第四章 因式分解（9類題型突破）

第4章因式分解（9類題型突破）題型一判定是否屬于因式分解【例題】1．下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．鞏固訓練：2．下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是()A． B．C． D．3．下列各式由左邊到右邊的變形中，屬于分解因式的是（

）A． B．C． D．題型二公因式【例題】4．單項式與的公因式是（

）A． B． C． D．鞏固訓練：5．下列各組中的兩個代數(shù)式，沒有公因式的一組是（

）A．和 B．和C．和 D．和6．多項式的公因式是（

）A． B． C． D．7．把多項式，提取公因式后，余下的部分是（

）A． B． C． D．8．（1）多項式的公因式是；（2）多項式的公因式是；（3）多項式的公因式是；（4）多項式的公因式是．題型三提取公因式法分解因式【例題】9．因式分解：(1)． (2)鞏固訓練：10．把下列各式分解因式：(1)； (2)．11．將下列各式分解因式：(1)； (2)；(3)； (4)．12．閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：．(1)上述因式分解的方法是______________，共應用了_________次；(2)將下列多項式分解因式：；(3)若分解，則需應用上述方法________次，結(jié)果是_________．題型四判斷是否能用公式法分解因式【例題】．13．下列各式中，能用完全平方公式進行因式分解的是（

）A． B． C． D．鞏固訓練：14．下列多項式中，不能用公式法進行因式分解的是（

）A． B． C． D．15．下列各式中，不能用完全平方公式分解的個數(shù)為（

）①；

②；③；

④；

⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個16．下列各多項式中，能運用公式法分解因式的有（）（1）（2）（3）（4）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個17．下列各個多項式中，不能用平方差公式進行因式分解的是（

）A． B． C． D．題型五用公式法分解因式【例題】．18．分解因式：(1)； (2)．鞏固訓練：19．因式分解：(1)； (2)．20．分解因式：(1) (2)．題型六十字相乘法分解因式【例題】．21．如果多項式可分解為，則m，n的值分別為（

）A． B． C． D．鞏固訓練：22．用十字相乘法分解因式：(1)； (2)；(3)．23．因式分解：題型七分組分解法分解因式【例題】．24．因式分解：(1)； (2)；(3)．鞏固訓練：25．26．因式分解：；27．因式分解：題型八因式分解的應用【例題】．28．已知，，那么、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不確定鞏固訓練：29．如圖，某小區(qū)規(guī)劃在邊長為xm的正方形場地上，修建兩條寬度相等的甬道，其余部分種草，若該場地種草部分的面積為m2，則甬道的寬度是（）A．3m B．6m C．9m D．15m30．已知a，b，c為三邊，且滿足，則是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．不能確定31．如果能被整除，則（

）．A． B．8 C．7 D．32．已知，則的值（

）．A．一定是負數(shù) B．一定是正數(shù) C．一定不是正數(shù) D．不能確定33．已知，，那么的值為.34．已知，則的值為．題型九材料信息題【例題】．35．觀察下面因式分解的過程：上面因式分解過程的第一步把拆成了，這種因式分解的方法稱為拆項法．請用上面的方法完成下列題目：(1)；(2)．鞏固訓練：36．先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將代入，得原式．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：(1)因式分解：______；(2)因式分解：．37．閱讀材料，解決問題：對形如的整式稱為完全平方式，我們可以直接運用公式進行因式分解，例如；而對于這樣無法直接運用公式進行因式分解的整式，我們可以先適當變形，再運用公式進行因式分解，例如：(1)若是一個完全平方式，則k的值為______．(2)分解因式：．(3)我們還可以仿照上面的方法解決求整式的最大（或最?。┲祮栴}，例如：．∵，∴，則當時，整式有最小值，其值為．求當x的值為多少時，整式有最大值或最小值，并求出最大值或最小值．38．閱讀：證明命題“一個三位數(shù)各位數(shù)字之和可以被3整除，則這個數(shù)就可以被3整除”．設表示一個三位數(shù)，則因為能被3整除，如果也能被3整除，那么就能被3整除．(1)①一個四位數(shù)，如果能被9整除，證明能被9整除；②若一個五位數(shù)能被9整除，則______；(2)若一個三位數(shù)的各位數(shù)字是任意三個連續(xù)的正整數(shù)，則的最小正因數(shù)一定是______（數(shù)字“1”除外）；(3)由數(shù)字1至9組成的一個九位數(shù)，這個數(shù)的第一位能被1整除，前兩位組成的兩位數(shù)能被2整除，前三位組成的三位數(shù)能被3整除，以此類推，一直到整個九位數(shù)能被9整除，寫出這個九位數(shù)是______．

