第五章 特殊平行四邊形（壓軸題專練）

第五章特殊平行四邊形（壓軸題專練）一．選擇題（共11小題）1．（2024?浙江模擬）將兩張全等的等腰直角三角形紙片△ABH與△CDF和一張正方形紙片EFGH按照如圖所示的方式拼成一個(gè)平行四邊形ABCD，同時(shí)形成了剩余部分（即△BEF，△BFC，△AHD，△HDG），若只知道陰影部分的面積，則不能直接求出（）A．△BEF的面積B．△CDF的面積C．平行四邊形ABCD的面積D．剩余部分的面積之和與正方形EFGH面積和2．（2022秋?武義縣期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，連結(jié)GH，則線段GH的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．3．（2023秋?溫州期末）如圖，正方形EGMP和正方形FNHP的頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，M，N在長(zhǎng)方形ABCD的邊上．已知，EF＝BE+FC，則長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．52 B．50 C．48 D．464．（2023秋?安化縣期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合），∠DAM＝45°，點(diǎn)F在射線AM上，且AF＝BE，CF與AD相交于點(diǎn)G，連接EC、EF、EG．則下列結(jié)論：①∠ECF＝45°，②△AEG的周長(zhǎng)為（1+）a，③BE2+DG2＝EG2；④當(dāng)BE＝a時(shí)，G是線段AD的中點(diǎn)，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④5．（2023春?東陽(yáng)市期末）如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”得到正方形ABCD與正方形EFGH，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，MN過(guò)點(diǎn)O，分別交CH，AF于點(diǎn)M，N，若MG＝3MH，AC＝2MN，連CF，則的值為（）A． B． C． D．6．（2023秋?奉化區(qū)校級(jí)期中）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，對(duì)角線AC＝5，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，Q是線段BE上的點(diǎn)，連接CQ，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥CQ交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，當(dāng)△PCQ為等腰三角形時(shí)，AP＝（）A．4 B．5 C．6 D．77．如圖，在矩形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，作EF∥AB，交對(duì)角線BD于點(diǎn)O，連結(jié)EC．取OB中點(diǎn)P，取CE中點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．若AD＝6，AB＝8，則PQ的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．8．（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在矩形ABCD內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長(zhǎng)相等．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A．正方形紙片的面積 B．矩形紙片的面積C．四邊形EFGH的面積 D．四邊形JGKE的面積9．（2023春?鄞州區(qū)期末）將6張寬為1的小長(zhǎng)方形如圖1擺放在平行四邊形ABCD中，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．8+4 B．16+4 C．8+8 D．16+8二．填空題（共8小題）10.已知一個(gè)液壓升降機(jī)如圖1所示，圖2和圖3是該液壓升降機(jī)的平面示意圖，菱形CODP的邊長(zhǎng)及等腰三角形OAB、PEF的腰長(zhǎng)都是定值且相等．如圖2，載物臺(tái)EF到水平底座AB的距離h1為60cm，此時(shí)∠AOB＝120°；如圖3，當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，載物臺(tái)EF到水平底座AB的距離h2為cm（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）．11．（2023秋?鹿寨縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以BC為邊向上作正方形BCDE，以AC為邊作正方形ACFG，點(diǎn)D落在GF上，連結(jié)AE，ECG．若，BC+GD＝9，則△AEG的面積為．12．（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E，F(xiàn)分別為邊AD和BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足DE＝BF．將四邊形ABFE沿直線EF翻折，得到四邊形GHFE，其中G為A的對(duì)稱點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)G落在直線CD上時(shí)，AE的長(zhǎng)為．13．（2023秋?黃巖區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)Q在直線AP上，連接BQ，DQ，若∠ADQ+∠BAQ＝180°，則BQ的最大值為．14．（2023?頭屯河區(qū)模擬）如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE、BE、DE．過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．15．（2023秋?金華期中）如圖，門上釘子P處掛著一個(gè)“歡迎光臨”的長(zhǎng)方形掛牌ABCD，測(cè)得AB＝10cm，AD＝24cm．如圖1，當(dāng)掛牌水平懸掛（即BC與地面平行）時(shí)，測(cè)得掛繩AP＝DP＝20cm，此時(shí)點(diǎn)P到BC所在直線的距離為cm，將該門掛的掛繩長(zhǎng)度縮短4cm后重新掛上，此時(shí)不小心把掛牌弄斜了（如圖2），發(fā)現(xiàn)AC與地面平行，且點(diǎn)P、D、C三點(diǎn)在同一直線上，則點(diǎn)B的高度下降了．16．（2023?龍灣區(qū)開(kāi)學(xué)）如圖1是七巧板圖案，現(xiàn)將它剪拼成一個(gè)“臺(tái)燈”造型（如圖2），過(guò)該造型的上下左側(cè)五點(diǎn)作矩形ABCD，使得，點(diǎn)N為PQ的中點(diǎn)，并且在矩形內(nèi)右上角部分留出正方形EFGH作為印章區(qū)域（EH∥AD，HG∥CD），形成一幅裝飾畫，則矩形ABCD的周長(zhǎng)為cm．若點(diǎn)M，N，E在同一直線上，且點(diǎn)H到AD的距離與到CD的距離相等，則印章區(qū)域的邊長(zhǎng)為cm．17．如圖，有一張平行四邊形紙條ABCD，AD＝5cm，AB＝2cm，∠A＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，DE＝1cm．現(xiàn)將四邊形CFED沿EF折疊，使點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)C′，D′上．當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊AD上時(shí)，線段CF的長(zhǎng)為cm．在點(diǎn)F從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，若邊FC'與邊AD交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為cm．三．解答題（共9小題）18．（2023秋?新民市期中）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A，C同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，0≤t≤5．