BD＝CB，過點(diǎn)A，D分別作AE∥BD，DE∥BA，AE與DE相交于點(diǎn)E．下面是兩位同學(xué)的對話：小星：由題目的已知條件，若連接BE，則可證明BE⊥CD．小紅：由題目的已知條件，若連接CE，則可證明CE＝DE．（1）請你選擇一位同學(xué)的說法，并進(jìn)行證明；（2）連接AD，若，求AC的長．考向三：矩形的性質(zhì)與判定【題型4矩形的性質(zhì)】滿分技巧1.矩形的性質(zhì)可以從在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加性質(zhì)記憶，①矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②增加性質(zhì)：四個(gè)角都是直角、對角線相等；2.矩形問題的轉(zhuǎn)化方向有直角三角形、等腰三角形。正因此，矩形常和勾股定理結(jié)合來求長度。1．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O．若∠AOB＝60°，則＝（）A． B． C． D．2．（2023?呼和浩特）如圖，矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點(diǎn)M，N．若AM＝1，BN＝2，則BD的長為（）A． B．3 C． D．3．如圖，以鈍角三角形ABC的最長邊BC為邊向外作矩形BCDE，連結(jié)AE，AD，設(shè)△AED，△ABE，△ACD的面積分別為S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（）A．△ABE的面積 B．△ACD的面積 C．△ABC的面積 D．矩形BCDE的面積4．（2023?西藏）如圖，矩形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，AD＝3，AB＝4，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，EG⊥AC于點(diǎn)G，則EH+EG的值是（）A．2.4 B．2.5 C．3 D．45．（2023?濱州）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段OB，OA上的點(diǎn)，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，則BF的長為．6．（2023?溫州）如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)E在CB延長線上，點(diǎn)F在BC延長線上，過點(diǎn)F作FH⊥EF交ED的延長線于點(diǎn)H，連結(jié)AF交EH于點(diǎn)G，GE＝GH．（1）求證：BE＝CF；（2）當(dāng)＝，AD＝4時(shí)，求EF的長．【題型5矩形的判定與性質(zhì)的綜合】滿分技巧矩形的判定也可以從兩個(gè)方向記憶，①從平行四邊形入手判定，把矩形有平行四邊形沒有的性質(zhì)加上，就可以證一個(gè)平行四邊是矩形；②從普通四邊形入手判定則有：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形、對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；1．在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列說法能使四邊形ABCD為矩形的是（）A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D2．（2023?雅安）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，則DE的最小值為．3．（2023?新疆）如圖，AD和BC相交于點(diǎn)O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，點(diǎn)E、F分別是AO、DO的中點(diǎn)．（1）求證：OE＝OF；（2）當(dāng)∠A＝30°時(shí)，求證：四邊形BECF是矩形．4．（2023?大慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線段CD的中點(diǎn)，連接AC，AE，延長AE，BC交于點(diǎn)F，連接DF，∠ACF＝90°．（1）求證：四邊形ACFD是矩形；（2）若CD＝13，CF＝5，求四邊形ABCE的面積．考向四：菱形的性質(zhì)與判定【題型6菱形的性質(zhì)】滿分技巧1、菱形的性質(zhì)可以從在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加性質(zhì)記憶，①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②增加性質(zhì)：四條邊都相等、對角線互相垂直、每條對角線平分一組對角；2、菱形問題的轉(zhuǎn)化方向有直角三角形、等腰三角形。也常和勾股定理結(jié)合來求長度。3、菱形面積的特殊計(jì)算方法：對角線相乘除以21．（2023?湘潭）如圖，菱形ABCD中，連接AC，BD，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．60° C．70° D．80°2．（2023?麗水）如圖，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，則AC的長為（）A． B．1 C． D．3．（2023?東營）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的邊長為2，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，且∠AOC＝60°，將菱形OABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到四邊形OA′B′C′（點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合），則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（）A．（3，3） B．（3，3） C．（3，6） D．（6，3）4．（2023?紹興）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，連接AC，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作弧，交直線AD于點(diǎn)E，連接CE，則∠AEC的度數(shù)是．5．（2023?臨沂）若菱形的兩條對角線長分別為6和8，則該菱形的面積為．6．（2023?浙江）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF．（1）求證：AE＝AF；（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度數(shù)．7．（2023?呼和浩特）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，連接AC，BD交于點(diǎn)O，DE平分∠ADB交AC于點(diǎn)E，BF平分∠CBD交AC于點(diǎn)F，連接BE，DF．（1）求證：∠1＝∠2；（2）若四邊形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四邊形BEDF的面積．【題型7菱形判定與性質(zhì)的綜合】滿分技巧類比矩形，菱形的判定也是從兩個(gè)方向來記。1．（2023?深圳）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝6，將線段AB水平向右平移a個(gè)單位長度得到線段EF，若四邊形ECDF為菱形時(shí)，則a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于點(diǎn)O．請?zhí)砑右粋€(gè)條件：，使四邊形ABCD成為菱形．3．如圖，已知點(diǎn)A，D，C，B在同一條直線上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．（1）求證：AE∥BF；（2）若DF＝FC時(shí)，求證：四邊形DECF是菱形．4．（2023?云南）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE＝AF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面積等于，求平行線AB與DC間的距離．考向五：正方形的性質(zhì)【題型8正方形的性質(zhì)】滿分技巧1、正方向具有矩形和菱形的一切性質(zhì)；2、正方形問題的轉(zhuǎn)化方向只有一個(gè)——等腰直角三角形；1．（2023?攀枝花）如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)P是對角線BD上的一點(diǎn)，PF⊥AD于點(diǎn)F，PE⊥AB于點(diǎn)E，連接PC，當(dāng)PE：PF＝1：2時(shí)，則PC＝（）A． B．2 C． D．2．（2023?重慶）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，連接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，則∠FEC一定等于（）A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α3．（2023?河北）如圖，在Rt△ABC中，AB＝4，點(diǎn)M是斜邊BC的中點(diǎn)，以AM為邊作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝16，則S△ABC＝（）A．4 B．8 C．12 D．164．（2023?紹興）如圖，在矩形ABCD中，O為對角線BD的中點(diǎn)，∠ABD＝60°，動(dòng)點(diǎn)E在線段OB上，動(dòng)點(diǎn)F在線段OD上，點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，分別向終點(diǎn)B，D運(yùn)動(dòng)，且始終保持OE＝OF．