第4章因式分解（9類題型突破）題型一判定是否屬于因式分解【例題】1．下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了因式分解的意義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．直接利用因式分解的意義分析得出答案．【解析】解：A、，從左到右是整式的乘法運算，不合題意；B、，右邊不是乘積形式，不合題意；C、，從左到右是整式的乘法運算，，不合題意；D、，從左到右是因式分解，符合題意．故選：D．鞏固訓練：2．下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是()A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了因式分解的定義；運用因式分解的定義進行辨別、求解．【解析】解：A.∵不是表示整式的乘積，∴選項A不符合題意；B.，∴選項B不符合題意；C.不是整式乘積的形式，∴選項C不符合題意；D.，是因式分解，選項D符合題意，故選：D．3．下列各式由左邊到右邊的變形中，屬于分解因式的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了因式分解的含義，根據(jù)分解因式的概念求解即可．解答本題的關(guān)鍵是掌握因式分解的定義：把一個多項式轉(zhuǎn)化為整式乘積的形式．【解析】解A、是整式的乘法，故A不符合題意；B、的右邊不是整式，故B不符合題意；C、，符合因式分解的定義，故C符合題意；D、的右邊不是整式的積的形式，故D不符合題意．故選：C．題型二公因式【例題】4．單項式與的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查公因式，熟練掌握如何去找公因式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公因式的概念分別求得系數(shù)的最大公因數(shù)，相同字母的次數(shù)的最低次數(shù)即可．【解析】解：單項式與的公因式是．故選：C．鞏固訓練：5．下列各組中的兩個代數(shù)式，沒有公因式的一組是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】本題考查了公因式的概念，正確理解公因式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公因式的概念逐一判斷選項即可．【解析】A、和的公因式是，不符合題意；B、和，沒有公因式，符合題意；

C、和的公因式是，不符合題意；D、和的公因式是5，不符合題意；故選B．6．多項式的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查找公因式，找數(shù)字的最大公因式，字母找相同字母最低指數(shù)即可得到答案；【解析】解：由題意可得，的公因式是：，故選：B．7．把多項式，提取公因式后，余下的部分是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求結(jié)果．熟練掌握提公因式是解決問題的關(guān)鍵．【解析】，則余下的部分是x．故選：C．8．（1）多項式的公因式是；（2）多項式的公因式是；（3）多項式的公因式是；（4）多項式的公因式是．【答案】；；；．【分析】本題主要考查了公因式，根據(jù)當各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公因數(shù)；字母取各項的相同的字母，各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的，進而得出答案，掌握公因式的定義是解題的關(guān)鍵．【解析】（）根據(jù)公因式的概念可得：公因式是；（）根據(jù)公因式的概念可得：公因式是；（）根據(jù)公因式的概念可得：公因式是；（）根據(jù)公因式的概念可得：公因式是；故答案為：（）；（）；（）；（）題型三提取公因式法分解因式【例題】9．因式分解：(1)．(2)【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了因式分解，掌握和靈活運用分解因式的方法是解決本題的關(guān)鍵．（1）首先進行多項式乘多項式的計算，再合并同類項，最后提取公因式，即可分解因式；（2）首先提取公因式，再化簡即可．【解析】（1）解：原式．（2）解：原式鞏固訓練：10．把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用提公因式法解答即可；注意首項系數(shù)為負數(shù)，需把“-”號提出來；（2）利用提公因式法解答，注意符號的變化．【解析】（1）．（2）．【點睛】本題考查了多項式的因式分解，找準多項式的公因式是解題的關(guān)鍵．11．將下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）提取公因式因式分解解題即可；（2）提取公因式分解因式即可；（3）把看成整體提取公因式分解因式即可；（4）把看成整體提取公因式分解因式即可．【解析】（1）；（2）；（3））；（4）．【點睛】本題考查提取公因式因式分解，掌握提取公因式的方法是解題的關(guān)鍵．12．閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：．(1)上述因式分解的方法是______________，共應用了_________次；(2)將下列多項式分解因式：；(3)若分解，則需應用上述方法________次，結(jié)果是_________．【答案】(1)提取公因式法；2(2)(3)2023；【分析】（1）根據(jù)題意可知題干的因式分解方法是提公因式法，一共應用了2次；（2）仿照題意進行提取公因式進行分解因式即可得到答案；（3）根據(jù)題意可得規(guī)律，提n次公因式，據(jù)此求解即可．【解析】（1）解：由題意得，題干的因式分解方法是提公因式法，一共應用了2次，故答案為：提公因式法；2；（2）解：原式；（3）解：，提1次公因式，提2次公因式，提3次公因式……∴依次類推，，提n次公因式，∴，提2023次公因式，故答案為：2023；．【點睛】本題主要考查了分解因式，正確理解題意掌握提公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵．題型四判斷是否能用公式法分解因式【例題】．13．下列各式中，能用完全平方公式進行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查用完全平方公式進行因式分解，熟練運用完全平方公式.是解題的關(guān)鍵利用完全平方公式逐項判斷即可解答．【解析】解：A、，不能用完全平方公式進行因式分解；B、，不能用完全平方公式進行因式分解；C、，不能用完全平方公式進行因式分解；D、，能用完全平方公式進行因式分解；故選：D．鞏固訓練：14．下列多項式中，不能用公式法進行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握平方差公式及完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．利用平方差公式，以及完全平方公式判斷即可．【解析】解：A、不能用公式法因式分解，故此選項符合題意；B、，故此選項不符合題意；C、，故此選項不符合題意；D、，故此選項不符合題意．故選：A．15．下列各式中，不能用完全平方公式分解的個數(shù)為（