（1）用含有t的代數(shù)式表示EF的長(zhǎng)．（2）若G，H分別是AB，DC中點(diǎn)，求證：四邊形EGFH是平行四邊形．（3）在（2）條件下，直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形EGFH為矩形．19．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE．交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．①求證：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（2023春?柯橋區(qū)期末）根據(jù)以下素材，完成探索任務(wù)：如何故剪出符合要求的矩形紙片？素材1如圖1，△ABC是腰長(zhǎng)為60cm的等腰直角三角形卡紙，甲，乙、丙三名同學(xué)分別用這樣的卡紙?jiān)噲D裁剪出不一樣的矩形紙片，并使長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在△ABC的邊上．素材2甲同學(xué)按圖2的方式裁剪，想裁出面積為800cm2的矩形紙片，乙同學(xué)按圖3的方式裁剪，想裁出兩邊長(zhǎng)之比為1：2的矩形紙片，丙同學(xué)想裁出面積最大的矩形紙片．任務(wù)1計(jì)算矩形紙片的邊長(zhǎng)請(qǐng)幫甲同學(xué)計(jì)算此矩形紙片的兩邊長(zhǎng)任務(wù)2計(jì)算矩形紙片的面積請(qǐng)求出符合乙同學(xué)裁剪方案的矩形紙片的面積任務(wù)3計(jì)算矩形紙片的最大面積請(qǐng)幫丙同學(xué)計(jì)算出面積最大的矩形紙片的面積21．（2024?鹿城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上的點(diǎn)，連結(jié)AE，作AE的垂直平分線交AB于G，交CD于F，連結(jié)GE．已知．（1）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求BG的長(zhǎng)．（2）求證：．22．（2023春?諸暨市期末）有兩塊腰長(zhǎng)為20cm的等腰直角△ABC白鐵皮．（1）按圖1裁出一塊正方形DEFG，四個(gè)頂點(diǎn)都在△ABC邊上．求裁出正方形的邊長(zhǎng)．（2）按圖2裁出面積總和為125cm2的兩塊矩形鐵皮，裁剪過(guò)程如下：步驟1：在等腰直角△ABC白鐵皮上裁下一塊長(zhǎng)寬不等的矩形CDEF，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在△ABC的邊上，留下兩塊等腰直角三角形零料，分別記為△AEF，△BDE．步驟2：取其中一塊零料△BDE，從零料上裁下一塊正方形GHMN，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在零料邊上．求裁下的正方形GHMN邊長(zhǎng)．23．定義：有一個(gè)內(nèi)角為90°，且對(duì)角線相等的四邊形稱為準(zhǔn)矩形．（1）如圖1，準(zhǔn)矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，則BD＝；（2）如圖2，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，AB上的點(diǎn)，且CF⊥BE，求證：四邊形BCEF是準(zhǔn)矩形；（3）已知，準(zhǔn)矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，當(dāng)△ADC為等腰三角形時(shí)，則這個(gè)準(zhǔn)矩形的面積是．24．（2023春?柯橋區(qū)期中）定義：如果一個(gè)凸四邊形有三條邊相等，那么稱這個(gè)凸四邊形為“準(zhǔn)等邊四邊形”．如正方形就是一個(gè)“準(zhǔn)等邊四邊形”．（1）如圖，在給定的網(wǎng)格中，找到格點(diǎn)D．使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是準(zhǔn)等邊四邊形．（2）如圖1，?ABCD中，對(duì)角線CA平分∠BCD，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜∠B）至CE，連接AE、DE．①求證：四邊形ABCE是準(zhǔn)等邊四邊形；②如圖2，連接BE，求證：∠BED＝∠ACB；（3）如圖3，在準(zhǔn)等邊四邊形ABCD中，∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝2，∠B＝150°，請(qǐng)求出∠BAD的大小及該四邊形的面積．25．（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，P是矩形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，求證：PA2+PC2＝PB2+PD2.請(qǐng)你將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．證明：過(guò)P分別作邊AB，AD的平行線EF，GH交AD于E，交BC于F，交AB于G，交CD于H．設(shè)PE＝a，PF＝b，PG＝c，PH＝d．（請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)證明：四邊形AGPE是矩形）同理可證四邊形DHPE，四邊形BGPF，四邊形CFPH均是矩形∴PA2+PC2＝PB2+PD2＝（用關(guān)于a，b，c，d的代數(shù)式填空）【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PA：PB：PC＝1：，求∠PAB的大?。就卣固岣摺浚?）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D，E是斜邊BC上的三等分點(diǎn)．若AD＝3，AE＝4，求BC的長(zhǎng)．26．（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）如圖，在菱形ABCD中，AB＝3，∠B＝60°．將菱形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜60°），得到菱形AEFG，EF與BC，CD分別交于點(diǎn)I，J，AE與BC交于點(diǎn)H，F(xiàn)G與AD交于點(diǎn)K，連接AI．（1）用含α的代數(shù)式表示∠BIE；（2）求證：AI平分∠BIF；（3）在α從0°到60°的變化過(guò)程中，①△CIJ的周長(zhǎng)是否變化？若不變，請(qǐng)求出△CIJ的周長(zhǎng)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．②直接寫出點(diǎn)K的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．

第五章特殊平行四邊形（壓軸題專練）一．選擇題（共11小題）1．（2024?浙江模擬）將兩張全等的等腰直角三角形紙片△ABH與△CDF和一張正方形紙片EFGH按照如圖所示的方式拼成一個(gè)平行四邊形ABCD，同時(shí)形成了剩余部分（即△BEF，△BFC，△AHD，△HDG），若只知道陰影部分的面積，則不能直接求出（）A．△BEF的面積B．△CDF的面積C．平行四邊形ABCD的面積D．剩余部分的面積之和與正方形EFGH面積和【分析】如果我們只知道陰影部分的面積，那么我們可以直接求出△CDF的面積，因?yàn)椤鰿DF是等腰直角三角形，其面積等于陰影部分的面積的一半．所以選項(xiàng)B可以求出．可以直接求出平行四邊形ABCD的面積，因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的面積等于兩個(gè)等腰直角三角形的面積之和的2倍．所以選項(xiàng)C可以求出．因?yàn)槭Ｓ嗖糠值拿娣e之和與正方形EFGH面積和等于平行四邊形ABCD的面積減去陰影部分的面積．所以選項(xiàng)D能求出．只有A中△BEF的面積無(wú)法求出．