點(diǎn)E關(guān)于AD，AB的對稱點(diǎn)為E1，E2；點(diǎn)F關(guān)于BC，CD的對稱點(diǎn)為F1，F(xiàn)2在整個(gè)過程中，四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是（）A．菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形B．菱形→正方形→平行四邊形→菱形→平行四邊形C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形D．平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形→菱形5．（2023?揚(yáng)州）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)B′處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3：5，那么線段FC的長為．6．（2023?黃石）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，且BM＝CN，AN與DM相交于點(diǎn)P．（1）求證：△ABN≌△DAM；（2）求∠APM的大?。?．（2023?十堰）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，分別以點(diǎn)B，C為圓心，AC，BD長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接BP，CP．（1）試判斷四邊形BPCO的形狀，并說明理由；（2）請說明當(dāng)?ABCD的對角線滿足什么條件時(shí)，四邊形BPCO是正方形？重難通關(guān)練（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2023?湘西州）一個(gè)七邊形的內(nèi)角和是（）A．1080° B．900° C．720° D．540°2．（2023?重慶）若七邊形的內(nèi)角中有一個(gè)角為100°，則其余六個(gè)內(nèi)角之和為．3．（2023?長春）如圖，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，折痕為AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，折痕為AF，則∠AFB'的大小為度．4．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD5．（2023?衡陽）如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C6．（2023?河北）如圖，直線l1∥l2，菱形ABCD和等邊△EFG在l1，l2之間，點(diǎn)A，F(xiàn)分別在l1，l2上，點(diǎn)B，D、E、G在同一直線上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，則∠β＝（）A．42° B．43° C．44° D．45°7．（2023?濰坊）如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），∠AOC＝60°．將菱形OABC沿x軸向右平移1個(gè)單位長度，再沿y軸向下平移1個(gè)單位長度，得到菱形O′A′B′C′，其中點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣，1） D．（﹣，﹣1）8．（2023?襄陽）如圖，矩形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論一定正確的是（）A．AC平分∠BAD B．AB＝BCC．AC＝BD D．AC⊥BD9．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為BA延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，以B為圓心，BF長為半徑的圓弧過AD與CE的交點(diǎn)G，連接BG．若AB＝4，CE＝10，則AG＝（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.510．（2023?丹東）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABD＝60°，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，連接EF，若，則矩形ABCD的周長是（）A． B． C． D．11．（2023?蘇州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（9，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），以O(shè)A，OC為邊作矩形OABC．動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)O，B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OA，BC向終點(diǎn)A，C移動(dòng)．當(dāng)移動(dòng)時(shí)間為4秒時(shí)，AC?EF的值為（）A． B．9 C．15 D．3012．（2023?宜賓）如圖，邊長為6的正方形ABCD中，M為對角線BD上的一點(diǎn)，連接AM并延長交CD于點(diǎn)P，若PM＝PC，則AM的長為（）A．3（﹣1） B．3（3﹣2） C．6（﹣1） D．6（3﹣2）13．（2023?重慶）如圖，在正方形ABCD中，O為對角線AC的中點(diǎn)，E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接BE，BE＝BA，連接CE并延長，與∠ABE的平分線交于點(diǎn)F，連接OF，若AB＝2，則OF的長度為（）A．2 B． C．1 D．14．（2023?眉山）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，延長CB至點(diǎn)F，使BF＝DE，連結(jié)AE，AF，EF，EF交AB于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作AG⊥EF，垂足為點(diǎn)H，交CF于點(diǎn)G，連結(jié)HD，HC．下列四個(gè)結(jié)論：①AH＝HC；②HD＝CD；③∠FAB＝∠DHE；④AK?HD＝．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)15．（2023?涼山州）如圖，?ABCO的頂點(diǎn)O、A、C的坐標(biāo)分別是（0，0）、（3，0）、（1，2）．則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是．16．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是AC延長線上的一點(diǎn)，CD＝2．M是邊BC上的一點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)B、C不重合），以CD、CM為鄰邊作?CMND．連接AN并取AN的中點(diǎn)P，連接PM，則PM的取值范圍是．17．點(diǎn)E是菱形ABCD的對稱中心，∠B＝56°，連接AE，則∠BAE的度數(shù)為．18．（2023?十堰）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD上的點(diǎn)，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面積等于24，BD＝8，則EF+GH＝．19．（2023?臺(tái)州）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在邊AD上取一點(diǎn)E，使BE＝BC，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為點(diǎn)F，則BF的長為．20．（2023?遼寧）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，E是BM上的一點(diǎn)，連接AE，作點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)B′，連接DB′并延長交BC于點(diǎn)F．當(dāng)BF最大時(shí)，點(diǎn)B′到BC的距離是．21．（2023?湘潭）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具．某同學(xué)用邊長為4dm的正方形紙板制作了一副七巧板（見圖），由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為dm2．22．（2023?湖州）如圖，標(biāo)號為①，②，③，④的四個(gè)直角三角形和標(biāo)號為⑤的正方形恰好拼成對角互補(bǔ)的四邊形ABCD，相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙，①和②分別是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分別是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊BF，CG，DH，AE上．（1）若EF＝3cm，AE+FC＝11cm，則BE的長是cm．（2）若，則tan∠DAH的值是．23．（2023?濟(jì)南）已知：如圖，點(diǎn)O為?ABCD對角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：DE＝BF．24．如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE＝CF．（1）求證：BE∥DF；（2）過點(diǎn)O作OM⊥BD，垂足為O，交DF于點(diǎn)M，若△BFM的周長為12，求四邊形BEDF的周長．