）①；

②；③；

④；

⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了完全平方公式，屬于基本題目，熟知完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式逐一判斷即可．【解析】解：①，不符合題意；②，不符合題意；③不能用完全平方公式分解，符合題意；④，不符合題意；⑤不能用完全平方公式分解，符合題意．故選：B．16．下列各多項式中，能運用公式法分解因式的有（）（1）（2）（3）（4）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，據(jù)此逐項分析，即可作答．【解析】解：，故（1）符合題意；不能運用公式法分解因式，故（2）不符合題意；，故（3）符合題意；，不能運用公式法分解因式，故（4）不符合題意；所以能運用公式法分解因式的有（1）和（3），故選：B17．下列各個多項式中，不能用平方差公式進行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平方差公式因式分解逐項驗證即可得到答案．【解析】解：A、，能用平方差公式進行因式分解，該選項不符合題意；B、，不能用平方差公式進行因式分解，該選項符合題意；C、，能用平方差公式進行因式分解，該選項不符合題意；D、，能用平方差公式進行因式分解，該選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查公式法因式分解，熟練掌握平方差公式是解決問題的關(guān)鍵．題型五用公式法分解因式【例題】．18．分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解，多項式乘以多項式；（1）先提取公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解；（2）先利用多項式乘以多項式的法則展開，再利用完全平方公式進行因式分解．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式．鞏固訓練：19．因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解決本題的關(guān)鍵．（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解．【解析】（1）解：（2）20．分解因式：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用公式是解題關(guān)鍵﹒（1）直接利用提取公因式法以及公式法分解因式進而得出答案；（2）直接提負號，再利用公式法分解因式即可﹒【解析】（1）解：原式（2）原式題型六十字相乘法分解因式【例題】．21．如果多項式可分解為，則m，n的值分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先計算多項式乘多項式，然后再進行計算即可解答．【解析】解：由題意得：，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了因式分解-十字相乘法，先計算多項式乘多項式是解題的關(guān)鍵．鞏固訓練：22．用十字相乘法分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】用十字相乘法分解因式求解即可．【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式【點睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．23．因式分解：【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式及十字相乘法可進行因式分解．【解析】解：．【點睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．題型七分組分解法分解因式【例題】．24．因式分解：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用分組法變形為后用完全平方公式和平方差公式進行分解因式即可．（2）利用十字相乘法分解因式即可．（3）變形為后用完全平方公式和平方差公式進行分解因式即可．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【點睛】本題考查了常見的幾種因式分解的方法，有完全平方公式，平方差公式，分組分解法，十字相乘法，熟練掌握以上分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．鞏固訓練：25．【答案】【分析】首先把一二項分為一組、三四五項分為一組，然后再利用公式法和提公因式法分解．【解析】解：原式【點睛】本題考查因式分解，綜合利用分組分解、公式法和提公因式法分解是解題關(guān)鍵．26．因式分解：；【答案】【分析】本題租用考查了分解因式，先分組得到，進而提取公因式得到，再利用平方差公式分解因式即可．【解析】解：．27．因式分解：【答案】【分析】本題考查的是多項式的因式分解，掌握分組分解因式是解本題的關(guān)鍵；本題先分成2組分別提公因式x，再進一步的提公因式分解因式即可．【解析】解：；題型八因式分解的應用【例題】．28．已知，，那么、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不確定【答案】B【分析】本題考查了因式分解的應用，以及積的乘方逆用，根據(jù)作差法比較兩個數(shù)的大小即可．【解析】解：，．故選：B．鞏固訓練：29．如圖，某小區(qū)規(guī)劃在邊長為xm的正方形場地上，修建兩條寬度相等的甬道，其余部分種草，若該場地種草部分的面積為m2，則甬道的寬度是（）A．3m B．6m C．9m D．15m【答案】A【分析】本題考查因式分解的實際應用，將進行因式分解后，即可得出結(jié)果．【解析】解：，∴甬道的寬度是3m，故選A．30．已知a，b，c為三邊，且滿足，則是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．不能確定【答案】C【分析】將已知式子因式分解為，則有或，即可判斷三角形的形狀．本題主要考查等腰三角形的判定和因式分解，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．【解析】，，，，或，或，∴是等腰三角形，故選：C．31．如果能被整除，則（