【解答】解：如圖，連接HF，∵△ABH，△CDF是等腰直角三角形，四邊形EFGH是正方形，∴∠ABH＝∠AHB＝∠EHF＝45°，∠CDF＝∠CFD＝∠HFG＝45°，∴AB∥HF∥CD，∠BAH＝∠AHF＝∠HFC＝∠FCD＝90°，∴S△ABH＝S△ABF，S△CDF＝S△CDH，∴S△ABH+S△CDF＝S△CDH+S△ABF，設(shè)陰影部分面積為a2，∵△ABH，△CDF全等，∴S△ABH＝S△CDF＝a2，故△CDF的面積可求；∴AB＝BH＝CD＝CF＝a，延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)M，則四邊形AMFH是矩形，∴AH＝FM＝a，CM⊥AB，∴SABCD＝AB?CM＝a?2a＝2a2，故平行四邊形ABCD的面積可求；∴剩余部分的面積+正方形EFGH的面積＝a2，故D選項(xiàng)正確；故選：A．2．（2022秋?武義縣期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，連結(jié)GH，則線段GH的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【分析】延長(zhǎng)BG交CH于點(diǎn)E，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE＝BE﹣BG＝2、HE＝CH﹣CE＝2、∠HEG＝90°，由勾股定理可得GH的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)BG交CH于點(diǎn)E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠AGB＝∠CHD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故選：B．3．（2023秋?溫州期末）如圖，正方形EGMP和正方形FNHP的頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，M，N在長(zhǎng)方形ABCD的邊上．已知，EF＝BE+FC，則長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．52 B．50 C．48 D．46【分析】過(guò)點(diǎn)P作PK⊥BC于點(diǎn)K，先證△PKF和△FCN全等，得出KF＝CN，PK＝FC，同理可證△PKE≌△EBG≌△GAM，得出PK＝EB＝GA，EK＝GB＝MA，設(shè)KF＝CN＝x，EK＝GB＝MA＝y(tǒng)，表示AD、BC、AB、CD的長(zhǎng)，得到2x+y＝10，x﹣3y＝﹣16，解方程組即可，從而求出長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PK⊥BC于點(diǎn)K，∴∠PFK+∠KPF＝90°，∵四邊形FNHP是正方形，∴PF＝FN，∠PFN＝90°，∴∠PFK+∠CFN＝90°，∴∠KPF＝∠CFN，∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，∴∠PKF＝∠C＝90°，在△PKF和△FCN中，，∴△PKF≌△FCN（AAS），∴KF＝CN，PK＝FC，同理可證△PKE≌△EBG≌△GAM，∴PK＝EB＝GA，EK＝GB＝MA，設(shè)KF＝CN＝x，EK＝GB＝MA＝y(tǒng)，∵，∴DN＝8，∴CD＝DN+CN＝8+x，AD＝AM+DM＝y(tǒng)+10，∵EF＝EK+KF，∴EF＝x+y，∵EF＝BE+FC，∴BE+FC＝x+y，∴BC＝BE+EF+FC＝2（x+y），∵AD＝BC，∴y+10＝2（x+y），即2x+y＝10①，∵AB＝GA+BG＝AG+y，CD＝8+x，AB＝CD，∴GA+y＝8+x，∴GA＝8+x﹣y＝PK＝EB＝FC，∵EB＝EF﹣FC＝x+y﹣（8+x﹣y）＝2y﹣8，∵EB＝GA，∴2y﹣8＝8+x﹣y，即x﹣3y＝﹣16②，聯(lián)立①②得，，解得，∴BC＝2（x+y）＝2×（2+6）＝16，CD＝8+x＝8+2＝10，∴長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)為2×（16+10）＝52，故選：A．4．（2023秋?安化縣期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合），∠DAM＝45°，點(diǎn)F在射線AM上，且AF＝BE，CF與AD相交于點(diǎn)G，連接EC、EF、EG．則下列結(jié)論：①∠ECF＝45°，②△AEG的周長(zhǎng)為（1+）a，③BE2+DG2＝EG2；④當(dāng)BE＝a時(shí)，G是線段AD的中點(diǎn)，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【分析】①如圖1，在BC上截取BH＝BE，連接EH，之后證明△FAE≌△EHC即可求解；②③如圖2，延長(zhǎng)AD到H，使DH＝BE，則△CBE≌△CDH，之后再證明△GCE≌△GCH即可求解；④當(dāng)BE＝a時(shí)，設(shè)DG＝x，則EG＝a+x，之后運(yùn)用勾股定理EG2＝AG2+AE2建立等式解出x，即可求解．【解答】解：①如圖1，在BC上截取BH＝BE，連接EH，∵BH＝BE，∠EBH＝90°，∴EH＝BE，∵AF＝BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠FAE＝∠EHC＝135°∵BA＝BC，BE＝BH，∴AH＝HC，∴△FAE≌△EHC，∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠CEF＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正確；②③如圖2，延長(zhǎng)AD到H，使DH＝BE，則△CBE≌△CDH，∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH，∴EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③錯(cuò)誤；∵△AEG的周長(zhǎng)＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，∴②錯(cuò)誤；④∵當(dāng)BE＝a時(shí)，設(shè)DG＝x，∴EG＝a+x，∵在Rt△AEG中，EG2＝AG2+AE2，∴，解得x＝a，∴AG＝GD，即G是線段AD的中點(diǎn)，故④正確，綜上所述，正確的有①④．故答案為：B．5．（2023春?東陽(yáng)市期末）如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”得到正方形ABCD與正方形EFGH，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，MN過(guò)點(diǎn)O，分別交CH，AF于點(diǎn)M，N，若MG＝3MH，AC＝2MN，連CF，則的值為（）A． B． C． D．【分析】如圖，連接GE，過(guò)H作HQ∥MN交EF于Q，證明△MGO≌△NEO，四邊形QNMH是平行四邊形，可得HM＝QN，HQ＝MN，設(shè)MH＝a，MG＝EN＝3a，NQ＝MH＝a，EQ＝2a，GH＝HE＝4a，MN＝HQ＝＝2a，AC＝4a，AB＝BC＝AC＝2a，由題意可設(shè)DH＝CG＝AE＝BF＝m，由等面積法可得：m＝2a，再利用面積公式可得答案．【解答】解：如圖，連接GE，過(guò)H作HQ∥MN交EF于Q，∵CH＝AF，GH＝EF，∴CG＝AE，∵CH∥AF，∴四邊形CGAE是平行四邊形，∴GH，AC互相平分；∵正方形EFGH，∴OG＝OE，GH∥EF，∴∠MGO＝∠NEO，∠GMO＝∠ENO，在△MGO和△NEO中，∴△MGO≌△NEO（AAS），∴GM＝EN，∵HM∥QN，HQ∥MN，∴四邊形QNMH是平行四邊形，∴HM＝QN，HQ＝MN，∵M(jìn)G＝3MH，AC＝2MN，設(shè)MH＝a，∴MG＝EN＝3a，NQ＝MH＝a，EQ＝2a，GH＝HE＝4a，∴MN＝HQ＝＝2a，AC＝4a，∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴AB＝BC＝AC＝2a，由題意可設(shè)DH＝CG＝AE＝BF＝m，由等面積法可得：（2a）2＝（4a）2+4×m（4a+m），解得：m＝2a，（負(fù)根舍去），∴CG＝BF＝2a，∴＝＝，故選：A．6．（2023秋?