25．（2023?株洲）如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段CE上，連接BH，點(diǎn)G、F分別為BH、CH的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求線段BG的長度．26．（2023?揚(yáng)州）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，連接AF、CE相交于點(diǎn)M，連接AG、CH相交于點(diǎn)N．（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；（2）若?AMCN的面積為4，求?ABCD的面積．27．（2023?濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的一邊OC在x軸正半軸上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)D是邊OC上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥OB交邊OA于點(diǎn)E，作DF∥OB交邊BC于點(diǎn)F，連接EF，設(shè)OD＝x，△DEF的面積為S．（1）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)x取何值時(shí)，S的值最大？請求出最大值．28．（2023?湘西州）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BM∥DN，且分別交對角線AC于點(diǎn)M，N，連接MD，BN．（1）求證：∠DMN＝∠BNM；（2）若∠BAC＝∠DAC．求證：四邊形BMDN是菱形．29．（2023?蘭州）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，CD∥OE，直線CE是線段OD的垂直平分線，CE分別交OD，AD于點(diǎn)F，G，連接DE．（1）判斷四邊形OCDE的形狀，并說明理由；（2）當(dāng)CD＝4時(shí)，求EG的長．30．（2023?北京）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．（1）求證：四邊形AECF是矩形；（2）若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝，求BC的長．31．（2023?紹興）如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的一點(diǎn)（與點(diǎn)B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F(xiàn)分別為垂足．連接EF，AG，并延長AG交EF于點(diǎn)H．（1）求證：∠DAG＝∠EGH；（2）判斷AH與EF是否垂直，并說明理由．培優(yōu)爭分練（建議用時(shí)：80分鐘）1．如圖，在五邊形ABCDE中，AE∥CD，∠1＝50°，∠2＝70°，則∠3的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°2．（2023?鶴山市校級二模）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1080°，則這個(gè)多邊形是（）A．十邊形 B．九邊形 C．八邊形 D．七邊形3．如圖，已知平行四邊形ABCD中A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣2，﹣1）4．如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，分別交BC、BD于點(diǎn)E、P，連接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝2，則下列結(jié)論：①∠CAD＝30°；②OE＝AD；③S平行四邊形ABCD＝AB?AC；④BD＝2；⑤S△BEP＝S△APO；其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．55．（2023?子洲縣校級模擬）如圖，點(diǎn)P為?ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，將?ABCD分為4個(gè)小三角形，面積分別為S1，S2，S3，S4，則下列等式成立的是（）A．S1+S4＝S2+S3 B．S1+S3＝S2+S4C．S1+S2＝S3+S4 D．S1＝S4+S2+S36．（2023?婁星區(qū)二模）在下列條件中，不能判定四邊形為平行四邊形的是（）A．對角線互相平分 B．一組對邊平行且相等C．兩組對邊分別平行 D．一組對邊平行，另一組對邊相等7．在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，則OA：OB：BC的值可以是（）A．1：1：2 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：58．（2024?深圳模擬）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E．已知AE＝4，EC＝6，則的值為（）A． B． C． D．9．（2023?靈寶市二模）如圖，菱形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（0，﹣4），E（6，0），點(diǎn)P是菱形ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PE，把PE繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接PF．若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長度沿A→D→C→B→A方向運(yùn)動(dòng)，則第2023秒時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，6） B．（﹣2，6） C．（2，6） D．（10，﹣6）10．（2024?泌陽縣一模）如圖所示，把兩張矩形紙條交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成一個(gè)四邊形ABCD．固定一張紙條，另一張紙條在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，下列結(jié)論一定成立的是（）A．四邊形ABCD的周長不變 B．四邊形ABCD的面積不變C．AD＝AB D．AB＝CD11．如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，要在對角線BD上找兩點(diǎn)M、N，使得四邊形AMCN是菱形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙兩種方案，則正確的方案是（）A．只有甲 B．只有乙C．甲和乙 D．甲乙都不是12．如圖，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，，則AE的長為（）A． B． C．1 D．13．（2024?江夏區(qū)校級模擬）如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥EF．有下列結(jié)論：①∠BAE＝30°；②射線FE是∠AFC的角平分線；③；④AF＝AB+CF．其中正確結(jié)論的為（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②④14．（2024?浙江模擬）將兩張全等的等腰直角三角形紙片△ABH與△CDF和一張正方形紙片EFGH按照如圖所示的方式拼成一個(gè)平行四邊形ABCD，同時(shí)形成了剩余部分（即△BEF，△BFC，△AHD，△HDG），若只知道陰影部分的面積，則不能直接求出（）A．△BEF的面積B．△CDF的面積C．平行四邊形ABCD的面積D．剩余部分的面積之和與正方形EFGH面積和15．（2023?鶴山市校級二模）如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE、BE、DE．過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離是；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4+．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③16．（2023?拱墅區(qū)二模）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AF平分∠BAC，交BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，若BE＝BF＝2，則AD＝．17．（2023?鎮(zhèn)平縣二模）如圖，已知?ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°，E、F分別是AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥BC，△BEF與△PEF關(guān)于直線EF對稱，若△APD是直角三角形，則BF的長為．18．在平面直角坐標(biāo)系中一組菱形A1C1B1O，A2C2B2C1，A3C3B3C2，A4C4B4C3，…按如圖方式放置，已知點(diǎn)A1（1，0），A2（3，0），A3（5，0），…，An（2n﹣1，0），點(diǎn)B1（0，1），B2（0，3），B3（0，5），…，Bn（0，2n﹣1），則菱形A5C5B5C4的面積為．19．（2023?雨山區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，以DE為對稱軸將△DAE折疊得到△DGE，再折疊BE使BE落在直線EG上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為EF且交BC于點(diǎn)F．（1）∠DEF＝；（2）若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則DF的長為．