）．A． B．8 C．7 D．【答案】D【分析】本題考查了因式分解，整式的除法，根據(jù)題意設商為，則，整理得，，則，進行計算可得a，b的值，即可得答案，正確求出m的值，掌握因式分解，整式的除法是解題的關(guān)鍵．【解析】解：設商為，則，整理得，，∴解得，則，，∴，故選：D．32．已知，則的值（

）．A．一定是負數(shù) B．一定是正數(shù) C．一定不是正數(shù) D．不能確定【答案】B【分析】本題考查了整式的加減，完全平方公式．此題可直接用多項式M減去多項式N，然后化簡，最后把得出的結(jié)果與零比較確定的正負．【解析】解：∵，∴．故選：B33．已知，，那么的值為.【答案】【分析】此題考查了因式分解的應用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．原式提取公因式，再利用完全平方公式變形，將各自的值代入計算即可求出值．【解析】解：，，原式．故答案為：34．已知，則的值為．【答案】/【分析】本題考查了求代數(shù)式的的值，因式分解的應用，以及二次根式的性質(zhì)．把變形為，然后把代入計算即可．【解析】解：∵，∴．故答案為：．題型九材料信息題【例題】．35．觀察下面因式分解的過程：上面因式分解過程的第一步把拆成了，這種因式分解的方法稱為拆項法．請用上面的方法完成下列題目：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查因式分解，理解題中拆項法是解答的關(guān)鍵．（1）將拆成，然后重新組合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）將拆成，然后重新組合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【解析】（1）解：；（2）解：．鞏固訓練：36．先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將代入，得原式．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：(1)因式分解：______；(2)因式分解：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解運用公式法：靈活運用平方差公式、完全平方公式和整體思想是解決問題的關(guān)鍵．（1）把原式看作關(guān)于的二次三項式，然后利用完全平方公式分解因式；（2）把原式看作關(guān)于的二次三項式，然后利用完全平方公式分解因式．【解析】（1）將“”看成整體，令，則原式．再將代入，得原式；故答案為：；（2）將“”看成整體，令，則原式．再將代入，得原式．37．閱讀材料，解決問題：對形如的整式稱為完全平方式，我們可以直接運用公式進行因式分解，例如；而對于這樣無法直接運用公式進行因式分解的整式，我們可以先適當變形，再運用公式進行因式分解，例如：(1)若是一個完全平方式，則k的值為______．(2)分解因式：．(3)我們還可以仿照上面的方法解決求整式的最大（或最?。┲祮栴}，例如：．∵，∴，則當時，整式有最小值，其值為．求當x的值為多少時，整式有最大值或最小值，并求出最大值或最小值．【答案】(1)(2)(3)當時，整式有最大值，最大值為31【分析】本題主要考查了完全平方式．熟練掌握完全平方式，配方法，公式法分解因式，是解題的關(guān)鍵．（1）由，得，求解即可；（2）將通過配方變形為，再用平方差公式分解因式即可；（3）將通過配方變形為，再根據(jù)，得到，即可求解．【解析】（