奉化區(qū)校級(jí)期中）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，對(duì)角線AC＝5，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，Q是線段BE上的點(diǎn)，連接CQ，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥CQ交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，當(dāng)△PCQ為等腰三角形時(shí)，AP＝（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC，CD＝AB＝3，根據(jù)勾股定理得到BC的長(zhǎng)，求得AD＝BC＝4，過(guò)Q作QH⊥BC于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BH＝QH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CH＝CD＝3，于是得到問(wèn)題答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC，CD＝AB＝3，∵∠BCD＝∠QCP＝90°，∴∠QCH＝∠PCD，∵AB＝3，AC＝5，∴BC＝4，∴AD＝BC＝4，過(guò)Q作QH⊥BC于H，∴∠QHB＝∠QHC＝90°，∵BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，∴∠QBH＝45°，∴△BQH是等腰直角三角形，∴BH＝QH，∵CP⊥CQ，∴∠QCP＝90°，∵△PCQ為等腰三角形，∴CQ＝CP，∵∠CDP＝∠CHQ＝90°，∠QCH＝∠PCD，∴△CQH≌△CPD（AAS），∴CH＝CD＝3，∴BH＝QH＝1，∴PD＝QH＝1，∴AP＝AD+PD＝5，故選：B．7．如圖，在矩形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，作EF∥AB，交對(duì)角線BD于點(diǎn)O，連結(jié)EC．取OB中點(diǎn)P，取CE中點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．若AD＝6，AB＝8，則PQ的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．【分析】由矩形的性質(zhì)得BC＝AD＝6，CD＝AB＝8，AD∥BC，AB∥CD，則AE＝DE＝AD＝3，而EF∥AB，∠A＝90°，則四邊形ABFE是矩形，所以BF＝AE＝3，∠OFB＝∠OEA＝90°，可證明△OFB和≌△OED，得OB＝OD，所以O(shè)E＝AB＝4，連結(jié)OC，取OC的中點(diǎn)G，連結(jié)PG、QG，由勾股定理得BD＝＝10，則OC＝OB＝OD＝5，由P、Q分別是OB、CE的中點(diǎn)，得PG∥BC，PG＝BC＝3，GQ∥OE，GQ＝OE＝2，再證明∠PGQ＝90°，則PQ＝＝，于是得到問(wèn)題的答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8，E為AD中點(diǎn)，∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝8，AE＝DE＝AD＝3，AD∥BC，AB∥CD，∵EF∥AB，∴四邊形ABFE是平行四邊形，EF∥CD，∵∠A＝90°，∴四邊形ABFE是矩形，∴BF＝AE＝3，∠OFB＝∠OEA＝90°，∴CF＝BF＝DE＝3，∠OFB＝∠OED＝90°，在△OFB和△OED中，，∴△OFB和≌△OED（AAS），∴OB＝OD，∴OE＝AB＝4，連結(jié)OC，取OC的中點(diǎn)G，連結(jié)PG、QG，∵∠BCD＝90°，∴BD＝＝＝10，∴OC＝OB＝OD＝BD＝5，∵P、Q分別是OB、CE的中點(diǎn)，∴PG∥BC，PG＝BC＝3，GQ∥OE，GQ＝OE＝2，∴GQ∥CD，∴∠OGP＝∠OCB，∠OGQ＝∠OCD，∴∠PGQ＝∠OGP+∠OGQ＝∠OCB+∠OCD＝∠BCD＝90°，∴PQ＝＝＝，故選：B．8．（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在矩形ABCD內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長(zhǎng)相等．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A．正方形紙片的面積 B．矩形紙片的面積C．四邊形EFGH的面積 D．四邊形JGKE的面積【分析】根據(jù)題意設(shè)MD＝x，GH＝y(tǒng)，則MH＝x﹣y，根據(jù)矩形紙片和正方形紙片的周長(zhǎng)相等，可得AM＝x+y，先用面積和表示圖中陰影部分的面積，并化簡(jiǎn)，即可得出正確的選項(xiàng)．【解答】解：設(shè)MD＝x，GH＝y(tǒng)，則MH＝x﹣y，∵矩形紙片和正方形紙片的周長(zhǎng)相等，∴2AM+2（x﹣y）＝4x，∴AM＝x+y，∵圖中陰影部分的面積＝S△MJE+S?JEKG+S△NGK＝x（x﹣y）+xy+x（x﹣y）＝x（x﹣y）+xy＝x2﹣xy+xy＝x2，∴若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出正方形紙片的面積．故選：A．9．（2023春?鄞州區(qū)期末）將6張寬為1的小長(zhǎng)方形如圖1擺放在平行四邊形ABCD中，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．8+4 B．16+4 C．8+8 D．16+8【分析】過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，由圖形可知AE＝CF＝AF＝CE＝4，DE＝BF＝4，則△AFB與△CED都是直角邊為4的等腰直角三角形，得AB＝CD＝4，即可得出結(jié)論．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴AF⊥AD，CE⊥BC，∴四邊形AFCE是矩形，∴AE＝CF，∴DE＝BF，由圖形可知：AE＝CF＝AF＝CE＝4，DE＝BF＝4，∴△AFB與△CED都是直角邊為4的等腰直角三角形，∴AB＝CD＝4，∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為＝2（AB+BC）＝2×（4+4+4）＝16+8，故選：D．二．填空題（共8小題）10.已知一個(gè)液壓升降機(jī)如圖1所示，圖2和圖3是該液壓升降機(jī)的平面示意圖，菱形CODP的邊長(zhǎng)及等腰三角形OAB、PEF的腰長(zhǎng)都是定值且相等．如圖2，載物臺(tái)EF到水平底座AB的距離h1為60cm，此時(shí)∠AOB＝120°；如圖3，當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，載物臺(tái)EF到水平底座AB的距離h2為cm（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）．【分析】連接BD，如圖3，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BD＝h1，由∠AOB＝120°，可得∠DAB的度數(shù)，在Rt△DAB中，解直角三角形可得AD的長(zhǎng)度，連接DF，如圖4，由題意可知，在Rt△EDF中，∠DEF＝45°，ED＝AD，解直角三角形即可算出FD的長(zhǎng)度，即可得出答案．【解答】解：連接BD，如圖3，由題意可得，BD＝＝＝30（cm），∵∠AOB＝120°，∴∠DAB＝30°，在Rt△DAB中，AD＝＝30×2＝60（cm），連接DF，如圖4，由題意可知，在Rt△EDF中，∠DEF＝45°，ED＝AD＝60cm，∴FD＝ED?sin45°＝60×＝30，∴h2＝2?FD＝2×≈85（cm）．故答案為：85．11．（2023秋?鹿寨縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以BC為邊向上作正方形BCDE，以AC為邊作正方形ACFG，點(diǎn)D落在GF上，連結(jié)AE，ECG．若，BC+GD＝9，則△AEG的面積為．【分析】由正方形的性質(zhì)得出CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠DFC＝90°，證明△ABC≌△FDC（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AB＝DF，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BG于點(diǎn)H，得出EH＝AB，由勾股定理和三角形面積公式可得出答案．【解答】解：∵四邊形BCDE是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∵四邊形ACFG是正方形，∴CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠DFC＝90°，∴∠ACB＝∠FCD，在△ABC和△FDC中，，∴△ABC≌△FDC（SAS），∴AB＝DF＝，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BG于點(diǎn)H，則∠EBH＝∠ACB，∠EHB＝∠BAC＝90°，BE＝BC，∴△ABC≌△HEB（AAS），∴EH＝AB＝，∵BC+GD＝9，∴BC+（AC﹣AB）＝+（AC﹣AB）＝9，∴+（AC﹣）＝9，解得AC＝6，∴S△AEG＝AG?EH＝AC?AB＝＝．