20．如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，連接AC，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，直線MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結(jié)論的有．（填寫正確結(jié)論的序號）21．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝，AB＝1，以AC為邊作矩形ACDE（點(diǎn)A，C，D，E按逆時(shí)針方向排列），CD＝2，BC和ED的延長線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BF向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)F時(shí)停止．點(diǎn)Q在線段CD上運(yùn)動(dòng)，且始終滿足PC＝DQ，連接EP，PQ，QE．當(dāng)△EPQ的面積為時(shí)，CP的長是．22．如圖，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點(diǎn)E在CB的延長線上，當(dāng)BE＝2時(shí)，連接AE，過點(diǎn)A作AF⊥AE，交CD于點(diǎn)F，連接EF，點(diǎn)H是EF的中點(diǎn)，連接BH，則BH＝．23．（2023?頭屯河區(qū)模擬）如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE、BE、DE．過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正確結(jié)論的序號是．24．（2023?會(huì)寧縣模擬）如圖，在?ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M，點(diǎn)N在邊BC上，且AM＝CN，連接DN，延長AD到點(diǎn)G，使DG＝NC，連接CG．（1）求證：AB＝CM；（2）試判斷△ACG的形狀，并說明理由．（3）若，，則DN＝．25．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，O是DF的中點(diǎn)，EO的延長線交線段BD于點(diǎn)G，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)G．求證：四邊形DEFG是平行四邊形．26．（2023?烈山區(qū)一模）如圖，在?ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，∠AND＝90°，連接CM交DN于點(diǎn)O．（1）求證：△ABN≌△CDM；（2）求證：四邊形CDMN為菱形；（3）過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，交DN于點(diǎn)P，若PE＝1，∠1＝∠2，求NC的長．27．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，BE平分∠ABD，交AC于點(diǎn)E，DF平分∠CDB，交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G在BE的延長線上，且BE＝EG，連接DG．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若BD＝2AB，DF＝4，AC＝6，求四邊形DGEF的周長．28．（2023?思明區(qū)模擬）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF，連接AF，CE相交于點(diǎn)P，連接PD交AC于點(diǎn)G．（1）求∠APC的大??；（2）在AD上取點(diǎn)M，使得AM＝AE，過點(diǎn)A作AN⊥AB交PD于點(diǎn)N，求證：C，N，M三點(diǎn)在同一條直線上．29．（2023?芙蓉區(qū)校級三模）如圖，已知菱形ABCD中，對角線ACBD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作CE∥BD，過點(diǎn)D作DE∥AC，CE與DE相交于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形CODE是矩形．（2）若AB＝5，AC＝6，求四邊形CODE的周長．30．（2023?石峰區(qū)三模）四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為對角線AC上一點(diǎn)，連接DE．過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F．（1）如圖1，若點(diǎn)F在邊BC上，求證DE＝EF；（2）以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．①如圖2，若AB＝4，CE＝3，求CG的長度；②當(dāng)線段DE與正方形ABCD一邊的夾角是35°時(shí)，直接寫出∠EFC的度數(shù)．31．（2023?肥城市一模）如圖，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分線交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A分別作直線CE，CF的垂線，B，D為垂足．（1）∠EAF＝°（直接寫出結(jié)果不寫解答過程）；（2）①求證：四邊形ABCD是正方形．②若BE＝EC＝3，求DF的長．（3）如圖（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，則HR的長度是（直接寫出結(jié)果不寫解答過程）．

重難點(diǎn)03平行四邊形與特殊平行四邊形考向一：多邊形內(nèi)角和【題型1多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算】滿分技巧多邊形內(nèi)角和公式：任意多邊形的外角和為360°正多邊形的一個(gè)內(nèi)角：1．（2023?北京）正十二邊形的外角和為（）A．30° B．150° C．360° D．1800°【分析】本題考查多邊形的外角和問題，多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和都等于360°．【解答】解：因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛蜑?60°，所以正十二邊形的外角和為：360°．故選：C．2．（2023?襄陽）五邊形的外角和等于（）A．180° B．360° C．540° D．720°【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°解答．【解答】解：五邊形的外角和是360°．故選：B．3．（2023?重慶）如圖，正五邊形ABCDE中，連接AC，那么∠BAC的度數(shù)為．【分析】利用多邊形內(nèi)角和公式及正多邊形性質(zhì)易得∠B的度數(shù)，AB＝BC，再根據(jù)等邊對等角，利用三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AB＝BC，∠B＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠BAC＝∠BCA＝＝＝36°，故答案為：36°．4．（2023?濟(jì)寧）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°，則這個(gè)多邊形是邊形．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列方程并解方程即可．【解答】解：設(shè)此多邊形的邊數(shù)為n，則（n﹣2）?180°＝540°，解得：n＝5，即此多邊形為五邊形，故答案為：五．考向二：平行四邊形的性質(zhì)與判定【題型2平行四邊形的性質(zhì)】滿分技巧1.平行四邊形的性質(zhì)可以從三個(gè)方面記，①邊：對邊平行且相等；②角：對角相等，鄰角互補(bǔ)；③對角線：對角線互相平分；2.平行四邊形的問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為全等三角形的判定與性質(zhì)類問題來解決。1．（2023?益陽）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列結(jié)論一定成立的是（）A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC【分析】由平行四邊形的對角線互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，故選：C．2．（2023?海南）如圖，在?ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交邊AD于點(diǎn)E，連接CE，若AE＝2ED，則CE的長為（）A．6 B．4 C． D．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝8，AD∥BC，再證∠ABE＝∠AEB，則AE＝AB＝8，過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，則∠FED＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得DF＝ED＝2，則EF＝2，CF＝6，即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝8，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝8，∵AE＝2ED，∴2ED＝8，∴ED＝4，如圖，過點(diǎn)E作EF⊥CD于點(diǎn)F，則∠EFC＝∠EFD＝90°，∴∠FED＝90°﹣∠D＝90°﹣60°＝30°，∴DF＝ED＝2，∴EF＝＝＝2，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6，∴CE＝＝＝4，故選：C．3．（2023?瀘州）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ADC的平分線與邊AB相交于點(diǎn)P，E是PD中點(diǎn)，若AD＝4，CD＝6，則EO的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，可得∠CDP＝∠APD，根據(jù)DP平分∠ADC，可得∠CDP＝∠ADP，從而可得∠ADP＝∠APD，可得AP＝AD＝4，進(jìn)一步可得PB的長，再根據(jù)三角形中位線定理可得EO＝PB，即可求出EO的長．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，∴∠CDP＝∠APD，∵DP平分∠ADC，∴∠CDP＝∠ADP，∴∠ADP＝∠APD，∴AP＝AD＝4，∵CD＝6，∴AB＝6，∴PB＝AB﹣AP＝6﹣4＝2，∵E是PD的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，∴EO是△DPB的中位線，∴EO＝PB＝1，故選：A．4．（2023?福建）如圖，在?ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，EF過點(diǎn)O且分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．若AE＝10，則CF的長為．【分析】由平行線四邊形的性質(zhì)得到CD＝AB，CD∥AB，因此∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，又OD＝OB，即可證明△DOF≌△BOE（AAS），得到FD＝BE，于是得出CF＝AE＝10．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∵O為BD的中點(diǎn)，∴OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（AAS），∴DF＝BE，∴CD﹣DF＝AB﹣BE，∴CF＝AE＝10．故答案為：10．5．（2023?聊城）如圖，在?ABCD中，BC的垂直平分線EO交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)O，連接BE，CE，過點(diǎn)C作CF∥BE，交EO的延長線于點(diǎn)F，連接BF．若AD＝8，CE＝5，則四邊形BFCE的面積為．【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC＝8，再由EF是線段BC的垂直平分線得出EF⊥BC，OB＝OC＝BC＝4，根據(jù)勾股定理求出OE的長，再由CF∥BE可得出∠OCF＝OBE，故可得出△OCF≌△OBE，OE＝OF，利用S四邊形BFCE＝S△BCE+S△BFC即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AD＝8，∴AD＝BC＝8，∵由EF是線段BC的垂直平分線，∴EF⊥BC，OB＝OC＝BC＝4，∵CE＝5，∴OE＝＝＝3．∵CF∥BE，∴∠OCF＝∠OBE，在△OCF與△OBE中，，∴△OCF≌△OBE（ASA），∴OE＝OF＝3，∴S四邊形BFCE＝S△BCE+S△BFC＝BC?OE+BC?OF＝×8×3+×8×3＝12+12＝24．故答案為：24．6．（2023?哈爾濱）已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在對角線BD上，點(diǎn)F在邊BC上，連接AE，EF，DE＝BF，BE＝BC．（1）如圖①，求證△AED≌△EFB；（2）如圖②，若AB＝AD，AE≠ED，過點(diǎn)C作CH∥AE交BE于點(diǎn)H，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖②中四個(gè)角（∠BAE除外），使寫出的每個(gè)角都與∠BAE相等．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)推出AD∥BC，AD＝BC，得到∠ADE＝∠EBF，又BC＝BE，得到AD＝BE，即可證明△AED≌△EFB（SAS）；（2）由平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，即可解決問題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠EBF，∵BC＝BE，∴AD＝BE，在△AED和△EFB中，，∴△AED≌△EFB（SAS）；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AB∥CD，∵AB＝AD，∴AB＝BC，∵BE＝BC，∴AB＝BE，∴∠BEA＝∠BAE，∵CH∥AE，∴∠DHC＝∠BEA，∵AB∥CD，∴∠CDH＝∠ABE，∴∠DCH＝∠BAE，∵△AED≌△EFB（SAS），∴∠AED＝∠EFB，∴∠EFC＝∠AEB，∴與∠BAE相等角是∠AEB，∠DHC，∠EFC，∠DCH．【題型3平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合】滿分技巧1、平行四邊形的判定也可以從三個(gè)方面記，①邊：兩組對邊分別平行；兩組對邊分別相等；一組對邊平行且相等；②角：兩組對角分別相等；③對角線：對角線互相平分；2、平行四邊形的判定和性質(zhì)經(jīng)常綜合在一起考，即先考判定一個(gè)四邊形是平行四邊，然后再利用平行四邊形的性質(zhì)去解剩余的問題。做題時(shí)，不要太輕率，要綜合考慮用到的考點(diǎn)。1．（2023?邵陽）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，若添加一個(gè)條件，使四邊形ABCD為平行四邊形，則下列正確的是（）A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C【分析】由平行四邊形的判定方法分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∴不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、由AB∥CD，AB＝AD，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．2．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，B是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E在AC同側(cè)，AE＝BD，BE＝CD．（1）求證：△ABE≌△BCD；（2）連接DE，求證：四邊形BCDE為平行四邊形．【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到AB＝BC，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABE＝∠BCD，根據(jù)平行線的判定定理得到BE∥CD，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵B是AC的中點(diǎn)，∴AB＝BC，在△ABE與△BCD中，，∴△ABE≌△BCD（SSS）；（2）∵△ABE≌△BCD，∴∠ABE＝∠BCD，∴BE∥CD，∵BE＝CD，∴四邊形BCDE為平行四邊形．3．（2023?杭州）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對角線BD上，且BE＝EF＝FD，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．（2）若△ABE的面積等于2，求△CFO的面積．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AO＝CO，BO＝DO，再證OE＝OF，即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：∵BE＝EF，∴S△ABE＝S△AEF＝2，∵四邊形AECF是平行四邊形，∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO，∴△CFO的面積＝1．4．（2023?貴州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延長CB至D，使得BD＝CB，過點(diǎn)A，D分別作AE∥BD，DE∥BA，AE與DE相交于點(diǎn)E．下面是兩位同學(xué)的對話：小星：由題目的已知條件，若連接BE，則可證明BE⊥CD．小紅：由題目的已知條件，若連接CE，則可證明CE＝DE．（1）請你選擇一位同學(xué)的說法，并進(jìn)行證明；（2）連接AD，若，求AC的長．【分析】（1）小星：連接BE，根據(jù)平行四邊的判定定理得到四邊形ABDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AE＝BD，推出四邊形AEBC是平行四邊形，根據(jù)矩形性質(zhì)得到BE⊥CD；小紅：連接BE，CE，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定和性質(zhì)定理即可得到論；（2）連接AD，設(shè)CB＝2k，AC＝3k，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：小星：連接BE，∵AE∥BD，DE∥BA，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD，∵BD＝BC，∴AE＝BC，∵AE∥BC，∴四邊形AEBC是平行四邊形，∵∠C＝90°，∴四邊形AEBC是矩形，∴∠EBC＝90°，∴BE⊥CD；小紅：連接CE，BE，∵AE∥BD，DE∥BA，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD，AB＝DE，∵BD＝BC，∴AE＝BC，∵AE∥BC，∴四邊形AEBC是平行四邊形，∵∠C＝90°，∴四邊形AEBC是矩形，∴AB＝CE，∴DE＝CE；（2）∵，∴設(shè)CB＝2k，AC＝3k，∴CD＝4k，∵AC2+DC2＝AD2，∴（3k）2+（4k）2＝（5）2，∴k＝，∴AC＝3．