故答案為：．12．（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E，F(xiàn)分別為邊AD和BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足DE＝BF．將四邊形ABFE沿直線EF翻折，得到四邊形GHFE，其中G為A的對(duì)稱點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)G落在直線CD上時(shí)，AE的長(zhǎng)為．【分析】設(shè)GH分別交BC于點(diǎn)M，EG交CD于點(diǎn)O，由折疊可知BF＝FH，AE＝EG，∠B＝∠H＝90°，F(xiàn)H∥EG，于是DE＝BF＝HF，易得∠HFM＝∠DEO，即可利用ASA證明△HFM≌△DEO，則FM＝EO，當(dāng)點(diǎn)G落在直線CD上時(shí)，F(xiàn)O＝FG＝AE＝FM，因此可知此時(shí)即此時(shí)M（G）與點(diǎn)C重合，設(shè)AE＝CE＝x，則DE＝4﹣x，在Rt△CDE中，利用勾股定理建立方程，求解即可．【解答】解：如圖，設(shè)GH分別交BC于點(diǎn)M，EG交CD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD為矩形，AB＝3，AD＝4，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，BC∥AD，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，BF＝FH，AE＝EG，∠B＝∠H＝90°，F(xiàn)H∥EG，∵DE＝BF，∴DE＝BF＝HF，∵BC∥AD，F(xiàn)H∥EG，∴∠HFM＝∠DEO，在△HFM和△DEO中，，∴△HFM≌△DEO（ASA），∴FM＝EO，當(dāng)點(diǎn)G落在直線CD上時(shí)，F(xiàn)O＝FG＝AE＝FM，即此時(shí)M（G）與點(diǎn)C重合，如圖，設(shè)AE＝CE＝x，則DE＝4﹣x，在Rt△CDE中，DE2+CD2＝CE2，∴（4﹣x）2+32＝x2，解得：x＝，∴AE＝．故答案為：．13．（2023秋?黃巖區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)Q在直線AP上，連接BQ，DQ，若∠ADQ+∠BAQ＝180°，則BQ的最大值為．【分析】取AD的中點(diǎn)E，連接BE、QE，由矩形的性質(zhì)得∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，則AE＝2，由勾股定理求得BE＝，再證明∠ADQ＝∠PAB，可求得∠ADQ+∠DAQ＝∠PAB+∠DAQ＝90°，則∠AQD＝90°，所以QE＝AD＝2，由BQ≤BE+QE，得BQ≤+2，則BQ的最大值是+2，于是得到問(wèn)題的答案．【解答】解：取AD的中點(diǎn)E，連接BE、QE，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴AE＝DE＝AD＝2，∴BE＝＝＝，∵∠ADQ+∠BAQ＝180°，∠PAB+∠BAQ＝180°，∴∠ADQ＝∠PAB，∴∠ADQ+∠DAQ＝∠PAB+∠DAQ＝180°﹣∠BAD＝90°，∴∠AQD＝90°，∴QE＝AD＝2，∵BQ≤BE+QE，∴BQ≤+2，∴BQ的最大值是+2，故答案為：+2．14．（2023?頭屯河區(qū)模擬）如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE、BE、DE．過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再結(jié)合已知條件利用SAS可證兩三角形全等；②過(guò)B作BF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于F，利用③中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求BE，結(jié)合△AEP是等腰直角三角形，可證△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；③利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)，易得∠BEP＝90°，即可證；④連接BD，求出△ABD的面積，然后減去△BDP的面積即可；⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面積．【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，又∵AE＝AP，AB＝AD，∵在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；故此選項(xiàng)成立；③∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，∴∠BEP＝∠PAE＝90°，∴EB⊥ED；故此選項(xiàng)成立；②過(guò)B作BF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于F，∵AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB＝∠FBE＝45°，又∵BE＝＝＝，∴BF＝EF＝，故此選項(xiàng)不正確；④如圖，連接BD，在Rt△AEP中，∵AE＝AP＝1，∴EP＝，又∵PB＝，∴BE＝，∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE＝，∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+）﹣××＝+．故此選項(xiàng)不正確．⑤∵EF＝BF＝，AE＝1，∴在Rt△ABF中，AB2＝（AE+EF）2+BF2＝4+，∴S正方形ABCD＝AB2＝4+，故此選項(xiàng)正確．故答案為：①③⑤．15．（2023秋?金華期中）如圖，門上釘子P處掛著一個(gè)“歡迎光臨”的長(zhǎng)方形掛牌ABCD，測(cè)得AB＝10cm，AD＝24cm．如圖1，當(dāng)掛牌水平懸掛（即BC與地面平行）時(shí)，測(cè)得掛繩AP＝DP＝20cm，此時(shí)點(diǎn)P到BC所在直線的距離為cm，將該門掛的掛繩長(zhǎng)度縮短4cm后重新掛上，此時(shí)不小心把掛牌弄斜了（如圖2），發(fā)現(xiàn)AC與地面平行，且點(diǎn)P、D、C三點(diǎn)在同一直線上，則點(diǎn)B的高度下降了．【分析】如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD于點(diǎn)E，PE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AE＝12cm，在Rt△APE中由勾股定理求出PE＝16cm，據(jù)此可得出點(diǎn)P到BC所在直線的距離；如圖2，連接AC，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BG∥AC交AH的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)B作BI⊥AC于I，先求出PA＝PC＝23cm，再求出AC＝26cm，進(jìn)而得AH＝13cm，則PH＝cm，然后由三角形的面積公式求出BI＝cm，進(jìn)而得PG＝cm，最后再求出PG﹣PF即可得出點(diǎn)B的高度下降的高度．