考向三：矩形的性質(zhì)與判定【題型4矩形的性質(zhì)】滿分技巧1.矩形的性質(zhì)可以從在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加性質(zhì)記憶，①矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②增加性質(zhì)：四個(gè)角都是直角、對角線相等；2.矩形問題的轉(zhuǎn)化方向有直角三角形、等腰三角形。正因此，矩形常和勾股定理結(jié)合來求長度。1．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O．若∠AOB＝60°，則＝（）A． B． C． D．【分析】先證△ABO是等邊三角形，可得∠BAO＝60°，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO，∵∠AOB＝60°，∴△ABO是等邊三角形，∴∠BAO＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB，∴＝，故選：D．2．（2023?呼和浩特）如圖，矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點(diǎn)M，N．若AM＝1，BN＝2，則BD的長為（）A． B．3 C． D．【分析】依據(jù)題意，連接BM，記BD與MN交于點(diǎn)O，先證△DMO≌△BNO，從而得DM＝BN＝2，再由線段MN垂直平分BD從而BM＝DM＝2，又在Rt△BAM中可得AM的值，從而再在Rt△BAD中可求得BD．【解答】解：由題意，連接BM，記BD與MN交于點(diǎn)O．∵線段MN垂直平分BD，∴BO＝DO，BM＝DM．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠MDO＝∠NBO．又∠DOM＝∠BON，∴△DMO≌△BNO（ASA）．∴DM＝BN＝BM＝2．在Rt△BAM中，∴AB＝＝．∴在Rt△BAD中可得，BD＝＝2．故選：A．3．如圖，以鈍角三角形ABC的最長邊BC為邊向外作矩形BCDE，連結(jié)AE，AD，設(shè)△AED，△ABE，△ACD的面積分別為S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（）A．△ABE的面積 B．△ACD的面積C．△ABC的面積 D．矩形BCDE的面積【分析】作AG⊥ED于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，可證明四邊形BFGE是矩形，AF⊥BC，可推導(dǎo)出S﹣S1﹣S2＝ED?AG﹣BE?EG﹣CD?DG＝ED?AG﹣FG?ED＝BC?AF＝S△ABC，所以只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，于是得到問題的答案．【解答】解：作AG⊥ED于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，∵四邊形BCDE是矩形，∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD，∴四邊形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°，∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC，∴S﹣S1﹣S2＝ED?AG﹣BE?EG﹣CD?DG＝ED?AG﹣FG?ED＝BC?AF＝S△ABC，∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，故選：C．4．（2023?西藏）如圖，矩形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，AD＝3，AB＝4，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，EG⊥AC于點(diǎn)G，則EH+EG的值是（）A．2.4 B．2.5 C．3 D．4【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠BAD＝90°，OD＝BD，OC＝AC，AC＝BD，根據(jù)勾股定理得到BD＝＝5，過C作CF⊥BD于F，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OD＝BD，OC＝AC，AC＝BD，∴OD＝OC，∵AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，∴BD＝＝5，過C作CF⊥BD于F，∴S△DCB＝CF?BD＝BC?CD，∴CF＝＝，連接OE，∵S△COD＝S△DOE+S△COE，∴，∴EH+EG＝CF＝＝2.4，故選：A．5．（2023?濱州）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段OB，OA上的點(diǎn)，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，則BF的長為．【分析】過A作AN⊥BD于N，過B作BM⊥AC于M，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OB＝BD，OA＝AC，AC＝BD，根據(jù)三角形的面積公式得到AN＝BM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ON＝OM，F(xiàn)M＝EN，設(shè)FM＝EN＝x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：過A作AN⊥BD于N，過B作BM⊥AC于M，∴∠ANO＝∠ANB＝∠BMO＝∠BMA＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝BD，OA＝AC，AC＝BD，∴OB＝OA，∵S△AOB＝OB?AN＝OA?BM，∴AN＝BM，∵AE＝BF，∴Rt△ANE≌△Rt△BMF（HL），∴FM＝EN，設(shè)FM＝EN＝x，∵AF＝1，BE＝3，∴BN＝3﹣x，AM＝1+x，∴3﹣x＝1+x，∴x＝1，∴FM＝1，∴AM＝2，∵AB＝5，∴，∴BF＝＝＝，故答案為：．6．（2023?溫州）如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)E在CB延長線上，點(diǎn)F在BC延長線上，過點(diǎn)F作FH⊥EF交ED的延長線于點(diǎn)H，連結(jié)AF交EH于點(diǎn)G，GE＝GH．（1）求證：BE＝CF；（2）當(dāng)＝，AD＝4時(shí)，求EF的長．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到GE＝GF，再根據(jù)等邊對等角得出∠E＝∠GFE，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，于是可證△ABF和△DCE全等，得到BF＝CE，從而問題得證；（2）先證△ECD∽△EFH，得出比例式，再結(jié)合已知即可求出EF的長．【解答】（1）證明：∵FH⊥EF，∴∠HFE＝90°，∵GE＝GH，∴，∴∠E＝∠GFE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴BF＝CE，∴BF﹣BC＝CE﹣BC，即BE＝CF；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC⊥BC，即DC⊥EF，AB＝CD，BC＝AD＝4，∵FH⊥EF，∴CD∥FH，∴△ECD∽△EFH，∴，∴，∵，∴，設(shè)BE＝CF＝x，∴EC＝x+4，EF＝2x+4，∴，解得x＝1，∴EF＝6．【題型5矩形的判定與性質(zhì)的綜合】滿分技巧矩形的判定也可以從兩個(gè)方向記憶，①從平行四邊形入手判定，把矩形有平行四邊形沒有的性質(zhì)加上，就可以證一個(gè)平行四邊是矩形；②從普通四邊形入手判定則有：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形、對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；1．在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列說法能使四邊形ABCD為矩形的是（）A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D【分析】由矩形的判定分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，由AB＝CD，不能判定四邊形ABCD為矩形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵AD＝BC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，由AB＝CD，不能判定四邊形ABCD為矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴AB的長為AD與BC間的距離，∵AB＝CD，∴CD⊥AD，CD⊥BC，∴∠C＝∠D＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)C符合題意；D、∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，∵∠A＝∠D，∴∠B＝∠C，∵AB＝CD，∴四邊形ABCD是等腰梯形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．2．（2023?雅安）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，則DE的最小值為．【分析】連接CP，由勾股定理求出AB的長，再證四邊形CDPE是矩形，得DE＝CP，然后由等腰直角三角形的性質(zhì)求出CP的長，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，連接CP，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，AB＝＝＝6，∵PD⊥BC，PE⊥AC，∴∠PDC＝∠PEC＝90°，∴四邊形CDPE是矩形，∴DE＝CP，由垂線段最短可得，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，線段DE的值最小，此時(shí)，AP＝BP，∴CP＝AB＝3，∴DE的最小值為3，故答案為：3．