【解答】解：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD于點(diǎn)E，PE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，∴AD∥BC，AB⊥BC，∴EF＝AB＝CD＝10cm，∵PA＝PD＝20cm，PE⊥AD，AD＝24cm，∴AE＝AD＝12cm，在Rt△APE中，PA＝20cm，AE＝12cm，由勾股定理得：PE＝＝16（cm），∴PF＝PE+EF＝16+10＝26（cm），即點(diǎn)P到BC所在直線的距離為26cm；如圖2，連接AC，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BG∥AC交AH的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)B作BI⊥AC于I，∵PA+PD＝20×2﹣4＝36（cm），點(diǎn)P、D、C三點(diǎn)在同一直線上，∴△APD為直角三角形的，設(shè)PD＝x，則PA＝36﹣x，在Rt△APD中，PD＝xcm，PA＝（36﹣x）cm，AD＝24cm，由勾股定理得：PA2＝PD2+AD2，即：（36﹣x）2＝x2+242，解得：x＝10，∴PD＝10cm，∴PC＝PD+CD＝10+10＝20（cm），在Rt△ACD中，AD＝24cm，CD＝10cm，由勾股定理得：AC＝＝26（cm），由三角形的面積公式得：S△PAC＝AC?PH＝PC?AD，∴PH＝＝＝（cm），在Rt△ABC中，由三角形的面積公式得：AC?BI＝AB?BC，∴BI＝＝＝（cm），∴PG＝PH+HG＝PH+BI＝+＝∵PG﹣PF＝＝（cm）．即點(diǎn)B的高度下降了（cm）．故答案為：26，cm．16．（2023?龍灣區(qū)開(kāi)學(xué)）如圖1是七巧板圖案，現(xiàn)將它剪拼成一個(gè)“臺(tái)燈”造型（如圖2），過(guò)該造型的上下左側(cè)五點(diǎn)作矩形ABCD，使得，點(diǎn)N為PQ的中點(diǎn)，并且在矩形內(nèi)右上角部分留出正方形EFGH作為印章區(qū)域（EH∥AD，HG∥CD），形成一幅裝飾畫，則矩形ABCD的周長(zhǎng)為cm．若點(diǎn)M，N，E在同一直線上，且點(diǎn)H到AD的距離與到CD的距離相等，則印章區(qū)域的邊長(zhǎng)為cm．【分析】根據(jù)“臺(tái)燈”的造型及圖1，可求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出矩形的周長(zhǎng)；延長(zhǎng)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)E并與AD相交于點(diǎn)L，連接DH，可得出四邊形DKEH是平行四邊形，求出DL長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．【解答】解：由圖1可知，七巧板中的等腰直角三角形最大的直角邊長(zhǎng)為6，然后，最小的直角邊長(zhǎng)為3，正方形和平行四邊形的短邊長(zhǎng)都是3．過(guò)點(diǎn)N作AD和BC的垂線，垂足分別為J，K，則NJ＝3+3+3＝9，又MN＝，且△NMK是等腰直角三角形，所以NK＝3，故JK＝9+3＝12．又∠A＝∠B＝∠BKJ＝90°，所以四邊形ABKJ是矩形，所以AB＝JK＝12．又，所以BC＝20，故矩形ABCD的周長(zhǎng)為2×（12+20）＝64．延長(zhǎng)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)E與AD交于點(diǎn)L，連接DH，因?yàn)椤螻MC＝4°，且AD∥BC，所以∠ALM＝45°．又點(diǎn)H到AD和CD的距離相等，所以點(diǎn)H在∠ADC的角平分線上，則∠ADH＝．所以∠ADH＝∠ALE，所以LE∥DH，又LD∥EH，所以四邊形LEHD是平行四邊形．又AJ＝6+1.5＝7.5，JL＝JN＝9，所以AL＝7.5+9＝16.5．所以DL＝20﹣16.5＝3.5．則EH＝DL＝3.5．故答案為：64，3.5．17．如圖，有一張平行四邊形紙條ABCD，AD＝5cm，AB＝2cm，∠A＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，DE＝1cm．現(xiàn)將四邊形CFED沿EF折疊，使點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)C′，D′上．當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊AD上時(shí)，線段CF的長(zhǎng)為cm．在點(diǎn)F從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，若邊FC'與邊AD交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為cm．【分析】當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊AD上時(shí)，易得C′E＝C′F＝CF，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥C′D′于點(diǎn)G，求出D′G，EG的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出C′G的長(zhǎng)度，勾股定理求出C′E的長(zhǎng)度，即可得到CF的長(zhǎng)；分別求出F與B重合時(shí)，AM的長(zhǎng)，以及C′在AD上時(shí)，AM的長(zhǎng)，作差即可得出點(diǎn)M相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊AD上時(shí)，如圖：∵平行四邊形紙條ABCD，AD＝5cm，AB＝2cm，∠A＝120°，∴CD＝AB＝2cm，∠D＝60°，∠BCD＝120°，AD∥BC，∴∠CFE＝∠C′EF，∵折疊，∴C′D′＝CD＝2cm，DE＝D′E＝1cm，∠D′＝∠D＝60°，∠CFE＝∠C′FE，CF＝C′F，∴∠C′FE＝∠C′EF，∴C′E＝C′F＝CF，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥C′D′于點(diǎn)G，則：∠EGD′＝∠C′GE＝90°，∴，∴，，∴，∴（厘米）；（2）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)AM最短，如圖：∵，C′D′＝2，D′E＝1，∴D′E2+C′E2＝4＝D′C′2，∴∠C′ED′＝90°，∴∠EC′D′＝30°，∴∠MC′E＝∠BC′D′﹣∠EC′D′＝∠BCD﹣∠EC′D′＝90°，同（1）法可得：BM＝ME，設(shè)BM＝ME＝x，則：C′M＝BC′﹣BM＝BC﹣BM＝5﹣x，在Rt△MC′E中，ME2＝C′E2+C′M2，即：x2＝3+（5﹣x）2，解得：，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)C′在AD上時(shí)，此時(shí)M與C′重合，AM最大，由（1）可知，，∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為4﹣﹣＝（2.8﹣）（厘米）．故答案為：，．三．解答題（共9小題）18．（2023秋?新民市期中）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A，C同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，0≤t≤5．（1）用含有t的代數(shù)式表示EF的長(zhǎng)．（2）若G，H分別是AB，DC中點(diǎn)，求證：四邊形EGFH是平行四邊形．（3）在（2）條件下，直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形EGFH為矩形．【分析】（1）由勾股定理求出AC＝5，由題意得出AE＝CF＝t，即可得出EF＝5﹣2t或2t﹣5，（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證得GF＝HE，GE＝HF，由“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”來(lái)判定．（3）由“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”判定四邊形EGFH為矩形時(shí)t的取值．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，由題意得：AE＝CF＝t，∴EF相遇前為：EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2t；EF相遇后為：EF＝AE+CF﹣AC＝2t﹣5；故答案為：5﹣2t或2t﹣5；（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，∵G、H分別是AB、DC的中點(diǎn)，∴AG＝BG，CH＝DH，∴AG＝CH，∵AE＝CF，∴AF＝CE，在△AFG與△CEH中，，∴△AFG≌△CEH（SAS），∴GF＝HE，同理：GE＝HF，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（3）解：如圖所示，連接GH，由（2）可知四邊形EGFH是平行四邊形∵點(diǎn)G、H分別是矩形ABCD的邊AB、DC的中點(diǎn)，∴GH＝BC＝4，∴當(dāng)EF＝GH＝4時(shí)，四邊形EGFH是矩形，分兩種情況：①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，解得：t＝0.5．②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，解得：t＝4.5，即：當(dāng)t為0.5或4.5時(shí)，四邊形EGFH為矩形．19．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE．交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．①求證：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）作出輔助線，得到EN＝EM，然后判斷∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，則有DE＝EF即可；（2）同（1）的方法證出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，得出CE+CG＝CE+AE＝AC＝4即可．【解答】①證明：過(guò)E作EM⊥BC于M點(diǎn)，過(guò)E作EN⊥CD于N點(diǎn)，如圖所示：∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四邊形EMCN為正方形，∵四邊形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG為正方形；②解：CE+CG的值為定值，理由如下：∵矩形DEFG為正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×2＝4，∴CE+CG＝4是定值．20．（2023春?柯橋區(qū)期末）根據(jù)以下素材，完成探索任務(wù)：如何故剪出符合要求的矩形紙片？素材1如圖1，△ABC是腰長(zhǎng)為60cm的等腰直角三角形卡紙，甲，乙、丙三名同學(xué)分別用這樣的卡紙?jiān)噲D裁剪出不一樣的矩形紙片，并使長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在△ABC的邊上．素材2甲同學(xué)按圖2的方式裁剪，想裁出面積為800cm2的矩形紙片，乙同學(xué)按圖3的方式裁剪，想裁出兩邊長(zhǎng)之比為1：2的矩形紙片，丙同學(xué)想裁出面積最大的矩形紙片．任務(wù)1計(jì)算矩形紙片的邊長(zhǎng)請(qǐng)幫甲同學(xué)計(jì)算此矩形紙片的兩邊長(zhǎng)任務(wù)2計(jì)算矩形紙片的面積請(qǐng)求出符合乙同學(xué)裁剪方案的矩形紙片的面積任務(wù)3計(jì)算矩形紙片的最大面積請(qǐng)幫丙同學(xué)計(jì)算出面積最大的矩形紙片的面積【分析】任務(wù)1：證明△CFE為等腰直角三角形，得出EF＝CF，設(shè)AF＝xcm，則EF＝CF＝（60﹣x）cm，得出x（60﹣x）＝800，解得：x1＝20，x2＝40，得出甲同學(xué)所裁出的矩形紙片的兩邊長(zhǎng)為20cm和40cm；任務(wù)2：分兩種情況討論：當(dāng)MQ：PQ＝1：2時(shí)，當(dāng)MQ：PQ＝2：1時(shí)，先分別求出矩形的邊長(zhǎng)，再求出矩形的面積即可；任務(wù)3：分兩種情況：按照?qǐng)D1方式裁剪時(shí)，按照?qǐng)D2方式裁剪時(shí)，分別求出能夠裁剪出的矩形的最大面積，然后比較即可．【解答】解：任務(wù)1：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∵四邊形ADEF為矩形，∴AD＝EF，DE＝AF，∠AFE＝90°，∴∠CFE＝180°﹣90°＝90°，∴△CFE為等腰直角三角形，∴EF＝CF，設(shè)AF＝xcm，則EF＝CF＝（60﹣x）cm，∴x（60﹣x）＝800，解得：x1＝20，x2＝40，當(dāng)AF＝20cm時(shí)，EF＝60﹣20＝40（cm），當(dāng)AF＝40cm時(shí)，EF＝60﹣40＝20（cm），即甲同學(xué)所裁出的矩形紙片的兩邊長(zhǎng)為20cm和40cm；任務(wù)2：當(dāng)MQ：PQ＝1：2時(shí)，設(shè)MQ＝NP＝xcm，則PQ＝2xcm，∵△ABC為等腰直角三角形，∴，∠B＝∠C＝45°，∵四邊形MNPQ為矩形，∴∠MQP＝∠NPQ＝90°，∴∠MQB＝∠CPN＝180°﹣90°＝90°，∴△MBQ和△CPN為等腰直角三角形，∴BQ＝MQ，CP＝NP，∴BQ＝CP＝MQ＝x，∴，解得：，即，，即此時(shí)矩形面積為；當(dāng)MQ：PQ＝2：1時(shí)，設(shè)MQ＝NP＝2xcm，則PQ＝xcm，∵四邊形MNPQ為矩形，∴∠MQB＝∠CPN＝180°﹣90°＝90°，∴BQ＝MQ，CP＝NP，∴BQ＝CP＝MQ＝2xcm，∴，解得：，即，，即此時(shí)矩形面積為；綜上分析可知，符合乙同學(xué)裁剪方案的矩形紙片的面積為900cm2或576cm2．任務(wù)3：當(dāng)按照?qǐng)D2方式裁剪時(shí)，設(shè)矩形的面積為ycm2，AF＝xcm（0＜x＜60cm），則EF＝CF＝（60﹣x）cm，根據(jù)題意得：y＝x（60﹣x）＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣30）2+900，∴當(dāng)x＝30時(shí)，y最大，最大值為900當(dāng)按照?qǐng)D3方式裁剪時(shí)，設(shè)矩形的面積為Scm2，MQ＝tcm（0＜t＜30cm），則BQ＝CP＝MQ＝tcm，∴，根據(jù)題意得：，∴當(dāng)時(shí)，S最大，且最大值為900，即此時(shí)矩形的最大面積為900cm2；綜上分析可知，矩形紙片的最大面積為900cm2．21．（2024?鹿城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上的點(diǎn)，連結(jié)AE，作AE的垂直平分線交AB于G，交CD于F，連結(jié)GE．已知．（1）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求BG的長(zhǎng)．（2）求證：．【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)可得AB＝4，∠B＝90°，再根據(jù)已知可設(shè)BG＝3x，則BE＝4x，從而在Rt△BEG中，利用勾股定理求出GE的長(zhǎng)，然后利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得AG＝GE＝5x，從而可得AB＝8x，最后列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）設(shè)FG與AE交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CD，垂足為H，根據(jù)垂直定義可得∠CHG＝∠FHG＝90°，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝BC＝CD＝8x，∠B＝∠C＝90°，從而可得四邊形BCHG是矩形，進(jìn)而可得BG＝CH＝3x，BC＝GH＝8x，GH∥BC，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠AGH＝∠B＝90°，從而可得∠AGF+∠FGH＝90°，再根據(jù)已知易得：∠AMG＝90°，從而可得∠BAE+∠AGF＝90°，進(jìn)而可得∠BAE＝∠FGH，最后利用ASA證明△ABE≌△GHF，從而可得BE＝FH＝4x，進(jìn)而可得CF＝7x，再利用線段的和差關(guān)系可得DF＝x，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝4，∠B＝90°，∵，∴設(shè)BG＝3x，則BE＝4x，∴EG＝＝＝5x，∵FG是AE的垂直平分線，∴AG＝GE＝5x，∴AB＝AG+BG＝8x，∴8x＝4，解得：x＝，∴BG＝3x＝，∴BG的長(zhǎng)為；（2）證明：設(shè)FG與AE交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CD，垂足為H，∴∠CHG＝∠FHG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝8x，∠B＝∠C＝90°，∴四邊形BCHG是矩形，∴BG＝CH＝3x，BC＝GH＝8x，GH∥BC，∴∠AGH＝∠B＝90°，∴∠AGF+∠FGH＝90°，∵FG⊥AE，∴∠AMG＝90°，∴∠BAE+∠AGF＝90°，∴∠BAE＝∠FGH，∵∠B＝∠FHG＝90°，AB＝GH＝8x，∴△ABE≌△GHF（ASA），∴BE＝FH＝4x，∴CF＝CH+FH＝3x+4x＝7x，∴DF＝CD﹣CF＝8x﹣7x＝x，∴．