3．（2023?新疆）如圖，AD和BC相交于點(diǎn)O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，點(diǎn)E、F分別是AO、DO的中點(diǎn)．（1）求證：OE＝OF；（2）當(dāng)∠A＝30°時(shí)，求證：四邊形BECF是矩形．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理得到AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AO＝DO，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到OE＝OF；（2）根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形BECF是平行四邊形，求得∠EBF＝90°，根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形BECF是矩形．【解答】證明：（1）∵∠ABO＝∠DCO＝90°，∴AB∥CD，∴∠A＝∠D，在△AOB與△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴AO＝DO，∵點(diǎn)E、F分別是AO、DO的中點(diǎn)，∴，∴OE＝OF；（2）∵OB＝OC，OE＝OF，∴四邊形BECF是平行四邊形，∵∠A＝30°，∴，∵OE＝OF，∴，∴∠EBF＝90°，∴四邊形BECF是矩形．4．（2023?大慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線段CD的中點(diǎn)，連接AC，AE，延長AE，BC交于點(diǎn)F，連接DF，∠ACF＝90°．（1）求證：四邊形ACFD是矩形；（2）若CD＝13，CF＝5，求四邊形ABCE的面積．【分析】（1）證明△ADE≌△FCE（AAS），得AE＝FE，所以四邊形ACFD是平行四邊形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可解決問題；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出DF的值，由△ADE≌△FCE，可得四邊形ABCE的面積＝平行四邊形ABCD﹣△CEF的面積，進(jìn)而可以解決問題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，∵E為線段CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE＝FE，∴四邊形ACFD是平行四邊形，∵∠ACF＝90°，∴四邊形ACFD是矩形；（2）解：∵四邊形ACFD是矩形，∴∠CFD＝90°，AC＝DF，∵CD＝13，CF＝5，∴DF＝＝＝12，∵△ADE≌△FCE，∵△CEF的面積＝△ACF的面積＝5×12＝15，平行四邊形ABCD的面積＝BC?AC＝5×12＝60，∴四邊形ABCE的面積＝平行四邊形ABCD的面積﹣△CEF的面積＝60﹣15＝45．考向四：菱形的性質(zhì)與判定【題型6菱形的性質(zhì)】滿分技巧1、菱形的性質(zhì)可以從在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加性質(zhì)記憶，①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②增加性質(zhì)：四條邊都相等、對角線互相垂直、每條對角線平分一組對角；2、菱形問題的轉(zhuǎn)化方向有直角三角形、等腰三角形。也常和勾股定理結(jié)合來求長度。3、菱形面積的特殊計(jì)算方法：對角線相乘除以21．（2023?湘潭）如圖，菱形ABCD中，連接AC，BD，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．60° C．70° D．80°【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠DCA＝∠1＝20°，∴∠2＝90°﹣∠DCA＝70°，故選：C．2．（2023?麗水）如圖，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，則AC的長為（）A． B．1 C． D．【分析】連接BD交AC于點(diǎn)O，由菱形的性質(zhì)得OA＝OC，∠BAO＝30°，AC⊥BD，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得OB＝，然后由勾股定理得OA＝，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴OA＝OC，∠BAO＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AB＝，∴OA＝＝＝，∴AC＝2OA＝，故選：D．3．（2023?東營）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的邊長為2，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，且∠AOC＝60°，將菱形OABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到四邊形OA′B′C′（點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合），則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（）A．（3，3） B．（3，3） C．（3，6） D．（6，3）【分析】如圖，過B′作B′D⊥y軸于D，連接OB′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OC′＝C′B′＝2，∠C′OB′＝∠COA＝60°，B′C′∥OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DC′B′＝∠C′OC＝60°，求得∠DB′C′＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，過B′作B′D⊥y軸于D，連接OB′，∵將菱形OABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到四邊形OA′B′C′，∠AOC＝60°，菱形OABC的邊長為2，∴OC′＝C′B′＝2，∠C′OB′＝∠C′OC＝30°，B′C′∥OC，∴∠DC′B′＝∠C′OC＝60°，∴∠DB′C′＝30°，∴，DB′＝B′C′＝3，∴，∴B′的坐標(biāo)是（3，3），故選：B．4．（2023?紹興）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，連接AC，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作弧，交直線AD于點(diǎn)E，連接CE，則∠AEC的度數(shù)是．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠DAC＝20°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠AEC的度數(shù)．【解答】解：以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作弧，交直線AD于點(diǎn)E和E′，如圖所示，在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，∵∠DAB＝40°，∴∠DAC＝20°，∵AC＝AE，∴∠AEC＝（180°﹣20°）÷2＝80°，∵AE′＝AC，∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°，綜上所述，∠AEC的度數(shù)是10°或80°，故答案為：10°或80°．5．（2023?臨沂）若菱形的兩條對角線長分別為6和8，則該菱形的面積為24．【分析】由菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，由△DAC的面積＝AC?OD，△BAC的面積＝AC?OB，得到菱形ABCD的面積＝AC?（OD+OB）＝AC?BD，即可求出菱形的面積．【解答】解：如圖：菱形ABCD中AC＝8，BD＝6，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴△DAC的面積＝AC?OD，△BAC的面積＝AC?OB，∴菱形ABCD的面積＝△DAC的面積+△BAC的面積＝AC?（OD+OB）＝AC?BD＝×8×6＝24．故答案為：24．6．（2023?浙江）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF．（1）求證：AE＝AF；（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度數(shù)．【分析】（1）欲證明AE＝AF，只需要證得△ABE≌△ADF即可；（2）根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)和全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理解答．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D．又∵AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，在△ABE與△ADF中，∵．∴△ABE≌△ADF（AAS）．∴AE＝AF；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B+∠BAD＝180°．而∠B＝60°，∴∠BAD＝120°．又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°．