22．（2023春?諸暨市期末）有兩塊腰長(zhǎng)為20cm的等腰直角△ABC白鐵皮．（1）按圖1裁出一塊正方形DEFG，四個(gè)頂點(diǎn)都在△ABC邊上．求裁出正方形的邊長(zhǎng)．（2）按圖2裁出面積總和為125cm2的兩塊矩形鐵皮，裁剪過(guò)程如下：步驟1：在等腰直角△ABC白鐵皮上裁下一塊長(zhǎng)寬不等的矩形CDEF，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在△ABC的邊上，留下兩塊等腰直角三角形零料，分別記為△AEF，△BDE．步驟2：取其中一塊零料△BDE，從零料上裁下一塊正方形GHMN，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在零料邊上．求裁下的正方形GHMN邊長(zhǎng)．【分析】（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)表示出相關(guān)線段長(zhǎng)，再由等腰直角三角形ABC的性質(zhì)及腰長(zhǎng)為20cm列方程求解即可得到答案；（2）設(shè)正方形GHMN邊長(zhǎng)為ycm，如圖所示，在等腰直角三角形BDE中，由（1）的求解過(guò)程可知BD＝D＝y(tǒng)，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝20cm，從而求出CD＝20﹣y，表示出矩形CDEF的面積和正方形GHMN的面積，由按圖2裁出面積總和為125cm2，得到（30y﹣y2）+y2＝125，即7y2﹣60y+250＝0，配方后直接開(kāi)平方即可得到．【解答】解：（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，如圖所示：在正方形DEFG中，DE＝EF＝FG＝DG＝xcm，∠DEF＝∠EFG＝∠FGD＝∠GDE＝90°，∵等腰直角△ABC的腰長(zhǎng)為20cm，∴AC＝BC＝20cm，∠A＝∠B＝45°，在△ADG和△BEF中，∠ADG＝45°，∠BEF＝45°，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴△ADG和△BEF是等腰直角三角形，即AG＝GF＝BF＝3xcm，∴AB＝3xcm，在等腰直角三角形ABC中，AC＝CB＝AB＝xcm，，解得x＝，即正方形的邊長(zhǎng)為cm；（2）設(shè)正方形GHMN邊長(zhǎng)為ycm，如圖所示：在等腰直角三角形BDE中，由（1）的求解過(guò)程可知，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝20cm，∴，∴矩形CDEF的面積為CD?DE＝（20﹣）×y＝30y﹣y2，正方形GHMN的面積為GH2＝y(tǒng)2；∵按圖2裁出面積總和為125cm2，∴，即，配方得，直接開(kāi)平方得，∴或，即正方形GHMN邊長(zhǎng)為cm或cm．23．定義：有一個(gè)內(nèi)角為90°，且對(duì)角線相等的四邊形稱為準(zhǔn)矩形．（1）如圖1，準(zhǔn)矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，則BD＝；（2）如圖2，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，AB上的點(diǎn)，且CF⊥BE，求證：四邊形BCEF是準(zhǔn)矩形；（3）已知，準(zhǔn)矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，當(dāng)△ADC為等腰三角形時(shí)，則這個(gè)準(zhǔn)矩形的面積是．【分析】（1）利用勾股定理計(jì)算，再根據(jù)準(zhǔn)矩形的特點(diǎn)求出即可；（2）先利用正方形的性質(zhì)判斷出△ABE≌△BCF，即可得證；（3）作DF⊥BC，根據(jù)梯形的面積公式，三角形面積公式即可得出答案．【解答】（1）解：∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，∴AC＝＝＝，∵四邊形ABCD是準(zhǔn)矩形，∴BD＝AC＝2．故答案為：2；（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠EBF+∠EBC＝90°，∵BE⊥CF，∴∠EBC+∠BCF＝90°，∴∠EBF＝∠BCF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∴四邊形BCEF是準(zhǔn)矩形；（3）解：作DF⊥BC，垂足為F，∵準(zhǔn)矩形ABCD中，AC＝BD，∵△ADC為等腰三角形，∴AC＝DC，∴BD＝CD，∴BF＝CF＝BC＝，∴DF＝＝＝，∴S準(zhǔn)矩形ABCD＝S△DCF+S梯形ABFD＝FC×DF+（AB+DF）×BF＝××+（2+）×＝+．故答案為：+．24．（2023春?柯橋區(qū)期中）定義：如果一個(gè)凸四邊形有三條邊相等，那么稱這個(gè)凸四邊形為“準(zhǔn)等邊四邊形”．如正方形就是一個(gè)“準(zhǔn)等邊四邊形”．（1）如圖，在給定的網(wǎng)格中，找到格點(diǎn)D．使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是準(zhǔn)等邊四邊形．（2）如圖1，?ABCD中，對(duì)角線CA平分∠BCD，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜∠B）至CE，連接AE、DE．①求證：四邊形ABCE是準(zhǔn)等邊四邊形；②如圖2，連接BE，求證：∠BED＝∠ACB；（3）如圖3，在準(zhǔn)等邊四邊形ABCD中，∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝2，∠B＝150°，請(qǐng)求出∠BAD的大小及該四邊形的面積．【分析】（1）由圖可知：AB＝AC，所以只要作出與AB、AC相等的線段再連接就可；（2）①根據(jù)平行四邊形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明AB＝BC＝CE即可；②延長(zhǎng)EC至點(diǎn)H，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠CBE＝∠CEB，∠CDE＝∠CED，推出∠BCD＝2∠BED，結(jié)合∠ACB＝∠ACD，即可證明；（3）過(guò)點(diǎn)B點(diǎn)D分別作BC和CD的垂線交于點(diǎn)F，連接AF，證明四邊形BCDF是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)推出△ABF是等邊三角形，得到∠FAB＝ZAFB＝60°，AF＝FB＝DF，計(jì)算出∠DAB的度數(shù)，再過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CD點(diǎn)G，交BF于點(diǎn)K，利用S四邊形ABCD＝S△ADG+S△ABK+S矩形GKBC計(jì)算四邊形ABCD的面積．【解答】（1）解：由圖可知：AB＝AC，∴只要作CD或BD中至少一條與AB相等就可，故作圖（1），由四種畫法，任選其中兩種即可．（2）證明：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，∵AC平分∠BCD，∴∠ACD＝∠ACB，∴∠ACB＝∠BAC，∴AB＝BC，由旋轉(zhuǎn)得：CD＝CE，∴AB＝BC＝CE，∴四邊形ABCE是準(zhǔn)等邊四邊形．；②延長(zhǎng)EC至點(diǎn)H，如圖2，∵BC＝CE＝CD，∴∠CBE＝∠CEB，∠CDE＝∠CED，∴∠DCH＝∠CDE+∠CED＝2∠CED，∠BCH＝∠CBE+∠CEB＝2∠CEB，∴∠DCH﹣∠BCH＝2∠CED﹣2∠CEB＝2∠BED，∴∠BCD＝2∠BED，由①得：∠ACB＝∠ACD，∴∠BCD＝2∠ACB，∴∠BED＝∠ACB．（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)B、點(diǎn)D分別作BC和CD的垂線交于點(diǎn)F，連接AF，∵BF⊥BC，DF⊥CD，∠C＝90°，∴四邊形BCDF是矩形，∵CD＝BC，∴四邊形BCDF是正方形，∴DF＝FB＝AB＝2，∵∠ABC＝150°，∠FBC＝90°，∴∠ABF＝∠ABC﹣∠FBC＝60°，∴△ABF是等邊三角形，∴∠