由（1）知△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF＝30°．∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°．∴△AEF是等邊三角形．∴∠AEF＝60°．7．（2023?呼和浩特）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，連接AC，BD交于點(diǎn)O，DE平分∠ADB交AC于點(diǎn)E，BF平分∠CBD交AC于點(diǎn)F，連接BE，DF．（1）求證：∠1＝∠2；（2）若四邊形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四邊形BEDF的面積．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)，角平分線定義推出△ODE≌△OBF（ASA），得到DE＝BF，判定四邊形DEBF是平行四邊形，推出BE∥DF，得到∠1＝∠2．（2）由菱形的性質(zhì)得到BD⊥EF，OD＝OB，推出四邊形DEBF的菱形，由平行線的性質(zhì)得到∠BAD＝60°，判定△ABD是等邊三角形，得到BD＝AB＝2，∠ADO＝60°，求出OE＝OD＝，得到EF＝2OE＝，由菱形的面積公式即可求出四邊形BEDF的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OD＝OB，∴∠ADO＝∠CBO，∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∴∠ODE＝∠ADO，∠OBF＝∠CBO，∴∠ODE＝∠OBF，∴DE∥BF，∵OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，∴△ODE≌△OBF（ASA），∴DE＝BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴BE∥DF，∴∠1＝∠2．（2）解：由（1）知△ODE≌△OBF（ASA），∴OE＝OF，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥EF，OD＝OB，AD∥BC，∴四邊形DEBF的菱形，∵AD∥BC，∠ABC＝120°，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵AD＝AB，∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝AB＝2，∠ADO＝60°，∴OD＝BD＝1，∵∠ODE＝∠ADO＝30°，∴OE＝OD＝，∴EF＝2OE＝，∴四邊形BEDF的面積＝BD?EF＝×2×＝．【題型7菱形判定與性質(zhì)的綜合】滿分技巧類比矩形，菱形的判定也是從兩個(gè)方向來記。1．（2023?深圳）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝6，將線段AB水平向右平移a個(gè)單位長度得到線段EF，若四邊形ECDF為菱形時(shí)，則a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】證得四邊形ECDF為平行四邊形，當(dāng)CD＝CD＝4時(shí)，?ECDF為菱形，此時(shí)a＝BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4，∵將線段AB水平向右平得到線段EF，∴AB∥EF∥CD，∴四邊形ECDF為平行四邊形，當(dāng)CD＝CE＝4時(shí)，?ECDF為菱形，此時(shí)a＝BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2．故選：B．2．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于點(diǎn)O．請?zhí)砑右粋€(gè)條件：，使四邊形ABCD成為菱形．【分析】根據(jù)AD∥BC或AB＝CD或或ADB＝∠CBD，證得四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)AC⊥BD可證得四邊形ABCD是菱形；根據(jù)OB＝OD，證得Rt△ADO≌Rt△CBO（HL），得到AO＝CO，DO＝BO，可證得四邊形ABCD是菱形．【解答】解：當(dāng)添加“AD∥BC”時(shí)，∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；當(dāng)添加：“AB＝CD”時(shí)，∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；當(dāng)添加“OB＝OD”時(shí)，∵AD＝BC，AC⊥BD，∴Rt△ADO≌Rt△CBO（HL），∴AO＝CO，DO＝BO，∴四邊形ABCD是菱形；當(dāng)添加：“∠ADB＝∠CBD”時(shí)，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．故答案為：AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD或ADB＝∠CBD等）．3．如圖，已知點(diǎn)A，D，C，B在同一條直線上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．（1）求證：AE∥BF；（2）若DF＝FC時(shí)，求證：四邊形DECF是菱形．【分析】（1）由SSS證明△AEC≌△BFD（SSS），得到∠A＝∠B，即可證明AE∥BF；（2）由△AEC≌△BFD，得到∠ECA＝∠FDB，推出EC∥DF，又EC＝DF，得到四邊形DECF是平行四邊形，而DF＝FC，推出四邊形DECF是菱形．【解答】證明：（1）∵AD＝BC，∴AD+CD＝BC+CD，∴AC＝BD，∵AE＝BF，CE＝DF，∴△AEC≌△BFD（SSS），∴∠A＝∠B，∴AE∥BF；（2）∵△AEC≌△BFD（SSS），∴∠ECA＝∠FDB，∴EC∥DF，∵EC＝DF，∴四邊形DECF是平行四邊形，∵DF＝FC，∴四邊形DECF是菱形．4．（2023?云南）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE＝AF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面積等于，求平行線AB與DC間的距離．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對角相等得到∠BAD＝∠BCD，再根據(jù)AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，可得到∠DAE＝∠BCF，再根據(jù)平行四邊形對邊平行得到∠DAE＝∠AEB，于是有∠BCF＝∠AEB，得出AE∥FC，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證得四邊形AECF是平行四邊形，最后根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；（2）連接AC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義可證得AB＝EB，結(jié)合已知∠ABC＝60°得到△ABE是等邊三角形，從而求出AB＝AE＝EB＝EC＝4，∠BAE＝60°，再證得∠EAC＝30°，即可得到∠BAC＝90°，根據(jù)勾股定理求出AC的長，從而得出平行線AB與DC間的距離．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，∵AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，∴，，∴∠DAE＝∠BCF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BCF＝∠AEB，∴AE∥FC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AE＝AF，∴四邊形AECF是菱形；（2）解：連接AC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝EB，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°，∵△ABE的面積等于，∴，∴AB＝4，即AB＝AE＝EB＝4，由（1）知四邊形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠AEB是△AEC的一個(gè)外角，∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，即AC⊥AB，由勾股定理得，即平行線AB與DC間的距離是．考向五：正方形的性質(zhì)【題型8正方形的性質(zhì)】滿分技巧1、正方向具有矩形和菱形的一切性質(zhì)；2、正方形問題的轉(zhuǎn)化方向只有一個(gè)——等腰直角三角形；1．（2023?攀枝花）如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，點(diǎn)P是對角線BD上的一點(diǎn)，PF⊥AD于點(diǎn)F，PE⊥AB于點(diǎn)E，連接PC，當(dāng)PE：PF＝1：2時(shí)，則PC＝（）A． B．2 C． D．【分析】先證四邊形AEPF是矩形，可得PE＝AF，∠PFD＝90°，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得PF＝DF，可求AF，DF的長，由勾股定理可求AP的長，由“SAS”可證△ABP≌△CBP，可得AP＝PC＝．【解答】解：連接AP，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，∠ADB＝45°，∵PF⊥AD，PE⊥AB，∠BAD＝90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴PE＝AF，∠PFD＝90°，∴△PFD是等腰直角三角形，∴PF＝DF，∵PE：PF＝1：2，∴AF：DF＝1：2，∴AF＝1，DF＝2＝PF，∴AP＝＝＝，∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP＝PC＝，故選：C．2．（20